Lezione 5
Dinamica del punto
Argomenti della lezione
Classificazione delle forze
Forza peso
Forza di attrito radente (statico e dinamico)
Piano inclinato
Forza elastica
Forza di attrito viscoso
Forze centripete
Dinamica del punto Principio d’inerzia
Principio
d inerzia
Perché avviene il moto??
Un corpo non soggetto a forze non subisce
cambiamenti di velocità, ossia rimane in quiete se già
lo era o si muove di moto rettilineo uniforme
Accelerazione
Presenza di
una forza
Forza: Grandezza che esprime
l interazione fra sistemi fisici
La tendenza di un corpo a rimanere fermo o a proseguire di moto rettilineo e
uniforme è chiamata inerzia per cui la prima legge di Newton è anche detta Legge o
Principio di Inerzia.
Dinamica del punto Principio d’inerzia
Quando si tenta di far cambiare la velocità di un oggetto, esso si
oppone a questo cambiamento.
La risposta di tale corpo alla sollecitazione causata dalla forza
esterna prende il nome di
Inerzia.
Tale particolare caratteristica è una proprietà esclusiva del singolo
corpo, il quale la manifesterà tutte le volte che sarà soggetto a tale
tipo di sollecitazione.
Dinamica del punto Principio d’inerzia
L'inerzia viene misurata con la massa e nel Sistema Internazionale (SI)
viene impiegato il chilogrammo. Tale grandezza è una grandezza scalare.
Dati due corpi, di massa diversa, che si trovano sottoposti alla medesima
forza esterna, avranno accelerazioni diverse.
Non bisogna confondere la massa con il peso, esse sono cose
completamente diverse. La massa essendo una proprietà intrinseca del
corpo non dipende da ciò che lo circonda e dal metodo utilizzato per
misurarla.
Il peso di un corpo, invece, è uguale al modulo della forza esercitata dalla
Terra (o chi per essa) su quel corpo e dipende dalla posizione.
Sperimentalmente si osserva che la proprietà di avere inerzia e quella di
pesare "vanno insieme". Cioè sia l'inerzia che il peso sembrano essere
legati allo stesso parametro che caratterizza il corpo: la massa.
Sistemi di riferimento inerziali
Vt
Il moto è relativo: i vettori posizione,
velocità ed accelerazione dipendono dal
sistema al quale viene riferito il moto
della particella.
Quando un corpo è soggetto a una forza
risultante nulla i sistemi di riferimento rispetto
ai quali la sua accelerazione è zero sono
inerziali.
Nel sistema in moto relativo
uniforme la legge del moto è la
stessa che nel sistema fisso
Sistemi inerziali
Il tipo di moto è lo stesso!
(cambiano le condizioni iniziali)
In tutti i sistemi inerziali le proprietà
dello spazio e del tempo sono identiche,
come pure le leggi della meccanica. 5
Dinamica del punto 2° Legge di Newton
La seconda legge di Newton dice cosa accade ad un corpo quando su di esso agisce una
forza non nulla. Se le forze in gioco sono più di una, va considerata la loro somma ossia la
risultante delle forze, o forza risultante.
La relazione fra risultante e accelerazione è data con la seguente definizione formale:
L'accelerazione di un oggetto è direttamente proporzionale alla forza risultante agente su di
esso ed inversamente proporzionale alla sua massa.
Fris = min·a
Questa relazione è di tipo vettoriale e come tale è equivalente alle tre equazioni fra le
componenti
Da questa relazione è facile evincere che se una forza F viene applicata ad un corpo, esso
sarà sottoposto ad una certa accelerazione a che avrà stessa direzione e stesso verso di F.
Ricordando le relazioni viste in
cinematica, l espressione vista
può anche così essere riscritta:
dv
d 2r
F = ma = m
=m 2
dt
dt
Dinamica del punto 2° Legge di Newton
F
F
F
F
F
Grandezza vettoriale!!!
Dimensioni e unità di misura
F
= mina
Le dimensioni per la formula
ris
seguenti:
sono le
[F] = [M][L]/[T][T]
e le corrispondenti unità di misura sono:
F = Kg·m/s·s = N
(dove N indica Newton.
La forza di 1N è quella che, agendo su una massa di 1 Kg, ne causa
un'accelerazione di 1 m/s2)
Applicazioni dei principi della dinamica..
F =0 ⇒a=0
vcost
F = cost ⇒
F
a=
⇒ a = cost
m
Moto uniforme
Moto uniform. accelerato
Determiniamo l’espressione della forza o delle forze presenti.
Una forza è completamente definita quando si conosce qual è il corpo che
la subisce e qual è il corpo che la genera
8
Dinamica del punto 3° Legge di Newton
principio di azione e reazione
Le interazioni tra due corpi si manifestano sempre come due forze,esercitate reciprocamente
da ciascun corpo sull'altro.
Le forze non compaiono mai da sole, ma ognuna di esse è sempre accompagnata da
un'altra forza.
Infatti, se tiro un elastico, questo reagisce tornando indietro, anche violentemente.
Questo tipo di osservazioni portano al principio di azione e reazione; esso afferma che:
se un corpo A esercita una forza su un corpo B, allora B esercita su A una forza della
stessa intensità, ma di verso opposto.
N.B. Stessa
retta di azione
FA,B
FB,A
A
B
FA,B = - FB,A
La quantità di moto
La grandezza
Ricordando
p = mv
si definisce quantità di moto
dv
d 2r
F = ma = m
=m 2
dt
dt
è possibile scrivere
dp d (mv )
F=
=
dt
dt
Fdt = dp
t
p
t0
p0
J = ∫ Fdt = ∫ dp = p − p 0 = Δp
Teorema dell impulso
(forma integrale della legge di Newton)
Risultante delle forze
La forza è una grandezza vettoriale se su un punto agiscono più forze esso si muove come
se agisse una sola forza che è la risultante delle forze vettoriali applicate al punto!
In altri termini l accelerazione del punto (vettore) è pari alla somma vettoriale delle
accelerazioni dovute ad ogni singola forza.
In formule:
n
R = F1 + F2 + ..........Fn + =
R
a= =
m
∑F
i
i =1
F1
F2
n
∑
i =1
n
Fi
= ai
m i =1
∑
F2
F1
R
R
Applicazione
mb = 500kg
∑ F = ma
FRx = FAx + FBx = 40 N cos(45) + 30 N cos(37) = 52.2 N
FRy = FAy + FBy = 40 Nsen(45) − 30 Nsen(37) = 10.3N
tan(θ ) =
FRy
FRx
=
10.3 N
= 0 .2
52.2 N
θ = arctan(0.2) = 11.5o
a=
2
2
F = FRx + FRy = 51N
51N
= 0.1m/s2
500kg
12
Equilibrio
Ricordiamo il principio di inerzia, se un corpo è in quiete o si muove di moto uniforme, su di
esso la forza agente è nulla, ma questo vuole dire in senso più ampio che la risultante delle
forze applicate è nulla!
n
R = F1 + F2 + ..........Fn + =
∑F
i
i =1
Condizioni
di
equilibrio statico
Esempio
Un corpo è sottoposto all azione di una forza F diretta verso l asse negativo delle x e a
quella di una seconda forza F che forma un angolo di 60° con l asse positivo delle x,
determinare modulo direzione e verso della forza F necessaria affinche il corpo sia in
equilibrio.
Reazioni vincolari
Per quanto visto in precedenza se un corpo sottoposto a forze rimane in
equilibrio esso deve essere soggetto a una forza di reazione provocata
dall ambiente circostante.
N
R+N=0
R
La reazione Vincolare
Il corpo è fermo su di un tavolo cioè in equilibrio:
N
a =0⇒
mg
II legge di Newton: la forza complessiva agente sul corpo deve
essere nulla.
N + mg = 0 ⇒ N = −mg
Il tavolo esercita una forza N uguale e contraria alla forza peso, in
modo tale che la forza risultante che agisce sul corpo sia nulla.
Le reazioni vincolari si manifestano ogni qual volta c è un vincolo
ossia un impedimento al moto del corpo. Può avere una
componente normale o parallela al vincolo
15
Reazioni vincolari
Esempi
N
N − Py = 0
P+N =0
N
P
P
N
P
y
x
Classificazione delle forze
Le interazioni in natura sono dovute a pochi tipi di
interazione principali:
L interazione gravitazionale
L interazione elettromagnetica
L interazione nucleare debole
L interazione nucleare forte
Ponendo uguale a 1 l interazione
forte presente fra due protoni a
contatto superficiale allora le
altre interazioni hanno rispetto a
questa le seguenti proporzioni:
L interazione gravitazionale
10-38
L interazione elettromagnetica
10—2
L interazione nucleare debole
10-7
L interazione nucleare forte
1
Forza
Si definisce attraverso gli effetti provocati dalla sua applicazione
F
=k
Δl
Si definisce la forza come
la grandezza derivata, vettoriale
che si misura con il dinamometro
la cui unità di misura è il newton
presenza vincolo
effetto statico
allungamento
L2-L1
F
=m
a
assenza vincolo
effetto dinamico
accelerazione
entrambi direttamente proporzionali
alla forza applicata
L’unità di misura della forza è il newton.
Un newton equivale ad un ettogrammo -peso
Legge fondamentale della dinamica e
la massa
La massa è la costante di proporzionalità tra forza e
accelerazione (rapidità con cui varia la velocità)
F
=m
a
F = ma
La massa è inversamente
proporzionale all’accelerazione
F
=a
m
La massa è direttamente
proporzionale alla forza applicata
Forza peso
Evidenza sperimentale: un corpo che cade qualunque sia
la sua massa inerziale subisce una accelerazione detta di
gravità con modulo che in media vale g=9.81 m/s2
Utilizzando la seconda legge di Newton
F = ma
⇒ P = ma = mg
1 Kgpeso = forza peso di un chilogrammo massa = 1 Kg*9.8 m/s2
1 Kgpeso = 9.8 N
1 N ≅ 1 hgpeso
Massa e peso
F
P
a= ≡ g=
m
m
Massa e peso sono due grandezze direttamente
proporzionali, essendo g costante in un determinato
punto della superficie terrestre; per questo è facile
.
confondersi.
In realtà sono due grandezze tra loro ben diverse
Infatti mentre il peso è una forza ed ha come unità di misura
il NEWTON, la massa ha come unità di misura il Kg
La massa è una grandezza invariante mentre il peso è una
grandezza variante (infatti dipende da g che non sempre è
costante)
La massa è una grandezza scalare, il peso è una grandezza
vettoriale
La massa è una grandezza fondamentale, mentre la forza è
una grandezza derivata
Massa inerziale
F = ma
Per una forza costante la massa è inversamente proporzionale
all'accelerazione.
Essendo il loro prodotto costante, se
la massa raddoppia, l'accelerazione dimezza :
la massa, quindi ostacola il movimento.
Per questo motivo la massa che compare in questa
espressione viene chiamata massa inerziale, dove l'inerzia
viene intesa come resistenza al movimento,
Massa gravitazionale
Ogni massa ha la proprietà sia di attrarre che di essere
attratta da un'altra massa, secondo la legge di
gravitazione universale.
Se indichiamo con m1 e m2 le due masse gravitazionali e
con r la distanza fra i loro centri e G la costante di
gravitazione universale si ha
m1 × m2
F =G
2
r
Massa inerziale e massa gravitazionale
Dalla
si ha
F = ma
P = mg
e dalla
si ha
m1 × m2
F =G
r2
M ×m
P=G
2
R
Per cui
M ×m
mg = G
R2
Dividendo entrambi i membri per m, essendo la massa
gravitazionale uguale alla massa inerziale si ha
M
g =G 2
R
Accelerazione di gravità
L’accelerazione di gravità non
dipende dalla massa dell’oggetto!
M
g =G 2
R
L’accelerazione di gravità
dipende dalla massa terrestre
L’accelerazione di gravità
dipende dal raggio terrestre
Peso e accelerazione
di gravità
P
=m
g
M
g =G 2
R
accelerazione di gravità
e raggio terrestre
accelerazionedi gravità
e massa del corpo celeste
poli raggio minore
spiaggia raggio minore
terra massa maggiore
accelerazione di gravità maggiore
intensità campo gravitazionale maggiore
peso maggiore
accelerazione di gravità maggiore
intensità campo gravitazionale maggiore
peso maggiore
accelerazione di gravità maggiore
intensità campo gravitazionale maggiore
peso maggiore
equatore raggio maggiore
vetta raggio maggiore
accelerazione di gravità minore
intensità campo gravitazionale minore
peso minore
accelerazione di gravità minore
intensità campo gravitazionale minore
peso minore
luna massa minore
accelerazione di gravità minore
intensità campo gravitazionale minore
peso minore
newton g esprime l’intensità del campo gravitazionale,
g=
cioè i newton associati ad un Kg
Kg
Intensità del campo
gravitazionale
newton
F
g = cioè g =
Kg
m
g esprime, quindi, l’intensità del campo
gravitazionale, cioè i newton associati ad un Kg
Il campo gravitazionale è lo spazio in cui
agiscono le forze gravitazionali
Campo di forze
Si può pensare che un corpo A sia in grado di generare una
forza in diversi punti dello spazio ad esso circostante
Un corpo B (puntiforme) si muove in questa zona di spazio e
risente della forza, a seconda del punto in cui si trova
Esempio: il campo gravitazionale
G ⋅ mA ⋅ mB
F=
rˆ
2
r AB
rAB
r̂
A
F
−F B
Il campo gravitazionale
G ⋅ m A ⋅ mB
F=
rˆ se A è la Terra
2
r AB
G ⋅ mT
F = 2 mB
r TB
3
G
⋅
m
L
M L m
T
r 2TB = Mt 2 L2 = t 2 = s 2 Accelerazione!
La FORZA PESO è la forza di gravità applicata in modo
semplice a un sistema di 2 corpi di cui uno molto più
massiccio, considerando l’accelerazione costante
(indipendente dalla massa del corpo B e dalla sua
forma)
F = amB
a≡g
mb ≡ m
Calcolo di g
G
g=
rT
6.67!10"11 m
(
mT
3
!5.98!10
Kg!s 2
6.67!10
6 2
)
m2
24
Kg
= 8.7 m s2
rT
Il risultato non è numericamente
corretto a causa:
Ipotesi: tutta la massa
è concentrata nel
centro della Terra
Della dipendenza di g dalla
distribuzione di massa sulla terra
Dalla variazione del raggio terrestre
punto per punto
Misura di massa
Si confrontano le forze peso, supponendo
costante localmente la gravità
Px mx g
=
Pc mc g
all' equilibrio Px = Pc con g = g
Px mx
quindi =
Pc mc
Massa
campione
Pc = mc g
Massa da
misurare
Px = mx g
Forze di attrito
Attrito radente statico
Quando un corpo scivola o scorre su di una superficie scabra oppure,
quando si muove all'interno di un fluido, come l'aria o l'acqua, si verifica
una resistenza al suo spostamento dovuta proprio alle forze di attrito.
N
F
Fattrito
mg
Consideriamo il semplice esempio di
un blocco poggiato su di un piano
orizzontale a cui viene applicata una
forza parallela al piano, si nota che il
blocco rimane fermo nel caso in cui la
forza applicata non sia sufficientemente
elevata.
Ciò in base al primo principio della
dinamica, permette di dedurre che
insorge una interazione d'attrito fra
piano e corpo, la quale è uguale ed
opposta alla forza che tenderebbe a far
traslare il corpo.
Forze di attrito
Attrito radente statico
L'intensità della forza d'attrito statico non è nota a priori: essa è esattamente quella
sufficiente a bilanciare (annullandone gli effetti) tutte le altre eventuali forze agenti
sul blocco in direzione parallela alle superfici a contatto.
Se immaginiamo di aumentare progressivamente F, anche la forza di attrito statico
aumenterà, e quando il blocco è sul punto di scorrere la forza di attrito statica avrà
raggiunto il suo massimo valore possibile.
Riassumendo, la forza di attrito statico fra due superfici è sempre opposta alla
componente parallela alla superficie della risultante delle altre forze applicate, ed
essa può assumere valori compresi fra zero e µsN.
Il coefficiente µs è detto coefficiente d'attrito statico, ed il suo valore dipende dalla
natura delle superfici in contatto, mentre N rappresenta la reazione vincolare fra le
due superfici. Per esempio, nel caso considerato sopra N è uguale ed opposta alla
forza peso mg.
Se la forza applicata diventa maggiore di µsN le superfici iniziano a scorrere e si
parla quindi di attrito dinamico.
Forze di attrito
Attrito radente statico
Esempio.
Una cassa di legno di massa M=6kg è posta su un piano inclinato di
30° rispetto all'orizzontale. Tenendo conto del fatto che la cassa sta
ferma e considerando tutte le forze agenti sulla cassa calcolare:
N
a. la forza risultante agente sulla
cassa;
b. la reazione normale "N" del
piano nei confronti della cassa;
Fattrito
c. la forza d'attrito statico ;
P
d. il valore minimo del
coefficiente d'attrito statico "µs".
Forze di attrito
Attrito radente statico
Scegliamo due assi cartesiani di riferimento e scomponiamo la forza peso in
due componenti
P=mg =10kg x 9.8m/s2=98 N
y
Px=98sin30°
Px
x
Py
Py=98cos30°
N-Py = Ma
considerando che
l'accelerazione è nulla
P
N-Py=0
N=Py=98cos30°N
Forze di attrito
Attrito radente statico
y
N
x
Fattrito
Px
Analogamente al punto precedente, la
forza d'attrito si calcola facendo la
somma delle forze dirette lungo l'asse x
e ponendola = 0 considerando che
l'accelerazione è nulla.
Px-A=0, Fattrito=Px=98sin30°N
Py
Fs<µsN
µs ?
P
⇒ 98sin30°<µs98cos30° ⇒
Valore minimo di µs affinché la cassa resti ferma è
tang30°
µs>tang30°
Attrito e forza normale
L’attrito è PROPORZIONALE alla forza NORMALE
ALLA SUPERFICIE DI CONTATTO
Nella maggior parte dei casi: forza peso + forze
applicate
attrito
attrito
direzione
del moto
Forza normale alla
superficie di contatto
Forza normale alla
superficie di contatto
direzione
del moto
Forze di attrito
Attrito radente dinamico
Generalmente l'attrito è una forza che si esercita al contatto tra corpi.
Le forze agenti tra due superfici in moto relativo sono dette forze di attrito
dinamico. La forza di attrito dinamico tra due superfici scabre e non
lubrificate segue le seguenti leggi empiriche.
1) Entro grandi limiti è approssimativamente indipendente dalle superfici a
contatto e
2) é proporzionale alla forza normale (cioè alla forza con cui le due
superfici interagiscono in direzione perpendicolare ad esse e che ne
impedisce la compenetrazione).
La forza di attrito dinamico è anche praticamente indipendente dalla
velocità relativa tra le due superfici di contatto.
Forze di attrito
Attrito radente dinamico
Il rapporto tra il modulo della forza di attrito dinamico e quello della forza
normale è chiamato coefficiente di attrito dinamico. Se Fd rappresenta il
modulo della forza di attrito dinamico, allora Fd = µd N dove µd è il
coefficiente di attrito dinamico.
Questo coefficiente dipende dalla natura delle superfici di contatto.
Riassumendo
Fs = µs N
Fd = µd N
con µd < µs
Forza e coefficienti di attrito
f
f s MAX
fD
t
Coefficienti di attrito (numeri puri)
Acciaio su acciaio
Pneumatici su asciutto
Pneumatici su bagnato
µs
0.15
1.0
0.7
µD
0.09
0.7
0.5
Piano inclinato
N
Px
Py
Per
P
tan ϑ > µ s
mgsen ! ! µ d mg cos! = ma
a = g (sen ! ! µ d cos! )
P + N = ma
mg cos ϑ − N = 0
mg sen ϑ = ma
N = mg cos ϑ
a = g sen ϑ
Se è presente attrito
mg senϑ ≤ µ s N = µ s mg cosϑ
tan ϑ ≤ µ s
Condizione di equilibrio statico
N.B. Se
µ d = tan ϑ ⇒ a = 0
Forza elastica
Gli oggetti che principalmente danno origine a forze elastiche sono le
molle. Esse hanno come caratteristica una lunghezza a riposo x0, vale a
dire la lunghezza della molla quando la risultante delle forze applicate
su di essa è nulla, e k, detta costante elastica della molla. Si osserva
sperimentalmente che l'allungamento (o la compressione) di una molla
è proporzionale alla forza applicata:
legge di Hooke,
F = -kΔx
dove Δx=(x-x0) è l'entità della deformazione della molla.
Tale legge vale solamente se la deformazione avviene entro un certo
limite: superato esso la molla perde la propria elasticità.
Si nota che la forza ha segno negativo poiché è sempre opposta allo
spostamento.
Forza elastica
Una molla non sollecitata ha una
lunghezza a riposo x0
Sollecitata da una forza T si allunga (o
si accorcia)
La forza coniugata a T secondo la 3a
legge, generata dalla molla, e` la forza
elastica Fe
Per una molla ideale, l allungamento
(o accorciamento) e l intensita` della
forza sono proporzionali
F = k (x − x0 ) = kΔx
Ove k e` la costante elastica della
molla
Fe
T
Legge di Hooke
In termini vettoriali: F = −k (x − x0 ) = −kΔx
Questa e` la legge di Hooke
Il segno meno indica che la forza, pur avendo
ugual direzione, e` sempre diretta in verso
opposto allo spostamento
Δx
Fe
Δx
FT
FC
Fe
Per ogni molla ciò e` valido in un intervallo
limitato di intensita` di forza che non superi il
cosiddetto limite elastico della molla
Ancora sul moto armonico
Studiamo il moto di un corpo soggetto ad una forza F:
Se F e` la forza di Hooke
d x
ma = m 2 = F
dt
F = −k (x − x0 ) = −kΔx
2
Se il moto e` vincolato in una dimensione, possiamo
scrivere l equazione dell unica componente come
2
segue
d x
m
dt
2
= −k (x − x0 )
Ancora sul moto armonico
Ponendo y=x-x0 e sfruttando il fatto ovvio che
d 2 y d 2x
= 2
2
dt
dt
l equazione del moto diviene
d2y
m 2 = −ky
dt
k
2
Dividendo i membri per m e ponendo ω =
2
m
d y
2
=
a
=
−
ω
y
Otteniamo
2
dt
Cioe` l equazione che individua il moto armonico
Abbiamo quindi scoperto che il moto armonico e`
causato dalla forza elastica
Forza elastica
La legge oraria sarà quindi:
x(t ) = A sen(ωt + φ )
dove A è l'ampiezza di oscillazione e per dimensioni ha una lunghezza, e φ è la fase.
Sia A che
φ
dipendono dalle condizioni iniziali del moto.
Andando a studiare il moto, si osserva che:
→ nel punto di massimo allungamento e di massima compressione,
l'accelerazione è massima e la velocità è nulla (il corpo sta infatti invertendo il verso
del moto)
→ nel punto di equilibrio, l'accelerazione è nulla e la velocità massima (con
opportuno segno a seconda che la molla si stia allungando o comprimendo)
Forza di attrito viscoso
Come per l attrito dinamico, e` sempre opposta
alla velocita`
E` proporzionale alla velocita` del corpo
F = −bv
Ha luogo nel moto di un corpo in un fluido in
particolari condizioni, generalmente a basse
velocita`
Per velocita` piu` elevate la forza d attrito
esercitata dal fluido assume forme piu`
complicate
Forza di attrito viscoso
Per esempio, può essere proporzionale a una potenza di v con un dato
esponente n:
F = −cv n
Supponiamo che un paracadutista si lanci dall'aereo e che - γ(v) sia la
forza d'attrito che egli subisce dall'aria. Vogliamo calcolare la velocità limite
cui arriverà il paracadutista: in questa situazione la velocità sarà costante
(indichiamone con vL il valore) e di conseguenza la sua derivata (ovvero
l'accelerazione) sarà nulla. Basta quindi imporre la seguente condizione:
mg − γ (vL ) = 0
Nel caso particolare in cui sia
γ (v) = β ⋅ v
v L = mg
β
Forza di attrito viscoso
Troviamo la legge oraria integrando l equazione del
moto e supponendo che il corpo abbia inizialmente
(cioe` a t=0) velocita` v(0)
ma = F = −bv
dv
b
=− v
Usiamo la relazione differenziale tra a e v:
dt
m
Se e` presente solo la forza d attrito, si puo` ridurre il
moto ad una dimensione e l equazione per la
componente dei vettori in tale direzione e`
dv
b
v
=− v=−
dt
m
τ
Ove si e` introdotta una costante τ con le dimensioni
del tempo
m
τ=
b
Forza di attrito viscoso
L equazione si risolve per separazione delle variabili
e integrando tra l istante iniziale e finale
Da cui
dv
dt
=−
v
τ
v2
t
2
dv
dt
∫v v = − ∫t τ
1
1
Ponendo t1=0 e t2=t e risolvendo:
t
v(t ) = v(0 )exp −
τ
v(t 2 )
t 2 − t1
log
=−
v(t1 )
τ
Forza di attrito viscoso
Questa equazione oraria ci dice che la velocita`
del corpo decresce esponenzialmente nel
tempo
v(t)
t
Una variante interessante si ha nella caduta di
un grave in un mezzo con attrito viscoso
Forze centripete
Supponiamo che la risultante delle forze agenti su un punto materiale
presenti una componente normale alla traiettoria, questa componente
causa l accelerazione centripeta dell oggetto:
v2
FN = maN = m
R
Dove R è il raggio di curvatura della traiettoria.
In generale forze centripete sono prodotte da rotaie, pneumatici, fili…
ossia vincoli che consentono di incurvare la traiettoria oppure da
forze gravitazionali
Vincoli
Un vincolo e` una qualunque limitazione
dell ambiente al moto del corpo
Questa limitazione avviene per contatto tra corpo
e vincolo
Esempi:
una fune
una superficie d appoggio o rotaia
un asse fisso
un punto fisso
Reazioni vincolari
Il contatto tra corpo e vincolo produce
un interazione che si manifesta sotto
forma di forza
Per il 3o principio la forza con cui il corpo
agisce sul vincolo e` uguale e contraria a
quella, detta reazione vincolare, con cui il
vincolo agisce sul corpo
Le forze vincolari non sono in generale
note a priori, ma si possono dedurre a
posteriori esaminando il comportamento
del sistema
Reazioni vincolari
Esempio: corpo vincolato in equilibrio statico
Supponiamo che il corpo sia soggetto, oltre
alla forza di vincolo V, ad altre forze di
risultante R diversa da zero
Se il corpo e` in equilibrio statico, allora la
risultante di tutte le forze, compresa quella di
vincolo, dev esser nulla:
Rtot = R + V ≡ 0
Da questa relazione possiamo calcolare, a
posteriori, la forza di vincolo:
V = −R
Fili e funi
Sono oggetti che trasmettono la forza solo in
trazione
Al contrario le barre possono trasmettere la forza
sia in trazione, sia in compressione, che in sforzo
di taglio
Fili e funi
Spesso supporremo per semplicita` che le funi
siano
inestensibili (cioe` la lunghezza non cambi)
di massa trascurabile
Tensione di una fune in quiete
Sia data una fune in equilibrio statico, tesa
mediante due forze Fs e Fd applicate ai suoi capi
Fd
Fs
Consideriamo due sezioni arbitrarie A e B e sia
m la massa della fune compresa tra le due
sezioni
TA A
B
TB
Tensione di una fune in quiete
A causa della condizione di equilibrio statico
(cioe` a=0), abbiamo: TA + TB = ma ≡ 0
Ne segue che le tensioni TA che agisce sulla
sezione A e TB che agisce sulla sezione B
devono essere uguali in modulo e opposte in
verso TA = −TB
Se sovrapponiamo A a B troviamo che le
tensioni sui due lati di una sezione sono uguali
A≡B
e contrarie
-T
T
Tensione di una fune in quiete
Dall arbitrarieta` di A e B, segue che la tensione
statica di una fune ha ugual valore T (in
modulo) in ogni punto della stessa
In particolare cio` vale anche alle estremita`,
per cui
Fs = Fd = T
Cioe` le forze esterne che tendono la fune sono
uguali, in modulo, alla tensione della fune
La tensione della fune a ciascuna estremita` e`
la forza coniugata per il 3o principio alla forza
esterna che la tende
Inestensibilita`
Questa ipotesi semplificativa significa che due
punti arbitrari della fune A e B mantengono la
loro distanza indipendentemente dal fatto che
siano in quiete o in moto (accelerato)
Questo implica che abbiano velocita` uguali e
accelerazioni uguali
v A = vB
a A = aB
Non hanno
una risposta
elastica, p.e.
Carrucole
Le considerazioni svolte possono essere estese
al caso in cui siano presenti carrucole e quindi la
fune cambi direzione
Dobbiamo aspettare di introdurre il momento di
forza
