Università degli studi di Genova
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale
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Tesi di laurea
STUDIO ED IMPLEMENTAZIONE DI
MODELLI MATEMATICI NELLA GESTIONE
BANCARIA: METODOLOGIE DI PRICING
PER STRUMENTI FINANZIARI
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Relatore:
Prof. Ing. Roberto Mosca
Correlatori:
Dott. Alessandro Currao
Ing. Simone Ventura
Candidato:
Pier Giuseppe Giribone
Anno Accademico
2007-2008
Studio ed implementazione di modelli matematici nella gestione
bancaria: metodologie di pricing per strumenti finanziari
Indice
Introduzione ................................................................. 1
1 Le strutture a termine dei tassi d’interesse ................... 8
1.1
Convenzioni utilizzate nei toolbox finanziari di Matlab ........ 8
1.2
Implementazione di un titolo a tasso fisso ...................... 13
1.3
Derivare implicitamente una zero-curve con Matlab ......... 19
1.4
Ottenere i fattori di sconti dai tassi d’interesse ................ 24
1.5
Ottenere una forward curve da una spot curve................ 32
1.6
Modellare una Interest-rate term structure ..................... 35
2 Pricing di strumenti finanziari con una zero curve ........ 39
2.1
Pricing e Sensitività di un portafoglio di obbligazioni ........ 39
2.2
Pricing di un bond a tasso fisso ..................................... 47
2.3
Pricing di un bond a tasso variabile................................ 54
2.4
Pricing di una nota a tasso fisso .................................... 59
2.5
Pricing di titoli a tasso indicizzato .................................. 62
2.6
Pricing di un contratto Swap ......................................... 63
3 Modelli stocastici del tasso a breve ............................ 73
3.1
I modelli di equilibrio ................................................... 73
3.2
I modelli ad arbitraggi nulli........................................... 78
3.3
Alberi per i tassi d’interessi........................................... 84
3.4
Modelli non stazionari .................................................. 99
3.5
L’approccio di Heath, Jarrow e Morton ......................... 105
4 Pricing dei derivati su tassi d’interesse ......................110
4.1
Implementazione di un albero di tassi forward .............. 111
4.2
Le informazioni contenute negli alberi .......................... 128
4.3
Pricing di obbligazioni con i modelli bdt-bk-hjm e hw ..... 140
4.4
Pricing di bond options con i modelli bdt-bk-hjm e hw.... 151
4.5
Pricing di fixed-notes con i modelli bdt-bk-hjm e hw ...... 168
4.6
Pricing di floating-notes con i modelli bdt-bk-hjm e hw .. 176
4.7
Pricing di caps con i modelli bdt-bk-hjm e hw ............... 179
4.8
Pricing di floors con i modelli bdt-bk-hjm e hw .............. 185
4.9
Pricing di swaps con i modelli bdt-bk-hjm e hw ............. 190
I
Studio ed implementazione di modelli matematici nella gestione
bancaria: metodologie di pricing per strumenti finanziari
4.10
Pricing di swaptions con i modelli bdt-bk-hjm e hw ........ 197
5 Modelli del comportamento dei prezzi di un’azione .....200
5.1
Processi stocastici di Markov, di Wiener e di Itô ............ 202
5.2
Il lemma di Itô .......................................................... 211
5.3
Il modello Black-Scholes ............................................ 218
5.4
La determinazione dei parametri µ e σ nel modello BS ... 222
5.5
Struttura a termine della volatilità ............................... 231
6 Modelli per il pricing di opzioni plain-vanilla ...............246
6.1
L’equazione differenziale di Black-Scholes-Merton ......... 246
6.2
La formula generale di Black e Scholes (GBS formula) ... 252
6.3
Volatilità implicita...................................................... 259
6.4
Misure di sensitività delle opzioni: le Greche ................. 261
6.5
Il problema del pricing delle opzioni americane ............. 268
7 Modelli analitici per il pricing di opzioni esotiche .........275
7.1
Le opzioni Asiatiche ................................................... 275
7.2
Le opzioni con Barriera .............................................. 278
7.3
Le opzioni composte .................................................. 282
7.4
Le opzioni retrospettive.............................................. 284
8 Metodi numerici per il pricing di opzioni ....................286
8.1
L’albero di Cox-Ross-Rubinstein .................................. 286
8.2
Alberi binomiali equi-probabili (EQP Tree) .................... 311
8.3
Alberi binomiali e trinomiali impliciti ............................ 313
9 Pricing degli Equity Derivatives ................................329
9.1
Implementazione di un albero binomiale CRR ed EQP .... 330
9.2
Implementazione di un albero trinomiale implicito ITT ... 336
9.3
Pricing di plain-vanilla option con i modelli CRR e EQP ... 341
9.4
Pricing di Asian option con i modelli CRR e EQP ............. 363
9.5
Pricing di Barrier option con i modelli CRR e EQP ........... 371
9.6
Pricing di Compound option con i modelli CRR e EQP ..... 378
9.7
Pricing di Lookback option con i modelli CRR e EQP ....... 384
9.8
Pricing di opzioni con modelli trinomiali impliciti ............ 390
II
Studio ed implementazione di modelli matematici nella gestione
bancaria: metodologie di pricing per strumenti finanziari
Conclusioni ................................................................406
Bibliografia ................................................................408
Manualistica e Sitografia .............................................412
Indice delle figure e tabelle .........................................413
III
Studio ed implementazione di modelli matematici nella gestione
bancaria: metodologie di pricing per strumenti finanziari
Introduzione
Il presente elaborato di tesi specialistica in Ingegneria Gestionale è stato sviluppato
nel corso del progetto di stage, svolto all’interno dell’ufficio Middle Office del
Reparto Finanza di Banca CARIGE nel periodo intercorrente dal 30 giugno al 30
ottobre 2008.
Una
delle
funzioni
istituzionali
del
Middle
Office
è
quella
di
determinare
periodicamente il fair value dei titoli e degli strumenti finanziari derivati presenti nei
portafogli della Banca Carige e delle sue Controllate (C.R. Savona, B.M. Lucca, C.R.
Carrara e Banca C. Ponti), nonché le passività obbligazionarie emesse dal Gruppo
CARIGE e degli strumenti finanziari presenti nei portafogli della clientela.
Per fair value s’intende il corrispettivo al quale un’attività potrebbe essere
scambiata, oppure una passività estinta, in una libera transazione finanziaria tra
parti consapevoli ed indipendenti.
Nella determinazione di tale valore si assume che la transazione avvenga in ipotesi
di regime di continuità aziendale e di sostanziale simmetria informativa tra le parti.
In ottemperanza al Regolamento CE n. 2086/2004 del 19 novembre 2004, (che
modifica il regolamento CE n. 1725/2003, il quale adotta taluni principi contabili
internazionali conformemente al regolamento CE n. 1606/2002 del Parlamento
europeo e del Consiglio per quanto riguarda l’inserimento dello IAS 39), recepito
dall’ordinamento italiano con la legge n. 363/2004, pubblicata nella Gazzetta
Ufficiale dell’Unione europea del 9/12/2004, le metodologie di valutazione degli
strumenti finanziari, incentrate sul fair value, richiamano la distinzione tra prezzo
quotato in un mercato attivo e prezzo non quotato, sempre con riferimento ad un
mercato attivo.
In
particolare
per
gli
strumenti
finanziari
quotati
in
mercati
organizzati,
regolamentati o inseriti in “circuiti alternativi” (ATS – Alternative Trading System), i
cui prezzi siano considerati “significativi”, si utilizzano i valori che tempo a tempo
vengono a formarsi su di essi. Per l’acquisizione di tali prezzi, effettuata con le più
opportune modalità tecniche, possibilmente in via automatica e continuativa, si fa
ricorso agli Information Provider, ritenuti più affidabili e prioritariamente certificati,
con particolare riferimento a Telekurs, il fornitore ufficiale di tale servizio nei
confronti della Banca CARIGE.
1
Studio ed implementazione di modelli matematici nella gestione
bancaria: metodologie di pricing per strumenti finanziari
Per gli strumenti finanziari non rientranti nella precedente categoria, si fa
riferimento alla eventuale disponibilità presso gli altri Information Provider (quali
Bloomberg e Reuters) per la quotazione dei medesimi, mediante le proposte
provenienti da contributori che rappresentano gli intermediari primari presenti sui
rispettivi
mercati,
laddove
i
prezzi
proposti,
ancorchè
indicativi,
siano
rappresentativi di potenziali transazioni. In tal caso, gli strumenti s’intendono inclusi
nella categoria dei quotati in mercati attivi.
Se lo strumento non è quotato su un mercato attivo, ovvero nei casi in cui non
siano disponibili recenti transazioni di mercato per l’opportuno riferimento, il fair
value è calcolato utilizzando tecniche di valutazione volte a stabilire il prezzo di
un’ipotetica transazione indipendente, effettuata alla data di valutazione.
La valorizzazione teorica avviene utilizzando appositi modelli di pricing, sviluppati in
conformità della “best practice” finanziaria, cioè mediante tecniche valutative
comunemente adottate dagli “addetti ai lavori”, che partecipano al mercato, per
stabilire un fair value che possono così sintetizzarsi: analisi dei flussi finanziari
attualizzati, utilizzo di credit spread, eventualmente facendo riferimento a strumenti
finanziari similari e modelli di valutazione delle opzioni, volatilità dei tassi, dei
cambi, dei prezzi e quant’altro necessario per determinare un prezzo teorico idoneo
da associare allo strumento finanziario.
Attualmente il Middle-Office, per raggiungere lo scopo di prezzare in modo teorico
tali strumenti finanziari, si avvale dei seguenti strumenti informatici: FMR
Consulting 4000, Reuters, Monis Monte Carlo ed una serie di moduli di valutazione
presenti in Bloomberg.
L’obiettivo del presente elaborato è quello di studiare quest’ultima tipologia di fair
value, implementando i più affermati modelli matematici per la determinazione del
fair-value degli strumenti finanziari, impiegando nel caso specifico, come software
di elaborazione numerica, Matlab (release 2007b). La coerenza delle funzioni di
pricing messe a disposizione dalle librerie (Financial Toolbox 3, Financial Derivatives
Toolbox 6 e GARCH Toolbox 2) sarà opportunamente testata, paragonando i
risultati ottenuti con quelli eseguiti con i software utilizzati normalmente. Una volta
raggiunto questo primo obiettivo, le procedure numeriche studiate con Matlab
potrebbero essere prese in considerazione per l’impiego come canale alternativo di
2
Studio ed implementazione di modelli matematici nella gestione
bancaria: metodologie di pricing per strumenti finanziari
pricing all’interno del Middle-Office al fine di pervenire ad un’analisi critica delle
valutazioni, basato sui criteri di confronto, valutazione ed integrazione.
L’approccio seguito per lo sviluppo della tesi può essere sostanzialmente scomposto
in due fasi principali: la prima (dal primo al quarto capitolo) affronta gli strumenti di
modellizzazione matematici per trattare i derivati su tassi d’interesse (Interest-Rate
based Financial Derivatives) e la seconda (dal quinto al nono capitolo) i modelli per
i derivati collegati alle azioni (Equity-linked Derivatives).
In particolare, nel primo capitolo, verranno illustrate le convenzioni terminologiche
e sintattiche utilizzate da Matlab per identificare le principali caratteristiche
finanziarie dei titoli (implementazione della frequenza dei pagamenti, del conteggio
dei giorni, della regola di fine mese e della frequenza di capitalizzazione), nonché il
metodo bootstrap per derivare implicitamente una zero-curve a partire dai Titoli di
Stato. Una volta ottenuta la zero-curve, alla data convenzionale del 18 Agosto
2008, si sono calcolati i fattori di sconto da applicare nel processo di attualizzazione
dei flussi di cassa e la stima dei tassi forward. Essendo questo un passaggio
estremamente delicato (in quanto i risultati così ottenuti potrebbero essere
impiegati nel pricing dei derivati), si è sempre fatto ricorso ad un controllo parallelo
con i valori ricavati dai software attualmente in dotazione presso il Middle-Office.
Superata la fase di validazione analogica, si è presentata convenientemente
l’interfaccia di gestione del software di elaborazione numerica, implementando la
struttura RateSpec (Rate Specification). All’interno della trattazione viene illustrato,
a titolo esemplificativo, il calcolo del rendimento di un bond, la durata finanziaria
modificata e la convessità.
Nel secondo capitolo sono stati analizzati gli strumenti finanziari che possono essere
valutati utilizzando unicamente le informazioni provenienti dalla zero-curve:
obbligazioni, titoli a tasso d’interesse fisso (Fixed-rate notes), titoli a tasso
indicizzato (Floating-rate notes) e contratti swap. E’ stato inoltre presentato il modo
in cui Matlab permette di costruire un portafoglio di titoli mediante costruttori e le
specifiche caratteristiche di utilizzo da parte dell’utente. Il pricing dei titoli è stato
affrontato, qualora di approccio possibile, in più modalità concorrenti, al fine di
testarne la coerenza interna dei risultati. Ogni analisi condotta è stata, quindi,
confrontata con i valori riscontrati con i software in uso presso il Middle-Office
oppure consultando i moduli specifici di calcolo di Bloomberg.
3
Studio ed implementazione di modelli matematici nella gestione
bancaria: metodologie di pricing per strumenti finanziari
Il terzo capitolo si pone come obiettivo di utilizzare i modelli stocastici come
descrittori del tasso a breve, volti a superare le limitazioni intrinseche dei metodi
finanziari tradizionali: infatti, tipicamente, questi non contemplano un’evoluzione
dinamica della curva dei tassi d’interesse. I modelli stocastici consentono inoltre di
prezzare altre tipologie di derivati finanziari più complessi: caps, floors e le opzioni
su bond (embedded option) e sui contratti swap (swaption). La trattazione parte dai
modelli più semplici “di equilibrio” (Rendleman-Bartter, Vasicek e Cox-IngersollRoss), descrive quelli più complessi “ad arbitraggi nulli” (Ho-Lee, Hull-White) sino a
quelli più completi “non stazionari” (Black-Derman-Toy, Black-Karasinski), per
pervenire a quelli che interpretano il processo seguito dai tassi forward istantanei
(Heath-Jarrow-Morton). Di particolare rilievo risulta la trattazione dedicata ai
quattro moti più recenti (HW-BDT-BK-HJM models), dei quali sarà affrontato il
modo di modellizzazione discreta mediante alberi stocastici.
Nel capitolo quarto vengono illustrate le caratteristiche d’uso e l’implementazione
degli Interest-Rate Tree in ambiente Matlab. Dopo aver presentato le modalità di
consultazione delle strutture per alcune differenti tipologie di alberi, si sono
esemplificativamente valorizzati i titoli finanziari, il cui prezzo si è rilevato
coincidente sia con quello presente nel Listino CARIGE, sia con quello ottenuto dalle
tecniche di pricing convenzionali presentate nel capitolo secondo. Si è quindi
proceduto alla determinazione del fair value dei derivati caps, floors, opzioni su
obbligazioni e su contratti swap.
Il capitolo quinto si pone come finalità la ricerca di un modello matematico in grado
di descrivere il comportamento dei prezzi di un’azione orientata alla determinazione
del valore degli Equity Derivatives. Si affronterà dapprima la trattazione dei
processi stocastici di Markov e di Wiener, per giungere a quello di Itô, a partire dal
quale Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton hanno sviluppato il noto
modello di Black-Scholes per la descrizione del comportamento del prezzo delle
azioni. All’interno del capitolo verrà inoltre fatto cenno, con un esempio numerico
esplicativo, all’inadeguatezza delle tecniche di risoluzione afferenti alla matematica
classica per la trattazione di equazioni differenziali stocastiche (SDE) ed il modo in
cui i simulatori possono essere utilizzati per prevedere il possibile comportamento
futuro del prezzo di un’azione. Un importante risultato, che si crede di ricaduta
applicativa notevole, sia in campo matematico (per la risoluzione analitica di alcune
categoria di SDE), sia in campo finanziario è fornito dal “Lemma di Itô”, in quanto
lega il prezzo di un qualsiasi Equity Derivative alla variabile stocastica sottostante
4
Studio ed implementazione di modelli matematici nella gestione
bancaria: metodologie di pricing per strumenti finanziari
(ad esempio il prezzo dell’azione) in funzione del tempo. Infine sono illustrati i modi
in cui possono essere determinati i parametri che regolano il modello di Black e
Scholes, con particolare riferimento alla trattazione della volatilità
σ
(parametro
fondamentale per il pricing delle opzioni). Vengono proposte recenti metodologie di
stima di
σ
: in base ai dati storici, a partire da quelle più tradizionali con schemi di
ponderazione, per giungere a modelli più raffinati come l’ARCH (Auto-Regressive
Conditional Heteroschedasticity), EWMA (Exponentially Weighted Moving Average)
ed il GARCH (Generalized Auto-Regressive Conditional Heteroschedasticity). Nei
modelli econometrici viene dato particolare risalto all’interessante tecnica GARCH,
riconducibile a modelli matematici di moti browniani, rendendo pertanto possibile
simulare differenti strutture a termine di volatilità (volatility term-structure). Viene
illustrato un esempio di applicazione di GARCH(1,1) ad una serie storica
benchmark, utilizzata in letteratura per verificare la correttezza delle previsioni,
comprensivo di test statistici di rigetto per la bontà di adattamento, calibrazione dei
parametri con il metodo di massima verosimiglianza (maximum likelihood method),
analisi dei residui e simulazione Monte Carlo per la generazione di strutture di
volatilità.
Nel capitolo sesto, a partire dal lemma di Itô, viene affrontata l’equazione alle
derivate parziali di Black-Scholes-Merton, che vige, sotto determinate ipotesi, per
ogni derivato con un sottostante azionario. Ponendo come condizioni iniziali alla
PDE il pay-off di un’opzione call europea e quindi quella di una put europea
standard (plain-vanilla), si arriva a determinare le note relazioni per il pricing di
Black e Scholes per opzioni europee scritte sul prezzo di un’azione che non emette
dividendi. All’interno del capitolo si è affrontato il modo in cui questo approccio può
essere esteso anche ad opzioni europee su azioni che pagano dividendi, ad opzioni
europee con un dividend yield continuo (Merton), ad opzioni europee su valute
(Garman e Kohlhagen) e ad opzioni europee contratti futures e forward (Black). Per
ciascun modello è stato fornito un esempio di implementazione in ambiente Matlab,
producendo la consueta verifica di coerenza e di analisi funzionale delle funzioni
finanziarie implementate. La formula generalizzata di Black e Scholes (Generalized
Black and Scholes Formula-BSG formula) permette di derivare implicitamente la
volatilità
del
titolo
sottostante
l’opzione
mediante
un
algoritmo
di
ricerca
dell’obiettivo (goal attainment problem). Tale approccio, a patto che il mercato sia
liquido, permette di derivare un’espressione per
σ
senza avvalersi delle serie
storiche. Verrà pertanto trattato e commentato il modo in cui può essere derivata
tale misura in ambiente Matlab ed oggettivata l’importanza dei grafici (detti “sorrisi
5
Studio ed implementazione di modelli matematici nella gestione
bancaria: metodologie di pricing per strumenti finanziari
di volatilità”, volatility smile) che rappresentano le
σ IMP
in funzione dei relativi
prezzi d’esercizio. Per affinare i modelli di pricing alla realtà è di fondamentale
importanza studiare gli effetti che relazionano le variazioni degli input con il valore
ricavato in output dal modello, producendo un’opportuna analisi di sensitività. La
misura della sensività viene effettuata mediante la stima di grandezze, denominate
Greche. Nel caso di opzioni il cui prezzo sia esplicitabile mediante formula
matematica chiusa, questa costituisce la forma alle derivate parziali della BGS
formula, rispetto alle sue variabili più importanti. Nella trattazione è presente sia il
calcolo delle derivate delle greche, sia il modo in cui queste possono essere
implementate nel calcolatore. Il capitolo termina con la trattazione di alcune
formule analitiche chiuse approssimate per la prezzatura di opzioni plain-vanilla
americane (Roll-Geske-Whaley, Barone-Adesi-Whaley e Bjerksund-Stensland).
Nel capitolo 7 vengono affrontate le principali tipologie di opzioni europee fuori
standard, dette esotiche, opportunamente modellizzate con le relative formule
analitiche di pricing : le Asian Option, le Barrier Option, le Compound Option, le
Lookback Option.
La messa a punto di formule analitiche esplicite per la valutazione di opzioni non
europee rimane un settore di ricerca complesso, al quale ricercatori scientifici
stanno ancora lavorando. Nel caso di opzioni americane sono note buone
approssimazioni per la determinazione del prezzo dello strumento finanziario, ma la
situazione si complica notevolmente per le opzioni non standard, ovvero quelle
esotiche. Gli unici risultati di natura analitica a cui si è pervenuti in questo campo
riguardano quasi esclusivamente opzioni di tipo europeo. Nel caso in cui non si
riuscisse a ricondurre il modello alla formulazione generalizzata di Black e Scholes,
facendo ricorso a qualche espediente matematico, non resta altra scelta che quella
di avvalersi di tecniche numeriche avanzate.
Di queste interessanti ed innovative metodologie tratta il capitolo 8, nel quale
vengono presentate le principali tipologie di alberi binomiali e trinomiali impiegati
per il pricing delle opzioni, che operano traducendo nel discreto il possibile percorso
stocastico dell’attività finanziaria sottostante nel corso della vita stessa del
contratto, determinandone così il valore del derivato. Gli Equity Tree, considerati
dalla recente letteratura i più robusti, dei quali verrà proposta la trattazione
matematica relativa alla descrizione del processo stocastico del sottostante, sono:
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Studio ed implementazione di modelli matematici nella gestione
bancaria: metodologie di pricing per strumenti finanziari
l’albero binomiale e trinomiale di Cox-Ross-Rubinstein (CRR Tree), gli alberi
equiprobabili (EQP Tree) e gli alberi binomiali e trinomiali impliciti (ITT tree), che
utilizzano una struttura a termine della volatilità implicita, studiati da Derman, Kani
e Chriss.
Nel capitolo 9 è affrontato infine il modo in cui questi algoritmi possono essere
implementati in Matlab per il pricing di opzioni plain-vanilla/esotiche (asiatiche, con
barriera, composte, retrospettive), call/put e europee/americane/Bermuda. La
valorizzazione di questa tipologia di modelli applicati al case-study è stata
comparata con il prezzo ottenuto dalle formule analitiche chiuse e dai moduli di
calcolo di Bloomberg, la cui piattaforma di calcolo è costituita dalle librerie di
NumeriX.
7
