a.a. 2016/2017

Cenni di logica matematica
e di teoria degli insiemi
CORSI INTRODUTTIVI
Dipartimento di Ingegneria di Perugia
a.a. 2016/2017
Paola Rubbioni
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Corsi Introduttivi - a.a. 2016/2017
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Logica matematica
• Serve ad inquadrare in schemi rigorosi gli strumenti ed i metodi di ragionamento della
matematica
• In matematica si definiscono gli oggetti, se ne definiscono le proprietà, si fanno
deduzioni logiche
• Il complesso di espressioni delle quali si possa dire se sono Vere o False costituisce un SISTEMA LOGICO
Atomo: oggetto del sistema logico; si indica con a, b, x, ...; possono essere numeri, frasi,...
Esempio: x = [popolazione di Roma]; a = [oggi piove]
Proposizione: frase di cui si possa dire se V oppure F
Esempi:
[11 è dispari] V ;
[13 è pari] F ;
[30 è divisibile per 2] V .
Predicato: proposizione contenente una variabile e che quindi può essere V o F a seconda del
valore della variabile
Esempi:
p(x) = [x è un quadrato perfetto] V se x = 4, 9, 16, ... mentre è F se x = 2, 3, 5, ...;
p(x) = [x è un numero pari] è V se... mentre è F se ...
• Proposizioni e predicati si possono legare tra loro con i
CONNETTIVI LOGICI
¬: negazione
Esempio: P = [il numero 6 è primo];
¬P = [non è vero che il numero 6 è primo] = [il numero 6 non è primo]
∧: congiunzione (et)
Esempio: P = [oggi piove]; Q = [porto l’ombrello]
P ∧ Q = [oggi piove e porto l’ombrello]
∨: disgiunzione (vel)
Esempio: P = [oggi piove]; Q = [porto l’ombrello]
P ∨ Q = [oggi piove o porto l’ombrello]
TABELLE DI VERITA’
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P
V
F
¬P
F
V
¬ (¬ P )
V
F
;
P
V
F
V
F
Q
V
F
F
V
3
P ∧Q P ∨Q
V
V
F
F
F
V
F
V
Esempio: P = [il numero 6 è primo] F ; Q = [il numero 5 è primo] V
P ∧ Q = [sia il numero 6 che il numero 5 sono primi] F
P ∨ Q = [o il numero 6 è primo o il numero 5 è primo] V
P
V
F
V
F
Q
V
F
F
V
¬ (P ∧ Q) ¬ (P ∨ Q)
F
F
V
V
V
F
V
F
¬P ∨¬Q ¬P ∧¬Q
F
F
V
V
V
F
V
F
dunque
Leggi di De Morgan
¬ (P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬ Q
¬ (P ∨ Q) = ¬ P ∧ ¬ Q
Esempio: ¬ (P ∧ Q) = [non è vero che 6 e 5 sono entrambi primi]
¬ P ∨ ¬ Q = [non è vero che il numero 6 è primo oppure non è vero che il numero 5 è
primo]
IMPLICAZIONE ED EQUIVALENZA
⇒: implica
A ⇒ B si legge:
[se A è vera, allora B è vera]
[A è condizione sufficiente per B]
[B è condizione necessaria per A]
⇔: equivale
A ⇔ B si legge:
[A e B sono equivalenti]
[A è condizione necessaria e sufficiente per B (e viceversa)]
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
• Formulazione astratta-logica degli enunciati dei teoremi
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Teorema: CN perché un parallelogramma sia un quadrato è che abbia le diagonali uguali
= [P è un quadrato ⇒ P ha le diagonali uguali]
= [se un parallelogramma è un quadrato, allora ha le diagonali uguali]
{z
}
|
{z
}
|
ipotesi
tesi
= [CS perché un parallelogramma abbia le diagonali uguali è che sia un quadrato]
La CN non è anche CS, ovvero [P ha le diagonali uguali ⇒
6 P è un quadrato]; controes:
rettangolo
Teorema: CS perché un numero sia pari è che sia divisibile per 2
= [x è divisibile per 2 ⇒ x è pari]
= [se x è divisibile per 2 allora x è pari]
|
{z
}
| {z }
ipotesi
tesi
In questo caso è vero anche il viceversa, cioè la CS è anche necessaria, quindi le due proposizioni
sono equivalenti, ovvero
[x è divisibile per 2 ⇔ x è pari]
Osservazione: [A ⇒ B] equivale a [¬B ⇒ ¬A]
Esempio: A = [n è divisibile per 9]; B = [n è divisibile per 3]
A ⇒ B = [se n è divisibile per 9, allora n è divisibile per 3]
¬B ⇒ ¬A = [se n non è divisibile per 3, allora n non è divisibile per 9]
Att.!! situazione diversa da B 6⇒ A = [che n sia divisibile per 3 non implica che n sia divisibile
per 9]; questa infatti nel caso in questione è falsa: controes: n = 6 è divisibile per 3 ma non
per 9.
Esempio: A = [x > 9]; B = [x > 5]
A ⇒ B significa [se x > 9 allora x > 5]; o equivalentemente [CS perché x > 5 è che x > 9]; o
equivalentemente [CN perché x > 9 è che x > 5];
per l’osservazione precedente questo equivale a
¬B ⇒ ¬A, che significa [se non è x > 5 allora non è x > 9].
Anche qui si ha che non è vero che
B 6⇒ A, il quale significa [x > 5 non implica x > 9]; controes: x = 7
QUANTIFICATORI esistenziale ed universale
∃: esiste
∀: per ogni
NEGARE I PREDICATI
∀x ⇒ P (x) = [per ogni valore della variabile accade che la proprietà P (x) è vera]
∃x : Q(x) = [esiste almeno un valore della variabile per cui la proprietà Q(x) è vera]
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Vediamo come si nega.
Esempio: [Non è vero che ogni studente ha una penna] = [almeno uno studente non ha una
penna]
dunque
[¬ (∀x ⇒ P (x))] equivale a [∃x : ¬P (x)]
In generale:
∀ ←→ ∃
;
⇒←→ :
; poi si nega la proprietà
Esempio: un insieme C è convesso se
∀A, B in C ⇒ AB contenuto in C;
un insieme C non è convesso se
∃A, B in C : AB non è contenuto in C
Esempi:
1. Negare che [ogni studente è biondo e con gli occhi azzurri].
In simboli, devo negare che [∀x ⇒ P (x) ∧ Q(x)], quindi la negazione è
[∃x : ¬(P (x) ∧ Q(x))]
⇔
|{z}
[∃x : ¬P (x) ∨ ¬Q(x)], quindi [c’è almeno uno studente
De M organ
che o non è biondo o non ha gli occhi azzurri].
2. Negare la frase [∀x ∈ R∃y ∈ R : xy = 1].
[∃x ∈ R : ¬(∃y ∈ R : xy = 1)] ⇔ [∃x ∈ R : ∀y ∈ R ⇒ xy 6= 1)].
3. Negare la frase [La mamma cucina e parla al telefono].
frase: [C ∨ T ]; negata (per De Morgan) è [¬C ∧ ¬T ] ovvero [la mamma o non cucina o
non parla al telefono].
4. Negare la frase [Tutte le sere leggo a letto].
frase: [∀S ⇒ L]; negata è [∃S : ¬L], ovvero [c’è almeno una sera in cui non leggo a letto].
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Numeri
• N numeri naturali: 0, 1, 2, 3, 4, ....
(N, +)
(G1) elemento neutro: 0
(G2) proprietà associativa: (n + m) + p = n + (m + p)
(C) proprietà commutativa: n + m = m + n
Ma NON esiste in N l’opposto, cioè l’elemento che sommato ad un numero fornisca
l’elemento neutro.
• (Z, +) numeri interi
(G1) elemento neutro: 0
(G2) proprietà associativa: (n + m) + p = n + (m + p)
(G3) opposto: ∀n∃m : n + m = 0; l’elemento opposto di n si indica con il simbolo −n;
(C) proprietà commutativa: n + m = m + n.
(Z, +) è un gruppo abeliano o commutativo
• (Z, +, ·)
(G1) elemento neutro: 1
(G2) proprietà associativa: (n · m) · p = n · (m · p)
(C) proprietà commutativa: n · m = m · n
(D) proprietà distributiva: n · (m + p) = n · m + n · p.
Ma NON esiste in N l’inverso, cioè l’elemento che moltiplicato per un numero intero
fornisca l’elemento neutro.
• (Q, +, ·) numeri razionali
(G1) elemento neutro: 1
(G2) proprietà associativa: (n · m) · p = n · (m · p)
(G3) opposto: ∀p 6= 0∃q : p · q = 1; l’elemento opposto di p si indica con il simbolo p1 ;
(C) proprietà commutativa: n · m = m · n
(D) proprietà distributiva: n · (m + p) = n · m + n · p.
Q escluso 0 è un gruppo rispetto al prodotto.
• (R, +, ·) numeri reali
(G1) elemento neutro: 1
(G2) proprietà associativa: (n · m) · p = n · (m · p)
(G3) opposto: ∀p 6= 0∃q : p · q = 1; l’elemento opposto di p si indica con il simbolo p1 ;
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(C) proprietà commutativa: n · m = m · n
(D) proprietà distributiva: n · (m + p) = n · m + n · p.
I numeri reali nascono per risolvere problemi di incommensurabilità (lato e diagonale del
quadrato) o di esaustione (lnghezza della circonferenza).
Osserviamo che:
• q ∈ Q si può scrivere in infiniti modi:
0, 75 =
0, 6̄ =
75
3
= = ...(decimale esatto)
100
4
6
60
2
4
−2
=
= = =
= ...(decimale periodico)
9
90
3
6
−3
• costruisco la frazione di un decimale periodico:
x = 0, 6̄ = 0, 666666.... ⇒
10x = 6, 66666... = 6 + 0, 66666... = 6 + x ⇒
6
9x = 6 ⇒ x = ;
9
• costruisco la frazione di un decimale periodico:
x = 0, 12 = 0, 12121212... ⇒
10 x = 12, 121212... =
= 12 + 0, 121212.... =
= 12 + 0, 12 = 12 + x ⇒
x(102 − 1) = 12 ⇒
12
;
x =
99
2
• costruisco un numero irrazionale, cioè di R \ Q:
0, 101100111000111100001111100000...
In R sussiste una relazione d’ordine totale ’≤’, cioè valgono le seguenti proprietà:
riflessiva: ∀x ∈ R ⇒ x ≤ x
antisimmetrica: ∀x, y ∈ R : x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y
transitiva: ∀x, y, z ∈ R : x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z
tricotomia (?): ∀x, y ∈ R ⇒ x ≤ y ∨ y ≤ x
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Teoria degli insiemi
Parole chiave: insieme (A); elemento (a); appartenenza (∈)
Descrizione per tabulazione: A = {1, 2, 5} (ordine irrilevante)
Descrizione per proprietà: A = {studenti aventi nome con iniziale A}
Insiemi numerici
N={0, 1, 2, ...}
Z={..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}
Q= ab : a, b ∈ Z, b 6= 0
R={tutti i decimali periodici e non periodici, limitati e non limitati}
Possiamo allora dare la definizione di intervallo: dati a, b ∈ R, si pone
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
e analogamente
[a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b}; ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}; ]a, b[= {x ∈ R : a < x < b}.
RELAZIONI TRA INSIEMI
A ⊂ B = A è contenuto in B; A è sottoinsieme di B; vuol dire che ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B , cioè
ogni elemento di A è anche elemento di B
Esempio: A = {1, 2} ⊂ B = {1, 2, 7}
Esempio: A = {studenti aventi nome con iniziale A} ⊂ B = {studenti}
Esempio: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
A 6⊂ B = A non è contenuto in B; A non è sottoinsieme di B; vuol dire che ∃x ∈ A : x 6∈ B ,
cioè esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B
Esempio: A = {studenti oggi in aula}; B = {studenti domani in aula}
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Esempio: A = {studenti oggi in aula}; B = {studenti oggi a medicina}
A = B = A ⊂ B ∧ B ⊂ A; vuol dire che (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∀x ∈ B ⇒ x ∈ A)
Esempio: A = {persone presenti in aula} ⊂ B = {persone entrate in aula e non ancora uscite}
A 6= B = A 6⊂ B ∨ B 6⊂ A
Osservazione 3.1 Non scambiare ∈ con ⊂! La prima è relazione tra elementi, la seconda tra
insiemi: sono livelli diversi della realtà.
Osservazione 3.2 Un insieme può essere un elemento in un insieme di insiemi.
Esempio: (0, 0) ∈ r = {(x, y) ∈ R2 : y = x} ∈ F = {y = mx : m ∈ R}.
Insiemi degeneri
∅ = insieme vuoto
P(A) = insieme delle parti
Esempio: A = {1, 2, 3}
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}
OPERAZIONI tra insiemi in X insieme universo
A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B} intersezione
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• A∩B ⊂A e A∩B ⊂B
• A⊂B ⇒A∩B =A
• due insiemi sono disgiunti se A ∩ B = ∅
A ∪ B = {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B} unione
• A⊂A∪B e B ⊂A∪B
• A⊂B ⇒A∪B =B
AC = {x ∈ X : ¬(x ∈ A)} = {x ∈ X : x 6∈ A} complementare
A \ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x 6∈ B} = {x ∈ X : x ∈ A} ∩ {x ∈ X : x 6∈ B} = A ∩ B C
differenza
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A × B = {(x, y) ∈ X × X : x ∈ A, x ∈ B} prodotto cartesiano
• le coppie sono ordinate: A × B 6= B × A
Esempio: A = {1, 2}, B = {2, 3}
⇒ A × B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}, B × A = {(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}
• PIANO CARTESIANO
• [0, 1] × [−1, 1]
[0, 1]×] − 1, 1[
]0, 1] × [−1, 1]
...
Proprietà Leggi di De Morgan
(A ∪ B)C = AC ∩ B C
(A ∩ B)C = AC ∪ B C
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Proviamo la prima. Dobbiamo dimostrare la doppia inclusione.
’⊂’: Ip: x ∈ (A ∪ B)C ; Ts: x ∈ AC ∩ B C
x ∈ (A ∪ B)C ⇒ x 6∈ A ∪ B ⇒ ¬(x ∈ A ∪ B) ⇒
⇒ ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B) |{z}
⇒ ¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B) ⇒ x 6∈ A ∧ x 6∈ B ⇒
De M organ
C
C
⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ AC ∩ B C
’⊃’: Ip: x ∈ AC ∩ B C ; Ts: x ∈ (A ∪ B)C
x ∈ AC ∩ B C ⇒ x 6∈ A ∧ x 6∈ B ⇒ ¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)
⇒
|{z}
De M organ
⇒ ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B) ⇒ ¬(x ∈ A ∪ B) ⇒ x 6∈ A ∪ B ⇒
⇒ x ∈ (A ∪ B)C
Proprietà dell’intersezione
• A ∩ B = B ∩ A commutativa
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C associativa
• A ∩ A = A idempotenza
Proprietà dell’unione
• A ∪ B = B ∪ A commutativa
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C associativa
• A ∪ A = A idempotenza
Esercizio 3.1 Provare la proprietà distributiva dell’intersezione sull’unione, cioè che
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Svolgimento:
x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ⇔
⇔ x ∈ (A ∩ B) ∨ x ∈ (A ∩ C) ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
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Esercizi 3.1
1. Provare la proprietà distributiva dell’unione sull’intersezione, cioè che A ∪ (B ∩ C) =
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
2. Provare che A ∪ (A ∩ B) = A
3. Provare che AC ∪ (A ∩ B) = AC ∪ B
4. Provare che A ∪ B = A ∪ (B \ A)
5. Provare che A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)