Condizionamento (matematica)
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Il condizionamento in matematica, in particolare nel calcolo numerico, riguarda il
rapporto tra errore commesso sul risultato di un calcolo e incertezza sui dati in
ingresso.
Un problema è ben condizionato quando la soluzione del problema con delle piccole
variazioni, non differisce molto dalla soluzione del problema originale; al contrario, un
problema mal condizionato è un problema dove le soluzioni sono molto sensibili a
piccole perturbazioni dei dati iniziali.
Indice
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1 Esempi
1.1 Radici di un polinomio
1.2 Sistema di equazioni
1.3 Numero di condizionamento
Esempi [modifica]
Radici di un polinomio [modifica]
Un esempio di problema mal condizionato è il calcolo delle radici di un polinomio a
partire dalla sequenza dei suoi coefficienti. Questo problema fu scoperto dal
matematico James H. Wilkinson, quando per testare un nuovo computer gli fece
calcolare le radici del polinomio
usando il metodo di Newton. Le radici di questo polinomio sono i numeri interi da 1
a 20. Ma i risultati calcolati dal computer erano complessi. Questo risultato non era
dovuto ad errori del computer, infatti si ottengono risultati complessi anche con
l'attuale standard di numeri con virgola mobile.
Sistema di equazioni [modifica]
Si consideri ad esempio il seguente sistema di equazioni lineari:
che ha soluzione per x = 1 ed y = 1.
Se si considera lo stesso sistema perturbato dell' 1% sulla variabile x:
si ottiene come soluzione la coppia
.
Il condizionamento di un sistema di equazioni lineare Ax = b è definito da:
,
dove
è una norma di una matrice. Più è grande questo numero più il
problema è mal condizionato. Nel esempio del sistema di equazioni, il
condizionamento è
Numero di condizionamento [modifica]
Il numero di condizionamento, in calcolo numerico rappresenta il
grado di condizionamento di un problema. Si ci riferisce a tale
numero, indicato dal rapporto tra l'autovalore più piccolo e il raggio
spettrale, auto valore maggior in modulo, come:
dove ρ è il raggio spettrale. Si distinguono due casi: K > 1 e
, nel primo si dice che il problema è ben condizionato, nel
secondo si dice che il problema è mal condizionato
