1 Esercizi di Riepilogo sui Tassi a pronti e termine

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Esercizi di Riepilogo sui Tassi a pronti e
termine
1. Al tempo t = 0 si osservano sul mercato i prezzi delle seguenti obbligazioni (di valore nominale 100 euro):
• 95 prezzo a pronti di un’obbligazione con scadenza t = 4;
• 85 prezzo a pronti di un’obbligazione con scadenza t = 7;
• 90 prezzo a termine di un’obbligazione con emissione al tempo
t = 4 e scadenza t = 7.
Calcolare i tassi di interesse i(0, 4), i(0, 7), i(0; 4, 7).
Dire se, dall’osservazione di tali tassi, si puó dedurre che é violato il
principio di assenza di arbitraggio. In caso affermativo, costruire una
strategia di arbitraggio e determinare il profitto finale, supponendo di
potere effettuare vendite allo scoperto per un importo massimo di euro
50.000.
Svolgimento
Determiniamo il tasso a pronti i(0, 4):
95 · r(0, 4) = 100 ⇒ r(0, 4) =
100
= 1.0526
95
da cui
1
r(0, 4) = [1 + i(0, 4)]4 = 1.0526 ⇒ i(0, 4) = (1.0526) 4 − 1 = 0.0128
Determiniamo il tasso a pronti i(0, 7):
85 · r(0, 7) = 100 ⇒ r(0, 7) =
100
= 1.1764
85
da cui
1
r(0, 7) = [1 + i(0, 7)]7 = 1.1764 ⇒ i(0, 7) = (1.1764) 7 − 1 = 0.0234
Determiniamo il tasso a termine i(4, 7):
90 · r(4, 7) = 100 ⇒ r(4, 7) =
1
100
= 1.1111
90
da cui
1
r(4, 7) = [1 + i(4, 7)]3 = 1.1111 ⇒ i(4, 7) = (1.1111) 3 − 1 = 0.0357
Poichè: r(0, 4) · r(4, 7) = 1.1695 < r(0, 7) = 1.1764, possiamo applicare
la seguente strategia di arbitraggio:
Operazione
1. Vendita scoperto r(4, 7) per 50 000
2. Vandita scoperto r(0, 4) per 45 000
3. Acquisto r(0, 7) per 42 751.28
Totale
0
+42 751.28
−42 751.28
0
4
+45 000
−45 000
7
−50 000
+50 292.60
+292.60
0
2. Data la seguente struttura dei tassi i(0, 4) = 10%, i(0, 7) = 15%,
i(7, 10) = 11%, in un mercato in cui vige l’ipotesi di assenza di arbitraggi, determinare i tassi i(4, 7) e i(0, 10).
Svolgimento
Calcolo del tasso a termine i(4, 7). Dalla formula:
r(0, 4) · r(4, 7) = r(0, 7) ⇒ r(4, 7) =
(1.15)7
r(0, 7)
=
= 1.8168
r(0, 4)
(1.10)4
da cui:
1
1
r(4, 7) = [1 + i(4, 7)]3 ⇒ i(4, 7) = r(4, 7) 3 − 1 = (1.8168) 3 − 1 = 0.2202
Calcolo del tasso a pronti i(0, 10). Dalla formula:
r(0, 10) = r(0, 7) · r(7, 10) ⇒ r(0, 10) = (1.15)7 (1.11)3 = 3.6379
da cui:
1
1
r(0, 10) = [1+i(0, 10)]10 −1 ⇒ i(0, 10) = [r(0, 10)] 10 −1 = [3.6379] 10 −1 = 0.1378
2
3. Al tempo t = 0 si osservano sul mercato i prezzi delle seguenti obbligazioni (di valore nominale 100 euro):
• 97 prezzo a pronti di un’obbligazione con scadenza t = 2;
• 95 prezzo a pronti di un’obbligazione con scadenza t = 6;
• 94 prezzo a termine di un’obbligazione con emissione al tempo
t = 2 e scadenza t = 6.
Calcolare i tassi di interesse i(0, 2), i(0, 6), i(0, 2, 6).
Dire se, dall’osservazione di tali tassi, si puó dedurre che é violato il
principio di assenza di arbitraggio.In caso affermativo, costruire una
strategia di arbitraggio e determinare il profitto finale, supponendo
di potere effettuare vendite allo scoperto per un importo massimo di
100 000 . e
Svolgimento
Determiniamo il tasso a pronti i(0, 2):
97 · r(0, 2) = 100 ⇒ r(0, 2) =
100
= 1.0309
97
da cui
1
r(0, 2) = [1 + i(0, 2)]2 = 1.0309 ⇒ i(0, 2) = (1.0309 2 − 1 = 0.0153
Determiniamo il tasso a pronti i(0, 6):
95 · r(0, 6) = 100 ⇒ r(0, 6) =
100
= 1.0526
95
da cui
1
r(0, 6) = [1 + i(0, 6)]6 = 1.0526 ⇒ i(0, 6) = (1.0526) 6 − 1 = 0.0085
Determiniamo il tasso a termine i(2, 6):
94 · r(2, 6) = 100 ⇒ r(2, 6) =
100
= 1.0638
94
da cui
1
r(2, 6) = [1 + i(2, 6)]4 = 1.0638 ⇒ i(2, 6) = (1.0638) 4 − 1 = 0.0155
Poichè: r(0, 2) · r(2, 6) = 1.0966 > r(0, 6) = 1.0526, possiamo applicare
la seguente strategia di arbitraggio:
3
Operazione
1. Vendita scoperto r(0, 6) per 100 000
2. Acquisto r(0, 2) per 95 002.85
3. Acquisto r(2, 6) per 97 938.43
Totale
0
+95 002.85
−95 002.85
2
+97 938.43
−97 938.43
0
0
6
−100 000
104 186.90
+4 186.90
4. Data la seguente struttura di tassi di interesse a pronti in un mercato
in cui vige l’ipotesi di assenza di arbitraggi:
i(0, 4) = 12%;
i(0, 8) = 10%;
calcolare il tasso a termine i(4, 8).
Svolgimento
Dalla formula:
r(0, 4) · r(4, 8) = r(0, 8) ⇒ r(4, 8) =
(1.10)8
r(0, 8)
=
= 1.3622
r(0, 4)
(1.12)4
da cui:
1
r(4, 8) = [1 + i(4, 8)]4 ⇒ i(4, 8) = [r(4, 8)] 4 − 1 = 0.0803
5. Dati i fattori di attualizzazione v(0, 4) = 0.83 e v(0, 6) = 0.70, determinare il tasso a termine i(4, 6) in un mercato in cui vige l’ipotesi di
assenza di arbitraggi.
Svolgimento
Dalla formula:
r(0, 4) · r(4, 6) = r(0, 6) ⇐⇒ v(0, 4) · v(4, 6) = v(0, 6)
otteniamo che:
v(4, 6) =
v(0, 6)
0.70
=
= 0.8433
v(0, 4)
0.83
4
Poichè:
1
v(4, 6) = [1 + i(4, 6)]−2 ⇒ i(4, 6) = [v(4, 6)]− 2 − 1 = 0.0889
6. Un titolo della durata di 8 anni e valore nominale di 100 che paga
interessi annualmente in base al tasso annuo i = 0.08. Determinare
il suo prezzo (corso tel quel) tre anni e 7 mesi dopo la sua emissione
al tasso di valutazione annuo j = 0.095. Determinare inoltre il corso
secco.
Svolgimento
Per determinare il corso tel quel possiamo attualizzare i flussi che il
titolo erogherà dopo 3 anni e 7 mesi utilizzando le formule delle rendite,
ossia attualizzando gli n = 5 flussi degli interessi costanti restanti pari
a I = 8 fino al tempo t = 3 e poi capitalizzando tutto per 7 mesi:
7
7
T el Quel = 85 0.095 (1.095) 12 +100(1.095)−(8−(3+ 12 )) = 32.38+66.97 = 99.35
oppure:
5
5
T el Quel = 8(1.095)−( 12 ) + 8(1.095)−(1+ 12 ) +
5
5
5
8(1.095)−(2+ 12 ) + 8(1.095)−(3+ 12 ) + 108(1.095)−(4+ 12 ) = 99.36
Per determinare il corso secco occorre determinare il dietimo di interessi. Ossia l’interesse I = 8 viene suddiviso il base al tempo maturato
7
tra l’istante t = 3 e t = 3 anni e 7 mesi, ossia 12
:
D =8·
7
= 4.66
12
Oppure attraverso la proporzione:
8 : 12 = D : 7 ⇒ D =
8·7
= 4, 66
12
Quindi:
CorsoSecco = CorsoT elQuel − Dietimo = 99.35 − 4.66 = 94.69
5
7. Al tempo t = 0 si osservano sul mercato i prezzi delle seguenti obbligazioni (di valore nominale 100 euro):
• 87 prezzo a pronti di un’obbligazione con scadenza t = 2;
• 85 prezzo a termine di un’obbligazione con emissione al tempo
t = 2 e scadenza t = 5.
Calcolare i tassi di interesse i(0, 2) e i(2, 5).
Determinare inoltre il prezzo a pronti (valore nominale 100 euro) di
un’obbligaziona con scadenza t = 5 in un mercato in cui venga rispettato il principio di assenza di arbitraggio.
Svolgimento
Calcolo del tasso i(0, 2). Dalla formula:
87 · r(0, 2) = 100 ⇒ r(0, 2) =
100
= 1.1494
87
da cui:
1
1
r(0, 2) = [1+i(0, 2)]2 ⇒ i(0, 2) = [r(0, 2)] 2 −1 = (1.1494) 2 −1 = 0.0721
Calcolo del tasso i(2, 5). Dalla formula:
85 · r(2, 5) = 100 ⇒ r(2, 5) =
100
= 1.1764
85
da cui:
1
1
r(2, 5) = [1+i(2, 5)]3 ⇒ i(2, 5) = [r(2, 5)] 4 −1 = (1.1764) 3 −1 = 0.0556
Calcolo di r(0, 5) sapendo che non vi è arbitraggio:
r(0, 5) = r(0, 2) · r(2, 5) = 1.1494 · 1.1764 = 1.3521
Quindi:
P · r(0, 5) = 100 ⇒ P =
6
100
100
=
= 73.95
r(0, 5)
1.3521