Formula di Taylor

FORMULA DI TAYLOR
Umberto Marconi
Dipartimento di Matematica – Università degli Studi di Padova
Resto in forma integrale.
Teorema. Sia I un intervallo di R, c ∈ I e f ∈ C m+1 (I).
Per ogni x ∈ I si ha:
f ′ (c)
f ′′ (c)
(x − c) +
(x − c)2 + · · · +
1!
2!
∫ x
f (m) (c)
(x − t)m (m+1)
m
+
(x − c) +
f
(t) dt
m!
m!
c
f (x) = f (c) +
(1)
Dimostrazione. Poiché f è una primitiva di f ′ , il teorema fondamentale del calcolo assicura
che:
∫ x
f ′ (t) dt
f (x) = f (c) +
(⋆)
c
Si osservi che (⋆) è la versione del teorema per m = 0.
Calcoliamo ora per parti l’integrale in (⋆), osservando che −(x−t) è una primitiva del fattore
differenziale 1 dt:
t=x ∫ x
′
f (x) = f (c) + − (x − t)f (t)
+
(x − t)f (2) (t) dt
t=c
da cui:
f ′ (c)
1
f (x) = f (c) +
(x − c) +
1!
1!
c
∫
x
(x − t)f (2) (t) dt
c
Si osservi che quest’ultima formula è la versione del teorema per m = 1.
2
Poiché una primitiva del fattore differenziale (x − t) dt è − (x−t)
2! , e poi ancora una primitiva
2
3
(x−t)
di (x−t)
2! dt è − 3! ,. . . si capisce come si può dedurre passo passo la formula del teorema.
Per completezza la dimostriamo per induzione supponendola vera per m e dimostrandola
per m + 1.
Se nella formula
f ′′ (c)
f ′ (c)
(x − c) +
(x − c)2 + · · · +
1!
2!
∫ x
f (m) (c)
(x − t)m (m+1)
m
+
(x − c) +
f
(t) dt
m!
m!
c
f (x) = f (c) +
integriamo per parti prendendo −(x−t)
come primitiva del fattore differenziale (x−t)
m! dt
(m+1)!
otteniamo:
∫ x
(x − t)m+1
t=x ∫ x (x − t)m+1
(x − t)m (m+1)
f
(t) dt = −
f (m+1) (t)
+
f (m+2) (t) dt =
m!
(m
+
1)!
(m
+
1)!
t=c
c
c
∫ x
f (m+1) (c)
(x
−
t)m+1 (m+2)
=
(x − c)m+1 +
f
(t) dt
(m + 1)!
(m + 1)!
c
m+1
m
da cui si deduce immediatamente la formula del teorema per m + 1.
1
Il polinomio di grado al più m che compare in (1)
Tm (x) = f (c) +
f ′ (c)
f ′′ (c)
f (m) (c)
(x − c) +
(x − c)2 + · · · +
(x − c)m
1!
2!
m!
si chiama polinomio di Taylor di grado m della funzione f (x). Esso è l’unico polinomio che
coincide con f in c con tutte le sue derivate fino all’ordine m e, tra i polinomi di grado m,
è quello che meglio approssima f (v.[S, pag. 257]).
La differenza fra f (x) e il polinomio Tm (x) si chiama resto m-esimo della formula di Taylor
e si pone:
∫ x
(x − t)m (m+1)
Rm (x) = f (x) − Tm (x) =
f
(t) dt
(2)
m!
c
Il resto (2) ci dice qual è la differenza fra il valore della funzione e il valore del polinomio di
Taylor e quindi, se riusciamo a maggiorare |Rm (x)|, abbiamo una stima dell’approssimazione
fornita dal polinomio Tm (x). A tal fine conviene riportare l’integrale in (2) ad un’espressione
con gli estremi fissi. Mediante la sostituzione t = c + s · (x − c) dove s, variando fra 0 e 1,
parametrizza il segmento di estremi c e x, si ottiene facilmente:
∫
(
)
(x − c)m+1 1
Rm (x) =
(m + 1)(1 − s)m f (m+1) c + s · (x − c) ds
(3)
(m + 1)! 0
L’integrale che compare in (3) è una funzione continua della variabile x (ci crediamo). Se
lo mettiamo in evidenza possiamo porre:
∫ 1
(
)
(m + 1)(1 − s)m f (m+1) c + s · (x − c) ds
(4)
C(x) =
0
Poiché |f (m+1) | è una funzione continua, essa ammette massimo assoluto su ogni intervallo
compatto [c − δ, c + δ] contenuto in I e contenente x. Detto M tale massimo, si ha:
∫ 1
∫ 1
∫ 1
s=1
(m + 1)(1 − s)m · M ds = M −(1 − s)m+1 s=0 = M
| . . . | ds ≤
...| ≤
|C(x)| = |
0
0
0
Da (3) si ottiene allora la disuguaglianza riportata in [S, formula 9, pag. 558]:
|x − a|m+1
|x − a|m+1
|C(x)| ≤
M
(m + 1)!
(m + 1)!
|Rm (x)| =
(5)
dove M è il massimo modulo della derivata (m + 1)-esima di f . Pertanto possiamo scrivere
la formula di Taylor nel seguente modo:
f (x) = f (c) +
f (m) (c)
(x − c)m+1
f ′ (c)
(x − c) + · · · +
(x − c)m +
C(x)
1!
m!
(m + 1)!
(6)
dove C(x) ha le proprietà che abbiamo spiegato.
Nel caso c = 0 la formula di Taylor si chiama formula di Maclaurin, che diventa:
f (x) = f (0) +
f ′ (0)
f ′′ (0) 2
f (m) (0) m
xm+1
x+
x + ··· +
x +
C(x)
1!
2!
m!
(m + 1)!
dove
∫
1
C(x) =
(m + 1)(1 − s)m f (m+1) (sx) ds
(7)
(8)
0
è una funzione continua e maggiorata in modulo dal massimo modulo di f (m+1) .
Osservazione. Passando al limite sotto il segno di integrale in (4) si ottiene (questo fatto
può essere utile nel calcolo dei limiti mediante gli sviluppi di Taylor):
lim C(x) = f (m+1) (c)
x→c
2
(9)
Scriviamo gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni elementari usando la forma (7). Essi
dipendono soltanto dal valore in 0 delle derivate successive della funzione e dalla derivata
(m + 1)-esima.
xm
xm+1
x2
+ ··· +
+
C(x)
2!
m!
(m + 1)!
x3
x2m+1
x2m+3
x−
+ · · · + (−1)m
+
C(x)
3!
(2m + 1)! (2m + 3)!
x2
x2m
x2m+2
1−
+ · · · + (−1)m
+
C(x)
2!
(2m)! (2m + 2)!
x3
x2m+1
x2m+3
x+
+ ··· +
+
C(x)
3!
(2m + 1)! (2m + 3)!
x2m
x2m+2
x2
+ ··· +
+
C(x)
1+
2!
(2m)! (2m + 2)!
x2 x3
xm
xm+1
x−
+
− · · · + (−1)m−1
+
C(x)
2
3
m
(m + 1)!
( )
α m
xm+1
α(α − 1) 2
x + ··· +
x +
C(x)
1 + αx +
2
m
(m + 1)!
x2m+1
x2m+3
x3 x5
+
− · · · + (−1)m
+
C(x)
x−
3
5
2m + 1 (2m + 3)!
x3 2x5 17x7 x9
x+
+
+
+ C(x)
3
15
315
9!
ex = 1 + x +
sin x =
cos x =
sinh x =
cosh x =
log(1 + x) =
(1 + x)α =
arctan x =
tan x =
Gli sviluppi asintotici sopra elencati sono utili in varie situazioni:
• determinare gli sviluppi di altre funzioni (vedi [S, esempio 10, pag. 564]);
• trattare i limiti di rapporti di funzioni come limiti di rapporti di polinomi (v. [S,
esempio 9, pag. 563]);
• calcolare valori approssimati come spiegato in [S, §7.9].
• nel caso in cui, per tutti gli x di un certo intervallo, si abbia lim Rm (x) = 0, allora
m→∞
la funzione coincide con la somma della sua serie di Taylor/Maclaurin (vedi [S, §§7.7,
7.8, 7.9]).
Esercizio 1 Cosa diventa lo sviluppo binomiale di (1 + x)α per α = −1? E per α = 21 ?
E per α = − 12 ?
(
Esercizio 2 Determinare:
lim
x→0
1
1
1
−
sin2 x x2
)
Resto di Peano
Riscriviamo il resto m-esimo:
Rm (x) = C(x)
(
)) (x − c)m+1
(x − c)m+1 ( (m+1)
= f
(c) + C(x) − f (m+1) (c)
=
(m + 1)!
(m + 1)!
= f (m+1) (c)
(x − c)m+1
(x − c)m+1
+ ε(x)
(m + 1)!
(m + 1)!
ove si è posto ε(x) = C(x) − f (m+1) (c). Si osservi che per (9):
lim ε(x) = 0
x→c
3
Il resto nella forma
Rm (x) = f (m+1) (c)
(x − c)m+1
(x − c)m+1
+ ε(x)
(m + 1)!
(m + 1)!
(10)
con ε funzione infinitesima per x → c si chiama resto nella forma di Peano.
Esercizio 3 Usando gli sviluppi di Taylor/Maclaurin, determinare i seguenti limiti:
)
(
(
sin x − x
1 )
2
lim
lim x − x log 1 +
x→+∞
x→0 tan x − x
x
x4x − log3 (1 − x) − x
x cos x − sin x
lim
lim
2
x→0 √
x→0 1 + x2 − ex + sin3 x
1 − cos √
x
2x − x2 − −2 log(1 − x)
(ex − 1)3 − log2 (1 + x)
lim
lim
3
x→0
1 − cos2 x
x→0+
x 2 + sin2 x
Esercizio 4 Svolgere gli esercizi sugli sviluppi di Taylor che si trovano in:
http: // www. math. unipd. it/ ~ umarconi/ did/ esett04. pdf .
Per le prime tre funzioni scrivere la formula di Maclaurin con il resto R6 (x) nella forma di
Peano.
BIBLIOGRAFIA
[DM] G. De Marco, Analisi Uno, Decibel-Zanichelli.
[S] James Stewart, Calcolo - Funzioni di una variabile, Apogeo (2001).
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