Monotonia e punti di estremo

Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Calcolo differenziale
Monotonia e punti di estremo
Teorema di Rolle
Teorema di Lagrange
Prima formula dell’incremento finito
Seconda formula dell’incremento finito
Monotonia e punti di estremo
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Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Monotonia e punti di estremo
Teorema di Rolle
f : [a, b] → R continua
f
derivabile in
(a, b)
⇒
f (a) = f (b)
⇒
∃x0 ∈ (a, b) : f 0 (x0 ) = 0
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Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Teorema di Rolle
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Dimostrazione
Per il Teorema di Weierstrass risulta
f ([a, b]) = [m, M ] ⇒ ∃xm , xM ∈ [a, b]
tali che
f (xm ) = m = min f (x)
x∈[a,b]
f (xM ) = M = max f (x)
x∈[a,b]
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Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Dimostrazione
Se m =
Dunque
M allora f (x) = cost , ∀x ∈ [a, b]
f 0 (x) = 0 ,
∀x ∈ (a, b)
7
Dimostrazione
Se
m < M allora f (a) = f (b) < M oppure
m < f (a) = f (b). Dunque
xM ∈ (a, b)
oppure
xm ∈ (a, b)
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Teorema di
Fermat
⇒
f 0 (xM ) = 0
oppure
f 0 (xm ) = 0
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4
Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Monotonia e punti di estremo
Teorema di Lagrange
f : [a, b] → R continua
f
derivabile in
(a, b)
⇒ ∃x0 ∈ (a, b) : f 0 (x0 ) =
x0 è detto punto di Lagrange
⇒
f (b) − f (a)
b−a
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Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Teorema di Lagrange
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Dimostrazione
Consideriamo la funzione ausiliaria definita su
g(x) = f (x) −
[a, b]
f (b) − f (a)
(x − a)
b−a
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Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Dimostrazione
Risulta
g : [a, b] → R
continua
g derivabile su (a, b) con
f (b) − f (a)
g 0 (x) = f 0 (x) −
b−a
g(a) = f (a) = g(b)
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Dimostrazione
Teorema di
Rolle
⇒
∃x0 ∈ (a, b) : g 0 (x0 ) = 0
⇒
0 = g 0 (x0 ) = f 0 (x0 ) −
⇒
f 0 (x0 ) =
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f (b) − f (a)
b−a
f (b) − f (a)
b−a
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7
Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Monotonia e punti di estremo
Prima formula dell’incremento finito
Sia
f derivabile in x0 . Allora
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
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Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Prima formula dell’incremento finito
cioè
lim
x→x0
µ
f (x) − f (x0 )
− f 0 (x0 )
x − x0
¶
=0
f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 )
lim
=0
⇔ x→x
x − x0
0
⇔ f(x) − f(x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ) = o(x − x0 ) , x → x0
⇔ f(x) = f(x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ) , x → x0
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Prima formula dell’incremento finito
Posto
∆x = x − x0 , ∆f = f (x) − f (x0 )
la formula
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ) , x → x0
può essere riscritta come
∆f = f 0 (x0 )∆x + o(∆x) , ∆x → 0
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Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Monotonia e punti di estremo
Seconda formula dell’incremento finito
Sia f derivabile su I, intervallo aperto in R
siano x1 , x2 ∈ I con x1 < x2 . Allora f è
continua in [x1 , x2 ] e derivabile in (x1 , x2 )
Teorema di
Lagrange
f (x2 ) − f (x1 )
x2 − x1
⇒
∃ x ∈ (x1 , x2 ) : f 0 (x) =
⇒
f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (x)(x2 − x1 ) ,
x ∈ (x1 , x2 )
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Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Seconda formula dell’incremento finito
f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (x)(x2 − x1 ) , x ∈ (x1 , x2 )
Se ∆x = x − x0 ,
la formula diventa
∆f = f (x) − f (x0 )
∆f = f 0 (x)∆x ,
x ∈ (x, x0 ) oppure x ∈ (x0 , x)
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Monotonia e punti di estremo
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Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Proprietà
Sia
f derivabile su I, intervallo aperto in R.
f è costante su I ⇔ f 0 (x) = 0 , ∀x ∈ I
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Dimostrazione
Ricordiamo che
f è costante su I ⇔ f (x1 ) = f (x2 ) , ∀x1 , x2 ∈ I
⇒ Vero dalla definizione di derivata
⇐ ∀x1 , x2 ∈ I con x1 < x2 , ∃x ∈ (x1 , x2 ) :
f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (x)(x2 − x1 ) =
= 0 · (x2 − x1 ) = 0
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Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Dimostrazione
Ricordiamo che
f è costante su I ⇔ f (x1 ) = f (x2 ) , ∀x1 , x2 ∈ I
⇒ Vero dalla definizione di derivata
⇐ x1 < x2 ,
con
∃x ∈ (x1 , x2 ) :
f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (x)(x2 − x1 ) =
= 0 · (x2 − x1 ) = 0
⇒ f (x2 ) = f (x1 )
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Proprietà
Sia
f derivabile su I, intervallo aperto in R.
f 0 (x) ≥ 0 , ∀x ∈ I ⇔ f è crescente su I
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Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Dimostrazione
Ricordiamo che
f è crescente su I se ∀x1 , x2 ∈ I ,
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
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Dimostrazione
⇒ Per la seconda formula dell’incremento finito
∀x1 , x2 ∈ I con x1 < x2 , ∃x ∈ (x1 , x2 ) :
f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (x)(x2 − x1 ) ≥ 0
⇒ f (x2 ) ≥ f (x1 )
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Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Dimostrazione
⇐ Sia x0 ∈ I ;
f crescente su I
⇒ x − x0 e f (x) − f (x0 ) hanno lo stesso
segno
⇒
f (x) − f (x0 )
∆f
≥ 0 , ∀x ∈ I
=
∆x
x − x0
⇒ lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
= f 0 (x0 ) ≥ 0
x − x0
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Osservazione
Analogamente, vale:
Sia
f derivabile su I, intervallo aperto in R
f 0 (x) ≤ 0 , ∀x ∈ I ⇔ f è decrescente su I
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Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Proprietà
Sia
f derivabile su I, intervallo aperto in R
f 0 (x) > 0 , ∀x ∈ I ⇒
f è strettamente crescente su I
Attenzione: non vale il viceversa!
Ad esempio f (x) = x3 è strettamente
crescente su R ma
f 0 (x) = 2x2 e f 0 (0) = 0
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Dimostrazione
Ricordiamo che
f è strettamente crescente su
x1 < x2
⇒
I se ∀x1 , x2 ∈ I ,
f (x1 ) < f (x2 )
Per la seconda formula dell’incremento finito,
∀x1 , x2 ∈ I , con x1 < x2 ∃x ∈ (x1 , x2 ) :
f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (x)(x2 − x1 ) > 0
⇒ f (x2 ) > f(x1 )
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Analisi matematica I
Monotonia e punti di estremo
Proprietà
Sia
Sia
f derivabile su I, intervallo aperto in R.
x0 ∈ I con f 0 (x0 ) = 0.
Se f 0 (x) ≥ 0 in Ir− (x0 ) e f 0 (x) ≤ 0 in Ir+ (x0 )
⇒ x0 è punto di massimo (relativo) per f
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Proprietà
Sia
Sia
f derivabile su I, intervallo aperto in R.
x0 ∈ I con f 0 (x0 ) = 0.
Se f 0 (x) ≤ 0 in Ir− (x0 ) e f 0 (x) ≥ 0 in Ir+ (x0 )
⇒ x0 è punto di minimo (relativo) per f
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Monotonia e punti di estremo
Esempio
Consideriamo
f (x) = x2 e−x , dom f = R
Risulta
f 0 (x) = 2xe−x − x2 e−x = x(2 − x)e−x
x1 = 0 , x2 = 2 punti critici per f
f 0 (x) > 0 ⇔ x(2 − x) > 0 ⇔ 0 < x < 2
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Esempio
Consideriamo
f (x) = x2 e−x , dom f = R
Risulta
f 0 (x) = 2xe−x − x2 e−x = x(2 − x)e−x
x1 = 0 , x2 = 2 punti critici per f
f 0 (x) > 0 ⇔ x(2 − x) > 0 ⇔ 0 < x < 2
f crescente in [0, 2]
f decrescente in (−∞, 0] e [2, +∞)
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Monotonia e punti di estremo
Esempio
x1 = 0 punto di minimo assoluto con f (0) = 0
x2 = 2 punto di massimo assoluto con f (2) = 4/e2
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Esempio
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