Dinamica generale

Capitolo 5
Dinamica generale
5.1
Postulati della Dinamica Classica
La dinamica ha un obiettivo più ambizioso rispetto alla cinematica studiata
sinora. Infatti, se quest’ultima si limitava a descrivere il moto, la dinamica
ha due traguardi: predire il moto di un sistema materiale note le interazioni
con tutto ciò che lo circonda o, al contrario, risalire alle interazioni in grado
di produrre un moto assegnato. A parte le difficoltà tecniche, occorre superare ostacoli di natura concettuale per raggiungere l’obiettivo dichiarato. Sino a
questo punto abbiamo descritto lo stato di moto di un sistema meccanico in riferimenti diversi osservando come le etichette di “assoluto” o “relativo” attribuite
agli osservatori fossero interscambiabili. La dinamica parte dall’osservazione che
ogni cambiamento nello stato di moto di un punto materiale P è il riflesso di
una interazione tra P ed altri punti materiali. Ora, le interazioni tra P ed il
mondo esterno non debbono dipendere dall’osservatore scelto, mentre lo stato
di moto di P non può prescindere dal riferimento ad un osservatore rispetto al
quale le grandezze cinematiche sono misurate. La delicatezza concettuale che
sta alla base della dinamica nasce dall’esigenza di rilassare la tensione dovuta a
questa dicotomia. Per procedere, bisogna accettare l’idea che ogni descrizione
degli effetti sullo stato di moto di un punto materiale delle sue interazioni con
altri punti materiali deve essere ambientata in –e per questo limitata ad– un
preciso sistema di riferimento. Accettata l’idea che le interazioni di P con altri
punti materiali possono alterarne lo stato di moto, appare ragionevole riferire la
dinamica ad un sistema di riferimento rispetto al quale un ideale punto P che
non interagisce con alcunché (punto isolato) persevera nel suo stato di quiete o
di moto rettilineo uniforme. La prima legge della dinamica postula l’esistenza
di un siffatto osservatore.
Definizione 5.1 Se l’accelerazione aP di un punto materiale isolato P rispetto
ad un osservatore O è identicamente nulla al variare del tempo, l’osservatore O
è detto inerziale.
73
74
CAPITOLO 5. DINAMICA GENERALE
Postulato 1 Esiste un osservatore inerziale.
Osservazione. Accettato il Postulato 1, la cinematica relativa ci assicura l’esistenza di infiniti osservatori inerziali. Infatti, consideriamo un secondo osservatore O′ che sia in moto rettilineo uniforme rispetto ad O. Se O′ è l’origine di
O′ , ciò significa che aO′ = 0 ed ω = 0. Come conseguenza, se aP = 0 è l’accelerazione di un punto materiale isolato misurata da O, anche l’accelerazione di
P a′P misurata da O′ è nulla, per cui anche O′ è inerziale.
Consideriamo ora un sistema isolato composto da due punti materiali P1 e
P2 che possono solo interagire mutuamente. Il prossimo Postulato connette il
concetto di interazione a quello di accelerazione.
Postulato 2 Il rapporto tra i moduli delle accelerazioni a(P1 ) ed a(P2 ) di P1
e P2 misurate rispetto ad un osservatore inerziale è una costante m1,2 che non
dipende né dallo stato cinematico dei punti né dall’istante in cui è effettuata la
misura. Detto P0 un ulteriore punto di prova, le costanti m1,0 ed m2,0 definite
in modo analogo verificano la proprietà
m1,2 =
m2,0
m1,0
(5.1)
La costante m1,2 è la costante di interazione tra P1 e P2 .
Definizione 5.2 Fissato il punto di prova P0 , la costante mi := mi,0 si dice
massa inerziale di Pi .
Per completare il quadro, occorre specificare direzione e verso delle accelerazioni di P1 e P2 causate dalla mutua interazione.
Postulato 3 Le accelerazioni a(P1 ) ed a(P2 ) misurate rispetto ad un osservatore inerziale sono dirette come il vettore P1 − P2 ed hanno versi opposti.
Osservazione. Combinando il contenuto degli ultimi due Postulati abbiamo che
a1 = −
m2,0
a2 .
m1,0
(5.2)
Il prossimo Postulato ci libera dalla restrizione a sistemi isolati composti da due
soli punti.
Postulato 4 In un riferimento inerziale, l’accelerazione a di un punto materiale P che interagisce con più punti materiali P1 , P2 ,...,Pn è la somma vettoriale
delle accelerazioni ai che competerebbero a P se esso interagisse solo con l’iesimo punto Pi .
75
5.2. EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA
Definizione 5.3 Il prodotto f := ma della massa inerziale di un punto materiale P per la sua accelerazione misurata in un riferimento inerziale è detto
forza agente su P .
Grazie a questa definizione possiamo rileggere l’equazione (5.2) nella forma
familiare
f 12 = −f 21 ,
dove f ij è la forza esercitata dal j-esimo punto materiale sull’i-esimo.
La scelta di riferire le leggi della dinamica alla classe degli osservatori inerziali
è ispirata da ragioni di semplicità: per definizione, gli osservatori inerziali vedono
un punto materiale isolato in quiete od in moto rettilineo uniforme. Come
rileggiamo il comportamento di un punto materiale in un riferimento che non è
inerziale?
Dalla cinematica relativa sappiamo che le accelerazioni aP ed a′P di uno
stesso punto materiale misurate dagli osservatori O ed O′ sono legate dalla
relazione
aP = a′P + aO′ + ω ∧ (ω ∧ (P − O′ )) + ω̇ ∧ (P − O) + 2ω ∧ v ′P
′
′
(5.3)
′
dove O è l’origine di O ed ω è la velocità angolare di O rispetto ad O. Supponiamo che O sia inerziale. Moltiplicando ambo i membri dell’equazione (5.3)
per la massa inerziale m di P ed utilizzando la definizione di forza, otteniamo
ma′P = f − maO′ − mω ∧ (ω ∧ (P − O′ )) − mω̇ ∧ (P − O) − 2mω ∧ v ′P :
l’osservatore non inerziale O′ può ancora interpretare il prodotto ma′P come
la forza f ′ esercitata su P , a patto di inserire tra le forze, oltre al vettore f
che definisce la forza agente su P misurata da tutti gli osservatori inerziali,
i vettori −maO′ , −mω ∧ (ω ∧ (P − O′ )) (forza centrifuga) −mω̇ ∧ (P − O)
(forza di Eulero) e −2mω ∧ v ′P (forza di Coriolis). Tali termini rientrano
un po’ abusivamente nel novero delle forze, in quanto scaturiscono dalla non
inerzialità dell’osservatore O′ , anziché dall’effetto di interazioni tra P ed altri
sistemi materiali. Grazie a questa estensione del concetto di forza, anche un
osservatore non inerziale può scrivere f ′ = ma′P .
5.2
Equazioni cardinali della dinamica
Consideriamo un sistema materiale B composto da N punti materiali P1 , P2 ,...,
PN . La forza risultante F i agente sul punto Pi contiene contributi di due tipi:
le forze derivanti dalle interazioni tra Pi e gli altri punti appartenenti al sistema
B e e quelle dovute all’interazione tra Pi e tutto quanto è esterno al sistema
B. Forze del primo tipo sono dette forze interne a B, le altre sono dette forze
esterne a B. Rispetto ad un riferimento inerziale, il moto di ogni punto Pi è
retto dall’equazione
Fi +
N
X
j=1 ,j6=i
F ij = mi ai
i = 1, ..., N .
(5.4)
76
CAPITOLO 5. DINAMICA GENERALE
Sommiamo le N equazioni vettoriali ed indichiamo con
R(ext) :=
N
X
Fi
i=1
la risultante delle forze esterne agenti su B e con
R(int) :=
N
N
X
X
F ij
i=1 j=1 ,j6=i
la risultante delle forze interne al sistema B. Per definizione, R(int) contiene
addendi del tipo F ij , con i 6= j, che esprimono la forza esercitata su Pi da Pj :
R(int) = F 12 + F 13 + ... + F 21 + F 23 + ... + F 2N + ...
fino ad esaurire tutte le possibili coppie di punti appartenenti a B. Riordinando
gli addendi otteniamo
R(int) = (F 12 + F 21 ) + (F 13 + F 31 ) + (F 23 + F 23 ) + ...
dove entro ogni parentesi figurano termini con indici scambiati di posto. Tuttavia, dai postulati generali della dinamica sappiamo che F ij +F ji = 0, qualunque
coppia i, j di indici distinti si consideri. Pertanto R(int) = 0 ed allora
N
X
mi ai = R(ext) .
i=1
Ora, siccome
N
X
i=1
mi a i =
N
X
d(mi v i )
i=1
dt
d
=
dt
N
X
i=1
mi v i
!
e, ricordando la definizione di quantità di moto Q per un sistema materiale
qualsiasi,
dQ
R(ext) =
= Q̇.
dt
Dunque,
R(ext) = Q̇
(5.5)
che è detta prima equazione cardinale della dinamica.
Osservazioni.
• Per ottenere l’equazione (5.5) abbiamo utilizzato l’uguaglianza mi ai = d(mdti v i )
che vale solo quando i punti Pi hanno massa costante. La prima equazione
cardinale nella forma (5.5) continua a valere anche per i sistemi a massa variabile
e si può ottenere con passaggi simili a quelli appena visti a patto di riformulare
i postulati della dinamica in termini di quantità di moto dei punti materiali,
5.2. EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA
77
anziché di accelerazioni. In particolare, occorre ridefinire la forza agente su un
dq
punto materiale P come F = dt , dove q è la quantità di moto di P .
• Sempre limitando l’attenzione
a sistemi con massa costante, possiamo scrivere
P
Q = M v C dove M := N
m
è
la massa complessiva di B e v C la velocità del
i
i=1
centro di massa C di B e pertanto porre (5.5) nella forma
R(ext) = M v̇ C = M aC ,
(5.6)
dove aC è l’accelerazione di C.
Analizzando l’equazione (5.6) ci rendiamo conto che, se il risultante R(ext)
delle forze esterne agenti su B è nullo, allora Q̇ = 0, per cui la quantità di moto
del sistema si conserva, mantiene cioè un valore costante durante il moto del
sistema. Se è solamente la componente di R(ext) lungo una direzione individuata
da un versore fisso n ad annullarsi, R(ext) · n = 0, moltiplicando l’equazione
(5.5) scalarmente per n otteniamo
Q̇ · n = (Q · n)· = 0 ,
dove il passaggio centrale è possibile perché il versore n non dipende dal tempo.
Dunque, in questo caso è la componente Q · n della quantità di moto lungo n ad
avere un valore costante. Riassumendo quanto mostrato sinora abbiamo queste
implicazioni:
(ext)
R
= 0 ⇒ Q =costante
(5.7)
(ext)
R
· n = 0 ⇒ Q · n =costante .
Osservazione Partendo dall’equazione (5.6) possiamo riformulare le leggi di
conservazione (5.7) nella forma
(ext)
R
= 0 ⇒ v C =costante
(5.8)
(ext)
R
· n = 0 ⇒ v C · n =costante :
Nel primo caso il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme, nel
secondo la proiezione della sua velocità lungo n è costante nel tempo.
Ripartiamo ora dalle equazioni di moto dei singoli punti materiali Pi

PN

m1 a1 = F 1 + j=1 ,j6=1 F 1j


PN

m2 a2 = F 2 + j=1 ,j6=2 F 2j

....


 m a = F + PN
N N
N
j=1 ,j6=N F N j
e moltiplichiamo la i-esima equazione vettorialmente per Pi − O, dove O è un
punto mobile arbitrario, ottenendo

PN

(P1 − O) ∧ m1 a1 = (P1 − O) ∧ F 1 + (P1 − O) ∧ j=1 ,j6=1 F 1j


PN

(P2 − O) ∧ m1 a1 = (P2 − O) ∧ F 2 + (P2 − O) ∧ j=1 ,j6=2 F 2j

....


 (P − O) ∧ m a = (P − O) ∧ F + +(P − O) ∧ PN
N
N N
N
N
N
j=1 ,j6=N F N j .
78
CAPITOLO 5. DINAMICA GENERALE
Se ora sommiamo tra loro le equazioni, dalla definizione di momento di un
vettore rispetto ad un polo O ricaviamo
N
X
i=1
(Pi − O) ∧ mi ai = M O ,
(5.9)
dove M O è il momento delle forze rispetto al polo O . Osserviamo che, detta Ω l’origine del riferimento inerziale rispetto al quale stiamo esprimendo le
equazioni di moto, abbiamo
vi =
d(Pi − Ω)
,
dt
vO =
d(O − Ω)
.
dt
Sottraendo la seconda dalla prima di queste equazioni, ricaviamo
d(Pi − O)
= vi − vO .
dt
(5.10)
Notiamo poi che vale la seguente identità
d
d(Pi − O)
[(Pi − O) ∧ mi v i ] =
∧ mi v i + (Pi − O) ∧ mi ai
dt
dt
da cui, servendoci di (5.10), otteniamo
(Pi − O) ∧ mi ai =
d
[(Pi − O) ∧ mi v i ] − (v i − v O ) ∧ mi v i ,
dt
o ancora, notando che v i ∧ mi v i = 0,
(Pi − O) ∧ mi ai =
d
[(Pi − O) ∧ mi v i ] + v O ∧ mi v i .
dt
Se sostituiamo questa espressione in (5.9) ricaviamo
!
N
N
X
d X
[(Pi − O) ∧ mi v i ] + v O ∧
mi v i = M O ,
dt i=1
i=1
dove ci siamo serviti della linearità dell’operazione di derivazione e dell’indipendenza di v O dall’indice di sommatoria. Ora, per definizione, il primo termine è
la derivata temporale di K O , il momento della quantità di moto rispetto ad O;
se richiamiamo anche la definizione di quantità di moto, concludiamo che
K̇ O + v O ∧ Q = M O .
(5.11)
Nel momento M O entrano sia le forze esterne che quelle interne al sistema e,
(int)
(ext)
come prima, possiamo scomporre il vettore come M O = M O + M O . Il
primo termine ha la struttura seguente
(int)
MO
= (P1 −O)∧[F 12 +F 13 +...+F 1N ]+(P2 −O)∧[F 21 +F 23 +...+F 2N ]+... :
79
5.2. EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA
seguendo lo stesso procedimento adottato in precedenza, abbiniamo i termini in
cui compaiono forze del tipo F ij o F ji ,
(int)
MO
= [(P1 −O)∧F 12 +(P2 −O)∧F 21 ]+[(P1 −O)∧F 13 +(P3 −O)∧F 31 ]+...
e notiamo che, siccome F ij = −F ji , possiamo porre ad esempio
[(P1 − O) ∧ F 12 + (P2 − O) ∧ F 21 ] = [(P1 − O) − (P2 − O)] ∧ F 12 = 0 ,
dal momento che (P1 − O) − (P2 − O) = (P1 − P2 ) e F 12 è parallelo a (P1 − P2 ) .
(int)
In sostanza M O = 0 e l’equazione (5.11) diventa
(ext)
K̇ O + v O ∧ Q = M O
,
(5.12)
che è detta seconda equazione cardinale della dinamica.
Osservazioni.
• Se il polo O è fisso, ovvero se O ha velocità istantanea nulla, l’equazione (5.12)
diventa
(ext)
K̇ O = M O
(5.13)
• Similmente, se O ≡ C, centro di massa del sistema, oppure v O è parallelo
a v C , siccome Q = M v C , con M massa complessiva del sistema, l’equazione
(5.12) diventa
(ext)
K̇ C = M C ,
indipendentemente dallo stato di moto di C.
Come già visto per la prima equazione cardinale, è possibile ricavare una
legge di conservazione anche a partire dalla (5.12). Infatti, Consideriamo O fisso.
(ext)
Se M O = 0 vediamo che K̇ O = 0 e dunque il momento della quantità di moto
(ext)
rispetto ad O si conserva. Similmente, se solo la componente di M O
nella
direzione fissa n si annulla, ragionando come fatto in precedenza concludiamo
che K O ·n si conserva. In altre parole, parafrasando le equazioni (5.8) possiamo
affermare che
(
(ext)
M O = 0 ⇒ K O =costante
(5.14)
(ext)
M O · n = 0 ⇒ K O · n =costante ,
ferme restando le ipotesi sulla scelta del polo O.
Osservazione. Abbiamo visto che l’insieme delle forze interne ad un sistema B è
equivalente ad una coppia a braccio nullo e pertanto non figura nelle equazioni
cardinali della dinamica.
Ciò potrebbe indurre a concludere che tali forze non hanno alcun effetto sulla
dinamica dei sistemi. Per convincerci che non è questo il caso, consideriamo il
sistema schematizzato in Figura 5.2, composto da due punti materiali P1 e P2
80
CAPITOLO 5. DINAMICA GENERALE
P1
b
b
v1
P2
v2
Figura 5.1: Sistema soggetto a sole forze interne.
entrambi di massa m e connessi da una molla di costante elastica k e lunghezza a
riposo ℓ0 ma non soggetti ad alcuna altra forza. Se all’istante t = 0 i punti sono
in quiete e la molla ha una lunghezza ℓ 6= ℓ0 , il sistema inizierà a muoversi. Ora,
poiché le forze elastiche esplicate dalla molla sono interne al sistema, mentre le
forze esterne sono assenti, dalle equazioni cardinali ricaviamo che il centro di
massa G di P1 e P2 , inizialmente fermo nel punto medio del segmento P1 P2 ,
rimarrà fermo durante il moto del sistema; inoltre, poiché
Q = 2mvG = 0 = mv 1 + mv 2
dove v 1 e v 2 sono le velocità di P1 e P2 , i punti si muovono con velocità opposte.
Questo esempio è istruttivo per due motivi, in quanto ci permette di mettere
in evidenza una condizione necessaria all’equilibrio di un sistema e ci spinge a
riflettere sulle caratteristiche delle forze interne che le rendono parte attiva nel
moto di un sistema. Premettiamo una definizione.
Definizione 5.4 Se, posti i punti materiali in quiete nella configurazione (Pi0 , mi )
all’istante t = 0, l’evoluzione successiva del sistema è la quiete, cioè se
Pi (t) ≡ Pi0
∀t ≥ 0
risolve le equazioni di moto del sistema, allora la configurazione (Pi0 , mi ) è detta
configurazione di equilibrio per il sistema di punti materiali (Pi , mi ).
Ora, la quantità di moto ed il momento della quantità di moto rispetto ad
un polo O per un sistema in equilibrio rimangono identicamente nulli. Grazie
alle equazioni (5.5) e (5.12) vale il seguente teorema
Teorema 5.1 Condizione necessaria affinché un sistema sia in equilibrio è che
(ext)
R
=0
(5.15)
(ext)
M
= 0.
Le equazioni (5.15) sono dette equazioni cardinali della statica. L’esempio
appena illustrato basta a convincerci che le equazioni (5.15) in generale non
forniscono delle condizioni sufficienti per l’equilibrio.
Se torniamo all’esempio dei due punti materiali, notiamo che la potenza
delle forze interne al sistema non è nulla. Appare allora naturale ottenere una
equazione che faccia entrare in gioco le forze interne ad un sistema, manipolando
la definizione di forza in modo da far comparire la potenza. Questo programma
traduce il contenuto del prossimo teorema, detto teorema dell’energia cinetica.
81
5.3. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Teorema 5.2 La derivata temporale dell’energia cinetica T di un sistema materiale B è uguale alla potenza W di tutte le forze agenti sul sistema:
dT
=W.
dt
(5.16)
Dimostrazione. Moltiplichiamo scalarmente ambo i membri della generica
equazione (5.4) per la velocità v i dell’i-esimo punto materiale del sistema e
sommiamo le equazioni cosı̀ ottenute, ottenendo
N
X
i=1
mi a i · v i =
N
X
i=1
f i · vi = W ,
(5.17)
per definizione di potenza; ora abbiamo indicato con f i la forza complessiva agente sul punto Pi , senza distinguere tra forze interne od esterne perché
l’esempio appena illustrato è sufficiente a chiarire come non ci si possa aspettare per la potenza delle forze interne un fenomeno di elisione simile a quanto
avveniva nelle equazioni cardinali della dinamica. Osserviamo ora che
dvi2
d(v i · v i )
=
= 2vi · ai ,
dt
dt
per definizione di accelerazione e per la simmetria del prodotto scalare. Se
inseriamo questo risultato nell’equazione (5.17) otteniamo
N
X
i=1
N
mi ai · v i =
dT
1 X dvi2
mi
=
=W
2 i=1
dt
dt
che è l’asserto del teorema. Notiamo che W si suddivide in W = W (ext) +W (int) ,
come somma della potenza W (ext) delle forze esterne e di quella W (int) delle forze
interne al sistema. Ora però non è in generale lecito supporre W (int) = 0.
5.3
Equazioni cardinali e teorema dell’energia
cinetica per un corpo rigido
Sia le equazioni cardinali della dinamica che il teorema dell’energia cinetica sono
risultati generali che non dipendono dalla natura del sistema di punti materiali
B cui sono applicati. Supponiamo ora che B compia un moto rigido, ad esempio
perché B è un corpo rigido. La prima equazione cardinale della dinamica non
subisce cambiamenti mentre per la seconda equazione cardinale possiamo usare
l’espressione del momento delle quantità di moto
K O = IIO ω + M (G − O) ∧ v O
(5.18)
purché O sia solidale al moto rigido descritto da B. Ora, Se O ≡ G oppure se
O ha velocità istantanea nulla, allora
K G = IIG ω
K O = IIO ω
82
CAPITOLO 5. DINAMICA GENERALE
e possiamo scrivere la seconda equazione cardinale della dinamica nella forma
(ext)
(IIG ω)· = M G
o
(ext)
(IIO ω)· = M O
.
Qualora si dovesse considerare un polo O, solidale a B ma che non soddisfi i
requisiti precedenti, allora occorre calcolare K O a partire dalla (5.18) e scrivere
la seconda equazione cardinale della dinamica nella forma (5.12). Per calcolare
la derivata temporale assoluta di K O si può usare la (3.12), assumendo come
osservatore relativo quello solidale al moto rigido. In questo caso il tensore di
inerzia di B IIO rispetto ad O è costante per l’osservatore solidale e la derivata
temporale di ω è la stessa rispetto all’osservatore assoluto ed a quello solidale.
Si ha allora
K̇O = M (G − O) ∧ aO + Q ∧ vO + IIO ω̇ + ω ∧ IIO ω .
(5.19)
e dunque la seconda equazione cardinale della dinamica diventa
(e)
IIO ω̇ + ω ∧ IIO ω + M (G − O) ∧ aO = MO .
5.4
(5.20)
Equazioni di Eulero
Quando si studia il moto di un corpo rigido B avente un punto fisso O, le
proiezioni della seconda equazione cardinale della dinamica lungo la (una) terna
principale di inerzia rispetto ad O sono dette equazioni di Eulero. Per ottenerle
è sufficiente porre aO ≡ 0 nella (5.20):
(e)
IIO ω̇ + ω ∧ IIO ω = MO .
(5.21)
Sia {e1 , e2 , e3 } la terna principale di inerzia di B rispetto ad O, positivamente
orientata, ed I1 , I2 e I3 i corrispondenti momenti principali di inerzia. Proiettando l’equazione precedente su questa terna otteniamo il sistema di equazioni
scalari

(e)1

 I1 ω̇1 + (I3 − I2 )ω2 ω3 = MO
(e)2
(5.22)
I2 ω̇2 + (I1 − I3 )ω1 ω3 = MO


(e)3
I3 ω̇3 + (I2 − I1 )ω1 ω2 = MO ,
dove a secondo membro figurano le componenti del momento M O lungo la
terna principale di inerzia: a questo proposito osserviamo che, essendo la terna
principale di inerzia un’incognita, dal momento che si muove col corpo rigido,
dobbiamo in generale ritenere incognito il secondo membro delle (5.21). Le
(5.22)—o la forma vettoriale (5.21)-sono note come equazioni di Eulero per il
corpo rigido. Esse costituiscono un sistema di equazioni differenziali non lineari
del primo ordine nelle componenti della velocità angolare ed, in generale, una
loro esplicita integrazione risulta estremamente complessa.
83
5.4. EQUAZIONI DI EULERO
Osservazione. Le equazioni di Eulero mantengono la stessa forma (5.21) anche
quando il corpo rigido non è dotato di un punto fisso ma si prende come polo il
suo centro di massa G.
Quanto al teorema dell’energia cinetica, osserviamo che nei moti rigidi è possibile precisare una formula di struttura della potenza di un sistema arbitrario
di forze.
Teorema 5.3 Sia M := {(Pi , mi ), i = 1 · · · N } un sistema di punti materiali che compiono un moto rigido e sia f i la forza agente su Pi . La potenza
complessiva del sistema di forze {f 1 , f 2 , ..., f N } è
W = R · v O + M O · ω,
(5.23)
dove R è la risultante del sistema di forze considerate, M O il momento risultante di questo sistema di forze rispetto ad un polo O solidale al moto rigido
compiuto da M; infine v O ed ω sono la velocità di O e la velocità angolare del
moto rigido rispetto ad un osservatore assoluto.
Dim. Detta v i la velocità di Pi , inserendo la formula fondamentale della cinematica rigida
v i = v O + ω ∧ (Pi − O)
nell’espressione
W =
N
X
i=1
f i · vi
della potenza complessiva, otteniamo
W =
N
X
i=1
f i · vO +
N
X
i=1
fi · ω ∧ (Pi − O) :
poiché v O non dipende
PN dall’indice di sommatoria, possiamo riscrivere il primo
addendo come v O · i=1 f i = v O · R. Quanto al secondo addendo, sfruttando
l’invarianza del prodotto misto tra tre vettori, possiamo scrivere
N
X
i=1
fi · ω ∧ (Pi − O) =
N
X
i=1
ω · (Pi − O) ∧ fi
e quindi, grazie all’indipendenza di ω dall’indice di sommatoria,
N
X
i=1
fi · ω ∧ (Pi − O) = ω ·
il teorema è dimostrato.
N
X
(Pi − O) ∧ fi = ω · M O
i=1
84
CAPITOLO 5. DINAMICA GENERALE
Supponiamo di applicare la formula di struttura (5.23) al sistema di forze
interne ad M: possiamo allora concludere che, in un moto rigido, la potenza
del sistema di forze interne ad M è
(int)
W (int) = R(int) · v O + M O
(int)
siccome R(int) ≡ 0 e M O
·ω :
≡ 0, abbiamo che
Corollario 5.1 In un moto rigido, la potenza delle forze interne è nulla.
Inoltre, il teorema dell’energia cinetica assume la forma semplificata
Corollario 5.2 In un moto rigido, la variazione temporale dell’energia cinetica
è pari alla potenza delle forze esterne ovvero, dalla (5.23)
dT
(ext)
= W (ext) = R(ext) · v O + M O · ω.
dt
(5.24)
La conseguenza principale di questo corollario è contenuta nel seguente
teorema
Teorema 5.4 Per un corpo rigido, le equazioni cardinali della statica
(
R(ext) = 0
(ext)
MO = 0
(5.25)
sono condizioni necessarie e sufficienti all’equilibrio.
Dim. Già sappiamo che le equazioni (5.25) sono necessarie all’equilibrio. Per
dimostrarne la sufficienza osserviamo che, dalla (5.24), segue
dT
=0
dt
e dunque l’energia cinetica del corpo rigido ha lo stesso valore a tutti gli istanti.
Se all’istante iniziale essa è nulla, permarrà tale a tutti gli istanti successivi e, dal
momento che l’annullarsi dell’energia cinetica è sinonimo di quiete, l’equilibrio
del sistema si manterrà sempre.
5.5
Moti alla Poinsot
Definizione 5.5 Un corpo rigido B compie un moto alla Poinsot se si verifica
una di queste circostanze:
(ext)
a): B è dotato di un punto fisso O e M O = 0;
(ext)
b): detto G il centro di massa di B, si ha M G = 0.
Dalla definizione 5.5 è semplice ottenere il seguente teorema.
5.5. MOTI ALLA POINSOT
85
Teorema 5.5 In un moto alla Poinsot, il momento della quantità di moto
rispetto ad O (caso a) o rispetto al centro di massa del corpo (caso b) si conserva.
Dim. È sufficiente applicare la seconda equazione cardinale della dinamica prendendo come polo il punto O, se vale la condizione a) nella (5.5) oppure il centro
di massa G, se vale la condizione b).
I moti di un corpo rigido libero, non soggetto ad altra forza che alla gravità,
sono esempi di moti alla Poinsot rispetto al centro di massa. Vediamo alcune
proprietà dei moti alla Poinsot deducibili dalle equazioni di Eulero che, in
questo caso, si riscrivono nella forma omogenea

 I1 ω̇1 + (I3 − I2 )ω2 ω3 = 0
I2 ω̇2 + (I1 − I3 )ω1 ω3 = 0
(5.26)

I3 ω̇3 + (I2 − I1 )ω1 ω2 = 0 .
Per procedere, conviene introdurre la seguente definizione che individua una
classe di corpi rigidi particolarmente importante nelle applicazioni
Definizione 5.6 Un corpo rigido B ha struttura giroscopica rispetto ad un punto O se il suo tensore di inerzia IIO rispetto ad O ha due autovalori coincidenti.
Un corpo avente struttura giroscopica rispetto al proprio centro di massa è detto
giroscopio. In ogni caso, la direzione che individua l’autovettore corrispondente
all’autovalore di molteplicità 1 è detta asse giroscopico.
Osservazioni. Se {e1 , e2 , e3 } è la terna principale di inerzia per B rispetto ad O
ed e3 è associato all’asse giroscopico, allora
IIO = I1 (e1 ⊗ e1 + I2 e2 ⊗ e2 ) + I3 e3 ⊗ e3 = I1 I + (I3 − I1 )(I − e3 ⊗ e3 ) (5.27)
In quanto segue supporremo sempre che gli autovalori coincidenti di IIO siano sempre due, escludendo il caso degenere in cui tutti gli autovalori sono
coincidenti.
Se un tensore di inerzia per un corpo B rispetto ad un punto O ha i tre
autovalori coincidenti è detto sferico ed ogni retta passante per O è un asse
giroscopico.
Se torniamo alle equazioni di Eulero (5.26) nel caso di moti alla Poinsot e
supponiamo che B abbia struttura giroscopica rispetto ad O e che e3 individui l’asse giroscopico passante per O. Allora abbiamo I1 = I2 e pertanto la
componente lungo e3 della velocità angolare è una costante del moto.
Definizione 5.7 Un corpo rigido compie una precessione se esistono una direzione e fissa nello spazio ed una direzione u fissa rispetto al corpo che formano
tra loro un angolo costante. Ad e si dà il nome di asse di precessione, ad u
quello di asse di figura.
86
CAPITOLO 5. DINAMICA GENERALE
Teorema 5.6 Un moto rigido è una precessione se e solo se la velocità angolare
ω ammette la scomposizione
ω = α(t)e + β(t)u ,
(5.28)
per opportune funzioni del tempo α e β.
Dim. Se il moto rigido è una precessione dobbiamo avere
e · u = cost.
Derivando rispetto al tempo, abbiamo
e·ω ∧u = 0,
(5.29)
dove abbiamo sfruttato le proprietà dei vettori e ed u ed abbiamo usato le
formule di Poisson. La (5.29) afferma che i vettori ω, e ed u sono coplanari
e dunque vale la (5.28). Viceversa, ammessa la (5.29) e percorrendo a ritroso i
passaggi, si giunge a mostrare che l’angolo tra e e u è costante.
Definizione 5.8 Una precessione si dice regolare se le funzioni α e β che
compaiono nella (5.28) sono indipendenti dal tempo.
Possiamo ora mostrare un’importante caratterizzazione dei moti alla Poinsot
dei corpi a struttura giroscopica.
Teorema 5.7 I moti alla Poinsot attorno ad un punto fisso O di un corpo
rigido avente struttura giroscopica sono precessioni regolari.
Dim. Per la (5.27), il momento della quantità di moto KO è
KO = IIO ω = [I1 I + (I3 − I1 )(I − e3 ⊗ e3 )]ω = I3 ω + (I1 − I3 )(e3 · ω)e3 ,
dove e3 è l’asse giroscopico. La velocità angolare è allora
ω=
1
I3 − I1
1
KO
I3 − I1
KO +
(e3 · ω)e3 =
+
(e3 · ω)
I1
I1
|K O |I1 |K O |
I1
O
che dimostra il teorema, visto che |K
K O | è un vettore fisso nello spazio, e3 è fisso
rispetto al corpo ed e3 · ω non dipende dal tempo, come osservato a commento
delle (5.26).
Definizione 5.9 Una rotazione permanente è una rotazione in cui la velocità
angolare è costante nel tempo.
Il prossimo teorema caratterizza le rotazioni permanenti nei moti alla Poinsot.
Teorema 5.8 (Segner) In un moto alla Poinsot attorno ad un punto fisso O,
le rotazioni permanenti sono tutte e sole le rotazioni attorno agli assi principali
di inerzia.
87
5.5. MOTI ALLA POINSOT
Dim. Scriviamo le equazioni di Eulero nella forma
IIO ω̇ + ω ∧ IIO ω = 0 .
Se ω è un vettore costante allora ω ∧ IIO ω = 0 ed ω è diretto lungo una
direzione principale di inerzia. Viceversa, se all’istante iniziale IIO ω(0) = λω(0)
e ω̇(0) = 0, ω(t) ≡ ω(0) è l’unica soluzione delle equazioni di Eulero, a
patto che siano garantite le condizioni per l’applicazione dei teoremi di unicità
di equazioni differenziali. Supponendo verificate tali condizioni, il teorema è
dimostrato.
Oltre al momento della quantità di moto, i moti alla Poinsot ammettono
un’altra quantità conservata.
Teorema 5.9 In un moto alla Poinsot rispetto ad un punto fisso O, l’energia
cinetica si conserva. Nel caso in cui il moto alla Poinsot avvenga attorno al
centro di massa G si conserva la quantità 21 ω · IIG ω che, in virtù del teorema
di König, rappresenta la parte dell’energia cinetica associata alla rotazione di B
attorno a G.
Dim. Dal teorema dell’energia cinetica (5.24) per un moto rigido, sappiamo che
dT
(ext)
= W (ext) = R(ext) · v O + M O · ω :
dt
nel caso a), possiamo prendere come punto O il punto fisso attorno a cui avviene
(ext)
il moto alla Poinsot per cui sia v O che M O si annullano e dunque il teorema
segue immediatamente. Nel caso b) conviene assumere come punto di riferimento
il centro di massa G e scrivere
dT
(ext)
= W (ext) = R(ext) · v G + M G · ω :
dt
mentre il secondo membro si annulla ancora, il primo è in generale non nullo.
Dalla prima equazione cardinale della dinamica Q̇ = R(ext) e dal fatto che
Q = M v G possiamo concludere che
dT
d M 2
= M v̇ G · v G =
v
dt
dt 2 G
per cui abbiamo che
d
dt
M 2
T−
vG = 0
2
e dunque, grazie all’espressione dell’energia cinetica in un moto rigido dedotta
dal teorema di König, il teorema segue immediatamente.
L’espressione delle due quantità conservate consente di dare una elegante
descrizione geometrica dei moti alla Poinsot.
Teorema 5.10 In un moto alla Poinsot attorno ad un punto fisso O, l’ellissoide di inerzia rispetto ad O rotola senza strisciare su un piano fisso.
88
CAPITOLO 5. DINAMICA GENERALE
Dim. Se sviluppiamo il tensore di inerzia IIO lungo i suoi assi principali, l’ellissoide di inerzia IO (4.5) si esprime come superficie di livello corrispondente al
valore 0 per la funzione
f (ξ) := I1 ξ12 + I2 ξ22 + I3 ξ32 − 1 .
La normale ν all’ellissoide è
ν=
dove
∇ξ f
|∇ξ f |
∇ξ f = 2 (I1 ξ1 e1 + I2 ξ2 e2 + I3 ξ3 e3 )
(5.30)
Posto ξ = λω, chiediamoci per quali valori dello scalare λ > 0 ξ appartiene
ad IO . Dalla definizione (4.5) di ellissoide di inerzia, ciò succede quando
λ2 ω · IIO ω = 1
cioè per
1
,
λ= √
2T
dove T è l’energia cinetica del corpo rigido. Dall’equazione (5.30) e dall’espressione del momento della quantità di moto rispetto ad O segue che la normale ν
ad IO nel punto di intersezione con ξ è
ν=
KO
.
|KO |
Poiché la normale ad una superficie in un punto determina la giacitura del piano
tangente alla superificie in quel punto e KO è un vettore costante, il piano
tangente all’ellissoide nel punto di intersezione con λω ha giacitura costante.
La distanza d di questo piano da O è
√
KO · ω
2T
√
=
d = ν · λω =
|K
|KO | 2T
O|
ed è costante, perché anche T è una quantità che si conserva. Dunque l’ellissoide
di inerzia rotola sul piano fisso ora trovato. Inoltre la velocità del punto P di
contatto con questo piano è
vP = vO + ω ∧ (P − O) = ω ∧ (P − O) = 0
perché O è un punto fisso e P − O è diretto come ω. Quindi il rotolamento
avviene senza strisciamento.
Osservazione. Nel corso del moto, il punto di contatto tra il piano invariabile
e l’ellissoide di inerzia descrive due tracce: quella sul piano invariabile è detta
erpolodia, quella sull’ellissoide è detta polodia.