Lezione 3

Le analisi statistiche regionali
Generalità (trasparente)
unica possibile se mancano dati
consigliabile anche in presenza di dati
l'analisi globale richiede la similitudine idrologica (su base fisica)
classificazione: analisi basate sulle distribuzioni di probabilità
curve inviluppo e formule affini
Curve inviluppo e formule affini
portata "catastrofica"
curva inviluppo U = f(A ) (trasparente)
espressioni analitiche: Forti etc. (trasparente)
formula di Gherardelli-Marchetti (due trasparenti)
U = U 1 0 0 (A /100) - 2 / 3
bacini impermeabili 0,40 ÷ 19,78 m 3 / s
bacini permeabili 0,22 ÷ 13,62 m 3 / s
formula valida per A> 5÷ 10 km2
T circa uguale a 100 anni
Analisi basate sulle distribuzioni di probabilità (trasparente)
classificazione: metodo parametrico
metodo della portata indice
(legge di crescita)
metodo della regressione dei quantili
scelta della distribuzione
Gumbel
lognormale a due parametri
Gamma a due parametri
GEV
TCEV
Wakeby
condizione di separazione (trasparente, appunti)
uso per portate al colmo o medie giornaliere
metodo parametrico: definizione (trasparente)
esempio di applicazione: formule di Lazzari (trasparente)
metodo della portata indice: definizione (trasparente)
esempio di applicazione: formule di Tonini (trasparente)
esempio di applicazione: Dora Baltea (quattro trasparenti)
metodo della regressione dei quantili
1
Determinazione di un idrogramma di piena
Problema del dimensionamento di uno sfioratore (trasparente)
Analisi delle portate al colmo laminate e confronto con il progetto
Idrogramma di piena artificiale:
è nota Q (T), occorre determinare l'idrogramma
Esempio di idrogramma registrato (trasparente)
Procedimento approssimato (ipotesi di Common)
- a parità di volume V , dividendo le ascisse e moltiplicando le
ordinate per t p gli idrogrammi si sovrappongono;
- dividendo le ordinate per V tutti gli idrogrammi si
sovrappongono (trasparenti)
Occorre conoscere t p e V (in pratica q p e V ) per determinare
l'idrogramma di piena dimensionale (trasparente)
- q p si assume uguale a Q (T)
- V si ricava dalla relazione che esprime la dipendenza
media di V da q p (trasparente)
2
Piene: analisi statistiche regionali
Motivazioni:
- sopperire alla mancanza di osservazioni
- integrare le osservazioni disponibili
Assunzione di base:
esistenza della similitudine idrologica tra bacini
Metodo di regionalizzazione:
- uso di distribuzioni di probabilità
- uso di curve inviluppo
25
U [ m3 s -1 k m- 2]
20
15
10
5
0
0
250
500
750
1000
A [km2 ]
Curva inviluppo (aggiornata al 1970) delle
corsi d'acqua della Liguria (Moisello, 1998)
portate
al colmo dei
Formule per la massima portata al colmo
U=
U
A
a, b, c
a + c
A+b
portata al colmo specifica
area del bacino
parametri
Forti
A non superiore a 1000 km2
altezza di precipitazione massima di 200
oppure
altezza di precipitazione massima di 400 mm in 24 h
De Marchi
area inferiore a 150 km 2
altezza di precipitazione di 400 mm in 12 h
Scimemi
area inferiore a 1000 km 2
Pagliaro
area inferiore a 1000 km 2 .
Parametri delle formule di Forti, De Marchi e
Pagliaro
U in metri cubi al secondo per kilometro quadrato
A in kilometri quadrati
Formula
Forti (200 mm in 24 h)
Forti (400 mm in 24 h)
De Marchi
Scimemi
Pagliaro
a
1125
1625
3000
600
2900
b
125
125
125
10
90
c
0,5
1
5
1
0
1000
U100 = 20 m3 s -1 k m - 2
U [ m3 s -1 k m- 2]
100
10
1
0.1
0.01
U100 = 0,2 m3 s -1 k m - 2
0.001
1
10
100
1000
10000
100000
A [km2 ]
Relazione tra area A del bacino e massimo osservato della portata al
colmo specifica U (Marchetti, 1955; Moisello, 1998)
Formula di Gherardelli-Marchetti
Dal grafico:
lnU = a + b ln A
U = exp aAb = cAb
Per A = 100 km2:
U100 = c100b
c=
U100
100b
Sostituendo:
 A 
U = U100 

 100 
b
Formula di Gherardelli-Marchetti
U=U


100 

A  - 23
1 0 0
Analisi basate
probabilità
sull'uso
di
distribuzioni
di
Scelta della distribuzione
Metodo di assegnazione della distribuzione di
probabilità:
- metodo parametrico
- metodo della portata indice
- metodo della regressione dei quantili
Introdurre delle relazioni tra parametri della
distribuzione e parametri del bacino o tra
portata indice e parametri del bacino equivale a
tener
conto
in
qualche
modo
della
trasformazione afflussi-deflussi.
Eventuale necessità di trasformare le portate
medie giornaliere in portate al colmo
La condizione di separazione
Il problema
Data una qualunque distribuzione di probabilità, la stima del coefficiente di asimmetria γ ricavata
da un campione di dimensione N costituisce una variabile casuale, la cui distribuzione ha
ovviamente una propria media e una propria varianza.
Matalas, Slack e Wallis (1975) hanno determinato (per via numerica, con il metodo Montecarlo)
la dipendenza della media e dello scarto quadratico medio della stima del coefficiente di
asimmetria γ dalla dimensione N del campione per sette distribuzioni di probabilità: normale,
uniforme, lognormale a tre parametri, Gamma a tre parametri, Gumbel, Weibull e Pareto a tre
parametri.
Per effettuare le elaborazioni hanno assunto la media della variabile uguale a zero e lo scarto
quadratico medio uguale a uno. (In effetti la normalizzazione della variabile originaria lascia
inalterato il valore del coefficiente di asimmetria.) Per le quattro distribuzioni a tre parametri
(lognormale, Gamma, Weibull e Pareto) hanno preso in considerazione diversi valori del
coefficiente di asimmetria.
I risultati si possono rappresentare graficamente riportando in un piano cartesiano,
rispettivamente in ascisse e in ordinate, la media e lo scarto quadratico medio della stima del
coefficiente di asimmetria γ (ogni grafico corrisponde a un particolare valore della dimensione N
del campione). Per le distribuzioni a due parametri la relazione tra media e scarto quadratico
medio della stima di γ è rappresentata da un punto; per quelle a tre parametri da una curva
(ottenuta collegando i punti che corrispondono ai diversi valori considerati del coefficiente di
asimmetria). Vale la pena di osservare che la media della stima di γ, che costituisce l'ascissa del
punto, è generalmente diversa dal valore vero di γ corrispondente alla distribuzione da cui i
campioni sono stati estratti.
Gli autori hanno inoltre effettuato un'indagine sperimentale, utilizzando le osservazioni
effettuate in più di 1000 stazioni di portata degli Stati Uniti. L'indagine è stata condotta
suddividendo tutte le stazioni in 14 gruppi, corrispondenti a regioni degli Stati Uniti considerate
idrologicamente omogenee.
Le serie di osservazioni di massimi annuali di portata provenienti dalle stazioni appartenenti a
una stessa regione sono state suddivise in diverse serie parziali più brevi di lunghezza assegnata
N e per ciascuna serie parziale è stato stimato il valore del coefficiente di asimmetria γ. Quindi
sono state stimate la media e la varianza di tutte le stime di γ ottenute dalle serie di dimensione N
di una stessa regione.
Su uno stesso grafico (corrispondente alla dimensione N considerata) gli autori hanno quindi
riportato sia i punti e le linee che rappresentano la relazione teorica tra la media e lo scarto
quadratico medio della stima di γ per le sette distribuzioni considerate, sia i 14 punti che
rappresentano la relazione empirica tra la media e lo scarto quadratico medio delle stime del
coefficiente di asimmetria trovata per le 14 regioni omogenee.
I punti sperimentali, ciascuno dei quali ha come ascissa e come ordinata la media e lo scarto
quadratico medio della stima di γ corrispondenti a una particolare regione, si trovano sempre più
in alto delle linee teoriche. In altre parole, la varianza dei valori osservati del coefficiente di
asimmetria risulta sempre maggiore di quella teorica, quale che sia la distribuzione considerata.
A questa circostanza è stato dato il nome di condizione di separazione.
E` stato successivamente verificato che alcune distribuzioni a più di due parametri - la legge
Wakeby, la legge dei valori estremi a due componenti (Two Components Extreme Value,
TCEV) e la legge logistica generalizzata (Generalized Logistic, GLG) (oppure la sua forma
logaritmica, Log-logistic, LLG) (Cunnane, 1989) - permettono di ottenere valori teorici della
varianza del coefficiente di asimmetria che non dànno luogo alla condizione di separazione. Si
presenta però il problema della stima dei parametri, il cui numero è troppo alto per poter fare
affidamento sui risultati ottenuti attraverso un'analisi locale. Per utilizzare queste distribuzioni,
che interpretano meglio la realtà, occorre necessariamente fare ricorso alle analisi regionali.
Osservazioni
La condizione di separazione si regge in modo essenziale sull'ipotesi che all'interno di una
regione omogenea la distribuzione del massimo annuale della portata sia sempre caratterizzata,
indipendentemente dal bacino considerato, dallo stesso valore del coefficiente di asimmetria.
In realtà, l'ipotesi è arbitraria e non corrisponde alla realtà, come è stato fatto osservare da
Klemeš (1976).
Se si definisce l'omogeneità dei bacini di una stessa regione come l'esistenza di un legame di
scala, la condizione di separazione si può spiegare come la conseguenza di un'ipotesi arbitraria
(quella dell'uniformità spaziale del coefficiente di asimmetria) (Dawdy e Gupta, 1995). Il
coefficiente di asimmetria resta infatti effettivamente costante passando da un bacino all'altro
della stessa regione omogenea, quando l'omogeneità è definita come l'esistenza di un legame di
scala semplice tra le portate delle diverse stazioni, cioè quando il rapporto tra le portate con
uguale tempo di ritorno è una potenza con esponente costante del rapporto tra le aree dei
rispettivi bacini idrografici. Ma non è più così, quando l'omogeneità è definita come l'esistenza
di un legame di scala multipla, quando cioè il rapporto tra le portate con uguale tempo di ritorno
è ancora una potenza del rapporto tra le aree dei rispettivi bacini, ma con esponente che a sua
volta dipende dal tempo di ritorno. Ora, l'ipotesi dell'esistenza di un legame di scala semplice
non appare corretta, perchè implica la costanza del coefficiente di variazione, in contrasto con
l'esperienza, che ne mostra la dipendenza dall'area (per aree non piccolissime, il coefficiente di
variazione decresce al crescere dell'area) (Dawdy, 1961; Benson, 1962; Dawdy e Gupta,
1995). Poichè nega l'uniformità del coefficiente di asimmetria, l'ipotesi di un legame di scala
multipla può spiegare la variabilità osservata della stima del coefficiente.
Bibliografia citata
Benson, M.A. 1962. Factors influencing the occurrence of floods in a humid region of diverse
terrain, U.S. Geol. Surv. Water Supply Pap. 1580 B.
Cunnane, C. 1989. Statistical Distributions for Flood Frequency Analysis, Operational
Hydrology Report n. 33, Ginevra, World Meteorological Organization.
Dawdy, D.R. 1961. Variation of flood ratios with size of drainage areas, U.S. Geol. Surv.
Prof. Pap., 424-C, Art. 160.
Dawdy, R.D.; Gupta, V.K. 1995. "Multiscaling and skew separation in regional floods",
Water Resources Research, vol. 31, n. 11.
Klemes∨ , V. 1976. "Comment on 'Regional Skew in Search of a Parent' by N. C. Matalas, J.
R. Slack, and J. R. Wallis", Water Resources Research, vol. 12, n. 6.
Matalas, N.C.; Slack, J.R.; Wallis, J.R. 1975. "Regional skew in search of a parent", Water
Resources Research, vol. 11, n. 6.
Legame di scala semplice:
Q 1 (T) A 1 a
=
Q 2 (T) A 2 
Implica
CV(Q 1 ) = CV(Q 2 )
γ (Q 1 ) = γ (Q 2 )
Legame di scala multipla:
Q 1 (T) A 1 a(T)
=
Q 2 (T) A 2 
Non implica
CV(Q 1 ) = CV(Q 2 )
γ (Q 1 ) = γ (Q 2 )
Analisi statistiche regionali
Metodo parametrico
Esempio:
Q
distribuita secondo una distribuzione
lognormale, rappresentata dalla relazione
lnQ (T ) = µ (lnQ ) + z(T ) σ (lnQ )
dove z è la variabile gaussiana standardizzata.
Si assume che i due parametri µ ( l n Q ), σ ( l n Q )
siano funzioni delle grandezze caratteristiche
del bacino (per esempio dell'area).
Esempio di metodo parametrico
Formule di Lazzari
Q
portata al colmo (in metri cubi al secondo)
T
tempo di ritorno (in anni)
z
variabile gaussiana standardizzata
A
area del bacino (in metri quadrati)
z m altezza media del bacino (in metri)
Sardegna occidentale:
l o g Q (T ) =
0 , 3 5 8 3 z(T ) + 0 , 9 5 6 l o g (A z m ) - 9 , 0 2 7 4
Sardegna orientale:
l o g Q (T ) =
0 , 4 4 1 3 z(T ) + 0 , 7 4 6 l o g (A z m ) - 6 , 2 5 7
Analisi statistiche regionali
Metodo della portata indice
Portata al colmo adimensionalizzata:
X = Q /Q i n d i c e
Spesso Q indice = µ (Q ) .
Legge di crescita:
X = f(P )
oppure
X = f(T )
Portata Q con tempo di ritorno T :
Q (T ) = X (T )Q indice
Esempio di metodo della portata indice
Formule di Tonini
Espressione
ritorno T :
della
portata
con
tempo
di
q (T ) = µ (q )(1 + 1 , 1 8 l o g T )
µ (q) portata indice
f(T ) = 1 + 1,18 log T
legge di crescita
Particolare significato di T (q): q è il valor medio
delle portate superiori a quella con probabilità
di non superamento
P = 1 - 1/T
Espressione della portata indice:
µ (q ) = C p A 0 , 8
C p coefficiente di piena
Esempio di metodo della regressione dei quantili
Formule di Tonini, Bixio e Della Lucia per bacini
delle Dolomiti
q ( 1 0 0 ) = 0 , 2 7 1 A 1,176
Q (100) = 0 , 6 5 1 A 1 , 0 6 4
Esempio di applicazione
portata indice
del
metodo
della
Scopo: determinare la distribuzione di
probabilità del massimo annuale della portata al
colmo in una sezione priva di osservazioni della
Dora Baltea in Valle d'Aosta
Individuazione della legge di crescita
Regione considerata: Alpi centro-occidentali
Eliminazione dei bacini con area troppo ridotta
Eliminazione dei bacini con C V abnorme
Numero totale delle osservazioni 426
Portata indice: media µ (Q ) del massimo annuale
della portata al colmo
Distribuzione di probabilità: Wakeby
Stima dei parametri: metodo dei momenti pesati
in probabilità (PWM)
Osservazioni (relative a bacini delle Alpi centro-occidentali) adoperate
per l'indagine statistica regionale sulle massime portate di piena al
colmo annuali nella Valle d'Aosta
Bacino
Periodo
N
m(Q)
[m 3 s -1 ]
93,9
s( Q )
[m 3 s -1 ]
13,4
CV(Q)
14
A
[km 2 ]
372
Dora Baltea
a Ponte di Mombardone
Ticino a Bellinzona
1929-1942
1921-1968
48
1515
897,4
308,0
0,343
Dora Baltea ad Aosta
1935-1955
15
1840
278,3
108,4
0,390
Adda a Fuentes
1927-1969
43
2598
602,6
247,1
0,410
Dora Baltea a Mazzè
1930-1971
42
3865
1133,0
507,8
0,448
Dora Riparia
a S. Antonino di Susa
Toce a Candoglia
1927-1953
27
1048
94,6
42,9
0,453
1933-1964
32
1532
1029,0
496,8
0,483
Dora Baltea a Tavagnasco
1920-1985
62
3313
773,6
408,3
0,528
Evançon a Champoluc
1951-1970
20
101,8
24,7
15,0
0,607
Dora Riparia a Oulx
1928-1956
28
262
45,8
28,7
0,627
Stura di Lanzo a Lanzo
1930-1970
39
582
448,0
308,0
0,688
Orco a Pont Canavese
1928-1970
41
617
453,2
323,6
0,714
Sesia a Ponte Aranco
1934-1950
15
695
1320,5
1001,5
0,758
0,143
Individuazione della relazione tra portata indice
e parametri del bacino
Stazioni considerate: sezioni della Dora Baltea
Relazione: portata indice µ (Q ) funzione dell'area
A del bacino
Problema della
osservazioni
non
contemporaneità
delle
Adimensionalizzazione delle medie dei diversi
periodi:
m (Q )* = m (Q )/m (Q T )
Adimensionalizzazione delle aree:
A * = A /A T
Relazione:
µ (Q )* = 0,102 × 10 0,993A *
1
P
0.975
0.95
0.925
0.9
0
1
2
3
4
5
x
Alpi centro-occidentali. Funzione di probabilità del massimo annuale
x (adimensionale) della portata al colmo. (Moisello, 1998)
2
1930-1934
1935-1942
1.5
µ(Q)*
1943, 1948-1950, 1953-1955
1944-1947, 1951-1952
1
0.5
µ (Q)* = 0,102 × 100 , 9 9 3A *
0
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
A*
Valle d'Aosta. Relazione tra area A * (adimensionale) del bacino e
media µ (Q)* (adimensionale) del massimo annuale della portata al
colmo. (Moisello, 1998)
Determinazione dell'idrogramma di piena
Necessaria
sfioratori
per
il
dimensionamento
degli
Procedimento ideale di dimensionamento di uno
sfioratore
Utilizzazione
registrati
di
molti
idrogrammi
di
piena
Predimensionamento dello sfioratore
Simulazione del passaggio delle onde di piena
nel serbatoio
Analisi statistica delle portate al colmo laminate
in uscita
Controllo della congruenza della portata Q (T )
con le dimensioni dello sfioratore
Eventuale ridimensionamento dello sfioratore e
ripetizione del procedimento
q
V
t0
tp
qp
t
Individuazione dell'onda di piena (Moisello, 1998)
Assegnazione della portata al colmo q p con tempo di ritorno T
assegnato
Individuazione della relazione media tra portata al
colmo q p e volume V
40
V = 0,848 q p 0 , 5 4 6
V [Mm3 ]
30
20
10
0
0
200
400
600
800
q p [ m3 s- 1 ]
Cagayan a Uguiaban (Mindanao, Filippine). Relazione tra portata al
colmo q p e volume V dell'onda di piena. (Moisello, 1998)
Suddivisione nel tempo del volume dell'onda di
piena
Prima ipotesi:
dividendo per t p le ascisse e moltiplicando per t p
le ordinate, tutte le onde di piena con lo stesso
volume V diventano sovrapponibili (le ascisse
sono adimensionali, le ordinate sono dei volumi;
l'area sottesa resta uguale al volume V )
Seconda ipotesi
dividendo per V tutte le ordinate, tutte le onde
di piena diventano sovrapponibili
(le ascisse t* = t/t p e le ordinate q * = q t p /V sono
entrambe adimensionali; l'area sottesa è uguale
a uno)
Individuazione
medio
dell'idrogramma
adimensionale
0.8
1979
1985
0.6
q*
1986
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
t*
Alcuni idrogrammi di piena, in forma adimensionale, del Cagayan a
Uguiaban (Mindanao, Filippine) (Moisello, 1998)
0.6
0.5
q*
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
t*
Cagayan a Uguiaban (Mindanao, Filippine)
O n d a di piena adimensionale media (Moisello, 1998)
Determinazione della portata al colmo q p con il
tempo di ritorno T assegnato
Individuazione della relazione
portata al colmo q p e volume V
(media)
tra
Determinazione del volume V corrispondente
alla portata al colmo q p con tempo di ritorno T
Determinazione dell'idrogramma adimensionale
medio:
- t * = t/t p
- q * = q t p /V
- q* = f(t*)
Trasformazione dell'idrogramma
in idrogramma dimensionale:
adimensionale
- determinazione di t p = (V q p *)/q p
- moltiplicazione di tutte le ascisse t* per t p
- moltiplicazione di tutte le ordinate q * per V /t p