Minori di una matrice Sia A∈K , si definisce minore

Minori di una matrice
Sia A∈Km,n, si definisce minore di ordine p con
p∈N, p<minimo{m,n}, estratto da A una matrice
ottenuta togliendo da A m-p righe ed n-p colonne.
Osservazioni:
1) è evidente che un minore di ordine p è una
sottomatrice quadrata di ordine p estratta da A in
quanto rimangono esattamente p righe e p colonne.
2) In generale esistono più minori di ordine p estratti
in quanto è possibile togliere da A righe e le colonne
differenti.
Esempio
Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3
differenti:
Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
- Anno accademico 2009-2010
1
0 −1 1 2

0 −1 0 3
E=
0 0 0 5

 0 −1 0 −1

0
1
2
3
3

0
4,6
∈
R
0

0 
p=3, m=4 e n=6:
dobbiamo togliere
m – p = 4 - 3=1 righe
e n – p = 6 – 3 = 3 colonne.
a) togliendo la prima riga, la seconda, la quarta
e la quinta colonna si ottiene:
 0 0 0


M 1 =  0 0 0  ∈ M 3 ( R)
 0 0 0


b) togliendo la seconda riga , la prima, la terza e
la quarta colonna si ottiene:
 ... ... ... 


M 2 =  ... ... ...  ∈ M 3 ( R )
 ... ... ... 


Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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2
I minori di ordine 3 sono numerosi…
Casi particolari: i minori di ordine 1 che si
possono estrarre da E sono 4×6=24 e quelli di
ordine 4 sono …..
Data una matrice A∈Mn(K) quadrata di ordine n,
indichiamo con Ai,j il minore di ordine n-1 di A
ottenuto togliendo da A la i-esima riga e la j-esima
colonna.
Esempio 1
 a1,1 a1,2 
 ∈ M 2 (K )
A = 

a
a
2,1
2,2


Per i,j=1,2 i minori estratti di ordine 1 sono i quattro
Ai,j∈M1(K):
Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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3
A1,1=(a2,2),
A1,2=(a2,1),
A2,1=(a1,2) e A2,2=(a1,1).
Esempio 2
 a1,1

A =  a2,1
a
 3,1
a1, 2
a2, 2
a3 , 2
a1,3 

a2,3  ∈ M 3 ( K )
a3,3 
Per i, j=1,2,3 i minori estratti di ordine 2 sono i nove
Ai,j∈M2(K):
 a 2,2
A1,1 = 
 a 3,2
a 2,3 
 ∈ M 2 (K )
a 3,3 
A1,2
 a 2,1 a 2,3 
 ∈ M 2 (K )
= 

 a 3,1 a 3,3 
A1,3
 a 2,1 a 2,2 
 ∈ M 2 (K )
= 

a
a
3,1
3,2


 a1,2
A 2,1 = 
 a 3,2
Lezione 3
a1,3 
 ∈ M 2 (K )
…
a 3,3 
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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4
Il determinate di una matrice quadrata
Sia A∈Mn (K) una matrice quadrata di ordine n,
definiamo determinate di A e lo indichiamo con detA
o A, l’elemento di K definito ricorsivamente nel
seguente modo:
Se n=1 allora la matrice è del tipo A=(a1,1) e
detA:=a1,1.
Se n>1, supponendo di saper calcolare i
determinanti delle matrici quadrate di qualsiasi
ordine k con k<n-1, definiamo per ogni coppia di
indici (i,j) con i,j=1,…,n il complemento
algebrico di ai,j come lo scalare Γi,j
Γi,j:= (-1) i+j det Ai,j
e il determinante come:
detA:= a1,1Γ1,1+ a1,2Γ1,2 +…+a1,nΓ1,n
(sviluppo del determinante seguendo la I riga di A).
Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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5
Calcolo del determinante di matrici quadrate
di ordine 2
Data la matrice:
 a 1,1 a 1,2 
 ∈ M 2 (K )
A = 

a
a
2,1
2,2


Γ1,1:= (-1) 1+1 det A1,1= + a2,2
Γ1,2:= (-1) 1+2 det A1,2= - a2,1
allora det A = a1,1Γ1,1+ a1,2Γ1,2= a1,1 a2,2- a1,2 a2,1
Esercizio 1
 2 1
 ∈ M 2 ( R)
A = 
 -1 3
Γ1,1:= (-1) 1+1 det A1,1= …..
Γ1,2:= (-1) 1+2 det A1,2= - (-1)=…..
allora det A = a1,1Γ1,1+ a1,2Γ1,2= ………..
Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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6
Esercizio 2
Prima di cercare una formula per il determinante
delle matrici quadrate di ordine 3 calcoliamolo per


 2 0 − 3
B =  3 1 0  ∈ M 3 ( R)

1 
1 1

2

detB:= b1,1Γ1,1+ b1,2Γ1,2 +b1,3Γ1,3
detB= 2·Γ1,1+ 0·Γ1,2 +(-3)·Γ1,3
d’altra parte:
Γ1,1:= (-1) 1+1 det B1,1= (+1)(1·(1/2)- 0·1)=1/2
Γ1,2:= (-1) 1+2 det B1,2= (-1)(3·(1/2)- 0·1)=-3/2
Γ1,3:= (-1) 1+3 det B1,3= (+1)(1·3 - 1·1)=2
Quindi:
det B= 2·…+ 0·…..+(-3)·…..= ……
Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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7
Calcolo del determinante di matrici quadrate
di ordine 3
 a1,1 a1,2

A =  a 2,1 a 2,2
a
 3,1 a 3,2
a1,3 

a 2,3  ∈ M 3 ( K )
a 3,3 
Γ1,1:= (-1) 1+1 det A1,1
Γ1,2:= (-1) 1+2 det A1,2
Γ1,3:= (-1) 1+3 det A1,3
ma
detA1,1
 a 2,2
= det
 a 3,2
a 2,3 
 = a 2,2 a 3,3 - a 2,3a 3,2
a 3,3 
detA1,2
 a 2,1 a 2,3 
 = a 2,1a 3,3 - a 2,3a 3,1
= det

a
a
3,1
3,3


detA1,3
 a 2,1 a 2,2 
 = a 2,1a 3,2 - a 2,2 a 3,1
= det

 a 3,1 a 3,2 
Γ1,1:= (-1) 1+1 det A1,1= a2,2 a3,3- a2,3 a3,2
Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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8
Γ1,2:= (-1) 1+2 det A1,2= -(a2,1 a3,3- a2,3 a3,1)
Γ1,3:= (-1) 1+3 det A1,3= a2,1 a3,2- a2,2 a3,1
infine
det A:= a1,1 Γ1,1+ a1,2 Γ1,2 +a1,3 Γ1,3 = a1,1 (a2,2 a3,3 +
- a2,3 a3,2) - a1,2 (a2,1 a3,3- a2,3 a3,1) + a1,3 (a2,1 a3,2 +
- a2,2 a3,1)=
=a1,1 a2,2a3,3 + a1,2 a2,3a3,1 +a1,3 a2,1a3,2 +
- (a1,1 a2,3 a3,2 + a1,3 a2,2a3,1 +a1,2 a2,1a3,3 )
Per ricordarsi si può utilizzare il seguente grafico:
 a 1,1 a 1,2

 a 2,1 a 2,2
a
 3,1 a 3,2
a 1,3 

a 2,3  a 3,3 
 a 1,1 a 1,2

 a 2,1 a 2,2
a
 3,1 a 3,2
a 1,3 

a 2,3 
a 3,3 
È possibile utilizzare questo metodo (di Sarrus)
ricordandosi che vale solo ed esclusivamente per il
calcolo di determinanti di matrici al massimo di
ordine 3.
Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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9
Esercizio 3
Calcolare il determinante di
1 0 −1 − 2


0 
2 0 0
C =
∈ M 4 ( R)

0 −1 0
2


2 2 1

0


Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo
la I riga:
detC:= c1,1Γ1,1+ c1,2Γ1,2 + c1,3Γ1,3 +c1,4Γ1,4=
= 1·Γ
Γ1,1+ 0·Γ
Γ1,2 + (-1)·Γ
Γ1,3 +(-2)·Γ
Γ1,4
Γ1,1 = (-1)2 detC1,1
 0 0 0


= det - 1 0 2  = 0
 2 1 0


Γ1,2 = (-1)3 detC1,2
 2 0 0


= − det 0 0 2  = −(−4)
 2 1 0


Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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10
Γ1,3 = (-1)4 detC1,3
 2 0 0


= det 0 − 1 2  = -8
 2 2 0


Γ1,4 = (-1)5 detC1,4
 2 0 0


= − det 0 − 1 0  = 2
 2 2 1


det C= …..+ ….. + …… +…… = …..
Primo teorema di Laplace
Data una matrice A∈Mn (K) quadrata di ordine n il
determinante di A è:
det A= ai,1Γi,1+ ai,2Γi,2 +…+ai,nΓi,n=
Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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11
n
= ∑ ai , h Γi , h ∈ K
h =1
(I teorema di Laplace, primo enunciato)
per ogni i=1,…,n fissato (sviluppo secondo la i-esima
riga)
det A= a1,jΓ1,j+ a2,jΓ2,j +…+an,jΓn,j=
n
= ∑ ah , j Γh , j ∈ K
h =1
(I teorema di Laplace, secondo enunciato)
per ogni j=1,…,n fissato (sviluppo secondo la j-esima
colonna).
Conseguenze importanti
1) Potendo scegliere una qualsiasi riga (o colonna)
di una matrice quadrata converrà selezionare
quella con il maggior numero di zeri.
Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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12
2) Se una riga o una colonna contiene tutti zeri,
allora la matrice avrà determinante nullo.
Esercizio 4
Calcolare il determinante di
 1 0 1 − 3


−
0
3
0
0


D=
∈ M 4 ( R)

0 −1 0 2


2 0 1 0 


Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo
la II riga perché contiene il maggior numero di zeri:
det D:= d2,1Γ2,1+ d2,2Γ2,2 + d2,3Γ2,3 +d2,4Γ2,4
ma l’unico complemento algebrico che vale la pena
di calcolare è quello di d2,2 :
Γ2,2
 .... .... ...


.......
Γ2,2 = (-1) det D....... = det .... ... ... = .....
 .... ... ...


Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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13
Allora det D:=0·Γ2,1+ …….+ 0·Γ2,3 +0·Γ2,4= ….
Esercizio 5
Calcolare il determinante di
1 
0 0 1 1


1 
 2 −1 0 3
E =  0 1 0 2 − 2  ∈ M 5 ( R)


1 
 0 0 −1 2
 0 0 2 −1 0 


Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo
la I colonna perché contiene il maggior numero di
zeri:
det E:= e1,1Γ1,1+ e2,1Γ2,1 + e3,1Γ3,1 +e4,1Γ4,1+e5,1Γ5,1=
= ……..= ………
1 
0 1 1


1 0 2 − 2
Γ2,1 = (−1) 2 +1 det
0 −1 2
1 


 0 2 −1 0 


Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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14
Ora calcolo questo determinante sviluppandolo sulla
I colonna (nuovamente perché contiene il maggior
numero di zeri)
1 
0 1 1


 . . .


2 − 2
1 0
2 +1
Γ2,1 = (−1) 2 +1 det
=
−
⋅
−
1
(
1
)
det
.
.
.

=

0 −1 2
1
 . . .




0 2 −1 0 


=….
Dunque il determinante di E è …….
Esercizio 6
Calcolare il determinante di
3 0

0 −1
F = 0 0

0 0
0 0

Lezione 3
-
1 1
0 3
1 2
0 2
0 0
Esercitazioni di Algebra e Geometria
1 

1 
− 2  ∈ M 5 ( R)

1 
− 2 
- Anno accademico 2009-2010
15
Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo
la I colonna perché contiene il maggior numero di
zeri:
detF:= f1,1Γ1,1+ f2,1Γ2,1 + f3,1Γ3,1 +f4,1Γ4,1+f5,1Γ5,1=
Γ1,1
= f1,1Γ1,1= 3·Γ
−1

0
1+1
Γ1,1 = (−1) det 
0

0

1 

 1 2 − 2


1 2 − 2
1+1
= −1 ⋅ (−1) det 0 2 1  =
0 2 1 
 0 0 − 2




0 0 − 2
0 3
continuando a sviluppare seguendo le I colonne che
via via incontriamo si ottiene: Γ1,1= (-1)·1·2·(-2)=4.
Dunque il determinante di F è 12.
Osservazione
Data una matrice A∈Mn(K) quadrata di ordine n
triangolare superiore, il determinante di A è dato
Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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16
dal
prodotto
principale:
degli
elementi
della
diagonale
det A = a1,1 ·a2,2… ·an,n.
Infatti continuando a sviluppare il determinante
rispetto alla prima colonna si ottiene:
a2,n 
 a2,2


 0 O

det A = a1,1 (−1)1+1 det 
= ... = a1,1a2,2 ...an,n

M O O


 0 L 0 a 
n,n 

Allo stesso risultato si perviene anche nel caso la
matrice sia triangolare inferiore, sviluppando il
determinante sulla prima riga.
Esercizio 7
Calcolare il determinante di
 0

 0
G = − 2

 1
 2

Lezione 3
-
4 1
1 4
0 0
0 0
2 1
2

5
2
1
1  ∈ M 5 ( R)

−2 0 
0 − 1
2
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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17
Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo
la IV riga perché contiene il maggior numero di
zeri: det G:=g4,1Γ4,1+g4,2Γ4,2+ g4,3Γ4,3 +g4,4Γ4,4+g4,5Γ4,5=
= 1Γ
Γ4,1 -2 Γ4,4
4

1
Γ4,1 = (−1)1+ 4 det
0

2

2

4 1 2 


4 5 2
3+ 3
=
−
⋅
−
(
1
(
1
)
det
1
4
2

+

0 1 1
 2 1 − 1




1 0 − 1
 4 1 2


3+ 4
+ 1 ⋅ (−1) det 1 4 5 ) = ...
2 1 0


= -(-33+24)= 9
 0

 0
Γ4, 4 = (−1) 4 + 4 det
−2

 2

4 1

+ 2(−1) 4 +1 det 1 4
0 0

1 2
mentre
2

4 1 2 


1 4 2
3 +1
= −2(−1) det 1 4 2  +
0 0 1
 2 1 − 1




2 1 − 1
4 1
2

2  = ...
1 
=-2(-33)+ (-2)(15)= 66-30=36
Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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18
Infine
det G = 1Γ
Γ4,1 -2 Γ4,4= ………..= ……….. = ………
Esercizi da svolgere
Calcolare i determinanti di
 1

 5 -1 
 - 3 4
3

2  ∈ M 2 ( R)
 , B = 4
A = 
,C=


- 2 − 
 -1 2
5

 2 - 8
 0 1 0
1 1 2




D =  3 3 6  , E =  − 2 3 5  ∈ M 3 ( R)
 1 1 1
1 −1 0 




 0 −1 1 3 
5 − 2



 1 −1 0 0 
0 1
F =
, G=

3 −1 0 −1
0 0



2 1 0 0 
0 0



Lezione 3
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
5 1 

2 − 3
∈ M 4 ( R)

1 −1

0 2 
- Anno accademico 2009-2010
19