Lavoro di una forza

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Lavoro
In fisica non si compie lavoro se lo spostamento è nullo.
1. Lavoro compiuto da una forza uniforme con spostamento rettilineo
Il moto di un oggetto è legato non all’azione di singole forze ma alla forza risultante. Un oggetto posato sul
pavimento rimane fermo anche se agisce la forza di gravità. Oltre alla forza di gravità c’è la reazione elastica del
pavimento che bilancia il peso dell’oggetto e fa sì che la risultante delle forze sia nulla.
Quando spingiamo su un oggetto appoggiato sul
pavimento, per esempio una poltrona come in
figura, le forze agenti sono tre, ma l’unica
responsabile dello scivolamento orizzontale
della poltrona è la componente orizzontale della
forza . La componente orizzontale di è
l’unica che lavora nel senso fisico del termine. La
forza peso e la forza normale
non
compiono lavoro. L’idea che è alla base della
definizione di lavoro in fisica è che una forza compie lavoro se contribuisce
a provocare lo spostamento del corpo. Per cui se lo spostamento è nullo o avviene in direzione perpendicolare
alla forza, la forza in questione non compie lavoro.
Prima di definire il lavoro nel caso generale, forniamo la definizione di lavoro in un caso particolare:
Se la forza è uniforme (ha lo stesso modulo e la stessa direzione e verso lungo tutto lo spostamento) e lo
spostamento
è rettilineo il lavoro è definito dal prodotto scalare tra forza e spostamento
è
Il prodotto scalare tra due vettori ha come risultato una grandezza scalare, il lavoro è quindi uno scalare. Il lavoro
può assumere valori positivi o negativi poiché
.
L’unità di misura
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Riprendiamo la relazione:
, per le proprietà
commutativa ed associativa della moltiplicazione possiamo trascriverla
come
. Come si può notare dalla figura qui a fianco
è uguale alla componente della forza parallela allo
spostamento , ovvero
.
Possiamo quindi riscrivere la definizione di lavoro compiuto da una
forza uniforme , quando lo spostamento è rettilineo:
Nel caso siano note le componenti cartesiane dei vettori:
e
,
Esempi:
1) Un libro di massa 600 g cade dal ripiano della libreria posto a 1,50 m da terra.
Determina il lavoro compiuto dalla forza peso.
In questo caso la forza è la forza peso costante (
) e diretta verticalmente
verso il basso, lo spostamento è rettilineo e diretto anch’esso verso il basso
. L’angolo
.
2) La ragazza in figura ha massa 55 kg .Determina
a) il lavoro compiuto dalla forza peso quando la ragazza si solleva da terra
di 5.0 cm,
b) il lavoro compiuto dai muscoli della ragazza quando si solleva da terra
di 5.0 cm
c) il lavoro che devono compiere i muscoli della ragazza per mantenere la
stessa posizione.
a)
La forza è la forza peso costante (
)e
diretta verticalmente verso il basso, lo spostamento è
rettilineo e diretto verso l’alto
.
L’angolo
.
b) La forza dei muscoli (
l’alto
. L’angolo
è diretta verso l’alto, lo spostamento è rettilineo e diretto anch’esso verso
.
Osservazione 1: Come avrai notato in questo esempio è MOLTO importante quando si parla di lavoro
specificare qual è la forza che lo compie !!
c) La forza dei muscoli per mantenere sollevata la ragazza (
nullo quindi
è diretta verso l’alto, lo spostamento è
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3) La ragazza in figura trascina, a velocità costante, una massa di 50 kg di
libri per 1.0 km. L’inclinazione del manico è di 45° rispetto all’orizzontale.
Il coefficiente d’attrito dinamico tra le ruote del carrello e il marciapiede è
0.20. Determina
a) Il lavoro compiuto dalla forza peso sui libri
b) Il lavoro compiuto dal braccio della ragazza
c) Il lavoro compiuto dalla forza d’attrito.
a) La forza peso è costante (
spostamento è rettilineo ed orizzontale
spostamento
.
) e diretta verticalmente verso il basso, lo
. L’angolo tra la forza peso e lo
b) Tracciamo il diagramma delle forze agenti sul carrello e scegliamo
un sistema di riferimento
forza esercitata dalla ragazza,
come riportato in figura.
è la
è la forza normale dovuta al
contatto del carrello con il marciapiede,
è la forza dovuta
all’attrito
, è la forza peso del carrello
.
Se il moto del carrello è uniforme la forza totale è zero.
Sostituiamo
e
Risolviamo nelle incognite
e poniamo a sistema:
e :
Calcoliamo il lavoro compiuto dal braccio della ragazza:
c) Per calcolare il lavoro compiuto dalla forza d’attrito, determiniamo il modulo della forza d’attrito:
; la forza d’attrito è opposta allo spostamento
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4) In Brasile al Beach Park c’è “Insano” uno scivolo acquatico
alto 41 m con una pendenza di circa 60° .
a) Determina il lavoro compiuto dalla forza peso su una
persona di massa 50 kg che scivola dalla sommità a
terra.
b) Determina il lavoro compiuto dalla forza peso su una
persona di massa 50 kg che si lancia dalla sommità ed
arriva a terra verticalmente.
a) La forza peso (
) è diretta verticalmente verso il basso e, nel caso in cui la persona scivoli, lo
spostamento è obliquo e vale
.
L’angolo tra forza e spostamento vale:
.
Il lavoro compiuto dalla forza peso quando la persona scivola si
calcola:
Essendo
, il lavoro si può anche riscrivere
Osservazione 2: Qualunque sia l’inclinazione dello scivolo, il lavoro compiuto dalla forza peso per scendere i 41
m dalla sommità dello scivolo a terra ha sempre lo stesso valore
Questa proprietà del lavoro compiuto dalla forza peso è molto importante perché permette di utilizzare, nello
studio dei moti, una scorciatoia molto comoda ed affascinante che vedremo più avanti sotto il nome di
conservazione dell’energia.
b) Dall’osservazione appena vista il lavoro compiuto dalla forza peso anche nel caso di un tuffo dai 41
m vale sempre 20 kJ. Questo tipo di percorso è caldamente sconsigliato!
La proprietà appena vista della forza peso non è comune a tutti i tipi di forze come vedremo immediatamente nel
seguente esempio, nel caso della forza d’attrito il lavoro lungo due piani inclinati della stessa altezza è diverso:
5) Lucia, di massa 30 kg, ha nel giardino di casa due scivoli, entrambi sono
alti 2.0 m: il primo ha un’inclinazione di 30°, il secondo ha
un’inclinazione di 50°. Il coefficiente d’attrito tra la bambina e il piano
dello scivolo vale 0.25. Determina:
a) Il lavoro compiuto dalla forza peso quando Lucia scivola sui due
differenti scivoli.
b) Il lavoro compiuto dalla forza d’attrito quando Lucia scivola sui due
differenti scivoli.
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a) Come già notato nell’Osservazione 2, il lavoro compiuto dalla forza peso vale, per entrambi gli scivoli:
Nota bene: l’angolo è l’angolo tra forza e spostamento: nel caso del primo scivolo vale
, nel caso del secondo scivolo vale
.
b) Il modulo della forza d’attrito è data da
Determiniamo la forza normale:
Nel caso del primo scivolo
spostamento
Primo scivolo
, lo
.
Nel caso del secondo scivolo
spostamento
.
, lo
.
In entrambi e casi lo spostamento ha la stessa direzione della forza
d’attrito ma verso opposto, quindi l’angolo tra forza e spostamento
vale
.
Determiniamo il lavoro:
Nel caso del primo scivolo:
Secondo scivolo
Nel caso del secondo scivolo:
Esercizi:
1) Clara, la mamma di Lucia è una bibliotecaria, raccoglie da terra un mucchietto di
libri (massa
), li solleva fino ad un’altezza
poi li trasporta,
tenendoli alla stessa altezza, fino ad un ripiano spostandosi di
.
Determina:
a) Il lavoro compiuto da Clara nel sollevare i libri da terra fino ad .
b) Il lavoro compito dalla forza peso quando Clara solleva i libri da terra fino ad .
c) Il lavoro compiuto da Clara nello spostare i libri orizzontalmente di
.
2) Alberto il padre di Lucia taglia il prato con il tagliaerba.
Applica una forza di 20 N, inclinata rispetto all’orizzontale
di 20°. Il tagliaerba di massa 25 kg procede a velocità
costante per 2.0 m. Determina
a) il lavoro compiuto dalla forza della spinta di Alberto
b) il lavoro compiuto dalla forza d’attrito tra tagliaerba e
prato.
3) Lucia gioca in giardino con il cagnolino che pesa 70 N, lo
appoggia sullo scivolo con inclinazione 30° e lo spinge
verso l’alto di un tratto 72 cm.
a) Determina il lavoro compiuto dalla forza d’attrito, sapendo che il coefficiente d’attrito tra il cane e il
piano dello scivolo vale 0.25.
b) Determina il lavoro compiuto dalla forza peso.
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c) Determina il lavoro compiuto da Lucia, supponendo che il cane venga spinto di moto uniforme.
d) Determina le Kcal (chilocalorie) bruciate da Lucia in questa attività supponendo di poter utilizzare la
conversione 1 Joule = 0,24 cal.
2. Definizione generale di lavoro compiuto da una forza
Nel caso generale, la forza potrebbe non essere costante e lo spostamento non rettilineo, vediamo come
completare la definizione di lavoro in modo che sia applicabile in ogni caso. Iniziamo con un esempio:
1) Esempio: forza uniforme e spostamento non rettilineo
Lucia, la proprietaria degli scivoli dell’esempio 5) pag. 4, sale i gradini per andare in cima ad uno scivolo
che ha altezza 2.0 m. Ciascun gradino ha una profondità di 20 cm ed un’altezza di 25 cm. Determinare il
lavoro compiuto dalla forza peso quando Lucia sale fino alla cima dello
scivolo.
La forza è costante (
), ma lo spostamento
non è rettilineo. Non possiamo utilizzare la
definizione fornita nel parargrafo1. Possiamo però
dividere l’intero spostamento in parti che sono
rettilinee, come mostrato nella figura qui a fianco.
Percorso a gradini per salire sullo scivolo
Suddivisione in parti rettilinee
di una parte del percorso
Possiamo calcolare il lavoro
per percorrere
. L’angolo tra la forza peso e
vale
Calcoliamo il lavoro
per percorrere
. L’angolo tra la forza peso e
vale
Procediamo analogamente per ciascun gradino: il lavoro compiuto dalla forza peso quando Lucia sale fino alla
cima dello scivolo sarà la somma del lavoro compiuto su ogni singolo gradino:
In questi passaggi abbiamo introdotto il simbolo
scalare tra
Il fattore
e
, si legge “sommatoria in da 1 a 15 del prodotto
”.
per
, mentre
per
. Quindi
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SORPRENDENTE!! Anche in questo caso il lavoro compiuto dalla forza peso vale
conto del fatto che questa volta Lucia sta salendo e non scendendo!
, il segno meno tiene
2) Esempio: forza non uniforme e spostamento rettilineo
Lucia sta scendendo lungo lo scivolo alto 2.0 m e un’inclinazione di 50°. Durante la notte ha piovuto e
poi è tornato il sole: il primo tratto dello scivolo
è asciutto, la seconda parte è bagnata. La
forza d’attrito tra la bambina e il piano dello scivolo vale
nel tratto in cui lo scivolo è asciutto
e
nel tratto in cui è bagnato. Determina:
Il lavoro compiuto dalla forza d’attrito quando Lucia scivola lungo tutto lo scivolo.
In questo caso lo spostamento è rettilineo ma la forza varia. Come nell’esempio precedente dividiamo il percorso
in due tratti
e
.
Lungo primo tratto la forza d’attrito vale
nel secondo tratto la forza d’attrito vale
Calcoliamo la forza normale,
Possiamo calcolare il lavoro
d’attrito e
vale
Calcoliamo il lavoro
,
.
.
per percorrere
per percorrere
. L’angolo tra la forza
. L’angolo tra la forza d’attrito e
vale
Il lavoro compiuto dalla forza d’attrito quando Lucia scivola lungo tutto lo scivolo si ottiene:
Da questi esempi possiamo trarre due importanti conclusioni:

Definizione generale di lavoro di una forza
nel caso in cui la forza non sia uniforme o lo spostamento non sia rettilineo, per calcolare il lavoro,
occorre suddividere lo spostamento in parti
che si possano considerare rettilinee e sulle quali la
forza
sia uniforme (ha la stessa intensità e la stessa direzione e verso); il lavoro su ciascuna di queste
parti è dato dal prodotto scalare
singole parti
, il lavoro totale è poi definito dalla somma dei lavori sulle
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Come vedremo in seguito, alcune volte per ottenere parti che si possano ritenere rettilinee sulle quali la
forza sia costante, il numero delle parti stesse è molto grande (per esempio se il percorso è un arco di
circonferenza), diremo che “ tende all’infinito” e scriveremo:
Anche se apparentemente quest’ultima relazione è complicata, consente di utilizzare relazioni matematiche che,
di fatto, semplificano il calcolo del lavoro. Come studierai più avanti c’è una corrispondenza tra
sottesa dal grafico di in funzione dello spostamento.

e l’area
La forza peso ha un’inaspettata proprietà: il lavoro della forza peso non dipende dal percorso
seguito ma solo dal peso e dall’altezza del punto finale rispetto al punto iniziale. Negli esempi
visti abbiamo chiamato tale altezza, in generale se una massa si muove da un punto ad altezza
ad
un punto ad altezza
il lavoro compiuto dalla forza peso per andare da a non dipende dal
particolare percorso seguito (verticale, inclinato, scalini, ….) e si calcola
Quando Lucia sale sullo scivolo passando dai gradini e poi ne
ridiscende lungo il piano inclinato e torna alla base dei gradini
Per ottenere questo risultato abbiamo sfruttato il fatto che
e che
essendo la forza peso
perpendicolare allo spostamento.
Il lavoro della forza peso su un percorso chiuso (punto di
partenza e di arrivo coincidono) è zero. Questo fatto vale in generale ed è equivalente alla proprietà
vista sopra : il lavoro della forza peso non dipende dal percorso seguito ma solo dall’altezza del
punto finale rispetto al punto iniziale. Questa caratteristica della forza peso viene brevemente
espressa dicendo che la forza peso è conservativa. Esistono altre forze conservative come vedremo: la
forza elastica, la forza elettrostatica.
L’attrito non è una forza conservativa
Si usa la parola “conservativa” perché, come vedremo più avanti, per le forze che hanno questa
proprietà si può definire una quantità, detta energia meccanica, che si conserva. La conservazione
dell’energia meccanica è una comodissima scorciatoia per risolvere molti problemi di meccanica.
3) Forza non uniforme e spostamento non rettilineo.
Alberto, il padre di Lucia, ha massa 75 kg (compresa la bicicletta) va a fare un giro in bici. Si muove per
2.5 km lungo una discesa sterrata con una pendenza di 25° (coefficiente d’attrito dinamico =0.35), poi su
un tratto pianeggiante di 3.0 km con lo stesso coefficiente d’attrito, ed infine su una salita asfaltata lunga
2.0 km, con pendenza 15° e coefficiente d’attrito dinamico 0.20. Determina:
a) il lavoro compiuto dalla forza peso su questo percorso.
b) il lavoro compiuto dalla forza d’attrito su questo percorso.
a) La forza agente è la forza peso e, per l’osservazione 2 il lavoro non dipende dal percorso ma solo
dalla differenza di quota tra il punto iniziale e quello finale :
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Calcoliamo
e sostituiamo:



,
b) In questo caso la forza d’attrito non è uniforme (cambia sia il modulo che la direzione) e lo
spostamento non è rettilineo. Dovremo usare la definizione generale di lavoro. Il modulo della forza
d’attrito è data da
.
Nel tragitto compiuto da Alberto riconosciamo 3 tratti che sono rettilinei:
il primo è lungo
, la forza d’attrito lungo questo tratto ha ovunque lo stesso modulo
, l’angolo tra spostamento e forza d’attrito è
.
il secondo è lungo
, la forza d’attrito lungo questo tratto ha ovunque lo stesso modulo
, l’angolo tra spostamento e forza d’attrito è
.
il terzo è lungo
, la forza d’attrito lungo questo tratto ha ovunque lo stesso modulo
, l’angolo tra spostamento e forza d’attrito è
.
Determiniamo la forza normale:
nel primo tratto
,
nel secondo tratto
,
nel terzo tratto
,
Determiniamo il lavoro compiuto dalla forza d’attrito:
A questo punto possiamo trarre delle
importanti conclusioni da questo
esempio. Calcoliamo i valori di
=
che in questo problema
 Nel primo tratto lungo
(ricordando
)
 Nel secondo tratto lungo
 Nel terzo tratto lungo
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Costruiamo, relativamente a questo esempio, un grafico di
in funzione dello spostamento totale. Notiamo
che l’area sottesa da ogni tratto di grafico corrisponde al lavoro compiuto dalla forza nel tratto stesso, questo
risultato è valido in generale:
Osservazione 3: L ’area totale sottesa dal grafico di
in funzione dello spostamento totale e l’asse delle
ascisse fornisce il valore assoluto del lavoro compiuto dalla forza.
Questa proprietà deriva direttamente dalla definizione di lavoro:
Da un punto di vista matematico
è l’area sottesa dal grafico di
in funzione dello spostamento .
Esempi
1) Lucia, sfinita dagli scivoli, in giardino trova un nuovo gioco: un secchio
contenente dell’acqua (massa 1.2 kg) che fa roteare su un piano
orizzontale. Determina il lavoro compiuto dalla tensione della corda
quando Lucia fa compiere al secchio 1 giro al secondo.
In questo problema lo spostamento è drammaticamente non rettilineo. La nostra mente fa fatica a
concepire delle parti nelle quali la circonferenza sia rettilinea. In realtà il
problema è molto più semplice se lo si analizza da un punto di vista fisico: pensa
ad un bella passeggiata in bicicletta su un sentiero di campagna pianeggiante: ti
muovi lungo un cammino rettilineo nonostante la terra sia tonda: il sentiero che
stai percorrendo è un tratto di una circonferenza che puoi considerare rettilineo
ed ha la direzione della tangente alla circonferenza terrestre in quel punto!
Torniamo al problema del secchio: suddividiamo la traiettoria circolare in parti
che si possono considerare rettilinee, la forza esercitata dalla tensione del filo su
ciascuno di questi tratti è la forza centripeta e quindi è perpendicolare allo
spostamento,
.
Questa somma ha un enorme numero di termini, ma ciascuno di essi vale zero,
quindi
Osservazione 4: Nel moto circolare uniforme il lavoro compiuto dalla forza centripeta vale zero!
2) Riccardo, il fratello di Lucia va in palestra ed usa un estensore, in pratica
una molla con costante elastica 3000 N/m.
a) Determina il lavoro che compie per allungarlo di 10 cm.
b) Determina il lavoro che compie per allungarlo da
a
c) Determina il lavoro compiuto dalla forza elastica quando l’estensore
viene allungato da
a
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a) La forza elastica non è uniforme, il suo modulo aumenta all’aumentare dell’allungamento della molla
. La forza applicata da
Riccardo ha direzione e il verso paralleli allo
spostamento. L’angolo tra forza esercitata da
Riccardo e spostamento vale sempre
perciò il lavoro sarà positivo e
. Qui l’operazione di suddividere
lo spostamento in tratti in cui la forza è costante
implica il calcolo infinitesimale al quale non siamo
prepararti; per risolvere questo esercizio possiamo
sfruttare l’osservazione 3: l’area totale sottesa dal
grafico di
in funzione dello spostamento e
l’asse delle ascisse fornisce il lavoro compiuto dalla forza. Tracciamo il grafico di
in funzione
dello spostamento per la forza elastica, il lavoro è uguale all’area del triangolo evidenziato in rosso
b) In questo caso il lavoro si calcola come l’area del trapezio evidenziato in verde nella figura.
In generale, possiamo esprimere il lavoro in funzione di
,
c) La forza esercitata dall’estensore è uguale ed opposta a quella
esercitata da Riccardo, l’angolo tra forza elastica e spostamento vale sempre
perciò il lavoro sarà negativo
Esercizi:
1) Lucia e la famiglia vanno a fare una gita in automobile in collina (massa totale 1400 kg). Partono da
una località A, ad una quota di 850 m ed arrivano, dopo aver percorso un tratto di 3.5 km, alla
trattoria nella località B che ha quota 600 m. La strada percorsa presenta una forza d’attrito
approssimativamente costante di 5000 N. Determina:
a)
Il lavoro compiuto dalla forza peso
b)
Il lavoro compiuto dalla forza d’attrito.
c)
Quante persone ordinano il menù della casa.
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2) Lucia in giardino ha un tappeto elastico con costante elastica
. Determina:
a) Di quanto risulta abbassato il tappeto quando Lucia sta in piedi
sopra ferma (massa di Lucia 30 kg).
b) Il lavoro compiuto dalla forza elastica tra la posizione di Lucia
ferma e quando, dopo il primo salto, Lucia piombando sul tappeto
lo abbassa di 15 cm.
3)
E’ dato il grafico a fianco
a) Descrivi una situazione pratica che può essere
caratterizzata dal grafico dato
b) Calcola il lavoro compiuto dalla forza descritta dal grafico
per portare il corpo da
a
c) Calcola il lavoro compiuto dalla forza descritta dal grafico
per portare il corpo da
a
4)
Lucia prende una molla e ne fissa entrambi gli estremi. Fa scivolare un sasso piatto (
) sul
tavolo al quale è fissato l’elastico (coefficiente di attrito dinamico 0.60). Il sasso scivola sul tavolo ed
allunga l’elastico, poi rimbalza indietro. L’elastico si
tende opponendo una forza
( è
l’estensione dell’elastico)
a) Disegna lo schema delle forze agenti sul sasso
quando sta estendendo l’elastico
b) Sia
la risultante delle forze che agiscono
parallelamente al piano del tavolo (forza
d’attrito + forza elastica) Traccia il grafico di
in funzione di
con
.
c) Determina il lavoro compiuto da
quando l’elastico si allunga da 2.0 a 5.0 cm.
Questo elaborato non vuole essere esaustivo sull’argomento e se ha qualche pregio è grazie al lavoro della IV N –
2012 che ha lavorato seriamente e ha permesso la correzione degli errori presenti. Se rimangono ancora
inesattezze la responsabilità è tutta della scrivente.
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