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Appunti di geometria ( Prof. Luigi Cai )
A. s. 2014- 2015
LE ORIGINI E GLI SVILUPPI DELLA GEOMETRIA
1° periodo (dalle origini fino al secolo VII a.C. )
La geometria ha un carattere esclusivamente pratico: le tavolette di argilla e i papiri (famoso il papiro di
Rhind), risalenti al 2000 a.C., contengono risoluzioni di problemi geometrici (calcolo di semplici aree e volumi)
e regole pratiche misurare e costruire.
2° periodo (dal VI secolo a. C. fino al secolo XVIII-XIX)
La geometria viene considerata scienza pura e autonoma: l’interesse per la matematica non è più orientato a
risolvere problemi pratici, ma risponde ad un bisogno di conoscenza (chi si occupa di tale disciplina lo fa con
l'unico scopo di soddisfare il proprio intelletto).
Gli scambi commerciali che i greci iniziarono con l'Oriente (a partire dal VI secolo a.C.) favorirono
l’introduzione in Grecia delle conoscenze geometriche degli Egizi e dei Babilonesi, anche se in modo
disordinato e frammentario (le persone più preminenti di tale periodo furono Talete e Pitagora).
Successivamente Euclide (III secolo a.C.) modificò il modo di interpretare le informazioni acquisite: nella sua
opera “Elementi” (trattazione di 13 libri), espose in modo logico e organico tutte le conoscenze geometriche del
suo tempo, con un nuovo metodo di indagine, detto metodo ipotetico-deduttivo o assiomatico. Tale metodo
costituì il punto di partenza degli studi successivi e anche il testo basilare per l’insegnamento della geometria
fino ai giorni nostri.
3° periodo (XVIII-XIX secolo fino ad oggi)
La geometria, dopo la crisi del XIX secolo, mantiene la struttura ideata da Euclide, ma con una diversa
interpretazione.
METODO INDUTTIVO E DEDUTTIVO
Lo studio della geometria può essere affrontato secondo due metodi:
- metodo induttivo: consiste nello stabilire regole e proprietà di validità generale, deducendole
dall'osservazione dei corpi e delle figure.
• metodo ipotetico-deduttivo o assiomatico : consiste nel dare:
a) degli enti primitivi: semplici parole di cui non viene data alcuna definizione;
b) degli assiomi o postulati : proposizioni indimostrabili, che stabiliscono solo i legami che
intercorrono tra gli enti primitivi ;
c) i teoremi : proposizioni che devono essere dimostrate in modo rigoroso.
CRISI OTTOCENTESCA DELLA GEOMETRIA
Le cause della crisi riguardano il modo in cui vengono definiti gli enti primitivi e i postulati.
La geometria fino al XVIII secolo era quella ideata da Euclide nei suoi "Elementi" (concezione classica), in cui:
• i termini primitivi dovevano essere scelti tra gli enti che la natura ci suggerisce e la cui essenza è talmente
chiara da poter essere facilmente capita da tutti;
• i postulati dovevano essere semplici, evidenti ed esprimere cose vere.
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A questa impostazione i matematici del XIX secolo mossero le seguenti critiche :
- materializzare le idee di punto, retta e piano così come ci vengono suggerite dall'esperienza è piuttosto
grossolano;
- non è sempre possibile stabilire la verità dei postulati (ad esempio, il quinto postulato).
Pertanto i matematici del XIX secolo diedero una nuova concezione della geometria (concezione moderna):
•
gli enti primitivi sono termini di cui non viene fornita alcuna definizione esplicita;
•
i postulati sono enunciati né veri né falsi assunti come punti di partenza della teoria deduttiva e
aventi lo scopo di stabilire i legami che intercorrono tra gli enti primitivi;
•
i teoremi vengono dedotti utilizzando unicamente le regole di deduzione logica senza tenere conto del
loro significato.
NASCITA DELLE GEOMETRIE NON-EUCLIDEE
La crisi suddetta è da attribuirsi al v° postulato ( da un punto esterno ad una retta data si può condurre una ed
una sola retta parallela), che, sin dall'antichità, non piaceva ai matematici, poiché era poco evidente e difficilmente verificabile in uno spazio limitato.
Infatti, facendo ruotare la retta r attorno
P
al punto P , il punto Q si allontana
sempre di più, finendo per uscire dal
r
foglio e cessando di essere osservabile.
s
Q
E' proprio l’impossibilità di vedere il distacco di r da s che portarono i matematici del XIX secolo a non
accettare il v° postulato come vero (condizione richiesta dalla concezione classica).
Pertanto i matematici, per eliminare questo difetto, provarono a:
- dedurre il v° postulato dagli altri postulati (cioè considerarlo come teorema), ma ogni tentativo si concluse
con un fallimento;
- sostituire il v° postulato con la sua negazione , cioè ammettere che per il punto non passano rette parallele
oppure che ne passano infinite.
Tra i molti tentativi di risoluzione del problema ebbe maggior risonanza quella del matematico e gesuita
ligure Gerolamo Saccheri (1667-1733), che, comunque, non riuscì a risolvere il problema.
Dopo circa 50 anni i matematici Bolyai (1802-1860), Gauss (1777-1855), Lobacevski (1793-1856) e Riemann
(1826-1866) scoprirono che le proposizioni "strane" , che Saccheri ottenne durante la stesura del suo trattato e
che urtavano il senso comune, erano in realtà teoremi appartenenti a nuove geometrie. Le nuove geometrie, che
rappresentano un’alternativa a quella euclidea, furono denominate geometrie non euclidee.
Le geometrie, che concordano fino al quarto postulato (fino a questo punto si parla di geometria assoluta) , si
differenziano nel momento in cui si introduce il V postulato, il quale a secondo del numero delle rette che, da un
punto esterno ad una retta data, si possono condurre parallelamente a questa, assume la forma:
- dal punto non si possono condurre rette parallele (geometria di Riemann o ellittica);
- dal punto si può condurre una sola retta parallela (geometria euclidea);
- dal punto si possono condurre infinite rette parallele (geometria di Lobacevski o iperbolica ).
Studi successivi, dovuti a Klein (1849-1925) e a Poincarè (1854-1912), hanno confermato la assoluta coerenza
logica delle nuove geometrie e hanno mostrato che il postulato di Euclide non è dimostrabile a partire dagli altri
postulati.
E' comunque evidente che le tre geometrie conducono a risultati differenti.
Noi studieremo la geometria euclidea, perché ammette una trattazione più semplice e, avendo a che fare con
distanze opportunamente piccole, è giustificato il suo uso esclusivo nella vita ordinaria.
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MODELLI DI GEOMETRIE
Una geometria ha validità logica, cioè non si contraddice, se è possibile fornire un modello che soddisfi ai
postulati sui quali essa è costruita.
Per costruire un modello (rappresentazione pratica di una teoria) occorre dare una interpretazione agli enti
primitivi e verificare se i postulati sono validi.
Modello di Riemann della geometria ellittica
Gli enti primitivi hanno la seguente interpretazione:
- piano: una qualunque superficie sferica;
- punto: coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie sferica;
- retta: una qualunque circonferenza massima.
Si può verificare che i primi quattro gruppi di postulati sono verificati.
Ad esempio: Per due punti (due) passa una sola retta (figura 1).
Per un punto (coppia di punti diametralmente opposti) passano infinite rette (figura 2)
Il quinto postulato di Euclide è sostituito dal seguente: fissati un punto P (la coppia di punti A e B) e una retta r’
(una circonferenza massima) non esiste alcuna retta passante per P (cioè una circonferenza massima di diametro
AB) e parallela a r’ (cioè che non incontri la retta r’) (figura 3)
Fig.1
fig.2
fig.3
Modello di Klein, Lobacevski della geometria iperbolica
Gli enti primitivi hanno la seguente interpretazione:
- piano: cerchio aperto;
- punto: qualunque punto interno al cerchio;
- retta: una qualunque corda, esclusi gli estremi.
Si può verificare che i primi quattro gruppi di postulati sono verificati.
Ad esempio: Per un punto passano infinite rette.
Il quinto postulato di Euclide è sostituito dal seguente: fissati un punto P e una retta r esistono infinite rette
passanti per P e parallele a r ( cioè che non incontrano la retta r) (figura 4)
Fig. 4
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ENTI PRIMITIVI
Si assumono come concetti primitivi : il punto, la retta, il piano.
I punti si indicano con le lettere maiuscole, le rette con le lettere minuscole e i piani con le lettere greche.
POSTULATI O ASSIOMI
Vengono suddivisi nei seguenti gruppi:
I°° gruppo :
Postulati di appartenenza
Stabiliscono l’appartenenza dei punti alla retta , dei punti al piano e delle rette al piano ; essi sono:
1) per un punto passano infinite rette;
2) per due punti passa una ed una sola retta;
3) una retta avente due punti in comune con un piano giace interamente sul piano;
4) tre punti non allineati individuano uno ed un solo piano.
II°° gruppo :
Postulati di ordinamento
Stabiliscono l’ordinamento dei punti sulla retta ; essi sono:
1) i punti di una retta si possono ordinare secondo due versi;
2) la retta è formata da infiniti punti e in ciascuno dei due versi non vi è nè un primo punto nè un ultimo punto;
3) l’insieme dei punti di una retta è denso, cioè tra due punti cade sempre almeno un punto (e quindi infiniti).
Essi permettono di definire i segmenti, le semirette e le poligonali.
III°° gruppo :
Postulato di partizione del piano
Stabilisce il legame che esiste tra retta e piano. Permette di definire il semipiano.
Una retta divide il piano in due parti ( dette semipiani ) tali che :
- il segmento congiungente due punti appartenenti allo stesso semipiano non incontra la retta ( il segmento AC
in figura);
- il segmento congiungente due punti appartenenti a semipiani opposti incontra la retta in un solo punto ( il
segmento BD in figura).
A
B
r
C
D
α
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IV°° gruppo :
Postulati di congruenza dei segmenti e degli angoli
Si definisce congruenza ( ≅ ) tra due figure la corrispondenza biunivoca tra i loro punti, cioè ad ogni punto della
prima figura corrisponde uno ed un solo punto della seconda figura e viceversa.
La congruenza dei segmenti e degli angoli viene definita implicitamente dai seguenti postulati e proprietà:
1) Postulato
La congruenza tra segmenti (angoli) soddisfa alle proprietà :
a) riflessiva: ogni segmento (angolo) è congruente a se stesso; AB ≅ AB
b) simmetrica :se un segmento (angolo) è congruente ad un altro, allora questi è congruente al primo; se
AB ≅ DC allora DC ≅ AB
c) transitiva: due segmenti (angoli) congruenti ad un terzo sono congruenti tra loro;
se AB ≅ DC e DC ≅ EF allora AB ≅ EF.
2) Postulato del trasporto dei segmenti (degli angoli)
Su ogni retta, prefissati un origine e un verso, esiste uno ed un solo punto che con l’origine forma un segmento
congruente ad un segmento dato.
(In ogni fascio di raggi, prefissati un verso e un ‘origine, esiste uno ed un solo raggio che con l’origine forma un
angolo congruente ad un angolo dato).
3) Postulato di invertibilità dei segmenti (degli angoli)
Segmenti (angoli) sono congruenti a se stessi anche con il verso cambiato, cioè: AB ≅ BA
4) Per i segmenti (angoli) si introduce l’operazione di somma; tale somma soddisfa alle proprietà: commutativa,
associativa, esistenza dell’elemento neutro.
5) Per i segmenti (angoli) si può considerare l’operazione di sottrazione solo se il minuendo è maggiore del
sottraendo.
6) Postulato di addizionabilità
Somme o differenze di segmenti (angoli) rispettivamente congruenti sono congruenti, cioè se AB ≅ CD e
EF ≅ GH allora AB+EF ≅ CD+GH
7) Multiplo di un segmento (angolo)
Si dice multiplo del segmento AB (dell’angolo ABˆ C ) secondo il numero naturale n il segmento CD = n ⋅ AB
(l’angolo EFˆG = n ⋅ ABˆ C ).
8) Postulato di Eudosso-Archimede
Dati due segmenti (angoli) non nulli e diversi tra loro, esiste sempre un multiplo del minore che supera il
maggiore.
Tale postulato serve per stabilire l’esistenza di segmenti (angoli) sempre più grandi.
9) Postulato di divisibilità
Ogni segmento (angolo) è sempre possibile dividerlo in n parti tra loro congruenti.
Serve per stabilire l’esistenza di segmenti (angoli) sempre più piccoli.
