Matematica per la nuova maturità scientifica
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A. Bernardo M. Pedone
Problema 2
Vincenzo Viviani (1622-1703) nell’opera De Maximis et Minimis, data alle stampe nel 1659,
avvertì la necessità di inserire un problema a cui aveva dato soluzione e che era stato oggetto di
studio anche da parte di altri più noti e valenti matematici del tempo.
Il problema è il seguente :
“ Dato un triangolo ABC, i cui angoli misurano ciascuno meno di 120°, trovare un punto X tale
che la somma XA+XB+XC sia minima”.
La soluzione di Viviani, trovata, egli dice, non senza iterati sforzi, è questa: X è il punto, interno
al triangolo, che “vede” o proietta i lati AB, BC, CA, sotto angoli di 120°.
Il problema conserva inalterata la sua importanza in quanto se i vertici A, B e C rappresentano,
ad esempio, tre villaggi o città che si vogliono collegare tra loro, ragioni di convenienza
potrebbero consigliare di realizzare la rete stradale minima.
Il candidato:
a) localizzi il punto X nell’ipotesi semplificatrice che la retta passante per C e per il punto
medio M del segmento AB sia perpendicolare a tale segmento;
b) dimostri che il punto X che realizza il minimo appartiene al segmento CM ;
c) introdotto un sistema di coordinate tale che C sia l’origine e CM coincida con l’asse x
positivo e indicate con (a,b) e (x,0) rispettivamente le coordinate di A e di X, dimostri che
s(x)=XA+XB+XC è data dalla formula :
s( x) = x + 2 (a − x)2 + b 2
d) dimostri che se a ≤ b
3 , s(x) assume il minimo in x = 0 , mentre se a > b
3 , s(x)
assume il minimo in x = a − b 3 ;
e) interpreti geometricamente il risultato confrontandolo con l’enunciato e la soluzione, più
generale, di Viviani.
Per le notizie biografiche circa Vincenzo Viviani, matematico fiorentino allievo di Galileo e
Torricelli, consultare
http://galileo.imss.firenze.it/museo/b/ivivian.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Viviani.html
Circa la storia e il significato del problema
http://www.matmedia.it/Insegnamento/Problemi/Il%20problema%20di%20Torricelli/problem
a%20di%20Torricelli.htm
Matematica per la nuova maturità scientifica
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A. Bernardo M. Pedone
Quesito a
Dato un triangolo ABC, i cui angoli misurano ciascuno meno di 120°, trovare un punto X tale che la
somma XA+XB+XC sia minima.
La soluzione di Viviani, trovata, egli dice, non senza iterati sforzi, è questa : X è il punto, interno al
triangolo, che “vede” o proietta i lati AB, BC, CA, sotto angoli di 120°.
Localizzi il punto X nell’ipotesi semplificatrice che la retta passante per C e per il punto medio M
del segmento AB sia perpendicolare a tale segmento ;
Poiché la retta passante per C e per il punto medio M del segmento AB è perpendicolare a tale
segmento, allora il triangolo ABC è isoscele sulla base AB.
C
X
30°
120°
A
30°
M
B
In questo caso particolare, siccome X è il punto, interno al triangolo, che “vede” o proietta i lati
AB, BC, CA, sotto angoli di 120°, tale punto appartiene all’altezza del triangolo.
Come si vede dalla figura, X è il vertice del triangolo isoscele AXB, sulla base AB, con angolo al
vertice uguale a 120°.
Considerando il triangolo rettangolo AMX prendendo la lunghezza della base unitaria si ha:
1 3
3
.
XM = AM ⋅ tg 300 = ⋅
=
2 3
6
Quesito b
Dimostri che il punto X che realizza il minimo appartiene al segmento CM;
Tracciata la retta CX, tale retta incontrerà la base AB in un punto H. E’ sufficiente dimostrare
che il punto H coincide con il punto medio M della base AB e quindi appartiene all’altezza
CM del triangolo.
C
X
120°
A
H ≡M
B
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A. Bernardo M. Pedone
Gli angoli AXC e BXC sono congruenti per ipotesi (120°), di conseguenza gli angoli
AXH e BXH sono congruenti (60°), perché supplementari di angoli congruenti.
Le rette AX e BX sono simmetriche rispetto al retta CX (asse di simmetria). Il simmetrico
del segmento AC è il segmento BC, infatti il simmetrico del punto A è il punto B, perché
per ipotesi AC è congruente a BC (ABC per ipotesi è isoscele).
Di conseguenza i segmenti AX e BX e gli angoli ACX e BCX sono congruenti ne segue
che la retta AH è la bisettrice dell’angolo al vertice ACB, quindi la retta CH è l’altezza
relativa alla base AB del triangolo isoscele.
Concludendo il punto H coincide con il punto medio M della base AB e quindi appartiene
all’altezza CM del triangolo.
Quesito c
Introdotto un sistema di coordinate tale che C sia l’origine e CM coincida con l’asse x positivo e
indicate con (a,b) e (x,0) rispettivamente le coordinate di A e di X, dimostri che s(x)=XA+XB+XC
è data dalla formula :
s( x) = x + 2 (a − x)2 + b 2
Scelto il sistema di coordinate richiesto si ha:
y
A(a;b)
C(0;0)
X(x;0)
M(a;0)
x
B(a;-b)
AX = BX =
(a − x)
2
+ b2
XC = x
con
x≥0 ; a>0 ; b>0 ; 0≤ x≤a
Quindi
s ( x) = XA + XB + XC = x + 2
(a − x)
2
+ b2
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A. Bernardo M. Pedone
Quesito d
Dimostri che se a ≤ b
minimo in x = a − b
3 , s(x) assume il minimo in x = 0 , mentre se a > b
3 ;
Per determinare i punti estremanti della funzione s ( x) = x + 2
la derivata prima:
(a − x)
+b
2
+ b 2 , studiamone
(a − x)
2
+ b2
( a − x ) + b 2 − 2(a − x)
≥0
2
2
(a − x) + b
2
2(a − x)
2
(a − x)
2(a − x)
s '( x) = 1 −
s '( x) ≥ 0 ⇒ 1 −
3 , s(x) assume il
2
≥0⇒
Il denominatore è sempre positivo, quindi:
s '( x) ≥ 0 ⇒
(a − x)
2
+ b 2 ≥ 2(a − x)
poiché entrambi i membri della disequazione sono quantità positive, si possono elevare
al quadrato e si ottiene:
b2
2
2
2
2
2
2
a
−
x
+
b
≥
a
−
x
⇒
a
−
x
≤
b
⇒
a
−
x
≤
⇒
4(
)
3
(
)
(
)
(
)
3
b
b
a−x≥−
x≤a+
b
b
3
3
−
≤ (a − x) ≤ +
⇒
⇒
⇒
3
3
a − x ≤ b
x ≥ a − b
3
3
b
b
a−
≤ x≤a+
3
3
Distinguiamo due casi:
b
1) a >
3
a−
0
-
s’(x)
in questo caso esiste un punto di minimo per x = a −
b
2) a ≤
3
in questo caso esiste un punto di minimo per x=0.
a
x
+
b
3
0
s’(x)
b
3
a
+
x
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A. Bernardo M. Pedone
Quesito e
Interpreti geometricamente il risultato confrontandolo con l’enunciato e la soluzione, più generale,
di Viviani.
Se il triangolo isoscele ha un angolo al vertice maggiore o uguale a120° (ACB≥120°), il
punto X sull’altezza CM, per il quale la somma s(x) ha un valore minimo, coincide con
il vertice C.
C≡X
ACB≥120°
A
M
B
Se il triangolo isoscele ha un angolo al vertice minore a120° ( ACB<120°), il punto X
sull’altezza CM, per il quale la somma s(x) ha un valore minimo, coincide con il punto
che vede la base sotto un angolo di 120°.
Questo caso rientra nel teorema generale di Viviani
C
ABC<120°
X
120°
A
M
B
