Minori di una matrice Sia A∈Km,n, si definisce minore di ordine p con p∈N, p<minimo{m,n}, estratto da A una matrice ottenuta togliendo da A m-p righe ed n-p colonne. Osservazioni: 1) è evidente che un minore di ordine p è una sottomatrice quadrata di ordine p estratta da A in quanto rimangono esattamente p righe e p colonne. 2) In generale esistono più minori di ordine p estratti in quanto è possibile togliere da A righe e le colonne differenti. Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti: Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 1 0 −1 1 2 0 −1 0 3 E= 0 0 0 5 0 −1 0 −1 0 1 2 3 3 0 4,6 ∈ R 0 0 p=3, m=4 e n=6: dobbiamo togliere m – p = 4 - 3=1 righe e n – p = 6 – 3 = 3 colonne. a) togliendo la prima riga, la seconda, la quarta e la quinta colonna si ottiene: 0 0 0 M 1 = 0 0 0 ∈ M 3 ( R) 0 0 0 b) togliendo la seconda riga , la prima, la terza e la quarta colonna si ottiene: ... ... ... M 2 = ... ... ... ∈ M 3 ( R ) ... ... ... Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 2 I minori di ordine 3 sono numerosi… Casi particolari: i minori di ordine 1 che si possono estrarre da E sono 4×6=24 e quelli di ordine 4 sono ….. Data una matrice A∈Mn(K) quadrata di ordine n, indichiamo con Ai,j il minore di ordine n-1 di A ottenuto togliendo da A la i-esima riga e la j-esima colonna. Esempio 1 a1,1 a1,2 ∈ M 2 (K ) A = a a 2,1 2,2 Per i,j=1,2 i minori estratti di ordine 1 sono i quattro Ai,j∈M1(K): Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 3 A1,1=(a2,2), A1,2=(a2,1), A2,1=(a1,2) e A2,2=(a1,1). Esempio 2 a1,1 A = a2,1 a 3,1 a1, 2 a2, 2 a3 , 2 a1,3 a2,3 ∈ M 3 ( K ) a3,3 Per i, j=1,2,3 i minori estratti di ordine 2 sono i nove Ai,j∈M2(K): a 2,2 A1,1 = a 3,2 a 2,3 ∈ M 2 (K ) a 3,3 A1,2 a 2,1 a 2,3 ∈ M 2 (K ) = a 3,1 a 3,3 A1,3 a 2,1 a 2,2 ∈ M 2 (K ) = a a 3,1 3,2 a1,2 A 2,1 = a 3,2 Lezione 3 a1,3 ∈ M 2 (K ) … a 3,3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 4 Il determinate di una matrice quadrata Sia A∈Mn (K) una matrice quadrata di ordine n, definiamo determinate di A e lo indichiamo con detA o A, l’elemento di K definito ricorsivamente nel seguente modo: Se n=1 allora la matrice è del tipo A=(a1,1) e detA:=a1,1. Se n>1, supponendo di saper calcolare i determinanti delle matrici quadrate di qualsiasi ordine k con k<n-1, definiamo per ogni coppia di indici (i,j) con i,j=1,…,n il complemento algebrico di ai,j come lo scalare Γi,j Γi,j:= (-1) i+j det Ai,j e il determinante come: detA:= a1,1Γ1,1+ a1,2Γ1,2 +…+a1,nΓ1,n (sviluppo del determinante seguendo la I riga di A). Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 5 Calcolo del determinante di matrici quadrate di ordine 2 Data la matrice: a 1,1 a 1,2 ∈ M 2 (K ) A = a a 2,1 2,2 Γ1,1:= (-1) 1+1 det A1,1= + a2,2 Γ1,2:= (-1) 1+2 det A1,2= - a2,1 allora det A = a1,1Γ1,1+ a1,2Γ1,2= a1,1 a2,2- a1,2 a2,1 Esercizio 1 2 1 ∈ M 2 ( R) A = -1 3 Γ1,1:= (-1) 1+1 det A1,1= ….. Γ1,2:= (-1) 1+2 det A1,2= - (-1)=….. allora det A = a1,1Γ1,1+ a1,2Γ1,2= ……….. Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 6 Esercizio 2 Prima di cercare una formula per il determinante delle matrici quadrate di ordine 3 calcoliamolo per 2 0 − 3 B = 3 1 0 ∈ M 3 ( R) 1 1 1 2 detB:= b1,1Γ1,1+ b1,2Γ1,2 +b1,3Γ1,3 detB= 2·Γ1,1+ 0·Γ1,2 +(-3)·Γ1,3 d’altra parte: Γ1,1:= (-1) 1+1 det B1,1= (+1)(1·(1/2)- 0·1)=1/2 Γ1,2:= (-1) 1+2 det B1,2= (-1)(3·(1/2)- 0·1)=-3/2 Γ1,3:= (-1) 1+3 det B1,3= (+1)(1·3 - 1·1)=2 Quindi: det B= 2·…+ 0·…..+(-3)·…..= …… Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 7 Calcolo del determinante di matrici quadrate di ordine 3 a1,1 a1,2 A = a 2,1 a 2,2 a 3,1 a 3,2 a1,3 a 2,3 ∈ M 3 ( K ) a 3,3 Γ1,1:= (-1) 1+1 det A1,1 Γ1,2:= (-1) 1+2 det A1,2 Γ1,3:= (-1) 1+3 det A1,3 ma detA1,1 a 2,2 = det a 3,2 a 2,3 = a 2,2 a 3,3 - a 2,3a 3,2 a 3,3 detA1,2 a 2,1 a 2,3 = a 2,1a 3,3 - a 2,3a 3,1 = det a a 3,1 3,3 detA1,3 a 2,1 a 2,2 = a 2,1a 3,2 - a 2,2 a 3,1 = det a 3,1 a 3,2 Γ1,1:= (-1) 1+1 det A1,1= a2,2 a3,3- a2,3 a3,2 Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 8 Γ1,2:= (-1) 1+2 det A1,2= -(a2,1 a3,3- a2,3 a3,1) Γ1,3:= (-1) 1+3 det A1,3= a2,1 a3,2- a2,2 a3,1 infine det A:= a1,1 Γ1,1+ a1,2 Γ1,2 +a1,3 Γ1,3 = a1,1 (a2,2 a3,3 + - a2,3 a3,2) - a1,2 (a2,1 a3,3- a2,3 a3,1) + a1,3 (a2,1 a3,2 + - a2,2 a3,1)= =a1,1 a2,2a3,3 + a1,2 a2,3a3,1 +a1,3 a2,1a3,2 + - (a1,1 a2,3 a3,2 + a1,3 a2,2a3,1 +a1,2 a2,1a3,3 ) Per ricordarsi si può utilizzare il seguente grafico: a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 a 3,1 a 3,2 a 1,3 a 2,3 a 3,3 a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 a 3,1 a 3,2 a 1,3 a 2,3 a 3,3 È possibile utilizzare questo metodo (di Sarrus) ricordandosi che vale solo ed esclusivamente per il calcolo di determinanti di matrici al massimo di ordine 3. Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 9 Esercizio 3 Calcolare il determinante di 1 0 −1 − 2 0 2 0 0 C = ∈ M 4 ( R) 0 −1 0 2 2 2 1 0 Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo la I riga: detC:= c1,1Γ1,1+ c1,2Γ1,2 + c1,3Γ1,3 +c1,4Γ1,4= = 1·Γ Γ1,1+ 0·Γ Γ1,2 + (-1)·Γ Γ1,3 +(-2)·Γ Γ1,4 Γ1,1 = (-1)2 detC1,1 0 0 0 = det - 1 0 2 = 0 2 1 0 Γ1,2 = (-1)3 detC1,2 2 0 0 = − det 0 0 2 = −(−4) 2 1 0 Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 10 Γ1,3 = (-1)4 detC1,3 2 0 0 = det 0 − 1 2 = -8 2 2 0 Γ1,4 = (-1)5 detC1,4 2 0 0 = − det 0 − 1 0 = 2 2 2 1 det C= …..+ ….. + …… +…… = ….. Primo teorema di Laplace Data una matrice A∈Mn (K) quadrata di ordine n il determinante di A è: det A= ai,1Γi,1+ ai,2Γi,2 +…+ai,nΓi,n= Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 11 n = ∑ ai , h Γi , h ∈ K h =1 (I teorema di Laplace, primo enunciato) per ogni i=1,…,n fissato (sviluppo secondo la i-esima riga) det A= a1,jΓ1,j+ a2,jΓ2,j +…+an,jΓn,j= n = ∑ ah , j Γh , j ∈ K h =1 (I teorema di Laplace, secondo enunciato) per ogni j=1,…,n fissato (sviluppo secondo la j-esima colonna). Conseguenze importanti 1) Potendo scegliere una qualsiasi riga (o colonna) di una matrice quadrata converrà selezionare quella con il maggior numero di zeri. Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 12 2) Se una riga o una colonna contiene tutti zeri, allora la matrice avrà determinante nullo. Esercizio 4 Calcolare il determinante di 1 0 1 − 3 − 0 3 0 0 D= ∈ M 4 ( R) 0 −1 0 2 2 0 1 0 Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo la II riga perché contiene il maggior numero di zeri: det D:= d2,1Γ2,1+ d2,2Γ2,2 + d2,3Γ2,3 +d2,4Γ2,4 ma l’unico complemento algebrico che vale la pena di calcolare è quello di d2,2 : Γ2,2 .... .... ... ....... Γ2,2 = (-1) det D....... = det .... ... ... = ..... .... ... ... Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 13 Allora det D:=0·Γ2,1+ …….+ 0·Γ2,3 +0·Γ2,4= …. Esercizio 5 Calcolare il determinante di 1 0 0 1 1 1 2 −1 0 3 E = 0 1 0 2 − 2 ∈ M 5 ( R) 1 0 0 −1 2 0 0 2 −1 0 Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo la I colonna perché contiene il maggior numero di zeri: det E:= e1,1Γ1,1+ e2,1Γ2,1 + e3,1Γ3,1 +e4,1Γ4,1+e5,1Γ5,1= = ……..= ……… 1 0 1 1 1 0 2 − 2 Γ2,1 = (−1) 2 +1 det 0 −1 2 1 0 2 −1 0 Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 14 Ora calcolo questo determinante sviluppandolo sulla I colonna (nuovamente perché contiene il maggior numero di zeri) 1 0 1 1 . . . 2 − 2 1 0 2 +1 Γ2,1 = (−1) 2 +1 det = − ⋅ − 1 ( 1 ) det . . . = 0 −1 2 1 . . . 0 2 −1 0 =…. Dunque il determinante di E è ……. Esercizio 6 Calcolare il determinante di 3 0 0 −1 F = 0 0 0 0 0 0 Lezione 3 - 1 1 0 3 1 2 0 2 0 0 Esercitazioni di Algebra e Geometria 1 1 − 2 ∈ M 5 ( R) 1 − 2 - Anno accademico 2009-2010 15 Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo la I colonna perché contiene il maggior numero di zeri: detF:= f1,1Γ1,1+ f2,1Γ2,1 + f3,1Γ3,1 +f4,1Γ4,1+f5,1Γ5,1= Γ1,1 = f1,1Γ1,1= 3·Γ −1 0 1+1 Γ1,1 = (−1) det 0 0 1 1 2 − 2 1 2 − 2 1+1 = −1 ⋅ (−1) det 0 2 1 = 0 2 1 0 0 − 2 0 0 − 2 0 3 continuando a sviluppare seguendo le I colonne che via via incontriamo si ottiene: Γ1,1= (-1)·1·2·(-2)=4. Dunque il determinante di F è 12. Osservazione Data una matrice A∈Mn(K) quadrata di ordine n triangolare superiore, il determinante di A è dato Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 16 dal prodotto principale: degli elementi della diagonale det A = a1,1 ·a2,2… ·an,n. Infatti continuando a sviluppare il determinante rispetto alla prima colonna si ottiene: a2,n a2,2 0 O det A = a1,1 (−1)1+1 det = ... = a1,1a2,2 ...an,n M O O 0 L 0 a n,n Allo stesso risultato si perviene anche nel caso la matrice sia triangolare inferiore, sviluppando il determinante sulla prima riga. Esercizio 7 Calcolare il determinante di 0 0 G = − 2 1 2 Lezione 3 - 4 1 1 4 0 0 0 0 2 1 2 5 2 1 1 ∈ M 5 ( R) −2 0 0 − 1 2 Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 17 Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo la IV riga perché contiene il maggior numero di zeri: det G:=g4,1Γ4,1+g4,2Γ4,2+ g4,3Γ4,3 +g4,4Γ4,4+g4,5Γ4,5= = 1Γ Γ4,1 -2 Γ4,4 4 1 Γ4,1 = (−1)1+ 4 det 0 2 2 4 1 2 4 5 2 3+ 3 = − ⋅ − ( 1 ( 1 ) det 1 4 2 + 0 1 1 2 1 − 1 1 0 − 1 4 1 2 3+ 4 + 1 ⋅ (−1) det 1 4 5 ) = ... 2 1 0 = -(-33+24)= 9 0 0 Γ4, 4 = (−1) 4 + 4 det −2 2 4 1 + 2(−1) 4 +1 det 1 4 0 0 1 2 mentre 2 4 1 2 1 4 2 3 +1 = −2(−1) det 1 4 2 + 0 0 1 2 1 − 1 2 1 − 1 4 1 2 2 = ... 1 =-2(-33)+ (-2)(15)= 66-30=36 Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 18 Infine det G = 1Γ Γ4,1 -2 Γ4,4= ………..= ……….. = ……… Esercizi da svolgere Calcolare i determinanti di 1 5 -1 - 3 4 3 2 ∈ M 2 ( R) , B = 4 A = ,C= - 2 − -1 2 5 2 - 8 0 1 0 1 1 2 D = 3 3 6 , E = − 2 3 5 ∈ M 3 ( R) 1 1 1 1 −1 0 0 −1 1 3 5 − 2 1 −1 0 0 0 1 F = , G= 3 −1 0 −1 0 0 2 1 0 0 0 0 Lezione 3 - Esercitazioni di Algebra e Geometria 5 1 2 − 3 ∈ M 4 ( R) 1 −1 0 2 - Anno accademico 2009-2010 19