Logica CFU ORE Sem. SSD TAF Propedeuticità Obiettivi specifici

Logica
Istituzioni di Logica
Complementi di Logica
TI – Teoria degli Insiemi
Teoria dei Modelli
CFU
ORE
Sem.
SSD
TAF
Propedeuticità Obiettivi specifici
9 (6)
72
1
MAT/01
b
Teoria assiomatica degli insiemi. Filtri e ultrafiltri. Strutture e linguaggi del prim'ordine. Ultrapotenze e teorema di compattezza, applicazioni. Teorema di correttezza e completezza per la logica del prim'ordine. Applicazioni all'algebra. Teoremi di Lowenheim‐
corso di logica LT Skolem.(Complementi di ricorsività e teorema di incompletezza di Goedel.)
6
48
1
MAT/01
b
Corso di approfondimento a tutti i corsi precedenti, programma da definire di anno in anno a corso di logica LT seconda dell'attivazione o meno del corso
c
Combinatorica infinita e sue applicazioni: Assioma di Martin. Insiemi quasi disgiunti, club, stazionari, Lemma di Fodor, alberi. Il problema di Suslin. Teoria PCF. Ordini parziali algebre di Boole e teoremi di rappresentazione di Stone per algebre di Boole e ordini parziali. Metamatematica della teoria degli insiemi: Strutture cumulative dell'universo degli insiemi e corso di logica LT principi di riflessione. Modelli Booleani e Forcing. Costruibilità.
b
Proprietà di amalgamazione e strutture omogenee‐universali. Saturazione ed omogeneità. Strutture omega‐categoriche. Strutture fortemente minimali. Dimensione. Teorema di omissione dei tipi. Modelli atomici e modelli primi. Gli immaginari. Definibilità e algebricità per gli immaginari (equivalenze finite). Eliminazione degli immaginari. Formule stabili e definibilità, basi canoniche. Nozioni di non‐forking e indipendenza. Teorie omega‐stabili. corso di logica LT Teorema di Morley.
6
6
48
48
2
2
MAT/01
MAT/01
Algebra
Istituzioni di Algebra
9
ORE
Sem.
72
1
SSD
TAF
MAT/02
b
Algebra Superiore
6
48
2
MAT/02
b
Algebra Computazionale
6
48
2
MAT/02
c
Teoria degli Analli Comm
6
48
1
MAT/02
c
Teoria dei Numeri
6
48
2
MAT/02
c
Propedeuticità
Obiettivi specifici
Rappresentazioni di gruppi: concetti e risultati generali Carattere di una rappresentazione Lemma di Schur Rappresentazioni indotte e reciprocità di Frobenius. Algebre finitamente generate.Il teorema di Witt. Algebre centrali semisemplici. Il teorema di Wedderburn.
Il corso è un'introduzione alla Teoria dei Numeri Algebrici. Argomenti a scelta tra i seguenti: Aritmetica degli anelli interi di estensioni finite del campo razionale. Finitezza del numero delle classi e teorema delle unità di Dirichlet Decomposizione dei primi nei campi di numeri. Questioni di distribuzione dei numeri primi Funzioni zeta ed L. Tesi di Tate. Classificazione delle forme quadratiche sul campo razionale. Introduzione alla teoria aritmetica delle curve ellittiche.
Complessità computazionale, P/NP. Questioni legate ai numeri primi: esistenza, algoritmi di primalità. Algoritmi basati sulla struttura di gruppo delle curve ellittiche. I teoremi AKS e Nair I teoremi di Chebyshev e Bertand Funzioni L di Dirichlet. Frazioni continue. Equazione di Pell e unità quadratiche. Matrici, frazioni continue e ricorrenze lineari. Teoria generale degli ideali in anelli commutativi. Anelli quoziente. Nilradicale e radicale di Jacobson. Anelli locali e localizzazione. Anelli noetheriani: il Teorema della Base di Hilbert, la decomposizione primaria. Teoria dei moduli su un anello commutativo. Prodotto tensoriale, successioni esatte, proprietà di esattezza. Dipendenza integrale. Lemma di Normalizzazione di Noether e Nullstellensatz di Hilbert. Anelli normali. Going up e Going down. Anelli artiniani e graduati. Elementi di teoria della dimensione.
Il corso è una prosecuzione del corso di Algebra Superiore verste sulla teoria algebrica dei numeri e sulla geometria aritmetica.
Geometria
Istituzioni di Geometria
Geometria Superiore
CFU
ORE
Sem.
SSD
TAF
9
72
1
Mat/03
b
9(6)
72
2
Mat/03
b
Propedeuticità
Ist. Geometria
Geometria Algebrica
6
48
2
Mat/03
b
Ist. Geometria
Geometria Differenziale
6
48
2
Mat/03
b
Ist. Geometria
Geometria Computazionale
6
48
1
Mat/03
b
Ist. Geometria
Topologia Algebrica
6
48
1
Mat/03
c
Ist. Geometria
Geometria Complessa
6
48
1
Mat/03
c
Ist. Geometria
Gruppi di Lie
6
48
1
Mat/05
c
Ist. Geometria
Obiettivi specifici
Elementi di algebra commutativa Varieta’ algebriche affini e proiettive. Morfismi e mappe razionali. Varieta’ differenziabili e loro spazi tangenti. Campi di vettori e loro indici. Forme differenziali, mappa di Gauss e teorema di Gauss‐Bonnet. Proprieta’ delle varieta’ algebriche affini e proiettive: spazio tangente, singolarita’ e dimensione. Ordine di una varieta’ proiettiva, cono tangente e molteplicita’.
Coomologia di de Rham. Teoria di Morse. Varietà complesse. Fasci e fibrati vettoriali. Coomologia dei fasci. Superfici di Riemann.
Varietà algebriche affini. Insiemi algebrici affini. Topologia di Zariski. Teorema degli zeri di Hilbert. Varietà affini. Funzioni sulle varietà: morfismi e isomorfismi; campo delle funzioni razionali e applicazioni razionali. Varietà algebriche proiettive. Morfismi, funzioni razionali ed equivalenza birazionale. Proprietà delle varietà. Spazio tangente e singolarità. Dimensione di una varietà: equivalenza tra diverse definizioni. Grado di una varietà proiettiva: cenni al Teorema di Bezout. Esempi. Curve razionali normali. Immersione di Veronese. Immersione di Segre e prodotto di varieta’ proiettive. Varietà delle coniche di P^2. Proiezioni. Scoppiamenti. Cenni alle varietà razionali e unirazionali. Grassmanniane G(k,n) e immersione di Plücker. Esempi di geometria enumerativa: rette su una superficie di P^3. Fibrati vettoriali. Definizione. Esempi di fibrati. Sezioni. Fibrati lineari e mappe da varietà negli spazi proiettivi. Cenni sulla coomologia dei fasci. Il teorema di Riemann Roch, cenni.
Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Campi vettoriali e bracket di Lie. Distribuzioni ed il Teorema di Frobenius. Tensori e forme differenziali. Differenziale esterno e derivata di Lie. Nozioni di base su gruppi ed algebre di Lie. Sottogruppi di Lie e loro relazioni con le algebre di Lie. Metriche Riemanniane , connessione di Levi‐Civita, tensori di curvatura ed equazioni di struttura.
Anello di polinomi in una e più indeterminate a coefficienti in un campo e sue proprietà. Ordinamenti sui monomi. Basi di Groebner di un ideale. Algoritmo di Buchberger Operazioni sugli ideali e basi di Groebner corrispondenti. Sistemi di equazioni polinomiali e varietà algebriche. Teoria dell'eliminazione. Calcolo della dimensione di una varietà. Varietà toriche; reticoli e grafi collegati. Uso di software specifico (Maple, CoCoA, SINGULAR)
Richiami su gruppo fondamentale, categorie e funtori, azioni di gruppo, rivestimenti topologici, relazioni tra rivestimenti e gruppo fondamentale. Algebra omologica, delta‐
complessi e omologia simpliciale, omologia singolare e sue proprietà omotopiche, successione di Mayer‐Vietoris, omologia relativa e escissione.
Richiami di analisi complessa in una variabile complessa. Elementi di analisi complessa in più variabili. Varietà complesse. Fibrati vettoriali. Strumenti algebrici: teorie omologiche e coomologiche, prefasci e fasci, coomologia di Cech. Strumenti analitici: forme differenziali, coomologia di de Rham e di Dolbeault. Superfici di Riemann e curve algebriche o teoria delle deformazioni di strutture complesse.
Gruppi e Algebre di Lie: definizione ed esempi. Legami tra Gruppi e Algebre di Lie: teoremi di Lie. Gruppi e Algebre di Lie semisemplici, risolubili e nilpotenti. Metriche Riemanniane invarianti su gruppi di Lie e curvatura. Azioni di gruppi di Lie su varieta'; spazi omogenei; metriche invarianti su spazi omogenei.
Analisi Matematica
Istituzioni di Analisi Matematica
ORE
Sem. SSD
TAF
Propedeuticità
9
72
1
Mat/05
9(6)
72
1
MAT/05 b
Ist. Analisi
Analisi Armonica e di Fourier
6
48
2
MAT/05 b
Ist. Analisi. e An. Sup.
Equazioni Differenziali e Analisi non Lineare
6
48
2
MAT/05 c
Ist. Analisi
Metodi Variazionali
6
48
2
MAT/05 b
Ist. Analisi. e An. Sup.
Operatori Lineari e Analisi Microlocale
6
48
2
MAT/05 c
Ist. Analisi
Analisi Superiore
Analisi su varietà
6
48
2
b
Mat/05‐07c
Ist. Analisi
Obiettivi specifici
Teoria della Misura di Lebesgue. Spazi di Banach e Hilbert. Spazi funzionali L^p, lo spazio H^1. Operatori. Spettro di un operatore compatto autoaggiunto. Distribuzioni.
Trasformata di Fourier. Spazi vettoriali topologici, spazi di Frechét, la classe di Schwartz. Trasformata di Laplace, PDE lineari. Spazi di Sobolev, problemi al contorno per PDE
Algebre di Banach, Trasformata di Gelfand; Trasformata di Fourier su gruppi localmente compatti.
Punto fisso di Schauder. Biforcazioni, metodi topologici, metodo diretto del calcolo delle variazioni e applicazioni alle Equazioni Differenziali. Metodi variazionali per PDE non lineari. Problemi ai limiti, della geometria e della Fisica Matematica. Proprietà qualitative delle soluzioni.
Operatori pseudo‐differenziali e calcolo simbolico. Stime L^2 e spazi di Sobolev. Parametrix di un operatore ellittico. Regolarità delle soluzioni delle equazioni ellittiche. Fronte d'onda e proprietà microlocale.
Varietà e flussi. Connessioni e sistemi di equazioni a derivate parziali su varietà. Problemi ai limiti su varietà con bordo. Problema di Cauchy in Relatività Generale.