Modulo 2
“L’algebra dei polinomi”
Mappe, schemi riassuntivi ed esercitazioni
Prof. E. Castello
Introduzione
Fino ad ora abbiamo operato prevalentemente
con i numeri interi o razionali, utilizzando
operazioni aritmetiche, ma abbiamo anche
incontrato alcune regole scritte con l’uso
delle lettere. Tale formalismo richiama il
linguaggio simbolico dell’algebra, in quanto
oltre ai numeri, compaiono anche simboli
letterali. In questo modulo sarai condotto
all’interno del calcolo letterale, imparando
ad operare con i monomi, i polinomi e le
frazioni algebriche.
Mappa concettuale del modulo
Formule letterali: variabili e costanti
Consideriamo un triangolo e
chiamiamo b la base ed h l’altezza.
Come ben sapete l’area del triangolo
si calcola utilizzando la formula
scritta a lato. In questa formula b
ed h sono lettere che possono
assumere diversi valori a seconda
dei casi, possono dunque variare.
Diremo dunque che b ed h sono
variabili. Il numero 2 invece non
cambia se variano la base e
l’altezza, per cui diremo che 2 è
una costante.
h
b
b h
A
2
Assegnazione di valori alle variabili:
dal caso generale al caso particolare
Il concetto di variabile è un concetto fondamentale in
matematica e viene utilizzato per esprimere
proprietà generali, come ad esempio l’area di un
triangolo qualsiasi. Se dovessimo calcolare l’area
per un triangolo particolare, dovremmo assegnare
dei valori precisi alle nostre due variabili.
b=3
h=2
bh
A
2
3 2
A
3
2
Caso particolare
Proprietà generale
Formula letterale
Caso generale
Assegnazione di valori
alle variabili
Caso particolare
Linguaggio simbolico dell’algebra
Il linguaggio dell’algebra è un linguaggio simbolico che ci
permette di rappresentare in forma letterale proprietà
generali. Studiare l’algebra non significa quindi acquisire solo
tecniche di calcolo, ma soprattutto affinare le proprie
capacità di astrazione, sapendo riconoscere
nell’impostazione di un problema, le variabili fondamentali
che entrano in gioco e le relazioni matematiche che le
legano.
Algebra
Linguaggio simbolico
(si manipolano lettere
anziché numeri)
Nota storica
Euclide di Alessandria d'Egitto, attivo nel 300 a.C. Matematico greco formatosi
probabilmente ad Atene presso l'Accademia platonica, insegnò geometria ad
Alessandria d'Egitto, dove fondò una scuola di matematica. Nel suo capolavoro, gli
Elementi le proprietà algebriche vengono trattate utilizzando segmenti e figure
geometriche. Bisogna aspettare il Rinascimento per veder fiorire l’algebra come
disciplina autonoma.
Raffaele Bombelli, (Bologna 1526 – Roma 1572), matematico italiano, fu uno dei grandi
algebristi del Rinascimento. Il suo contributo alla matematica è contenuto in un
trattato di algebra in 3 volumi (il progetto originale ne prevedeva 5), pubblicato l’anno
della sua morte e intitolato Algebra. Il trattato comprende regole di computo per
numeri negativi e relative dimostrazioni. Bombelli però, nel dimostrare proprietà
generali, utilizzava ancora numeri, anziché lettere. La vera rivoluzione si ebbe invece
nel 1600, grazie a Viète.
François Viète, (Fontenay-le Comte 1540 - Parigi 1603), matematico e
uomo politico francese. Conseguì il baccalaureato in diritto nel 1560. A
partire dal 1602 lavorò alle sue prime opere scientifiche e fu autore
di un sistema notazionale di simbolizzazione dell'algebra, grazie al
quale fu possibile applicare il formalismo algebrico allo studio della
geometria. Viète introdusse inoltre l'uso delle lettere nel calcolo per
rappresentare le quantità note e le incognite e portò contributi
fondamentali alla teoria delle equazioni.
Differenza tra espressione letterale e
valore dell’espressione
Valore dell’espressione
Espressione
con a = 3
3
a5
a2
3
3
35 2 1
3 2
1
Caso generale
Caso particolare
Se cambia il valore della variabile
Cambia il valore dell’espressione
Esempi esplicativi
1.
Consideriamo l’espressione letterale 3 + a – 2 b
Diciamo che a e b sono variabili, mentre 3 e
2 sono costanti.
2.
Consideriamo l’espressione letterale x + 2 y .
Il valore di tale espressione per x = 1 e y = 5 è:
1 + 2 * 5 = 1 + 10 = 11
Convenzione di scrittura
Indicheremo generalmente le variabili
con le lettere minuscole
Al posto di
Scriveremo
x*y
xy
2*x
2x
3 * (x + y)
3(x + y)
monomi
Espressione in cui compare solo
l’operazione di moltiplicazione
2x3y4
4xy5z
ab3
5ax2yb5
Grado di un monomio
Somma degli esponenti dei fattori letterali
x
xy
x2y3z5
x0
5
1
1+1=2
2+3+5=10
0
0
Analizziamo un monomio
Parte letterale
3 x2 y b5
Coefficiente numerico
Grado: 2+1+5 = 8
Esercitazioni
1. Scrivi le espressioni algebriche che indicano le seguenti
operazioni:
a. Sommare alla metà di a il doppio di b.
b. Sottrarre al triplo di a il cubo di b.
2. Calcolare il valore numerico delle seguenti operazioni letterali,
assegnando alle lettere i valori indicati:
a. -5a+2b+3ab
con a = -2 e b = 4
R: [-6]
b. 3a2-6a+3
con a = 3
R: [12]
con x = 2
R: [-3]
con x = -5; y = -3; z = 6
R: [10]
c.
2 x 1 3x 2
x 1
2
d. x2+3y-z
Esercitazioni
1. Stabilisci quali delle seguenti espressioni algebriche sono
monomi:
x2y; a + b; 3 x3y2z;
5a4 – b;
x(-y)(z3a4b2);
4(x-y)
5
2. Per ognuno dei seguenti monomi indica il coefficiente, la parte
letterale e il grado:
xyz2;
5x3y4z;
2abc;
8;
-a2b4xy5
3. Scrivi un monomio di ottavo grado che abbia come parte
letterale solo tre variabili.
4. Scrivi un monomio di sesto grado che sia di quarto rispetto
alla lettera y e che abbia coefficiente uguale ad 1.
Monomi simili
Hanno la stessa parte letterale
Monomi simili:
2x3yz2
5x3yz2
Monomi non simili:
4xy7
3x2y
Somma algebrica di monomi
Monomi simili:
2x3yz2
5x3yz2
La loro somma restituisce
un unico monomio:
2x3yz2 + 5x3yz2 = (2+5) x3yz2 =
= 7 x3yz2
Monomi non simili:
4xy7
3x2y
La loro somma
non è un unico monomio
ma un polinomio
4xy7 + 3x2y
L’insieme dei monomi non è chiuso
rispetto alla somma
La somma di due monomi simili è un nuovo monomio
che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti e
come parte letterale la stessa parte letterale
5xy + 3xy = (5 + 3)xy = 8xy
La somma di due monomi simili di grado n
è ancora un monomio di grado n
5xy ha grado 2
3xy ha grado 2
(5 + 3)xy = 8xy ha grado 2
Moltiplicazione di monomi
1. Si moltiplicano i coefficienti numerici
2. Si moltiplicano tra loro i fattori letterali
3. Se ci sono fattori letterali comuni:
si applicano le proprietà delle potenze
Esempio:
5b2 *4b3 =
= (5 * 4) b2 * b3 = 20 b2+3 =
= 20 b5
Grado = somma dei gradi
5=2+3
L’insieme dei monomi è chiuso
rispetto alla moltiplicazione
Potenza di monomi
La potenza di un monomio è uguale al prodotto delle potenze dei suoi fattori
(-2x2yz3)2 = (-2)2(x2)2(y)2(z3)2 = 4x4y2z6
Grado = grado del monomio base * esponente
Grado (-2x2yz3)2 = grado (-2x2yz3) * 2 =
= (2 + 1 + 3) * 2 = 6 * 2 = 12
Esercitazioni
1. Indica tra i seguenti gruppi di monomi quelli simili:
a. 3ab2; ab; -b2a; a2b;
5ab; 3a
3
b. 5 xy; 5ac; -xy; -x2y;
axy; 8ac
2. Calcola le seguenti somme di monomi simili ed indica il loro grado:
a. 5ab3 + 3ab3 =
grado =
b. 10xy + (-11xy) =
grado =
c. -7ac2 + 7ac2 =
grado =
3. Calcola i seguenti prodotti ed indica il grado del monomio risultante:
a. -4a2b(-3ab2) =
grado =
b. 3xyz(-x2z)(3z2) =
grado =
Esercitazioni
Esercitazioni
1. Calcola le seguenti potenze ed indica il grado del monomio risultante:
a. (3xy2)3=
grado =
b. (-2a3bc4)5 =
grado =
c. [-(-3x2)3]2 =
grado =
2. Esegui le seguenti moltiplicazioni dopo aver sommato i monomi simili:
a. 7 ac 1 ac 5 ac 6 a 2 bc
R: 5 a 3 bc 2
4
4
3 11
8
3
13 4
2
3
b. ax ax ax xy 2 2 xy 2 xy 2
4
20 3
3
5
R: 4 ax 2 y 2
3
