I numeri naturali - Dipartimento di Matematica e Fisica

I numeri naturali
I numeri naturali
Proviamo a elencare aspetti della matematica legati ai numeri naturali
I numeri naturali
I numeri naturali
Molti matematici li hanno intesi come termini primitivi.
“I numeri naturali sono stati creati dal buon Dio, tutto il resto è opera
dell’uomo.” (Leopold Kronecker 1823-1891)
I numeri naturali
Successivamente, però, è stato proposto di
1. derivarli dagli insiemi (proposta di Georg Cantor 1845-1918) oppure
2. costruirli a partire da altri termini primitivi (Giuseppe Peano
1858-1932).
Le due costruzioni dell’insieme dei numeri naturali ne evidenziano i due
aspetti di significato:
1. aspetto cardinale: il numero indica quanti sono gli elementi di un
insieme senza tener conto di che cosa sono, indica una quantità.
2. aspetto ordinale: il numero indica quale posto occupa un dato
elemento in un insieme ordinato.
I numeri naturali
Aspetto cardinale
Aspetto cardinale
Definizione
Dati due insiemi A e B si dice che sono equipotenti se esiste una
funzione biunivoca da A in B.
Dati A e B sottoinsiemi di U si introduce una relazione
R ⊆ P(U) × P(U) definita da:
ARB se e solo se A è equipotente a B.
Grazie a questa relazione possiamo classificare gli insiemi
“raggruppandoli” a seconda dell’equipotenza (chiamiamo classi questi
“gruppi” di insiemi equipotenti).
I numeri naturali
Aspetto cardinale
Definiamo:
I
zero (con simbolo 0) la classe (d’equivalenza) dell’insieme vuoto,
cioè la classe che contiene tutti gli insiemi equipotenti all’insieme
vuoto.
I
uno (con simbolo 1) la classe (d’equivalenza) dell’insieme avente
come unico elemento ∅, cioè {∅}. È la classe che contiene tutti gli
insiemi equipotenti all’insieme {∅}.
I
due (con simbolo 2) la classe (d’equivalenza) dell’insieme avente
come elementi ∅ e {∅} cioè {∅, {∅}}. È la classe che contiene tutti
gli insiemi equipotenti all’insieme {∅, {∅}}.
I
...
I numeri naturali
Aspetto cardinale
Definizione
Chiamiamo insieme dei numeri naturali e lo indichiamo con N,
l’insieme formato dai simboli ora descritti:
N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }
I numeri naturali
Aspetto cardinale
Attività. Gioco delle canoe
“Formate canoe da 4”.
Quando tutte le canoe si sono formate si può cantare una canzone nella
quale i bambini simulano l’azione del “vogare”.
Al termine della canzone si può riproporre la formazione di canoe con una
nuova cardinalità. Ovviamente ad ogni partita tutte le canoe saranno
equipotenti.
Può accadere che il conduttore del gioco indichi una cardinalità rispetto
alla quale restino esclusi dei bambini. Essi potranno rientrare in gioco
nella sfida successiva.
I numeri naturali
Aspetto ordinale
Aspetto ordinale
Introduzione assiomatica di G.Peano (1858-1932): non dice cos’è un
numero naturale ma si spiega qual è il suo comportamento in relazione
ad altri enti.
Assumiamo come termini primitivi dell’assiomatica di Peano:
I
numero, che indicheremo con le lettere minuscole n,m,... ;
I
zero, che indicheremo con 0;
I
successore, che indicheremo con S( );
I
uguaglianza, che indicheremo con =.
I numeri naturali
Aspetto ordinale
Chiamiamo insieme dei numeri naturali un qualsiasi insieme che
soddisfi i seguenti assiomi:
ASSIOMA 1. Zero è un numero (0 ∈ N).
ASSIOMA 2. Il successore di ogni numero è ancora un numero.
ASSIOMA 3. Se due numeri hanno lo stesso successore, allora anche i
due numeri sono uguali
ASSIOMA 4. Lo Zero non è successore di alcun numero.
I numeri naturali
Aspetto ordinale
ASSIOMA 5. PRINCIPIO DI INDUZIONE.
Se P(n) è una proprietà che coinvolge un numero naturale n, dalle ipotesi
che:
I
P(n) vale per 0
I
se vale per un qualsiasi n implica che essa vale anche per Sn,
allora la proprietà vale per ogni numero naturale.
Osservazione
L’assioma di Induzione permette di dimostrare proprietà che valgono per
tutti i numeri naturali (che sono infiniti) facendo un numero di
“verifiche” finito.
I numeri naturali
Aspetto ordinale
Attività
Si osservi la seguente scheda la cui consegna è “In quale fila ti inseriresti
per giocare il prima possibile?”
I numeri naturali
Aspetto ordinale
Attività
Si osservi la seguente scheda sui numeri ordinali.
I numeri naturali
Aspetto ordinale
Quali sono gli aspetti su cui insistere nella scuola primaria?
I i numeri naturali indicano quantità, si usano per contare
(Fondamentale acquisire questo significato! 2 + 1 = 21?)
I i numeri naturali indicano la posizione
I N è un insieme infinito
Albergo di Hilbert
https://www.youtube.com/watch?v=faQBrAQ87l4
I ciascuno (n) ha un successivo (n + 1) e un precedente (n − 1)
(tranne 0, che non ha precedente)
I sono rappresentabili su una semiretta e costituiscono un insieme
discreto
I
N è ordinato, cioè è possibile definire su N una relazione (<) che
consenta di stabilire se, per ogni a, b ∈ N, a < b.
Sistemi di numerazione
6.3 Sistemi di numerazione
Sistemi di numerazione
Ascoltiamo la canzone ed individuiamo elementi positivi e negativi della
proposta didattica...
https://www.youtube.com/watch?v=jXjvjadQig0.
Sistemi di numerazione
Abbiamo l’esigenza di avere un nome ed un simbolo per rappresentare
ciascun numero e poterlo distinguere da tutti gli altri.
Nella scuola primaria è necessario curare l’acquisizione del complesso
concetto di numero naturale, sia la capacità di rappresentarlo nel sistema
di scrittura decimale, con riferimanto al valore posizionale delle cifre e al
significato dell’uso dello zero.
Sistemi di numerazione
Aspetti necessari per affrontare questa questione:
I
L’insieme dei numeri naturali N ha infiniti elementi
I
Quanti simboli scelgo per riuscire a descrivere tutti gli elementi di
N?
I
È impossibile riuscire a ricordare infiniti simboli e infiniti nomi.
Sistemi di numerazione
Nella storia della matematica si è cercato più di un modo per nominare
tutti i numeri mediante pochi vocaboli e rappresentarli mediante pochi
simboli opportunamente combinati fra loro.
Attraverso l’elaborazione di un sistema di numerazione si cerca di far
fronte al duplice problema:
I
stabilire i termini (nomi e simboli) di partenza
I
stabilire le regole di combinazione dei termini
Sistemi di numerazione
Definizione
Un sistema di numerazione è una struttura costituita da:
1. un alfabeto, cioè un insieme finito non vuoto di simboli (detti cifre)
e dei relativi nomi
2. una sintassi, cioè un insieme finito e non vuoto di regole mediante
le quali si combinano i simboli dell’alfabeto per scrivere e leggere i
numeri.
Sistemi di numerazione
Esempio. IL SISTEMA DI NUMERAZIONE ROMANO:
1. CIFRE: {I , V , X , L(cinquanta), C , D(cinquecento), M}. E lo zero?
2. SINTASSI la seguente:
I
I
I
I
ogni cifra posta immediatamente a destra di una cifra di valore
maggiore o uguale, si aggiunge a questa:
XVI = dieci + cinque + uno =sedici
ogni cifra posta immediatamente a sinistra di una cifra di valore
maggiore si sottrae a questa:
IV = cinque-uno = quattro
ogni cifra posta fra due di valore ad essa maggiore, si sottrae a quella
di destra:
XIV = dieci + cinque - uno = quattordici
le unità di classi superiori vengono sopralineate una volta per
trasformarle in migliaia e due volte per trasformarle in milioni:
II XIV = duemilaquattordici
¯Ī D̄=unmilionecinquecentomila
Sistemi di numerazione
Osservazione
I
Il nome dato ai numeri dipende dalla lingua in cui questi sono usati.
I
La questione dei simboli usati per indicare i numeri è universale
I
noi ci occuperemo quindi della sola questione simbolica.
Esempio
Nella lingua italiana e quella inglese, per esempio, ci sono nomi inediti
per per indicare i numeri da 0 a 9, mentre le regole di formulazione degli
altri numeri sono proprie di ciascuna lingua.
2, due, two
20, venti, twenty
8, otto, eight
80, ottanta, eighty.
Sistemi di numerazione
TEOREMA
Fissata una base b, ogni numero naturale a può essere scritto in modo
unico (a meno dell’ordine) nella forma:
a = an × b n + an−1 × b n−1 +. . . +a1 × b 1 + a0 × b 0
dove an , an−1 , . . . , a1 , a0 sono numeri minori di b.
Regola di sintassi
(conseguenza del teorema precedente)
Ogni numero naturale si rappresenta accostando da sinistra a destra
soltanto i coefficienti della scrittura polinomiale tralasciando le potenze di
b:
a = an an−1 . . . a1 a0 ;
la successione di cifre dà la rappresentazione del numero in base b.
Sistemi di numerazione
Esempio (base dieci)
Cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
centrotrentacinque = 1 · 102 + 3 · 101 + 5 · 100 =
(Regola di sintassi) = 135
Esempio (base quattro)
Cifre: 0, 1, 2, 3. Potenze di quattro:
...
44 = 256
43 = 64
42 = 16
41 = 4
40 = 1
centrotrentacinque = 2 · 43 + 0 · 42 + 1 · 41 + 3 · 40 =
(Regola di sintassi) = 2013
Cambia la scrittura, non la quantità, perciò il numero in questione
è lo stesso.
Sistemi di numerazione
Si stabilisce in particolare che:
1. b unità semplici (dette unità del I ordine) formano un’unità del II
ordine;
2. b unità del II ordine formano un’unità del III ordine;
3. b unità di un certo ordine formano un’unità dell’ordine
immediatamente successivo.
Osservazione
Nel nostro sistema di numerazione:
I
10 unità semplici formano una decina (1 da)
I
10 decine formano un centinaio (1 h)
I
10 centinaia formano un migliaio (1 K)
I
...
Sistemi di numerazione
Il passaggio da b unità dell’ordine precedente ad una nuova unità
dell’ordine successivo è un salto concettuale notevole poichè b unità
perdono la loro molteplicità dando vita ad un nuovo ente nel quale esse
svaniscono.
Nella scuola primaria, quindi, il passaggio dal numero 9 al 10, dal 99 al
100, . . . , sono da curare con grande attenzione didattica e con materiale
appositamente predisposto.
Sistemi di numerazione
I sistemi di numerazione che assumono questa convenzione sono detti
sistemi di numerazione posizionali, dato che ogni cifra ha:
I
un valore intrinseco assoluto, in quanto rappresenta un determinato
numero
I
un valore relativo che dipende dalla posizione occupata dalla cifra
all’interno della successione che rappresenta il numero.
Sistemi di numerazione
Attività
Nella seguente scheda di scuola primaria ...
Sistemi di numerazione
La base comunemente fissata è b = 10 (sistema di numerazione
posizionale decimale) e ciò significa che:
1. si hanno a disposizione dieci cifre per indicare i numeri da 0 a 9; i
simboli utilizzati sono detti cifre indo-arabe:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
2. la successione delle cifre dà i coefficienti di un polinomio ordinato
secondo le potenze decrescenti di 10
3. 10 unità di un certo ordine formano 1 unità dell’ordine
immediatamente successivo.
Sistemi di numerazione
Esempio
I
Il numero in base 10 scritto 129 è l’abbreviazione della scrittura:
1 × 102 + 2 × 101 + 9 × 100
I
Considerando il 3 nei numeri 3200, 13, 839 in base 10, si ha che nel
primo numero si tratta di 3 migliaia, nel secondo di 3 unità e nel
terzo di 3 decine.
Sistemi di numerazione
Osservazione
In alcune situazioni legate alla quotidianità la base scelta per scrivere i
numeri naturali è diversa dalla base 10:
I
per indicare il tempo, la base rispetto alla quale indicare ore, minuti
e secondi è la base 60
I
per indicare l’ampiezza in gradi degli angoli, la base scelta è 60
I
in informatica si usa la base 2 (sistema binario) e la base 16 (sistema
esadecimale)
Sistemi di numerazione
Attività Dalle prove INValSI:
Risposte Italia:
A 40,2 %
B 12%
C 45,5%
NR 2,3
Sistemi di numerazione
Approfondimento: come scrivevano i numeri i Maya?
6.3.1 Come scrivevano i numeri i Maya?
Sistema di numerazione posizionale Maya.
Osserviamo la seguente tavola dove vengono descritti i simboli utilizzati
fino al 19 e la traduzione in sistema decimale:
Si osservi come vengono scritti il numero 20, 40 e il 100.
Sistemi di numerazione
Approfondimento: come scrivevano i numeri i Maya?
Sistema posizionale verticale la cui azione è descritta dalla seguente
tabella.
Ogni livello corrisponde ad una potenza successiva del numero 20.
Sistemi di numerazione
Approfondimento: come scrivevano i numeri i Maya?
Si noti l’eccezione fra i secondo e il terzo livello, dove, per ottenere il
numero 360, numero di giorni in un anno (cosı́ era l’anno Maya), si
moltiplica 20 × 18 e non 20 × 20.
Dal terzo al quarto livello si ripete invece la moltiplicazione per 20, cioè
360 × 20 = 7200, cosı́ come fra i livelli successivi.