Momenti di una distribuzione

Complemento: momenti di una distribuzione
Momenti di una distribuzione
Sia x una variabile aleatoria continua definita su un insieme E=(a,b) e f(x) una densità di
probabilità. Si definisce momento r-esimo, rispetto al punto x0∈R, non necessariamente
appartenente ad E, la quantità:
b
( r, x 0 )
x
= ∫ (x − x0 )r f (x)dx
a
Tale definizione può essere facilmente adattata al caso di una variabile aleatoria discreta , rispetto
ad un punto v 0∈R, caratterizzata da una distribuzione di probabilità p :
+∞
( r,
0)
= ∑( −
=0
0
) r pv
La definizione di momento di una distribuzione è assai generale e include come casi notevoli
alcuni stimatori statistici già noti.
r=0
b
(0, x0 )
x
b
= ∫ (x − x 0 ) f(x)dx = ∫ f (x)dx = 1
0
a
∀x0∈R,
a
che esprime la condizione di normalizzazione per la distribuzione f(x).
r=1
b
(1,x 0 )
x
= ∫ (x − x 0) f (x)dx .
a
Tale momento assume particolare interesse nel caso in cui x0=0, detto primo momento canonico,
(1,0)
, più semplicemente denotato con x(1) , il quale coincide con la definizione di valore medio
x
della variabile x:
b
(1)
x
= ∫ xf (x)dx = x .
a
r=2
b
(2, x0 )
x
= ∫ (x − x 0 )2 f(x)dx .
a
Nel caso in cui sia x0= x , si ha il secondo momento canonico,
della variabile x:
VINCENZO GUIDI
http://www.fe.infn.it/didattica/ing/
(2)
x
, che coincide con la varianza
METODI DI OSSERVAZIONE E MISURA
I NGEGNERIA CIVILE
Complemento: momenti di una distribuzione
b
(2)
x
= ∫ (x − x 0 ) 2 f (x)dx =
2
x
.
a
r>2
Per i momenti superiori al secondo la definizione di momento canonico è sempre riferita rispetto
al punto x0= x . n
Esempio 1
Calcolare i primi quattro momenti canonici della distribuzione esponenziale, f (x) =
e− x/ L
, con
L
L≥0, definita per x≥0. n
[Risposta:
(0)
x
=1 ,
(1)
x
= L,
(2)
x
= L2 ,
(3)
x
= 2L3 ]
Nel caso di momenti di secondo ordine, si può esprimere un momento rispetto ad un punto
qualsiasi rispetto a quello canonico.
Proposizione
(2, x0 )
x
=
(2)
x
+ (x0 − x )2 .
Infatti, aggiungendo e sottraendo x nel quadrato, si ha:
b
(2, x0 )
x
b
= ∫ (x − x 0 )2 f(x)dx = ∫ [(x − x ) −(x 0 − x )] f (x)dx ;
2
a
a
decomponendo il quadrato, si ottiene:
b
(2, x0 )
x
=
(2)
x
+ (x0 − x )2 − 2(x0 − x )∫ (x − x ) f(x)dx ,
a
che dimostra l’asserto, in quanto l’integrale nell’ultimo termine è nullo, essendo la “somma” degli
scarti. n
Applicazione alla meccanica
Un insieme di punti materiali su una retta è composto da N elementi di massa m1,…, mN, posti
rispettivamente alle ascisse x1,…, xN. Se si definiscono le probabilità pj = mj/m (in questo modo la
N
distribuzione {pj} risulta normalizzata), dove m = ∑ m j è la massa totale del sistema, il primo
j =1
VINCENZO GUIDI
http://www.fe.infn.it/didattica/ing/
METODI DI OSSERVAZIONE E MISURA
I NGEGNERIA CIVILE
Complemento: momenti di una distribuzione
momento canonico della distribuzione rappresenta il centro di massa, xG, del sistema di punti
materiali:
N
∑x m
j
(1)
x
=
j=1
m
j
= xG
Nel caso di un corpo materiale di massa m, caratterizzato da una densità lineare di massa (x) =
dm/dx su di un intervallo E=(a,b), si definisce la distribuzione f(x) = (x)/m come densità di
probabilità (che risulta essere ovviamente normalizzata). Il primo momento di tale distribuzione è
il centro di massa del corpo:
b
(1)
x
b
1
1
= ∫ x (x)dx = ∫ xdm(x) =x G
ma
ma
Il secondo momento della distribuzione f(x) = (x)/m, rispetto ad un punto x0, non è altro che il
momento d’inerzia del corpo materiale rispetto al punto x0 stesso diviso per la massa del corpo:
(2, x0 )
x
b
b
Ix
1
1
2
= ∫ (x − x 0 ) (x)dx = ∫ (x − x0 )2 dm(x) = 0 .
ma
ma
m
Ovviamente il secondo momento canonico è il momento d’inerzia baricentrico diviso per la massa:
b
(2)
x
1
I
= ∫ (x − x G )2 (x)dx = G
ma
m
L’analogia fra la definizione statistica di momento e la meccanica di sistemi “unidimensionali” non
si limita a livello definitorio, bensì permette di trasferire concetti e risultati fra un ambito e l’altro.
Ad esempio, la proposizione dimostrata al punto precedente, che lega i secondi momenti a quello
canonico, può essere riformulata nel seguente ben noto teorema di meccanica elementare:
Teorema di Huygens-Steiner
Ix 0 = IG + m(x − xG )2 ,
che risulta essere facilmente dimostrato, applicando il risultato della proposizione al punto
precedente nel caso di f(x) = (x)/m. n
VINCENZO GUIDI
http://www.fe.infn.it/didattica/ing/
METODI DI OSSERVAZIONE E MISURA
I NGEGNERIA CIVILE
Complemento: momenti di una distribuzione
Altri stimatori statistici basati sui momenti
Coefficiente di variazione
Si definisce coefficiente di variazione il rapporto fra lo scarto quadratico medio e il primo
momento canonico (la media):
Qx =
x
.
x
Il coefficiente di variazione è uno stimatore del grado di dispersione della distribuzione della
variabile aleatoria considerata; la sua natura adimensionale è particolarmente utile ad istituire
confronti fra variabili casuali diverse.
Coefficiente di asimmetria
Tale stimatore quantifica il grado di asimmetria (in inglese skewness) della funzione densità di
probabilità; analogamente il coefficiente di variazione è adimensionale ed è definito dal seguente
rapporto:
x
=
(3)
x
3
x
Se una distribuzione è simmetrica rispetto al valore medio (per esempio la distribuzione normale),
il coefficiente di asimmetria è nullo. Qualitativamente parlando, le distribuzioni limitate
inferiormente ed aventi una lunga coda per valori elevati della variabile aleatoria presentano valori
positivi di x .
Esempio 2
Calcolare il coefficiente di asimmetria della distribuzione esponenziale, f (x) =
e− x/ L
, con L≥0,
L
definita per x≥0. n
[Risposta: dall’esempio 1 si ha
x
=
(3)
x
3
x
=
2L3
= 2 > 0 , in accordo con le considerazioni
L3
precedenti sulla natura della funzione]
VINCENZO GUIDI
http://www.fe.infn.it/didattica/ing/
METODI DI OSSERVAZIONE E MISURA
I NGEGNERIA CIVILE