STATISTICA ESERCITAZIONE 11 Dott. Giuseppe Pandolfo 3

STATISTICA ESERCITAZIONE 11
Dott. Giuseppe Pandolfo
3 febbraio 2015
Modelli continui di probabilità: la v.c. uniforme continua
Esercizio 1
Anna ha una gift card da 50 euro. Non si sa se sia mai stata utilizzata e nel caso sia stata usata
non si conosce l’ammontare ancora disponibile, è possibile ipotizzare che tale ammontare X
abbia una distribuzione di probabilità uniforme continua.
1. Calcolare valore atteso e varianza di X;
2. Anna vuole fare un acquisto il cui costo sarà di 20 euro. Calcolare la probabilità che la gift card
abbia credito sufficiente per fare tale acquisto?
Soluzione
1) E’ ragionevole assumere per X (la disponibilità residua della scheda) una distribuzione
uniforme continua nell’intervallo (0,5):
X ∼ U(0, 50)
Per tanto il valore atteso di X è:
E X =
a+b
= 50/2 = 25
2
La varianza:
E X =
a−b
12
2
= 2500/12 = 208,33
2) La probabilità da calcolare é P(X ≥ 20). Usando la formula per la funzione di ripartizione di una
variabile casuale uniforme otteniamo:
P X ≥ 20 = 1 − P X ≤ 20 = 1 –
x−a
20 − 0
=1−
= 1 − 0, 4 = 0,6
b−a
50 − 0
Esercizio 2 La v.c. Normale: uso delle tavole
E’ noto che un certo tipo di dati si distribuiscono secondo una gaussiana di media 7 e deviazione
standard pari a 3 . Calcolare:
a) P(5,5 ≤ X ≤ 7,4)
b) P(4 ≤ X ≤ 10)
c) P(X ≥ 6,4)
Determinare inoltre:
d) il secondo decile
e) il primo quartile
f) il 80-esimo percentile
Soluzione
a)
𝑃 5,5 ≤ 𝑋 ≤ 7,4 = 𝑃
5,5 − 7
7,4 − 7
≤𝑍≤
= 𝑃 −0,5 ≤ 𝑍 ≤ 0,13
3
3
= 𝑃 𝑍 ≤ 0,13 − 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 0,5
= 0,5517 − 1 − 0,6915
= 0,5517 − 0,3085 = 0,2432
b)
𝑃 4 ≤ 𝑋 ≤ 10 = 𝑃
4−7
10 − 7
≤𝑍≤
= 𝑃 −1 ≤ 𝑍 ≤ 1 = 𝑃 𝑍 ≤ 1 − 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 1
3
3
= 0,8413 − 1 − 0,8413 = 0,8413 − 0,1587 = 0,6826
c)
𝑃 𝑋 ≥ 6,4 = 1 − 𝑃 𝑍 ≤
6,4−7
3
= 1 − 𝑃 𝑍 ≤ −0,2 = 1 − 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 0,2
=1−
1 − 0,5793 =0,5793
d) Il secondo decile corrisponde a:
𝑃 𝑍 > 𝑧0,20 = 0,80
Vista la proprietà di simmetria della distribuzione Normale il secondo decile corrisponde al 80esimo percentile, occorre quindi individuare il valore in ascissa alla sinistra del quale si trova il
90% della distribuzione di probabilità:
𝑃 𝑍 ≤ 𝑧0,80 = 0,80
Dalle tavole risulta che il valore più vicino a 0,80 è tra 0,84 3 0,85, per cui 𝑧0,80 = 0,845 e
𝑧0,20 = −0,845.
Partendo dalla standardizzazione di X abbiamo che il secondo decile corrisponde a:
𝑋0,20 = 𝜇 + 𝜎 𝑧0,20 = 7 + 3 −0,845 = 4,465
e) il primo quartile:
𝑃 𝑍 > 𝑧0,25 = 0,75
Per la proprietà della simmetria
𝑃 𝑍 ≤ 𝑧0,75 = 0,75
Dalle tavole risulta che il valore più vicino a 0.75 è compreso tra 0.67 e 0.68, per cui
𝑧0,75 = 0,675 e 𝑧0,25 = −0,675.
Il primo quartile corrisponde a:
𝑋0,25 = 𝜇 + 𝜎 𝑧0,25 = 7 + 3 −0,675 = 4,975
f) il 80-esimo decile corrisponde al secondo decile già calcolato in precedenza.
Esercizio 3
La durata delle gomme per auto segue una distribuzione normale di media 8000 km e
deviazione standard 600 km.
a) Qual è la proporzione delle gomme che durano meno di 7000 km?
b) La pubblicità dice che “il 90% delle nostre gomme durano più di x km.” Qual è il valore di
x?
Soluzione
Per calcolare tale probabilità occorre standardizzare la distribuzione delle gomme per ricondurla
alla normale standardizzata. Se
𝑋~𝑁 𝜇 = 8000, 𝜎 = 600
Allora
𝑍=
𝑋 − 8000
~𝑁 0,1
600
e quindi abbiamo che:
𝑃 𝑋 < 7000 = 𝑃
𝑋 − 8000 7000 − 8000
7000 − 8000
<
=𝑃 𝑍<
= 𝑃 𝑍 < −1,66
600
600
600
= 1 − 0,9515 = 0,048
Per risolvere il secondo punto dobbiamo trovare il percentile della distribuzione standardizzata
per poi applicare la trasformazione inversa alla standardizzazione quindi si ha che:
𝑃 𝑍 < 𝑞𝑍 = 0,9 ⟺ 𝑞𝑍 ≈ 1,28
𝑃 𝑍 > 𝑞𝑍 = 0,9 ⟺ 𝑞𝑍 ≈ −1,28
𝑞𝑍 × 600 + 8000 = −1,28 × 600 + 8000 = 𝑞𝑥 = 7232
Esercizio 4
Una azienda che produce accumulatori di energia per impianti industriali. Sa che la durata di un
accumulatore (in giorni) si distribuisce come una normale con µ = 1400 e σ2 = 3000. Essa
risarcisce 3000 euro all’acquirente se la durata della macchina è inferiore a 1200. Calcolare la
probabilità che
1) in seguito alla vendita di un accumulatori l’azienda debba risarcire 3000 euro;
2) su 5 accumulatori venduti l’azienda debba risarcire al massimo 3000 euro;
Soluzione
1) La durata in giorni di un accumulatore sia definita X, e allora
𝑋~𝑁 1400,3000
L’azienda risarcisce il compratore solamente se l’accumulatore ha durata inferiore a 1200.
Dunque la probabilità da calcolare è:
𝑃 𝑋 < 1200 = 𝑃 𝑍 <
1200 − 1400
3000
= 𝑃 𝑍 < −3,65 = 1 − 0,99 = 0,01
2) Dire che su 5 accumulatori venduti l’azienda deve risarcire al massimo 3000 euro è
equivalente a dire che su 5 accumulatori venduti al massimo uno ha durata inferiore a 1200.
Pertanto la probabilità richiesta è la probabilità che su 5 accumulatori al massimo uno dura
meno di 1200 giorni. Indicando con N la variabile casuale che descrive il numero di accumulatori
con durata inferiore a 1200 tra i 5 venduti, si ha N ∼ Bin(5, p = 0, 01), dove la probabilità di
successo della binomiale p è in questo caso data dalla probabilità che un accumulatore abbia
durata inferiore a 1200 giorni (calcolata al punto 1). Quindi
𝑃 𝑁 ≤1 =𝑃 𝑁 =0 +𝑃 𝑁 =1 =
5
0,010 1 − 0,01
0
= 0,95 + 5 ∙ 0,01 ∙ 0,96 = 0,998
5
+
5
0,011 1 − 0,01
1
4