Prove di Matematica

Esame di Matematica Discreta
Prova del 17/01
Dimostrare che:
a) Teorema di Bezout
b) Teorema di Lagrange
c) Un grafo è bipartito  è privo di cicli di lunghezza dispari
d) Il ricoprimento associato ad una relazione d'equivalenza è una partizione
1) Dato S = {2,4,6,8,10,12} su cui è definita la seguente relazione:
h α k  h = k oppure (h,k) = p (p: numero primo > 1).
- studiare la relazione α rispetto alle proprietà di simmetria, antisimmetria, riflessività, transitività.
- disegnare la matrice ed il grafo associati ad α.
- determinare se il grafo associato presenta cicli o cammini aperti di Eulero,
-cicli o cammini aperti Hamiltoniani, punti di taglio.
2) In Z10 sono date le strutture algebriche:
a) [x] * [y] = [x + y +3]
b) [x] * [y] = [3x + 2y]
c) [x] * [y] = [4x + 5y]
dire quale ha la struttura di gruppo;
per chi è gruppo determinare i sottogruppi ed un isomorfismo con Z10.
Prova del 07/02
Dimostrare che:
a) Un grafo G con n vertici è un albero se e solo se è privo di cicli |E(G)| = n-1.
b) (Fermat-Eulero) Siano a,n ∈ Z, con n>1. Se (a,n) = 1 allora aΦ (n) ≡ 1 (mod n)
c) Sia (G, ◦) un gruppo e P l’insieme delle potenze con esponente in Z di un elemento a di G. Allora (P, ◦) è un
gruppo commutativo.
d) Siano a,b ∈ Z e d un numero primo che divide ab, allora d o divida a o divide b.
1) Nell’insieme S = {1,2,3,6,8,9} si considerino le relazioni definite ponendo
aαba|b
a β b  a = b oppure 3a < 2b
a γ b  a = b oppure 2a < 3b
a) Dire quali sono relazioni d’ordine;
b) Disegnare il diagramma di Hasse associato alle relazioni d’ordine e dire se è un reticolo
2) Si determini la generica soluzione del seguente sistema di equazioni congruenziali
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 4 (mod 7)
Prova di integrazione del 17/01
a) Provare che il ricoprimento completo associato ad una relazione di equivalenza è una partizione
b) Provare che un gruppo ciclico finito di ordine n è isomorfo a Zn
c) Un albero finito non singolare possiede due vertici di grado 1
d) Un insieme ordinato finito (S, ≤) possiede almeno un elemento massimale. Se è privo di massimo, allora
esistono almeno due massimali.
1) Sia X30 l’insieme degli interi positivi divisori di 30. Provare che l’insieme X30 rispetto alla relazione di
divisibilità è un reticolo. Determinare il diagramma di Hasse e l’elemento (2∨5) ∧15.
2) Sia Z9 l’insieme delle classi resto modulo 9 e Z9* l’insieme formato dagli elementi invertibili rispetto al
prodotto.
a) Provare che Z9* è un gruppo abeliano rispetto al prodotto
b) Dire se è ciclico, in caso affermativo determinare i generatori.
c) Determinare i suoi sottogruppi ed i laterali di uno di essi.