Descrizione

Programma di “Meccanica Analitica”
Corso di laurea in Fisica
Anno accademico 2012-2013
Prof. Giulio Starita
1 - Cinematica
Descrizione cinematica del moto di una particella. Descrizione del moto relativo
di due riferimenti. Rotazioni dello spazio tridimensionale e loro proprietà. Angoli
di Eulero. Velocità angolare. Derivate assoluta e relativa. Velocità e accelerazione
nel moto relativo di riferimenti. Composizione di moti relativi. Trasformazione
del moto, della velocità, dell’accelerazione tra due riferimenti.
2 - I princı̀pi della Meccanica
Sistemi di punti materiali e grandezze meccaniche associate. Corpi rigidi e grandezze meccaniche associate. Tensore d’inerzia di un corpo rigido. Terna principale
d’inerzia di un corpo rigido. Corpi rigidi giroscopici e loro proprietà. Sistemi di
riferimento inerziali e principio di inerzia. Le equazioni di Newton. Il principio
di azione e reazione. Equazioni cardinali della Meccanica dei sistemi di particelle.
Equazioni cardinali per i corpi rigidi. Conservazione della quantità di moto e del
momento della quantità di moto nei sistemi chiusi. Lavoro, potenza e Teorema
dell’energia cinetica. Le leggi di forza. Forze derivanti da un’energia potenziale e
Teorema di conservazione dell’energia. Forze dissipative e Teorema di dissipazione
dell’energia. Soluzioni di quiete e loro caratterizzazione. Soluzioni di quiete per
sistemi conservativi o dissipativi. Stabilità delle quiete per sistemi conservativi o
dissipativi: criterio di Lagrange e Dirichlet. Sistemi di punti vincolati. Le reazioni
vincolari. L’equazione del moto per un punto su una curva in assenza di attrito.
Spazio delle configurazioni. Velocità possibili e velocità virtuali. I vincoli ideali
(postulato delle reazioni vincolari). Equazione di D’Alembert e Lagrange. Equazione simbolica della dinamica. Coordinate lagrangiane e velocità lagrangiane.
Forma lagrangiana delle equazioni del moto. Il principio del determinismo per le
equazioni di Lagrange. Integrali primi per le equazioni di Lagrange; il caso delle
coordinate cicliche (integrali primi dei momenti cinetici) e dei sistemi autonomi
(integrale primo di Jacobi). Equazioni del moto per un corpo rigido libero e per
un copro rigido vincolato.
3 - Sistemi dinamici
Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine: posizione del problema. Sistemi
in forma normale. Il problema di Cauchy. Teorema di unicità locale e globale. Teorema di esistenza. Soluzioni costanti. Stabilità delle soluzioni costanti. Il criterio
di stabilità di Liapunov. Sistemi dinamici autonomi. Proprietà di invarianza della soluzione. Orbite e ritratto di fase. Determinismo orbitale. Orbite singolari,
periodiche e aperiodiche.
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4 - Sistemi a un grado di libertà.
Condizione di equilibrio. Forze posizionali e energia potenziale. Condizione di
equilibrio per sistemi conservativi e dissipativi. Forze di richiamo; forze elastiche.
Resistenze passive; resistenze viscose e idrauliche. Il modello lineare. L’oscillatore armonico. Moti lineari smorzati. Moti forzati degli oscillatori armonici.
Moti forzati dei sistemi smorzati. Sistemi soggetti a forze posizionali: l’integrale
dell’energia e la determinazione della legge oraria. Le curve di livello dell’energia.
Il ritratto di fase. Caratterizzazione dei punti singolari; soluzioni di quiete. Caratterizzazione dei punti periodici: moti periodici. Punti aperiodici: moti non limitati
e moti con meta asintotica. Determinazione dell’energia potenziale in funzione del
periodo. Il pendolo semplice.
5 - Sistemi lagrangiani.
Sistemi dinamici lagrangiani ed equazioni di Lagrange. Sistemi lagrangiani con
coordinate ignorabili e metodo di riduzione di Routh. Sistemi lagrangiani autonomi e metodo di riduzione di Whittaker. Gruppi di trasformazioni a un parametro
dello spazio delle fasi. Gruppi di trasformazione di simmetria. Teorema di Noether.
Principio variazionale di Hamilton. Principio variazionale di Maupertuis.
6 - Moti nei campi di forze centrali.
Campi di forze centrali. La conservazione dell’energia e del momento della quantità
di moto. Moti radiali in un campo di forze centrali; il caso delle forze newtoniane.
Il piano di Laplace di un punto in un campo centrale. Studio analitico delle orbite
in un campo di forze newtoniano: orbite ellittiche, paraboliche, iperboliche. Il
problema dei due corpi. Le leggi di Keplero.
7 - Moti dei corpi rigidi.
Caduta libera di un corpo rigido. Moti rotatori di un corpo rigido: il pendolo
composto. Moti per inerzia di un corpo rigido: soluzione analitica. Rotazioni
uniformi di un corpo rigido. Moti per inerzia di un corpo rigido: descrizione di
Poinsot.
8 - Sistemi hamiltoniani.
Sistemi dinamici hamiltoniani ed equazioni di Hamilton. Sistemi hamiltoniani con
coordinate ignorabili. Sistemi hamiltoniani autonomi e coservazione dell’hamiltoniana. Trasformata di Legendre. Coordinate naturali. Campi hamiltoniani e
loro caratterizzazione. Trasformazioni canoniche e completamente canoniche. Un
criterio di canonicità. Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche. Equazione
di Hamilton–Jacobi.
Testi suggeriti
G. Starita: Meccanica Analitica, appunti distribuiti durante il corso.
R. Esposito: Meccanica Razionale, Aracne.
A. Fasano, S. Marmi: Meccanica Analitica, Bollati Boringhieri.
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