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I numeri interi
Cosa sono i numeri interi?
Cerchiamo di capire il concetto!
I numeri naturali studiati non sono sempre adatti a risolvere tutti i
problemi.
Sicuramente conosci situazioni dove non è possibile
sottrarre un numero più grande da uno più piccolo….
Per esempio 5-14.
Facciamo un esempio…..
Pensa al punto più profondo e al punto più elevato della Terra: il punto più
alto è il monte Everest con 8.855 metri di altezza, invece il punto più
profondo è la Fossa delle Marianne con i suoi 10.916 metri sotto il livello del
mare. Se attribuiamo al livello del mare il valore zero, possiamo indicare
l’altezza con il segno positivo e la profondità con il segno negativo.
Monte Everest
+8.855 m
Livello
del mare
0m
Fossa delle
Marianne
-10.916 m
In matematica per rappresentare queste situazione si utilizzano i numeri
Interi: sono i numeri naturali preceduti dal segno più e dal segno meno.
Come indichiamo l’insieme dei numeri interi?
I numeri
….,-5, -4,-3,-2,-1, 0,+1,+2,+3,+4,+5, ….
si indicano con la lettera Z.
Il valore assoluto di un numero è il numero stesso senza il segno
3 3
Ricorda:
I numeri preceduti dallo stesso segno si dicono concordi, ad
esempio +5,+7.
I numeri preceduti da segno diverso si dicono discordi,
ad esempio -6, +9.
Come si rappresentano questi numeri su una retta?
Consideriamo una retta, fissiamo il punto zero, fissiamo un verso di
percorrenza che va da sinistra a destra, prendiamo un’unità di misura e
rappresentiamo i numeri positivi ed i numeri negativi su di essa…..
u
-4
-3 -2 -1
0 +1 +2 +3 +4
Come puoi notare il numero +2 ad esempio dista da 0 due unità.
Tutti i numeri negativi si trovano a sinistra dello zero e tutti i numeri
positivi si trovano a destra.
Nota bene…….
Ogni numero positivo è sempre maggiore di un numero
negativo.
Lo zero è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni
numero positivo.
Due numeri sono opposti quando hanno lo stesso valore ma
segno contrario. Ad esempio, guarda la figura:-3 e +3 sono due
numeri opposti.
u
-4 -3 -2 -1
0
+1
+2 +3 +4
Osserva ……. l’insieme N dei numeri naturali è un
sottoinsieme dell’insieme Z dei numeri interi.
Infatti:
N={1,2,3,4,5,……..}
Z= {…,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,…}
Z
N
Le operazioni con i
numeri interi
L’addizione
La somma di numeri interi concordi è il numero che ha lo stesso
segno degli addendi e per valore assoluto la somma dei loro valori
assoluti.
Esempio:
(+4)+(+3)=+7
(-3)+(-2)= -5
La somma di numeri interi discordi è un numero che ha il segno
dell’addendo maggiore e per valore assoluto la differenza dei
valori assoluti.
Esempio:
(-7)+(+4)=-3
(+8)+(-3)= +5
Nota bene: la somma di due numeri opposti è zero.
La sottrazione
La differenza di numeri due interi si ottiene aggiungendo al
minuendo l’opposto del sottraendo.
(-3)-(+2)= -5
Minuendo
Esempi:
(+10)-(-4)=+10+4=+14
(-8)-(+2)=-8-2=-10
Sottraendo
Differenza
La moltiplicazione
Il prodotto di due numeri interi è un numero che ha per valore assoluto il
prodotto dei valori assoluti e per segno il prodotto dei segni.
Ma come si fa il “prodotto dei segni”?
La “regola dei segni del prodotto” afferma che : quando si ha un
prodotto con lo stesso segno, il prodotto è positivo, invece
quando i segni sono contrari il prodotto è negativo.
Puoi ricordare la “regola dei segni del
Prodotto” ricordando la tabella
riassuntiva qui a fianco.
+
-
+
+
-
-
-
+
•
Facciamo ora esempi con la moltiplicazione….
(+3)·(+5)=+15
(-4)·(+4)=-16
(+2)·(-5)=-10
(-6)·(-2)=+12
Nota che moltiplicare per “-1” un numero vuol dire cambiare il
segno, infatti:
(+5)·(-1)=-5
La divisione
La divisione tra due numeri interi è un numero che ha per valore
assoluto la divisione dei valori assoluti e per segno quello dato dalla
regola dei segni della moltiplicazione.
Esempio:
(+24):(-4)=-6
(-15):(+5)=-3
(-12):(-2)=+2
(+12):(+3)=+4
Ricordi che cosa è una potenza?
La potenza è quel numero che viene moltiplicato per se stesso
tante volte quante lo indica l’esponente.
base
an
esponente
an a
a
a
...
a
nvolte
Esempio:
(+3)2=(+3)(+3)=+9
(2)4=(2)(2)(2)(2)=16
Le potenze con i numeri interi
Per le potenze con i numeri interi valgono le stesse regole studiate
in precedenza, devi stare attento al segno. Infatti:
Se la base è un numero preceduto da un segno positivo il
risultato della potenza sarà sempre positivo.
Se la base è un numero preceduto da un segno negativo:
il segno è sempre positivo se l’esponente è pari,
il segno è sempre negativo se l’esponente è dispari.
Esempio:
(-3)2=(-3)(-3)=+9
(-2)3=(-2)(-2)(-2)=-8
Problemi con
i numeri interi
Problema
In un palazzo un ascensore parte dal primo piano, sale di 10 piani,
scende di 12 piani e poi risale di 5. A quale piano ci troviamo?
Prima di risolvere il problema
guarda la figura,
vedi i numeri
interi ti aiutano a risolvere problemi
di vita quotidiana
-1
+4
sale di 5
scende di 12
sale di 10
+11
Siamo
al IV
piano
Risolviamo il problema….
Incognita: determinare a quale piano si ferma l’ascensore
Dati:
l’ascensore parte dal primo piano (+1)
l’ascensore sale di dieci piani
(+10)
l’ascensore scende di dodici piani (-12)
l’ascensore risale di cinque piani (+5)
Soluzione:
+1+10-12+5= +4
l’ascensore si ferma al quarto piano
