Lezione2:
Circuiti Logici
traduce per noi in linguaggio
macchina
macchina
software
utente
macchina
hardware
Agli albori dell'informatica, l’utente programmava in
binario (Ling.Mac.) scrivendo i programmi nella RAM
L’ Hardware di un computer
•Hardware = insieme dei circuiti elettronici
Un circuito puo’ essere descritto
– Mostrando i dettagli realizzativi in termini di
circuiti elementari (porte)
– Mediante una tavola di verita che mostra i valori in
uscita per tutti i possibili ingressi
• 3 tipi di circuito fondamentali:
and, or, not
and, or, not
Operazione logica: operazione che agisce sui
valori di verita’ vero e falso:
dati due valori di verita’ come operandi ritorna un
valore di verita’ come risultato
Porte logiche
IDEA: identificare il valore di verità FALSO con 0
(assenza di tensione)
Identificare il valore di verità VERO con 1
(presenza di tensione)
L’algebra di Boole − 1
George Boole (1810-1864)
•
Contempla due costanti 0 e 1 (falso e vero)
vero
•
Corrispondono a due stati che si escludono a vicenda
•
Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di
un generico contatto o di un circuito a più contatti
0
•
Sui valori booleani
AND,
AND OR,
OR NOT
1
si
definiscono
le
operazioni
6
L’algebra di Boole
7
L’operazione di OR
•
Si definisce l’operazione di somma logica (OR):
il valore della somma logica è il simbolo 1 se il valore
di almeno uno degli operandi è il simbolo 1
0+0
0+1
1+0
1+1
=
=
=
=
0
1
1
1
0
0
0
1
0+0
0+1
1
1
0
1
1+0
1+1
8
L’operazione di AND
•
Si definisce l’operazione di prodotto logico (AND):
il valore del prodotto logico è il simbolo 1 se il valore di
tutti gli operandi è il simbolo 1
0×0
0×1
1×0
1×1
=
=
=
=
0
0
0
1
0
0
0
0×0
0×1
0
1
1×0
1
1
1
1×1
9
La negazione NOT
•
Si definisce l’operatore di negazione (NOT):
l’operatore inverte il valore della costante su cui opera
0=1
1=0
•
Dalla definizione…
0=0
1=1
10
⇒
A
B
falso falso
IMPLICAZIONE (se allora)
A B A ⇒ B
0 0
1
A ⇒ B
vero
falso vero
vero
0 1
1
vero
falso
falso
1 0
0
vero
vero
vero
1 1
1
A ⇒ B equivale a (NOT A) OR B
A B NOT A (NOT A) OR B
0 0
1
1
A
0 1
1
1
B
1 0
0
0
1 1
0
1
R
A è condizione sufficiente per B
B è condizione necessaria per A
≡
A B
EQUIVALENZA
0 0
A ≡ B
1
0 1
0
1 0
0
1 1
1
A ≡ B equivale a
(A ⇒ B) AND (B ⇒ A)
A B A ⇒ B B ⇒ A (A ⇒ B)AND(B ⇒ A)
0 0
1
1
1
0 1
1
0
0
1 0
0
1
0
1 1
1
1
1
A
B
R
Tavole di verità e circuiti
- Dato un qualsiasi circuito e’ sempre possibile
definire la tavola di verita’ (in un solo modo)
circuito
Un solo modo
Tavola di verità
- Data una tavola di verita’ si possono costruire
in generale piu’ circuiti che la realizzano
Tavolà di verità
Circuito 1
Circuito 2
Circuito n
Dal circuito alla tavola di verità
- Modo 1) Si calcola, per ogni possibile
configurazione degli ingressi, l’uscita delle porte fino
alle uscite del circuito
Modo 2) Si calcola la formula logica
corrispondente al circuito e si calcolano le tabelle di
verita’ partendo dalle formule intermedie piu’
semplici fino alla formula data
Dalla tabella di verita’ ad un circuito
Tanti input quante sono le dimensioni della tabella
Un solo output
Un or la cui uscita e’ l’output
Tanti and quanti sono gli 1 della tabella
Input degli and: diretto se 1, negato se 0
A B
0 0
A ≠ B
0
A
B
0 1
1
1 0
1
1 1
0
R
!!! Chiaramente il circuito cosi’ costruito non
necessariamente e’ il piu’ semplice (ovvero con il minor
numero possibile di porte logiche utilizzate)
Nand e nor
Non servono tre operazioni (and, or, not)
Basta una tra :
nand (not and) e
nor (not or)
NAND
A
B
A NAND B
NOR
A
B
A NOR B
falso falso
vero
falso falso
vero
falso vero
vero
falso vero
falso
vero
falso
vero
vero
falso
falso
vero
vero
falso
vero
vero
falso
A
B
A B
R
A B
R
0 0
1
0 0
1
0 1
1
0 1
0
1 0
1
1 0
0
1 1
0
1 1
0
R
A
B
R
NAND e NOR
Una CPU si puo` realizzare stampando su silicio
una griglia di milioni di porte logiche tutte uguali:
NAND o NOR.
NOT
A
AND
A
R
R
B
A nand A
(A nand B) nand (A
nand B)
OR
A
R
B
(B nand B) nand (A
nand A)
Esercizio 1 (formule)
Quale e’ la tavola di verita’ della formula
(not(A) B) OR NOT(A) ?
A
B
Not(A) Not(A)B
R
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
Esercizio 1 (formule)
Quale e’ la tavola di verita’ della formula
(not(A) B) OR NOT(A) ?
A
B
Not(A) Not(A)B
R
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
Esercizio 2 (formule)
Quale e’ la tavola di verita’ della formula
A or (A and not(B)) ?
A
B
Not(B)
A and not(B)
R
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
Esercizio 3 (circuiti)
Si disegni un circuito logico che realizza
la seguente tavola di verita’:
A
A B
R
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
0
B
R
24
Esercizio 4
Dare la tavola di verita’ della formula
(NOT(A) NOT(B)) OR (NOT(A) AND B)
NOT(A) NOT(B) = NOT(NOT(A)) or
NOT(B)==A or NOT(B)
(A or NOT(B)) or (NOT(A) and B)
A
B
Not(A) Not(B) A or not(B) Not(A) and B R
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
Esercizio 4
Circuito (NOT(A) NOT(B)) OR (NOT(A) AND B)
A
B
and
or
or
and
R
and
and
or
...due aspetti...
Le formule logiche si possono utilizzare
formalizzare asserzioni anche molto complesse
per
Si possono comporre circuiti semplici per ottenenere
circuiti
che
realizzano
nuove
operazioni
piu`complesse
Esempio
Siccome un rettangolo è un quadrato se ha altezza
uguale alla base allora un rettangolo che non è un
quadrato non ha altezza uguale alla base
Formalizzazione:
A=”è un quadrato”
B=”ha altezza uguale alla base”
(B==>A) ==> (NOT A ==> NOT B)
Tabella di verità
A
B
B==> A
NOT A ==>
NOT B
F
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Alcune definizioni...
Formula SODDISFACIBILE (almeno un 1 in tabella)
Formula INSODDISFACIBILE (tutti 0 in tabella)
Formula VALIDA (tutti 1 in tabella) (TAUTOLOGIA)
F VALIDA <==> not F INSODDISFACIBILE
Esempio di utilizzo di circuiti:
Somma tra binari
Sistemi di numerazione posizionali
•
Sistemi di numerazione posizionali:
posizionali
La base del sistema di numerazione
Le cifre del sistema di numerazione
Il numero è scritto specificando le cifre in ordine ed il
suo valore dipende dalla posizione relativa delle cifre
Esempio: Il sistema decimale (Base 10)
Cifre : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5641 = 5·103 + 6·102 + 4·101 + 1·100
Posizione: 3 2 1 0
32
Sistemi in base B
•
•
La base definisce il numero di cifre diverse nel sistema
di numerazione
La cifra di minor valore è sempre lo 0; le altre sono,
nell’ordine, 1,2,…,B−1; se B>10 occorre introdurre
B−10 simboli in aggiunta alle cifre decimali
Un numero intero N si rappresenta con la scrittura (cncn−1…c2c1c0)B
N = cnBn+cn−1Bn−1+...+c2B2+c1B1+c0B0
cn è la cifra più significativa,
significativa c0 la meno significativa
Un numero frazionario N’ si rappresenta come (0,c1c2…cn)B
N’ = c1B−1+c2B−2+...+cnB−n
33
Numeri interi senza segno
•
Con n cifre in base B si rappresentano tutti i numeri
interi positivi da 0 a Bn−1 (Bn numeri distinti)
Esempio: base 10
2 cifre: da 0 a 102−1 = 99
Esempio: base 2
2 cifre: da 0 a 22−1 = 3
00
01
02
….
98
99
102 = 100 valori
00
01
10
11
22 = 4 valori
34
Il sistema binario (B=2)
•
La base 2 è la più piccola per un sistema di numerazione
Cifre: 0 1 − bit (binary digit)
Esempi:
Forma
polinomia
(101101)2 = 1×25 + 0×24 + 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20 =
32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = (45)10
(0,0101)2 = 0⋅2−1 + 1⋅2−2 + 0⋅2−3 + 1⋅2−4 =
0
+ 0,25 + 0 + 0,0625 = (0,3125)10
(11,101)2 = 1⋅21 + 1⋅20 + 1⋅2−1 + 0⋅2−2 + 1⋅2−3 =
2 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = (3,625)10
35
Dal bit al byte
•
Un byte è un insieme di 8 bit (un numero binario ad 8 cifre)
b7b6b5b4b3b2b1b0
•
Con un byte si rappresentano i numeri interi fra 0 e 28−1 = 255
00000000
00000001
00000010
00000011
…………….
11111110
11111111
•
•
28 = 256 valori distinti
È l’elemento base con cui si rappresentano i dati nei calcolatori
Si utilizzano sempre dimensioni multiple (di potenze del 2) del
byte: 2 byte (16 bit), 4 byte (32 bit), 8 byte (64 bit)…
36
Somma binaria
Colonna per colonna, da destra a sinistra
Riporto se la somma su una colonna supera
la base
Tre cifre binarie (prima riga, seconda riga,
riporto), somma =1 se una o tre sono 1,
riporto = 1 se almeno due sono 1
Riporto:
1 1 1 1 0 0
0111002 +
1001112 =
----------10000112
10000110
1010011 +
1100011 =
riporti
---------10110110
Iniziamo con un circuito che faccia
la somma su una colonna
Abbiamo tre cifre binarie X, Y, R in
input mentre in output vogliamo
ottenere la somma S ed il riporto R'
Tabella di verità
X
0
Y
0
R
0
S
0
R'
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Supponiamo di avere i circuiti che calcolano
somma e riporto
X
Y
R
X
Y
R
SOMMA
RIPORTO
S
R'
Possiamo allora combinare i circuiti SOMMA e
RIPORTO per ottenere il seguente circuito
1-ADD
1-ADD
X
Y
R
SOMMA
RIPORTO
S
R'
Il circuito RIPORTO puo` essere realizzato nel seguente modo
RIPORTO
X
Y
R
Basta infatti verificare la corrispondente tabella di verita’
(Il nuovo riporto è q se almeno due di esse sono 1, 0 altrimenti)
R'
R
Y
X
CIRCUITO SOMMA
(la somma di tre cifre è 1 se o
tutte e tre sono 1 oppure una
sola vale 1)
A questo punto componendo K circuiti 1-ADD e`
possibile realizzare un circuito K-ADD che somma due
numeri binari di K cifre.
Vediamo l'esempio della somma di due numeri binari di 4
cifre.
Somma di numeri di 4 bit
Y3 Y2 Y1 Y0
riporto R
3
finale
inutile
1-add
R2
S3
X3 X2 X1 X0
1-add
S2
R1
1-add
S1
risultato
R0
S0
0 0 riporto
1-add
iniziale
0 1
0
1-add
1 0
1
1-add
0 1 1 1
1
1-add
1 1 0 1
0
Esempio
0
1-add
0111 +
0110 =
-----1101
Attenzione
Si e` trascurato il problema del cosiddetto overflow,
cioe’ il risultato e’ troppo grande per essere contenuto
nei bit disponibili.
Per esempio:
0111 +
1110 =
-----10101
