L’Infinito e dintorni
Domanda 1: Può un bimbo che non conosce i numeri individuare qual’è l’insieme più numeroso fra due
assegnati ?
Risposta: Sì. Come può fare ??
Osservazione: Se riflettiamo questo è anche il modo con cui contiamo: associamo a uno e un solo elemento
dell’insieme assegnato il corrispondente elemento dei numeri naturali (su cui abbiamo una volta per tutte
dato una relazione d’ordine), l’ultimo numero associato secondo questa applicazione biunivoca indica la
“cardinalità”, cioè la numerosità dell’insieme assegnato.
Domanda 2: Consideriamo tutti i numeri interi positivi e chiamiamo questo insieme A. Prendiamone la
metà, cioè l’insieme dei numeri pari e chiamiamolo B. Qual è l’insieme più numeroso A o B?
Risposta: ???
Avete capito? Se non avete capito, rileggete l’osservazione. Se avete capito cosa dovreste fare, ma non
avete capito come dovrete farlo, allora riflette meglio, è una cosa molto semplice che tutti sanno.
Premessa 3: Adesso consideriamo l’insieme, C, dei seguenti puntini
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . -> questi puntini continuano all’infinito ->
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . -> questi puntini continuano all’infinito ->
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . -> questi puntini continuano all’infinito ->
Questi righi continuano all’infinito
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . -> questi puntini continuano all’infinito ->
Questi righi continuano all’infinito.
Cioè sono presenti infiniti puntini su infiniti righi. Sono infinito x infinito = infinito^2, puntini.
Domanda 3: E’ più numeroso l’insieme C di tutti questi puntini o l’insieme di tutti i numeri interi A ?
Risposta: ??
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Commento
1) Se avete imparato a non farvi scoraggiare dalle prime impressioni, avrete già notato che vi ho dato
la risposta alla domanda 1, anche se non in modo esplicito.
2) Se avete saputo “leggere” la risposta alla domanda 1, non dovrebbe essere difficile trovare una
relazione biunivoca fra tutti gli interi e i pari.
3) Se avete trovato le risposte corrette alle domande 1 e 2, con un poco di sforzo ulteriore riuscirete
anche a risolvere il quesito 3.
4) Per aiutarvi vi dico che i tre insiemi A B, e C hanno la stessa cardinalità, cioè ciascun insieme ha lo
stesso numero di elementi: non uno in più, non uno in meno.
Se siete rimasti sconvolti sono oltremodo soddisfatto. Vi ho appena fatto toccare con mano che un
insieme costituito da una quantità infinita di elementi , come l’insieme dei numeri interi (a proposito,
ogni insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri interi è detto
numerabile) può essere numeroso quanto la sua metà.
Morale: per gli insiemi di cardinalità infinita non vale che “il tutto è più numeroso di una sua parte”. E
con l’osservazione della domanda 3) abbiamo toccato con mano che anche (infinito)^2 = infinito. E
immaginando un cubo di puntini con tre facce all’infinito, così come l’insieme, C, della domanda 2) era
un quadrato di puntini con due lati all’infinito, si vede subito che (infinito)^3 = infinito. E iterando si ha:
(infinito)^n = infinito. Cioè la potenza della cardinalità infinita e uguale alla stessa cardinalità di
partenza. Non è più numerosa.
Traiamo qualche conseguenza. Sull’asse x vi sono tanti numeri interi positivi, così come quanti numeri
[ . Di più, essi sono numerosi quanti tutti i punti del piano
interi positivi e negativi vi sono fra ]
cartesiano che abbiano coordinate intere positive e negative. Di più, essi sono numerosi quanti tutti i
punti dello spazio cartesiano che abbiano coordinate intere positive e negative.
Cantor, che fu il primo a riflettere su questo argomento, dimostrò una cosa importantissima, e cioè che
se è vero che elevando ad una potenza finita , un numero infinito, non si ottiene un infinito più grande,
ciò non è vero quando si considera il suo insieme delle parti.
Digressione. Cos’è l’insieme delle parti di un insieme, S ? E’ l'insieme di tutti i sottoinsiemi di S. Per
esempio, se S è l'insieme
, allora l'insieme delle parti di S è:
Si noti che, l’insieme nullo e l’insieme stesso, sono inclusi nell’insieme delle parti. In questo modo la cardinalità
dell’insieme delle parti è sempre uguale a 2 elevato alla cardinalità dell’insieme di partenza. Nell’esempio, S ha
cardinalità 3, cioè è formato da tre oggetti. Il suo insieme delle parti ha cardinalità 2^3 = 8.
Questa è una operazione che fa passare da un infinito ad un infinito più grande.
Cantor ha dimostrato che l’insieme delle parti di tutti i numeri interi forma un insieme la cui cardinalità è
superiore a quella pertinente ai numeri interi stessi.
Se chiamiamo Aleph con zero (A0), la cardinalità degli interi, abbiamo:
ha dimostrato che, se chiamiamo C, la cardinalità di tutti i numeri reali, allora
invece
. Di più, Cantor
.
La cardinalità di tutti i numeri reali è detta costituire un infinito continuo in contrapposizione alla cardinalità dei
numeri interi che è detta costituire un infinito numerbile.
Come sappiamo sull’asse x dei numeri reali, “vivono” 4 tribù di numeri: gli interi, i razionali, gli irrazionali e i
trascendenti (come ad esempio, Pi greco, il numero di Nepero “e”, etc.). Cantor ha anche dimostrato che i primi
tre tipi di numeri hanno cardinalità numerabile. Poiché tutti i numeri reali hanno una cardinalità superiore, cioè
la cardinalità continua, ne consegue che i numeri trascendenti sono altrettanto numerosi quanto tutti i numeri
reali.
Sconvolgente, vero ? Ci sono infiniti numeri, addirittura una infinità continua di numeri, dello stesso tipo di Pi
greco, il numero di Nepero “e”, etc.
