S_120201-MO

MISURE OTTICHE
mercoledì 1 febbraio 2012
Prof. Cesare Svelto
Tempo a disposizione 2 h e 15 min
Primo appello AA 2011/2012
Aula T.1.1 ore 13.15
COGNOME: ____________________________ Nome: ________________________
(stampatello)
CdLS e anno: ___________ Matricola e firma __ __ __ __ __ __ _______________ (firma leggibile)
Esercizi svolti (almeno parzialmente)
Compito intero : 1 2 3 4
PUNTEGGI:
(10+7+10+6=33 p)
N.B. gli esercizi non crocettati non saranno corretti; quelli crocettati ma neanche iniziati comporteranno una
penalità. Si chiede, se possibile, di spuntare anche le domande parziali a cui si è risposto [e.g. 1a), 1b), 1c) etc.].
SOLUZIONI
(45 min)
Esercizio 1
(svolgere su questo foglio e sul retro)
1a) Si elenchino, illustrandole brevemente con esempi anche numerici, le proprietà che rendono le sorgenti
laser ineguagliabili dalle sorgenti di luce tradizionali.
1b) Si descriva il meccanismo di pompa e azione laser a 3 livelli e si commentino vantaggi e svantaggi di
questo schema rispetto a quello a 4 livelli.
1c) Facendo riferimento al laser a Nd:YAG pompato a diodi, si illustri il principio di funzionamento e le
principali caratteristiche di questa sorgente.
1d) Se nel laser del punto 1c) il cristallo di YAG inserito nel risonatore ottico è lungo 2 cm e ha un
coefficiente di dilatazione termica di 4×10-7/°C (indice di rifrazione nYAG1.8): di quanti hertz varia la
frequenza d’uscita se la temperatura del cristallo sale di 10 °C?
Un laser a He-Ne nel rosso è realizzato con un risonatore piano-sferico (specchio sferico con raggio di
curvatura ROC=400 mm) e il fascio ottico, ricavato in uscita dallo specchio piano, ha una potenza
PL=10 mW. I modi longitudinali del laser hanno una distanza in lunghezza d’onda  FSR=1 pm.
Il laser appena descritto deve essere utilizzato come sorgente per un collimatore a telescopio progettato per
rendere minima la dimensione di macchia su tutto un range di misura pari a 4 km.
1e) Calcolare il free-spectral-range ( FSR) e la lunghezza (l ) del risonatore ottico.
1f) Si ricavi la dimensione di macchia all’uscita del laser e l’angolo (piano) di divergenza per il fascio
d’uscita in propagazione libera.
1g) Per il fascio gaussiano considerato, quanto vale l’intensità di picco I0 sull’asse di propagazione (sempre
all’uscita del laser)?
1h) Come deve essere dimensionato il waist del fascio gaussiano (dimensione e distanza dalla
sorgente/collimatore) nel range di misura?
1a,b,c) Vedi appunti e dispense del Corso.
1d) Per il laser a Nd:YAG, =c/(3×108 m/s)/(1.064 µm)300 THz ed essendo per il cristallo
=4×10-7 °C-1=(L/L)(1/T), la variazione di lunghezza del cristallo di YAG si calcola come
LYAG=LYAG×T=2 cm × 4×10-7 °C-1 × 10 °C=80 nm.
Immaginando una tipica lunghezza geometrica del risonatore ottico Lris=1030 cm, diciamo Lris20,
possiamo calcolare di quanto varia la frequenza del laser quando il cristallo di YAG si allunga di
LYAG=80 nm (con nYAG=1.8) in seguito alla variazione di temperatura suddetta. La distanza in aria del
risonatore si accorcerà di Laria=80 nm (con naria=1). Così dunque la lunghezza ottica del risonatore
complessivamente aumenterà di Lris=LYAGnYAG-Larianaria=80 nm1.8-80 nm1=80 nm0.8=64 nm. Per
il laser considerato allora L=Lris20 cm e L=Lris=64 nm, da cui si deduce una variazione di frequenza:
_______
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(/)=-(L/L)=-(6410-9 m)/(2010-2 m)-3.2×10-7-0.3×10-6=-0.3 ppm
 = -0.3×10-6×  -90×10-6×1012 Hz = -90 MHz
Se invece si immagina di operare con un laser a Nd:YAG di tipo monolitico, allora L=Lris=LYAG=2 cm e
Lris=LYAG=80 nm (con nYAG=1.8). Così dunque la lunghezza ottica del risonatore complessivamente
aumenterà di Lris=LYAGnYAG=80 nm1.8=144 nm. Da ciò si deduce una variazione di frequenza:
(/)=-(L/L)=-(14410-9 m)/(210-2 m)-7.2×10-6-7×10-6=-7 ppm
(/)=-(L/L)=T=40×10-7=4×10-6=4 ppm
=c/(3×108 m/s)/(1.064 µm)300 THz
 = -7×10-6×  -2100×10-6×1012 Hz = -2.1 GHz
1e) Il laser a He-Ne nel rosso ha una lunghezza d'onda =632.8 nm e dunque emette a una frequenza
=c/=474 THz. Essendo / =/, si ricava il free-spectral-range del laser come
 FSR = ( FSR/) = ( FSR/2)c=0.75 GHz.
Dalla relazione  FSR = c/2l si deduce che la lunghezza del risonatore è l = c/2 FSR = 20 cm.
1f) All’interno della cavità laser, dopo una distanza l dallo specchio piano ove è posizionato il beam waist con
dimensione w0, il modo laser deve avere assunto un raggio di curvatura pari a quello dello specchio sferico.
Dall’espressione del raggio di curvatura al variare della distanza z dal waist (in z=0 e con beam waist w0):
2
  w02  
r  z   z 1  
 
  z  
e imponendo r(l)=ROC=0.4 m, si ottiene una dimensione di macchia all’uscita del laser:
l r  l
633 10 9  0.2 0.4  0.2
w0L =
 200 µm


l
3.14
0.2
L’angolo di divergenza per il fascio laser diffraction-limited e con beam waist w0 è
9
div =   633 10 6 = 1 mrad
w0 L
3.14  200 10
1g) Per un fascio gaussiano con dimensione di macchia w0L, l’intensità ottica alla coordinata radiale r
dall’asse del fascio è legata alla potenza P0 dalla relazione:
 2r 2 
2P
I r   02 exp   2 
w0
 w0 
Sostituendo i valori numerici del caso considerato (w0=w0L e P0=P0L), si ottiene una intensità di picco (in r=0)
I0 = Ipeak = I(r=0) =
2 P0 L
2 10 103 W
160 kW/m2= 16 W/ cm2

w02L     m 
1h) Per avere minima dimensione di macchia su tutto il range di misura il beam waist del fascio gaussiano
deve naturalmente essere collocato a metà del range e dunque a una distanza z=L=2 km dall’uscita del
collimatore. Dall’equazione della dimensione di macchia w(L) ai due estremi del range, rispetto al centro
(z=0 dove si trova il beam waist) si ottiene:
 
w L   w  
 w0
2
2
0
2
 2
 L

o anche
  L  2 
wL   w 1   2  
  w0  
2
0
e occorre cercare la condizione per cui w(L) sia minimo.
Dunque si può derivare la dimensione di macchia (anche al quadrato) rispetto a w0 e uguagliare a zero:
_______
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w2 L 
1 
 L  
 2w0  
   2 3   0
w0
w0 
   
così da ottenere la dimensione (minima e dunque il beam waist) della macchia laser al centro del range:
2
 L 
2w  2

  
4
0
2

w0 
L
 2 cm

e la dimensione di macchia (spot size) agli estremi del range:
L  L  
L
w L  

2

    L

2
2

wL   2 w0  2.8 cm
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(30 min)
Esercizio 2
(svolgere su questo foglio e sul retro)
2) Un particolare telemetro laser topografico deve misurare la distanza tra la vetta di due montagne le cui
cime si trovano a L35 km l’una dall’altra. Il telemetro impiega un corner-cube (R1) che non diaframma il
fascio per riflettere la luce dal target. La misura viene fatta rivelando il tempo di volo dell’impulso di un laser
a Nd:YAG in Q-switching con durata ed energia dell’impulso pari rispettivamente a  = 8 ns e E = 4 mJ. Gli
impulsi di luce partono dal telemetro con una divergenza corrispondente al limite per diffrazione da una
dimensione di macchia (raggio) w0=1 mm verso il target. L’atmosfera presenta un coefficiente di
attenuazione =0.1 km-1 e le perdite delle ottiche impiegate sono complessivamente traducibili in una
trasmissione Topt=0.8. La lente di ricezione, con diametro Dr=10 cm e distanza focale frec=200 mm, raccoglie
il fascio ricevuto su un fotorivelatore “veloce”.
2a) Quanto vale la potenza media del singolo impulso lanciato dalla sorgente (Ps,p)? E la potenza
dell’impuso ricevuto (Pr,p) sulla lente di raccolta? Si ricavi espressamente la distanza equivalente percorsa dal
segnale di luce nell’atmosfera.
2b) Quale materiale a semiconduttore, e perché, si può utilizzare per il fotodiodo al ricevitore: Si, Ge,
InGaAsP? Con quale valore indicativo di sensibilità spettrale?
2c) Se la capacità di giunzione del fotodiodo è C=bA con b=5 pf/mm2 con A area del fotodiodo circolare, si
dimensioni il diametro dPD del materiale a semiconduttore tenendo conto dei requisiti di banda passante del
ricwvitore su un carico R=50  (per ipotesi tutta la potenza raccolta sulla lente al ricevitore è focalizzata sul
fotodiodo).
2d) Si calcoli il valore di fotocorrente (Ip) corrispondente al singolo impulso rivelato e si indichi, con un
guadagno a transimpedenza di 400 V/A, quanto varrà la tensione d’uscita (sul picco dell’impulso)?
2e) Se la misura del tempo di volo viene fatta con un clock alla frequenza fc=4 GHz, quanto vale la
risoluzione (assoluta e relativa) della misura di distanza?
2a) Ps,p=E/=0.5 MW.
L’equazione del telemetro è
Pr, p
Dr2 Topt
Dr2
G 2  2
Ps,p
4 Leq  s 4 L2 exp 2L 
Nel
G
caso
Topt

2
s
considerato,
s
2


w0

1.064 106 m
=0.34 mrad
 103 m
e
dunque
s0.7 mrad,
da
cui
=1.75106. Sostituendo i valori nell’equazione del telemetro si ottiene
Topt
Dr2
Dr2
G 2  2
=3.2510-9
2
Ps,p
4 Leq  s 4 L exp 2L 
Pr,p
da cui Pp,r=1.625 mW.
La distanza equivalente è Leq=L/(Tatm)-1/2=Lexp(L)1159 km.
2b) E’ possibile impiegare un fotodiodo di materiale qualsiasi tra Si, Ge, InGaAsP poiché praticamente tutti
questi materiali hanno una buona o discreta sensibilità spettrale a 1 m (la responsivity del Si comincia a
tagliare). Un valore tipico della responsivity (), per il germanio come per l’ InGaAsP a queste lunghezze
d’onda può essere  0.5 A/W.
2c) Volendo rivelare impulsi ottici di durata  = 8 ns occorre una banda di rivelazione B1/125 MHz. Per
avere questa banda passante la capacità del rivelatore (da =1/RC e B=/2=1/2RC si ricava C=1/2RB)
deve essere C=25 pF, o inferiore, e dunque l’area del rivelatore deve essere A=C/b5 mm2, o inferiore con un
diametro dPD=[(4/)A]1/22.5 mm.
_______
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Esercizio 2 (continua)
2d) Ip= Pp,r0.5 A/W×1.625 mW0.81 mA per cui Vp=GIV×Ip=400 V/A×0.81 mA=0.325 V.
2e) Il tempo di volo (round-trip) è T=2L/c=(70 km)/(3×108 m/s)2.33×10-4 s=233 s.
Il clock ha una risoluzione assoluta (quantizzazione degli intervalli di tempo misurati) di T=Tc=1/fc=0.25 ns
e la risoluzione relativa è dunque T/T(0.2510-9 s)/(2.33×10-4 s)=1.1×10-6  1 ppm.
Essendo T/T=L/L, si ottiene immediatamente la risoluzione relativa sulla distanza
L/L1×10-6
e quella assoluta
LL×1×10-6=35×103 m×1×10-6=35 mm.
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(40 min)
Esercizio 3
(svolgere su questo foglio e sul retro)
3) Si consideri l’interferometro di Michelson riportato in figura. Il laser utilizzato è a semiconduttore ed
emette una potenza ottica in continua P0 = 5 mW alla lunghezza d’onda λ0 = 800 nm. Il fotodiodo ha una
responsività spettrale pari a 0.65 A/W. La lunghezza d’onda di emissione del diodo laser dipende linearmente
dalla corrente di alimentazione come λ = λ0 + αIΔI, con αI = 20 pm / mA.
3a) Si ricavi l’espressione analitica della corrente foto-generata dal fotodiodo, e si calcoli il valore medio I0
di tale corrente.
3b) E’ possibile misurare la distanza Lm – Lr per Lm ed Lr costanti nel tempo? Si motivi la risposta. In particolare,
modulando la corrente di polarizzazione del laser con un segnale triangolare di ±10 mA intorno alla corrente di
lavoro I0, quanto vale la risoluzione spaziale ΔL1 sulla misura Lm – Lr? Se nel segnale incidente sul fotodiodo
si contano 80 frange per una completa escursione del segnale di modulazione, quanto vale la distanza Lm – Lr?
E’ possibile capire dalla misura realizzata se Lm sia maggiore o minore di Lr?
3c) S’ipotizzi ora di fissare lo specchio Rm ad un micro-traslatore meccanico. Il valore delle distanze in gioco
per t < 0 s è: L1(t) = L2(t) = Lr(t) = Lm(t) = 0.1 m. All’istante t0 = 0 s il micro-traslatore inizia a muoversi
con velocità costante v0 = 1 µm/s. All’istante t1 = 2 s il micro-traslatore si ferma e resta in quiete: quante
frange interferometriche si sviluppano nel segnale di corrente foto-generato dal fotodiodo a causa dello
spostamento del micro-traslatore? Quanto vale in questo caso la risoluzione spaziale ΔL2 sulla misura
Lm(t1)-Lm(t0)? Si riporti in un sistema di assi cartesiani opportunamente tarato l’andamento della corrente
foto-generata dal fotodiodo tra t0 e t1.
3d) Se la banda del circuito di elaborazione elettronica del segnale di corrente foto-generato dal fotodiodo è
pari a B = 10 MHz, qual è la massima velocità a cui possiamo fare muovere il micro-traslatore?
3e) Si ipotizzi ora di voler utilizzare l’interferometro per misurare piccole vibrazioni dello specchio di
misura. Si discuta il NED (Noise Equivalent Displacement) dell’interferometro in esame, facendo
opportune ipotesi sui valori di Lr, Lm, e sulla larghezza di riga della sorgente laser utilizzata.
3f) Quali sono gli svantaggi dello schema interferometrico di Michelson utilizzato? Come si possono superare?
3a) Il fascio laser emesso dalla sorgente è equamente diviso, in potenza, dal beam splitter. Dopo riflessione
totale dagli specchi di misura e riferimento, i due fasci si ricombinano sul fotodiodo, generando il segnale
interferometrico di corrente:
I = I0 [1 + cos(2k(Lm – Lr))],
con I0 = σ P0 / 2 = 1.625 mA e k = 2π / λ0.
3b) La distanza Lm – Lr è misurabile grazie alla possibilità di far variare la lunghezza d’onda di emissione del
laser modulandone la corrente di polarizzazione. L’informazione sulla misura è contenuta sempre nella fase
del segnale interferometrico φ = 2k(Lm – Lr) = 4π / λ0 (Lm – Lr). Se differenziamo φ rispetto a λ0 otteniamo:
Δφ = – (Lm-Lr) 4π Δλ / λ02 = – (Lm – Lr) 4π αI ΔI / λ02,
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dove ΔI = 20 mA è la modulazione complessiva imposta alla corrente di polarizzazione del laser. Per calcolare la
risoluzione ΔL1 è sufficiente ricordare che una frangia del segnale interferometrico corrisponde ad una variazione
di φ pari a 2π. Possiamo quindi scrivere, a meno del segno, Δφ = 2π = ΔL1 4π αI ΔI / λ02, da cui otteniamo:
ΔL1 = λ02 / (2 αI ΔI) = 800 µm.
Se in un’escursione completa del segnale di modulazione osserviamo 80 frange nel segnale interferometrico,
la distanza Lm – Lr vale:
Lm – Lr = 80 ΔL1 = 6.4 cm.
Con il metodo appena descritto non è possibile calcolare il segno della quantità Lm – Lr, a causa della parità
della funzione coseno, e dobbiamo accontentarci di misurare il modulo di Lm – Lr.
3c) Il numero di frange interferometriche si ottiene calcolando lo sfasamento Δφ2 complessivamente
accumulato nel segnale interferometrico da t0 a t1 e dividendolo per 2π (una frangia interferometrica
corrisponde infatti SEMPRE ad una variazione di fase pari a 2π). Da t0 a t1, Lr resta costante, mentre Lm
aumenta della quantità ΔLm = Lm(t1) – Lm(t0) = v0t1 = 2 µm. Possiamo dunque scrivere
Δφ2 = 4π ΔLm / λ0 = 31.4 r,
da cui si ottiene il numero di frange richiesto
NF = Δφ2 / 2π = 5.
La risoluzione con cui è eseguita la misura dello spostamento del micro-traslatore è pari a:
ΔL2 = λ0 / 2 = 400 nm.
L’andamento nel tempo (tra t0 e t1) della corrente foto-generata dal fotodiodo è riportato in figura:
3d) La massima velocità di spostamento del micro-traslatore è pari a:
vmax m-t = ΔL2 B = 4 m/s,
se la velocità è minore di vmax m-t sono infatti sicuro che l’intervallo di tempo fra due frange interferometriche
è superiore al minimo intervallo osservabile Δtmin = 1/B.
3e) I contributi al NED derivano dal rumore associato alla foto-corrente, NEDq, di segnale generata del
fotodiodo e al rumore di fase legato alla larghezza di riga di emissione finita della sorgente laser, NEDf. Per
lavorare al meglio, ed eliminare la limitazione dovuta al rumore di fase, occorre utilizzare l’interferometro
con Lm = Lr, interferometro bilanciato. In queste condizioni di lavoro abbiamo:
NEDf = (Lm – Lr) Δf / f0 = 0 m,
con Δf larghezza di riga della sorgente, pari a qualche decina di MHz per un diodo laser. La NED sarà dunque
data dal solo contributo NEDq e vale:
NEDq = λ0 / 2π (eB/2I0)1/2 = 2.833 pm.
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3f) L’interferometro di Michelson ha alcuni svantaggi. I più importanti sono la forte sensibilità
all’allineamento degli specchi e la retro-iniezione in cavità di parte della radiazione emessa dalla sorgente.
Tali problemi si superano utilizzando l’interferometro in configurazione Twyman-Green: grazie all’utilizzo
di corner-cube al posto degli specchi piani la sensibilità all’allineamento angolare è molto più rilassata,
inoltre il beam-splitter cubico elimina il problema delle retro-riflessioni nella sorgente laser.
Vedi Slide Ing. Randone.
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(20 min)
Esercizio 4
(svolgere su questo foglio e sul retro)
4) Con un velocimetro Doppler (LDV) si vuole misurare la velocità dell’acqua che scorre in un tubo in
vetro. Il range di velocità possibili per l’acqua nel tubo va da 0.1 m/s a 5 m/s. La risoluzione che occorre
ottenere nella misura è v=1 cm/s.
4a) Quale tipo di sorgente laser e quale fotorivelatore converrebbe impiegare nel velocimetro? Si motivi la
risposta, fornendo anche valori numerici (lunghezza d’onda, potenza, sensibilità spettrali, banda di misura, etc.).
4b) Con quale angolo si devono intersecare i due fasci ottici per ottenere nel fluido una spaziatura di 5 µm tra
le frange di interferenza?
4c) Quali frequenze spettrali occorre riuscire a misurare nel segnale di scattering e con che risoluzione?
Quale strumento elettronico di misura consente di fare questa misura?
4d) In funzione del diametro d delle particelle (centri di scattering) presenti nell’acqua, si illustri brevemente
come è sagomato il profilo spaziale della luce diffusa.
4a) Potrebbe essere conveniente utilizzare un laser a He-Ne (=632.8 nm633 nm) perché il fascio d’uscità
è visibile e con profilo trasversale ottimamente Gaussiano (modo TEM00 fondamentale con fattore M21) e
la frequenza e ampiezza dell’oscillazione ottica sono di buona stabilità. La lunghezza d'onda nel visibile
(rosso) consente di allineare agevolmente (ad esempio osservando i punti d’arrivo su uno schermo bianco
posto a una certa distanza) i due fasci nella zona di interferenza e misura. Per avere più potenza ottica
nella misura si potrebbe impiegare un diodo laser a semiconduttore, sempre nel visibile, o ancora un laser a
Nd:YAG duplicato a =532 nm (verde).
Il fotodiodo impiegato per rivelare luce visibile sarà al silicio e con una risposta spettrale
Si@500-600nm ≈ 0.5 A/W.
4b) I due fasci ottici interferenti si devono incrociare ad un angolo 2 tale che
 /2
/2
632.8 10 9 m
D
e quindi  = arcsin
=arcsin(63×10-3)63 mrad3.6 °
 arcsin
6
sin 
D
2  5 10 m
L’angolo di intersezione dei due fasci è dunque 2=7.2 °.
4c) Le frequenze di battimento da misurare si ricavano dalla relazione
v
v
0.1 m/s
5 m/s
v
fD 
per cui fD,min= min 
=20 kHz e fD,max= max 
=1 MHz
D
D
5 m
D
5 m
La desiderata risoluzione in velocità v=1 cm/s comporta la necessità di operare misure della frequenza
Doppler con una risoluzione fD=v/D=(0.01 m/s)/(5 µm)=2 kHz.
Le frequenze in questione, e la desiderata risoluzione in frequenza, potrebbero agevolmente essere
rivelate con un analizzatore di spettro a eterodina oppure campionando il segnale e calcolandone lo spettro
in frequenza attraverso l’algoritmo FFT.
4d) Secondo le dimensioni (diametro d) dei centri di scatter, rispetto alla lunghezza d'onda () della luce che
investe le particelle, si individuano tre regimi di diffusione:
- d <<  scattering di Raileigh con profilo di diffusività circa isotropo;
- d >>  scattering di Mie con profilo di diffusività decisamente
più pronunciato nella direzione di
dP
d
arrivo della radiazione e.m. (forward scattering)
- d   scattering “intermedio”,
tra Raileigh e Mie, con profilo di diffusività più pronunciato nella
P
direzione di arrivo della radiazione e.m. (sostanzialmente forward scattering)
Si riporta qui sotto un disegno dei profili di luce diffusa a seconda del regime di scattering:
Rayleigh
r<<
intermediate
r- 
Mie
r>>
_______
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