Legge Ampere

Nicola GigliettoA.A. 2013/14
7.1 - Campi magnetici generati da correnti
7.1 - Campi magnetici generati da correnti
Le correnti generano i campi magnetici. Per calcolare il campo magnetico
prodotto da un filo percorso da corrente dobbiamo usare una procedura
simile a quella della legge di Coulomb e sapere qual’è la forza elementare
in un punto nello spazio dovuta ad u elemento di filo percorso da corrente.
Possiamo considerare un filo qualunque percorso da corrente i ed individuare
un elemento ds (tangente al filo ed orientato secondo la corrente). Possiamo
trovare che il contributo di campo magnetico generato da questo elemento
µ0 ids sin θ
è dB = 4π
con θ l’angolo tra ds ed il vettore ~r che individua il punto
r2
nello spazio nel quale calcoliamo dB. La quantità µ0 è detta permeabilità
magnetica del vuoto ed ha valore µ0 = 4π10−7 T ·m/A o anche esprimibile
in H/m (henry/metro). La direzione esatta di dB si ricava dal prodotto
~ ∧ ûr per cui la precedente espressione la possiamo scrivere
vettoriale di ds
come
~
~ = µ0 i ds ∧ ûr
dB
4π
r2
nota come Prima Legge elementare di Laplace legge che di fatto ha un
andamento come 1/r2 come la legge di Coulomb. Per un circuito finito di
conseguenza si avrà
I ~
ds ∧ ûr
~ = µ0 i
B
4π
r2
che viene detta Legge di Ampere-Laplace
Campo magnetico generato da una carica in moto
Una carica in moto produce una corrente la cui densità è ~j =
cui il campo da essa generato è
i
Σ
= nq~
v per
µ0 q~
v ∧ ûr
(nΣds) =
4π r2
v ∧ ûr
µ0 q~
(ndτ )
4π r2
e nΣds = ndτ il numero di cariche nel volume descritto dalla carica in moto.
Nel caso di un unica carica in movimento si ha
v∧u
~r
~ = µ0 q~
B
4π r2
Equazione che evidenzia il fatto che una carica in moto oltre ad un campo
elettrico genera un campo magnetico.
Cap7-Vol II-Teorema Ampere
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7.2-Legge di Biot-Savart, campo magnetico del filo rettilineo indefinito
7.2-Legge di Biot-Savart, campo magnetico del filo
rettilineo indefinito
L’espressione che dimostreremo fornisce come modulo del campo magnetico,
µ0 i
nel caso il filo sia rettilineo e indefinito un valore che è B = 2πr
inoltre le
avvolgono attorno al filo
linee del campo magnetico si
con tante linee concentriche al filo e percorrenza secondo la regola della mano
destra:Afferriamo idealmente il filo con il pollice puntato secondo la
direzione della corrente nel filo. Il verso di rotazione stabilito dalle
altre dita indica il verso delle linee del campo magnetico generato
dal filo Questo vale anche per i singoli elementi infinitesimi.Dimostrazione
Consideriamo un generico elemento ds
della formula:
~ ∧ ûr = ds sin θ
del filo (vedi figura) facendo il prodotto vettoriale di ds
µ0 i ds sin θ
per cui dB = 4π
e la direzione di dB è perpendicolare al piano
r2
~ ha la stessa direzione e verso per cui
della figura e per ogni tratto ds dB
possiamo direttamente integrare per ottenere il risultato. Osserviamo prima
che la metà inferiore del filo e quella superiore a partire dal punto P danno
contributi tra loro uguali se il filo è infinito. Pertanto possiamo dire che
Z
ds sin θ
µ0 i
B=
4π
r2
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ma le variabili ds r e sin θ sono tra loro collegate infatti:
1
sin2 θ
=
r2
R2
Rdθ
R = s tan(π − θ) ⇒ s = R cot(π − θ) ⇒ ds = + 2
sin θ
R = r sin(π − θ) = r sin θ ⇒
e per cui l’equazione diventa
µ0 i
B=
2π
µ0 i
=
4π
Z
Z
s=∞
s=0
R
(s2
3
+ R2 ) 2
ds =
Z
µ0 i θ=∞ dθ
Rdθ sin2 θ
sin θ =
sin θ =
4π θ=0 R
sin2 θ R2
i
µ0 i
= 2 · 10−7
2πR
R
Campo del filo piegato ad arco e spira circolare
Campo del filo piegato ad arco e spira circolare
Se il filo è piegato ad arco e consideriamo il campo risultante nel centro di
questo arco abbiamo che dalla figura l’angolo tra ds e r è 90◦ per cui abbiamo
90◦
= µ4π0 i Rds2 tale valore è lo stesso sia come modulo che
che dB = µ4π0 i ds sin
R2
come direzione e verso per tutti gli elementi infinitesimi per cui abbiamo che
nel centro di curvatura del filo si ha
Z
Z φ
µ0 i ds
B = dB =
=
2
0 4π R
Z φ
µ0 i Rdφ
µ0 i φ
=
2
4π R
0 4π R
Nel caso l’arco sia in realtà una spira circolare allora il campo magnetico
risultante al centro della spira ha direzione perpendicolare al piano della
0 i 2π
0i
spira e modulo pari a B = µ4π
= µ2R
R
Esempio svolto 30.2
Cap7-Vol II-Teorema Ampere
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Esempio svolto 30.2
i1 = 15 A i2 = 32 A d=53 cm
7.3 - Forza tra due conduttori paralleli
7.3 - Forza tra due conduttori paralleli
Poichè un filo percorso da corrente ed immerso
in un campo magnetico risente di una forza di Lorentz, allora anche due fili
paralleli percorsi da corrente interagiscono tra loro, in quanto ognuno di essi
genera un campo magnetico e tramite questo producono una forza di Lorentz
sull’altro filo. Consideriamo il caso in cui i due fili sono paralleli ed infiniti,
allora calcoliamo il campo magnetico del filo 1 nella posizione del filo 2
µ0 i 1
che è distante d dall’altro. Il campo sarà B1 = 2π
d . La forza di Lorentz
µ0 i 1
~
~
prodotto da questo campo è allora F21 = i2 L∧ B1 = i2 L 2π
d Possiamo anche
vedere l’effetto che il secondo filo produce sul primo e troveremo che la forza
in modulo è la stessa (il verso è opposto). Per quanto riguarda la direzione
ed il verso dal prodotto vettoriale tra L e B ci rendiamo conto che se le
correnti sono concordi e parallele la forza è attrattiva mentre se le
correnti sono discordi e parallele la forza è repulsiva. L’espressione
della forza trovata prima inoltre permette di definire l’ampere come quella
corrente che produce una forza di 2 · 10−7 N sui due fili paralleli per ogni
metro di lunghezza- questa è la ragione per cui la corrente è la
grandezza fondamentale nel S.I.
7.4 Legge di Ampere
Cap7-Vol II-Teorema Ampere
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7.4 Legge di Ampere
H
~ = µ0 iconc ovvero che la circuita~ · ds
La legge di Ampere stabilisce che B
zione di B lungo un percorso chiuso è pari alla somma delle correnti concatenate al percorso stesso. Per esaminare il significato di questa legge
partiamo dalla situazione
nella figura e seguiamo
~ per poi integrar~ · ds
un arbitrario percorso chiuso e dobbiamo calcolare B
lo.In realtà non sappiamo il valore di B ma sappiamo comunque che è nel
~ = Bds cos θ Nel fare l’integrale attribuiamo
~ · ds
piano della figura quindi B
un verso di B concorde a quello di integrazione (da noi stabilito), effettuiamo
l’integrale, e poi diamo un segno alle correnti (secondo membro) in modo da
considerare positive le correnti che sono concordi (secondo l’avvitamento
della mano destra) alla direzione nel percorso di integrazione e negative se
discordi.
dimostrazione teorema ampere
dimostrazione teorema ampere
Consideriamo innanzitutto la situazione del
filo rettilineo indefinito e percorso da coorente i (uscente). Le linee di campo in
questo caso sono circonferenze concentriche
che si avvitano con orientazione antioraria.
Se d~
s è un elemento del tratto di linea di
campo allora il prodotto scalare
µ0 i
µ0 i
~ · d~
B
s=
ds =
dθ
2πr
2π
con con dθ l’angolo sotteso dal vettore d~
s. Di conseguenza anche per un
tratto finito di circonferenza si avrà che:
Z D
Z
µ0 i
µ0 i D
~
dθ =
B · d~
s=
θ
2π C
2π
C
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con θ l’angolo sotteso dall’arco CD. Dal ragionamento deriva quindi che
qualunque sia la forma della curva da C a D il risultato dell’integrale
dipende solo dall’angolo sotteso dalle due semirette che dal centro del
filo uniscono C e D ed il segno che dipende solo dal fatto che la percorrenza
è concorde o discorde al verso indicato dalle linee di campo magnetico.
RD
~ · d~
s = + µ2π0 i θ mentre
Ad esempio nel caso in figura si ha che C C1 B
RC
~
s = − µ2π0 i θ Valutiamo adesso l’integrale calcolato su una linea
D C2 B · d~
chiusa come da ipotesi del teorema. Distinguiamo due casi: - la linea di
integrazione concatena la corrente (cioè ci gira intorno) - la linea di integrazione non concatena la Hcorrente. Nel primo caso dalla relazione di
~ · d~
sopra l’angolo θ = 2π per cui B
s = µ2π0 i 2π = µ0 i Nel secondo caso ci
ritroviamo in una situazione tipo questa: ovvero si può sottendere la curva
sotto un angolo θ che individua 2 punti C e D H(le tangenti alla curva) e in
~ · d~
base alla precedente considerazione si ottiene B
s = µ2π0 i θ − µ2π0 i θ = 0
Come conseguenza del teorema di ampere, dato che la circuitazione di B è
diversa da zero il campo B non è conservativo
forma locale teorema ampere
forma locale teorema ampere
La forma locale del teorema di Ampere la troviamo applicando il teorema
di Stokes che applicato al campo elettrico era:
I
Z
~
~ × E)
~ · ûN dΣ
E · d~
s = (∇
Σ
e possiamo applicarlo come teorema matematico al caso del campo magnetico partendo dal calcolo della circuitazione su un percorso chiuso C
generico:
I
Z
~
~ ∧ B)
~ · ûN dΣ
B · d~
s = (∇
Σ
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con Σ una qualunque superficie che si appoggi alla linea chiusa C di
R partenza.
Attraverso Σ passa una corrente che possiamo definire come i = Σ ~j · ûn dΣ
Da cui la legge di Ampere la riscriviamo cosı̀ :
Z
Z
~ ∧ B)
~ · ûN dΣ = µ0 ~j · ûn dΣ
(∇
Σ
Σ
Valendo per ogni superficie che abbia la curva C come contorno (o che si
~ ∧B
~ = µ0~j che è la versione locale
appoggi sulla curva C) si ha quindi ∇
della legge di Ampere
Applicazione del teor. Ampere: campo del filo infinito
Applicazione del teor.
infinito
Ampere: campo del filo
Nel caso trattiamo un solo filo ed infinito, consideriamo un percorso circolare
(essendo arbitrario il percorso scegliamo
il più
H
H comodo) aventeH centro nel filo
~
~
e raggio r. In questo caso si ha B · ds = B cos θds = B ds = B(2πr)
µ0 i
per il teorema B(2πr) = µ0 i ⇒ B = 2πr
che ovviamente verifica quanto
già trovato in precedenza
Campo del filo infinito all’interno del filo stesso-esempio 7.2
Campo del filo infinito all’interno del filo stessoesempio 7.2
La legge di Ampere permette di calcolare agevolmente anche il campo magnetico all’interno del filo percorso da corrente.Infatti applicando il teorema ad un percorso circolare concentrico al filo
eH di raggio r <
H R interno al filo il primo membro del teorema è ancora
~ = B ds = B(2πr) ma il termine al secondo membro è invece
~ · ds
B
µ0 iconc e quindi dobbiamo calcolare la corrente concatenata. La corrente concatenata è quella che attraversa il percorso circolare e chiaramente
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PROBLEMA SVOLTO 30.3
è una porzione della totale. Dalla definizione di densità di corrente, dal
momento che la corrente si distribuisce uniformemente sulla sezione del conµ0 i
2
duttore, abbiamo che iconc = jS = jπr2 e j = πRi 2 da cui B2πr = πR
2 πr
semplificando si ha quindi
µ0 i
r
B=
2πR2
1
Problema svolto 30.3
Problema svolto 30.3
In un cilindro cavo di raggi interni a=2 cm ed esterno b=4 cm scorre una
corrente uscente rispetto il piano della figura con densità di corrente non
uniforme secondo la legge j = cr2 con c=3.0 · 106 A/m4 ed r in metri.
Quanto vale B in un punto distante 3 cm dal centro?
µ0 iconc
Il punto è interno al filo Rquindi B =
la corrente concatenata
2πr
R
r
r
è in questo esempio iconc = a JdS = a cr2 (2πr)dr (J è variabile sulla
4
4
superficie) quindiiconc = 2π c r −a
dai conti quindi B=2 · 10−5 T
4
Esempio 7.3- Campo magnetico di solenoidi e toroidi ideali
Esempio 7.3- Campo magnetico di solenoidi e toroidi ideali
Il solenoide ideale è costituito da un lungo filo avvolto a forma di spirale attorno ad un supporto cilindrico, e le varie spire sono strettamente addossate
l’una all’altra. Assumiamo che la lunghezza del solenoide sia molto grande
(o comunque molto più grande del suo diametro) e analizziamo una sezione trasversale di questo solenoide. Nel caso ideale queste spire sono cosı̀
vicine tra loro da formare un continuo e come visibile in figura in questa
situazione il campo magnetico tende a disporsi secondo l’asse orizzontale del solenoide stesso. Inoltre se il solenoide è di lunghezza infinita e le
spire sono strettamente addossate non vi sono linee di campo che possono
uscire dal solenoide. Pertanto la situazione è approssimabile a quella in
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PROBLEMA SVOLTO 30.3
figura.
Possiamo allora
H scegliere un per~ = µ0 iconc ⇒
~ · ds
corso rettangolare ABCD che si adatta a questo caso: B
H
RB
RC
RD
RA
~ =
~ · ds
~ ~
~ ~
~ ~
~ ~
B
A B · ds + B B · ds + C B · ds + D B · ds Di questi termini
il secondo ed il quarto sono nulli in quanto il percorso ed il campo sono
perpendicolari tra loro, il terzo
nel solenoide ideale il campo
H è nulloR perchè
B ~ ~
~
~
esterno è nullo per cui si ha B · ds = A B · ds = B h = µ0 iconc La corrente
concatenata è la somma delle correnti delle spire intrecciate al percorso per
cui indicando con n il numero di spire per unità di lunghezza iconc = n hi
da cui B = µ0 n i e i è la corrente che entra nel filo del solenoide.
Esempio 7.4-Toroide
Esempio 7.4-Toroide
Toroide
Nel caso del toroide (vedi figura) le spire si avvolgono
attorno ad una ciambella. La legge di Ampere ci indica allora che B 2πr =
0N i
µ0 iN (N è il totale delle spire) per cui B = µ2πr
Campo magnetico di una bobina
Campo magnetico di una bobina
Campo magnetico bobina
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PROBLEMA SVOLTO 30.3
Il campo si ricava applicando direttamente la legge di Biot-Savart in quanto
nel caso della spira percorsa da corrente non vi è una simmetria tale da
risolvere il problema con Ampere.La spira abbiamo detto che è equivalente
µ0
µ
ad un dipolo magnetico µ e si trova che B(z) = 2π
3 per i punti
(z 2 +R2 ) 2
sull’asse z passante per il centro della spira e ad essa ortogonale con µ = i S.
Nel caso ci mettiamo al centro della spira (z=0) la relazione diventa:
B=
µ0 i iπR2
µ0 i
ûn =
ûn
3
2π R
2R
~
~ = µ0 i µ
Mentre a grandi distanze quando R è trascurabile si ottiene:B
2π r 3 che
è la relazione completamente equivalente a quella del dipolo elettrico. Possiamo dire quindi che una piccola spira di corrente è un dipolo magnetico
e in analogia a quanto trovato per il caso elettrico potremmo estendere il
campo del dipolo magnetico anche al caso sia fuori asse per trovare che
~ = µ0 i µ3 (2 cos θûr + sin θûθ )
B
2π r
Solenoide rettilineo (finito)
Solenoide rettilineo (finito)
Per il solenoide di lunghezza d, raggio R e con N spire totali, si definisce il numero spire per unità di lunghezza n = Nd se le spire sono abbastanza fitte possiamo trattarle come se fossero distribuite con continuità ed il numero totale
di spire per un tratto di lunghezza dx è ndx e al centro dell’asse del solenoide
µ0 iR2 ndx
il
campo
è
dB
=
2r 3
Prendendo in considerazione un punto sull’asse del solenoide si hanno le seguenti relazioni: r sin φ = R, x − x0 = −R cot φ ⇒
Rdφ
dx = sin
= µ02ni sin φdφ
2 φ da cui dB
Il campo complessivo in P si ottiene sommando tutti i contributi delle spire cioè
integrando su φ:
Z
µ0 ni φ2
B=
sin φdφ =
2
φ1
µ0 ni
(cos φ1 − cos φ2 )
2
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PROBLEMA SVOLTO 30.3
e poichè l’angolo φ2 = π − φ′2 si ottiene B =
+ cosφ′2 ) Se adesso scegliamo l’origine del
sistema di riferimento al centro del solenoide O allora porremo OP = x e si avrà O′ P = r1 cos φ1 ⇒
cos φ1 = √ d/2+x2 2 e P O′′ = r2 cos φ′2 ⇒ cos φ′2 =
µ0 ni
2 (cosφ1
(d/2+x) +R
d/2−x
√
Di conseguenza
(d/2−x)2 +R2
B(x) =
si ottiene che
µ0 ni
d − 2x
d + 2x
+p
)
(p
2
(d + 2x)2 + R2
(d − 2x)2 + R2
nid
e al centro della spira si ottiene infine BO = B(0) = √dµ20+4R
e nel limite di
2
d → ∞ si ritrova il caso ideale B∞ = µ0 ni Dalla formula inoltre possiamo
trovare B negli estremi (x = ±d/2) nei quali si ha BO′ = B2O
7.5-magnetismo nella materia cenni
7.5-magnetismo nella materia cenni
Si può affrontare il problema del magnetismo nella materia applicando un
approccio simile a quello dei condensatori, e usando i solenoidi ideali come strumento per studiare il comportamento. Per prima cosa definiamo
~0
~ = B
il vettore H
µ0 che nel solenoide ideale è H = ni. Ora supponiamo
di inserire un materiale a riempire completamente lo spazio tra le spire
del solenoide ideale. Se si misura B all’interno del materiale (ad esempio con una sonda ad effetto Hall) si trova che BB0 = km e la costante
km viene detta permeabilità magnetica relativa al vuoto e si ottie~ = µH
~ avendo definito con µ la permeabilità ma~ = µ0 k m H
ne che B
gnetica assoluta del mezzo La variazione rispetto al vuoto si ottie~ −B
~ 0 = (km − 1)B
~ 0 = µ0 χm H
~ = la costante
ne valutando la differenza B
χm = km − 1 è detta invece suscettibilità magnetica. In definitiva il
materiale contribuisce con un termine che possiamo cosı̀ evidenziare:
~ =B
~0 + B
~ m = µ0 H
~ + µ0 k m H
~ = µ0 ( H
~ +M
~)
B
(1)
~ = χm H
~ un vettore magnetizzazione che descrive le proprietà specicon M
fiche del materiale. Se analizziamo quindi il solenoide da cui siamo partiti,
risulta che B = µ0 ni + µ0 χm ni il secondo termine è dovuto al materiale effetto equivalente a delle correnti aggiuntive non di conduzione ma dovute a
correnti di origine atomica che vengono dette amperiane. Per concludere
a seconda del valore di km i materiali vengono classificati cosı̀ :
Cap7-Vol II-Teorema Ampere
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PROBLEMA SVOLTO 30.3
• sostanze diamagnetiche per le quali km < 1 (oro,argento,silicio,rame
pb);
• sostanze paramagnetiche km > 1 (alluminio,tungsteno,ossigeno);
• sostanze ferromagnetiche con km che dipende dal valore di B e dal
modo in cui è variato in precedenza.
7.6 correnti amperiane cenni
7.6 correnti amperiane cenni
7.7 legge gauss per B
7.7 legge gauss per B
Come abbiamo visto nei vari esempi le linee di campo di B si richiudono
sempre, di conseguenza qualunque superficie chiusa consideriamo il flusso
entrante nella superficie equivale quello uscente per cui si avrà :
I
~ · dΣ
~ =0
B
Σ
che costituisce la legge di Gauss per il campo magnetico: il flusso
di B attraverso qualunque superficie chiusa è sempre nullo. La forma lo~ ·B
~ = 0 che equivale a imporre la non esistenza
cale di conseguenza è ∇
dei monopoli magnetici. Il fatto che il flusso sia nullo attraverso qualunque
superficie(campo solenoidale) ha una ulteriore implicazione che lo differenzia dal campo elettrico: Considero una curva chiusa e due superfici che
si appoggino al contorno della curva, delimitando cosı̀ una superficie chiusa.
Si avrà
Z
I
Z
~ · ûn = 0
~ · ûn +
~ · ûn =
B
B
Φ(B) =
B
Σ
Σ2
Σ1
Per cui tenendo conto del verso discorde nell’orientazione delle superfici si
avrà che Φ1 (B) = Φ2 (B) che significa che il flusso di B attraverso qualunque
superficie che si appoggi ad un determinato contorno è costante per cui si
parlerà di flusso concatenato alla linea chiusa
7.8- magnetostatica in presenza di mezzi magnetizzati
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PROBLEMA SVOLTO 30.3
7.8- magnetostatica in presenza di mezzi magnetizzati
Il teorema di Ampere in presenza di mezzi magnetizzati può scriversi come
I
~ · d~
B
s = µ0 (i + im )
C
se la linea chiusa C abbraccia sia le correnti di conduzione che quelle di
magnetizzazione che possono esplicitarsi come
I
I
~
~ · d~
B · d~
s = µ0 (i +
M
s)
C
C
~ = µ0 ( H
~ +M
~ ) si ottiene
e poichè B
teorema di Ampere nella materia
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H
~ · d~
s = i che è la versione del
CH