Astronomia Lezione 11/11/2011

Astronomia
Lezione 11/11/2011
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:[email protected]
Slides: oberon.roma1.infn.it/alessandro/
Libri di testo:
- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A.
Ostlie, Addison Wesley
- The Physical Universe, an introduction to Astronomy F. Zhou,
University Science Books
- Elementi di Astronomia, P. Giannone.
Oltre alle stelle in sequenza
principale vi sono alcune stelle fuori
dalla sequenza sia sopra che sotto.
Quelle sotto hanno un raggio
minore rispetto a quelle della
sequenza principale alla stessa
temperatura. Quelle sopra hanno
un raggio piu’ grande rispetto a
quelle della sequenza principale alla
stessa temperatura. Notiamo inoltre
che quelle sotto tendono ad essere
piu’ calde e con indice di colore
tendente al blu-bianco, mentre
quelle sopra sono piu’ fredde con
indice di colore tendente al rosso.
Quindi si chiamano nane bianche
(quelle sotto) e giganti rosse (quelle
sopra).
Si trova che le stelle in sequenza
principale hanno un raggio da a 0.08
Rsun nella coda fredda rossa, fino a
60 Rsun nella coda calda blu (stelle di
tipo O). Le nane bianche possono
avere un raggio pari a 0.01 Rsun o
anche piu’ piccolo. Le supergiganti
rosse fino a 300 Rsun o anche di piu’
Concentriamoci per il momento
sulla sequenza principale.
perche’ ho questa correlazione ?
Stelle con luminosita’ piu’ elevata
hanno temperature piu’
elevate.
Abbiamo visto che se le stelle
sono un corpo nero sllora la
luminosita’ e’ legata alla
temperatura tramite il raggio
della stella:
possiamo spiegare la
correlazione lungo la
sequenza principale come
con stelle di uguale raggio
pari a quello del Sole ma con
temperature diverse ?
Classificazione spettrale di Yerkes
La classificazione spettrale di Yerkes, chiamata anche il sistema MKK, è un sistema di
classificazione spettrale introdotto nel 1943 da William W. Morgan, Phillip C.
Keenan e Edith Kellman dello Yerkes Observatory.
Questa classificazione si basa su linee spettrali sensibili alla gravità superficiale della stella,
la quale è in genere legata direttamente alla sua luminosità, invece che alla
temperatura come la tradizionale classificazione di Harvard: infatti, poiché il raggio di
una stella gigante è molto più elevato di quello di una stella nana, le loro masse possono
essere all'incirca comparabili; la gravità e quindi la densità e la pressione dei gas
superficiali sono molto inferiori per la stella gigante.
Tutte queste differenze si manifestano come effetti di luminosità, che influenzano sia la
larghezza che l'intensità delle linee spettrali.
Questa classificazione distingue sette tipi diversi di stelle:
I supergiganti
Ia supergiganti più luminose
Ib supergiganti meno luminose
II giganti luminose
III giganti normali
IV subgiganti
V stelle di sequenza principale (nane), come il Sole
VI subnane (usata raramente)
VII o D nane bianche (usata raramente)
Una volta identificata la classe di
luminosita’ e la classe spettrale si puo’
calcolare la magnitudine assoluta
semplicemente ponendo la stella nel
diagramma.
Questo, conoscendo la magnitudine
apparente permette di ottenere la
distanza della stella.
Questo metodo detto di parallasse
spettroscopica e’ limitato dalle incertezze
tra classe di luminosita’ e magnitudine
assoluta.
Atmosfere stellari
Consideriamo un raggio di luce che si propaga lungo una direzione data dagli angoli
 e f, con una lunghezza d’onda l e attraverso una superficie infinitesimale dA tangente
alla superficie della stella. La superficie ortogonale alla direzione di propagazione e’ dA cos.
Si definisce come intensita’ specifica l’energia per lunghezza d’onda, per superficie,
per unita’ di tempo e unita’ di angolo solido del raggio (unita’ in
):
Atmosfere stellari
Si ha pertanto che la quantita:
Rappresenta l’energia trasportata dal raggio luminoso tra lunghezza d’onda l e l+dl che
passa nell’istante di tempo dt attraverso la superficie dA.
L’intensita’ specifica o, piu’ semplicemente, l’intensita’ e’ in generale una funzione della
direzione e quindi degli angoli  e f. Si introduce una intensita’ media, facendo la media
su tutte le direzioni e dividendo per l’angolo solido 4p:
Nel caso di intensita’ isotropa, intensita’ specifica ed intensita’ media sono la stessa cosa:
Essendo la radiazione di corpo nero isotropa, si ha:
Atmosfere stellari
Consideriamo adesso un cilindro infinitesimale di lunghezza dL e base dA e supponiamo
che abbia la superficie interna perfettamente riflettente (una trappola insomma per la luce).
La radiazione entrante con un angolo  ci mette un tempo:
ad attraversare la trappola.
L’energia si puo’ quindi scrivere come:
Atmosfere stellari
Il termine dAdL e’ il volume del cilindretto. Dividendo per questa quantita’ ed integrando
sull’angolo solido troviamo la densita’ di energia per unita’ di lunghezza d’onda ul
(densita’ di energia specifica):
Che e’ quindi pari all’intensita’ media diviso la velocita’ della luce per 4p.
Per un corpo nero si ha:
o, definendo in frequenza invece che lunghezza d’onda:
Atmosfere stellari
La densita’ di energia totale si trova integrando sulle frequenze (o lunghezze d’onda):
Nel caso di un corpo nero si ha:
con
detta costante radiativa.
Atmosfere stellari
Un’altra quantita’ utile e’ il flusso specifico radiativo definito come la quantita’
di energia per unita’ di tempo e lunghezza d’onda che passa attraverso una superficie
ortogonale all’asse z:
Quando la sorgente e’ risolta allora cio’
che misuro e’ l’intensita’ specifica.
L’angolo minimo d’ l’angolo di Airy.
Quando la sorgente non e’ risolta allora cio’
che misuro e’ il flusso specifico.
In pratica vedo tutta la radiazione
Proiettata lungo
la linea di vista o asse z.
Atmosfere stellari
Dato che un fotone ha un momento p=E/c, questo esercitera’ una pressione lungo z data da:
Atmosfere stellari
La pressione di radiazione si trova dividendo per dA l’espressione precedente ed
Integrando su meta’ angolo solido (emisfero superiore):
nel caso di radiazione isotropa l’integrale e’ equivalente ad un integrale su tutto
l’angolo solido ma diviso per 2. In questo caso si ha quindi che:
Atmosfere stellari
La pressione di radiazione totale e’ quindi data integrando su tutte le lunghezze
d’onda:
per un corpo nero (che ricordiamo essere isotropo) si trova:
la pressione di radiazione di un corpo nero e’ 1/3 della sua densita’ di energia.
Atmosfere stellari
Come abbiamo gia’ detto le stelle sono solo approssimativamente dei corpi neri.
Questo porta a tre possibili definizioni della temperatura di una stella:
Temperatura Effettiva:
Ottenuta tramite la relazione di
Stefan-Boltzmann.
Temperatura di Eccitazione:
Ottenuta a partire
dall’equazione di Boltzmann.
Temperatura di Ionizzazione:
Ottenuta a partire dall’equazione di
Saha.
Temperatura Cinetica:
Ottenuta a partire dalla distribuzione
Di Maxwell-Boltzmann.
Temperatura di Colore:
Ottenuta «fittando» lo spettro di
Una stella con uno di corpo nero.
Nel caso di equilibrio termodinamico vale a dire che ogni fotone assorbito corrisponde
ad un fotone emesso, le temperature di ionizzazione, eccitazione, cinetica e di corpo nero
sono le stesse.
Tuttavia questo non e’ vero per una stella: vi sono zone piu’ o meno calde, la temperatura
puo’ variare da punto a punto e trasporto di energia.
In prima approssimazione pero’ si puo’ assumere la condizione di equilibrio termodinamico
locale ( Local Thermal Equilibrium, LTE) quando il cammino libero medio delle particelle che
trasportano energia e’ molto minore delle distanze alle quali la temperatura varia
significativamente.
Ad esempio la fotosfera e’ la zona dell’atmosfera solare da dove possono uscire i fotoni del
Sole. Considerando un modello di fotosfera si ha una variazione di temperatura da 5580 K a
5790K lungo una distanza di 25 km. Possiamo considerare quindi l’altezza di scala della
Temperatura come:
Questa quantita’ va confrontata con il libero cammino medio delle particelle.
Assumiamo che vi siano solo atomi di idrogeno allo stato fondamentale. Due
Atomi di idrogeno si «scontreranno» se i loro centri sono ad una distanza minore di
Due raggi si Bohr a0. Il problema e’ equivalente ad un singolo atomo di raggio 2a0 che
Incontra i centri di vari atomi.
La densita’ alla fotosfera e’
e dunque si ha una densita’
di atomi di idrogeno.
Se un atomo ha velocita’ v in un tempo t avra’ coperto un volume pari a:
Dove s e’ la sezione d’urto collisionale. In questo volume ci sono
atomi di idrogeno che corrispondono al numero di urti lungo il cammino vt.
Il cammino medio tra un urto e l’altro sara’ il cammino totale diviso il numero di urti,
vale a dire il libero cammino medio:
Per un atomo di idrogeno:
Opacita’
Un raggio di luce che attraversa un gas perde fotoni per assorbimento.
L’equazione che descrive questo processo e’ la seguente:
vale a dire che l’assorbimento per lunghezza d’onda e’ proporzionale al cammino ds nel gas,
alla densita’ del gas e alla intesita’ iniziale stessa. La quantita’ kl e’ detta coefficiente di
assorbimento o opacita’ e dipende dalla densita’, temperatura e composizione del gas.
Considerando la fotosfera del Sole si ha (a frequenze di 500 nm):
E quindi si ha che i fotoni vengono assorbiti ad una distanza:
Che e’ maggiore della altezza di scala di temperatura. Quindi i fotoni nella fotosfera
non attraversano zone a temperature costanti e quindi l’approssimazione di equilibrio
termodinamico locale per il Sole non e’ propriamente valida.
La distanza sopra definita’ e’ il cammino libero medio del fotone, da cui si puo’
ottenere la sezione d’urto usando la definizione precedente:
Consideriamo adesso la profondita’ ottica
differenziale:
tl definita a partire dalla quantita’
Il segno meno sta ad indicare che il moto del fotone e’ verso di noi mentre noi
guardiamo le distanze a partire dalla Terra.
Per un raggio di luce che percorre una distanza s si ha una variazione nella
profondita’ ottica:
Dato che e’ una quantita’ negativa, vale a dire che la
Profondita’ ottica diminuisce, possiamo porre
la profondita’ ottica a zero sulla
superficie della stella e considerarla
Crescente mano a mano che andiamo
all’interno dell’atmosfera stellare:
Nel caso di puro assorbimento abbiamo quindi:
Se il raggio parte da un punto dove la profodita’ ottica e’ pari a 1, l’intensita’ specifica
sara’ diminuita di un fattore 1/e quando lascia la stella.
La profondita’ ottica puo’ quindi essere pensata come il numero di
cammini liberi medi percorsi dal fotone nell’atmosfera stellare.
Un gas puo’ essere otticamente spesso se tl>>1 o otticamente sottile se
tl <<1