Non validità delle proprietà
formali delle operazioni
F non è chiuso rispetto alle operazioni, ci può
essere overflow;
z L’elemento neutro della somma (e del
prodotto) non è unico;
z L’opposto di un numero non è unico.
NON VALGONO
z Associativa di somma e prodotto
z Distributiva
z Legge di annullamento del prodotto
z
NON vale l’associativa della
somma
1
Osservazione importante
z
L’errore commesso nel calcolo di
un’espressione dipende dall’algoritmo usato
per calcolarla
NON vale la distributiva
2
NON vale la legge di annullamento
del prodotto
Conseguenze
3
Propagazione degli errori
z
z
Poiché gli errori di arrotondamento capitano
potenzialmente ad ogni operazione, ogni
risultato intermedio può esserne soggetto e
influenzare i risultati di tutte le operazioni
successive.
L’accumulo di questi errori viene chiamato
propagazione degli errori.
Esempio di propagazione degli
errori
Amplificazione dell’errore di 10n volte
4
Cause di errore nel calcolo di
un’espressione razionale
z
Gli errori dipendono
• Dalle caratteristiche della funzione
caratteristiche insite nel problema
• Dall’algoritmo usato per il calcolo
, quindi da
Errore inerente e condizionamento
Dati perturbati
Operazioni esatte
Dati
Risultati
5
Errore inerente e condizionamento
Errore relativo
sui dati
z
z
Errore relativo
sui risultati
Se
è grande rispetto a
allora il problema è
mal condizionato, cioè a piccole variazioni dei dati
corrispondono grandi variazioni dei risultati.
Il condizionamento è una caratteristica del
problema ed esprime quanto esso sia sensibile ad una
variazione dei dati
Errore algoritmico e stabilità
Dati esatti
Operazioni con errori
Dati
Risultati
6
Errore algoritmico e stabilità
z
z
Un algoritmo si dice stabile se non è troppo
sensibile agli errori introdotti con le
operazioni di macchina
La stabilità è una proprietà dell’algoritmo,
non del problema
Errore totale
Dati perturbati
Operazioni con errori
Dati
Risultati
7
Parametri per l’analisi degli errori
Errori assoluti
sui dati iniziali
algoritmico
totale
Errori relativi
sui dati iniziali
algoritmico
totale
Analisi del primo ordine
z
Si sono trascurati i termini di secondo
grado:
Non si è considerato il termine di secondo grado
8
Tecniche di analisi dell’errore
Errore algoritmico
Analisi in avanti dell’errore
algoritmico
z
z
z
Si basa sul teorema dell’errore
Si calcola l’errore relativo del risultato
finale rispetto agli errori relativi introdotti
dalle singole operazioni dell’algoritmo;
Ci limitiamo ad una analisi del primo ordine,
pertanto vengono trascurati i termini di
secondo grado
9
Somma di 3 numeri, algoritmo 1
Si trascurano i termini
Fattori di amplificazione
degli errori delle singole
operazioni
Indice algoritmico
z
z
Si definisce come la somma dei valori
assoluti dei fattori di amplificazione
Il fattore di amplificazione dell’errore
dell’ultima operazione è sempre 1, quindi
l’indice algoritmico è un numero > 1
10
Somma di 3 numeri, algoritmo 2
Confronto di algoritmi
z
z
Dati due algoritmi per il calcolo di una stessa
espressione, alg1 ed alg2, si dice che alg1 è
più stabile di alg 2 se
Questo confronto dipende dai dati
11
Somma di tre numeri: confronto
degli algoritmi
Il secondo algoritmo è più stabile per i valori assunti dai dati
Differenza di quadrati, algoritmo 1
12
Differenza di quadrati, algoritmo 1
Confronto tra i due algoritmi
z
Si vuole determinare per quali valori di a e di
b l’algoritmo 2 è più stabile dell’algoritmo 1
Se
alg2 è più stabile di alg1
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Somma di n numeri, algoritmo
Stabilità dell’algoritmo
z
z
Se gli xi sono do segno concorde, allora
Tuttavia conviene sommare i numeri dal più
piccolo al più grande
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Esempio, t=7, β=10, arrotondamento
Risultato
esatto
Somma in ordine inverso
Risultato
esatto
L’errore relativo è 10 volte più piccolo
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Funzioni non razionali
z
z
Funzioni trigonometriche, logaritmi,
esponenziali
Vengono approssimate mediante una
successione di operazioni algebriche
elementari
Somma di numeri di segno discorde
z
Conviene sommare prima tutti i positivi, poi
sommare i valori assoluti si quelli negativi ed
infine sottrarre i risultati.
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Approssimazione dell’esponenziale
con la serie di Taylor
z
z
z
Se x < 0 si sommano quantità con segno
discorde e ordini di grandezza differente
Alternativa: se x<0
Altri problemi se x grande
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