Lezione6

Cause di errore
 Esempio
Analisi dell’errore
Errore di rappresentazione dei dati
Errore di rappresentazione dei risultati
delle operazioni
Errore totale
Cause di errore nel calcolo di
un’espressione razionale
 In generale, se
è un’espressione o una
funzione che associa dati e risultati di un
problema
risultati dati
 L’errore totale dipende
 Dalle caratteristiche della funzione
, quindi
da caratteristiche intrinseche problema
 Dall’algoritmo usato per il calcolo
Errore inerente

Errore di rappresentazione dei dati
Errore di rappresentazione dei risultati
delle operazioni
Errore inerente
Errore totale
1
Errore inerente e
condizionamento
Errore algoritmico

Dati perturbati
Operazioni esatte
Risultati
Dati
Errore di rappresentazione dei dati
Errore inerente
Errore di rappresentazione dei risultati
delle operazioni
Errore algoritmico
Errore totale
Esempio

Esempio

2
Errore inerente e
condizionamento
Errore relativo
sui dati
Errore relativo
sui risultati
Esempio
 Si consideri l’espressione
 vicino ad 1 si ha malcondizionamento, lontano da 1
buon condizionamento
 Se
è grande rispetto a
allora il
problema si dice mal condizionato, cioè a
piccole variazioni dei dati corrispondono
grandi variazioni dei risultati.
 Il condizionamento è una caratteristica del
problema ed esprime quanto esso sia
sensibile ad una variazione dei dati
Errore algoritmico e stabilità
Esempio

Dati esatti
Operazioni con errori
Dati
Risultati
3
Esempio
Errore algoritmico e stabilità
 Un algoritmo si dice stabile se non è
troppo sensibile agli errori introdotti
con le operazioni di macchina
 La stabilità è una proprietà
dell’algoritmo, non del problema

Errore totale
Parametri per l’analisi degli errori
Errori assoluti
Dati perturbati
Operazioni con errori
Dati
Risultati
sui dati iniziali
algoritmico
totale
Errori relativi
sui dati iniziali
algoritmico
totale
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Analisi del primo ordine
 Si sono trascurati i termini di secondo
grado:
Tecniche di analisi
dell’errore
L’errore algoritmico
Non si è considerato il termine di secondo grado
Analisi in avanti dell’errore
algoritmico
Somma di 3 numeri, algoritmo 1
 Si basa sul teorema dell’errore
 Si calcola l’errore relativo del
risultato finale rispetto agli errori
relativi introdotti dalle singole
operazioni dell’algoritmo;
 Ci limitiamo ad una analisi del primo
ordine, pertanto vengono trascurati
i termini di secondo grado
Si trascurano i termini
Fattori di amplificazione
degli errori delle singole
operazioni
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Indice algoritmico
Somma di 3 numeri, algoritmo 2
 Si definisce come la somma dei valori
assoluti dei fattori di amplificazione
 Il fattore di amplificazione dell’errore
dell’ultima operazione è sempre 1,
quindi l’indice algoritmico è un
numero > 1
Confronto di algoritmi
Somma di tre numeri: confronto
degli algoritmi
 Dati due algoritmi per il calcolo di
una stessa espressione, alg1 ed alg2,
si dice che alg1 è più stabile di alg 2
se
 Questo confronto dipende dai dati
Il secondo algoritmo è più stabile per i valori assunti dai dati
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Differenza di quadrati (1)
Confronto tra i due algoritmi
Differenza di quadrati (2)
Somma di n numeri
 Si vuole determinare per quali valori
di a e di b l’algoritmo 2 è più stabile
dell’algoritmo 1
Se
alg2 è più stabile di alg1
7
Esempio, t=7, =10,
arrotondamento
Stabilità dell’algoritmo
Risultato
esatto
 Se gli xi sono di segno concorde,
allora
 Conviene sommare i numeri dal più
piccolo al più grande, per evitare
errori di incolonnamento
Somma in ordine inverso
Algoritmo 1
Esercizio
Risultato
esatto
Algoritmo 2
L’errore relativo è 10 volte più piccolo
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Esercizio (segue)
Valutazione di un polinomio
 Algoritmo 1
Per la proprietà dei valori assoluti
segue che
Tuttavia entrambi gli algoritmi possono diventare instabili
per valori prossimi alle radici del polinomio (p(x)=0)

Riscrittura del polinomio
Complessità computazionale: 2n
moltiplicazioni e n addizioni
Comportamento instabile
 Algoritmo 2 (Schema di RuffiniHorner)

Complessità computazionale: n
moltiplicazioni, n addizioni
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Funzioni non razionali
 Funzioni trigonometriche, logaritmi,
esponenziali
 Vengono approssimate mediante
una successione di operazioni
algebriche elementari (serie di
Taylor troncate)
Esempio: soluzione di equazioni
di secondo grado
Analisi degli errori
L’errore inerente
Rappresentazione grafica del
condizionamento
 Dato x, trovare y tale che
Dati
Problema ben condizionato
Risultati
 Esprimiamo le soluzioni del problema
in funzione del dato x
Problema mal condizionato
Risultati
Dati
A piccole variazioni dei dati (10-6) corrispondono grandi
variazioni dei risultati (10-3)
Questo è un esempio di problema mal condizionato
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Indice di condizionamento
 Supponiamo che il risultato y che
stiamo cercando sia legato tramite
la funzione  ai dati x;
 Se e appartengono all’insieme
dei dati, allora possiamo scrivere
 Cerchiamo una stima della
variazione che si produce sul
risultato a partire da due dati diversi
Dati
Risultati
Indice di condizionamento=
fattore di amplificazione dell’errore sui dati
Indice di condizionamento
Esempio (...segue)
 Se I cond >> 1, il problema è mal
condizionato, se è piccolo allora è
ben condizonato
Il problema è mal condizionato per valori vicini a 4
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Esempio
 Si consideri l’espressione
 vicino ad 1 si ha malcondizionamento, lontano da 1
buon condizionamento
Caso generale: dipendenza da
n dati
Osservazione
 Un problema può essere ben
condizionato per un insieme di valori
e mal condizionato per altri
Errore relativo
 Se abbiamo n dati, abbiamo anche
n errori
Fattori di amplificazione degli errori
sui singoli dati
Stima dell’errore assoluto sui dati
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Condizionamento delle
operazioni elementari
Operazioni elementari
 Somma di due numeri
 Prodotto di due numeri
 Moltiplicazione, divisione radice e
potenza con || piccolo sono ben
condizionate. Per la sottrazione x-y, con
xy si ha il fenomeno di cancellazione
Esempi

malcondizionato per x vicino ad 1;
Esempi

malcondizionato per x vicino ad 1;


malcondizionato per x grandi, ben
condizionato per x<1
sempre ben condizionato
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Esempio

Esempio

è mal condizionato se a2 e b2 sono circa
uguali
è ben condizionato se a,b,c sono di segno
concorde
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