STORIA DELL’
DELL’ALGEBRA 1
Le equazioni
di 1° di 2°grado
1
Livia Giacardi - Maggio 2007
Cronologia
Le origini dell’algebra si possono rintracciare presso le civiltà
arcaiche quando i matematici egizi e babilonesi trovarono metodi
per risolvere problemi in cui si chiede di trovare i valori
numerici di certe grandezze incognite, essendo tali grandezze
sottoposte a determinate condizioni.
I successivi sviluppi dipendono dal confluire di due conquiste del
pensiero umano:
h l’ampliamento del campo numerico
h il simbolismo
18001800-1650 a.C. Egizi - insieme numerico: interi > 0 e le frazioni
con numeratore 1
calcoli aha (equazioni di primo grado),
metodo di falsa posizione
2
1
18001800-1700 a.C. Babilonesi - insieme numerico: numeri esprimibili
in modo finito in base 60
abile uso delle identità notevoli
metodo del completamento del quadrato
metodo della semisomma e della semidifferenza
300 a. C. Greci - Euclide: “algebra geometrica”
(perché solo con la geometria si poteva
lavorare sulle grandezze incommensurabili)
III sec. Diofanto: recupero della tradizione babilonese
Insieme numerico: razionali positivi
Uso di abbreviazioni: algebra sincopata
3
VIIVII-XII sec. India - Brahmagupta, Mahvira, Bhaskara II
sistema di numerazione decimale posizionale con lo zero considerato
come un vero numero, uso dei razionali positivi e negativi,
simbolismo rudimentale
bîjaganita = scienza del calcolo analitico
“La bîja è l’innata capacità di comprendere aiutata da vari
simboli, che per l’istruzione degli intelletti meno acuti è stata
esposta dagli antichi saggi che illuminano i matematici come il
sole il loto e che ora ha preso il nome di algebra
(bîjaganita)”[Bhaskara II]
IX sec. Islam - compare il termine al-jabr
Al-Khwarizmi diffonde il sistema di numerazione
indiano ed è considerato il padre dell’algebra.
Insieme numerico: razionali e irrazionali positivi
4
2
XII sec. Islam - Omar al Khayyam dà la
seguente definizione di algebra:
“L’arte dell’ al-jabr e dell’ al-muqabala
è un’arte scientifica il cui oggetto è il numero
puro e le grandezze misurabili in quanto
incognite, ma rapportate ad una cosa nota, mediante la quale le
si può determinare.”
2 x 2 + 68 − 10 x = 58
al-jabr
si eliminano i termini negativi
(completamento) 2 x 2 + 68 − 10 x + 10 x = 58 + 10 x
al-muqabala
2 x 2 + 10 = 10 x
si addizionano i termini simili
(bilanciamento)
5
XVI sec. straordinari sviluppi dell’algebra in Italia:
risoluzione delle equazioni di 3° e 4° grado
(S. Dal Ferro, N. Tartaglia, G. Cardano,
L. Ferrari). Introduzione dei numeri
complessi (R. Bombelli)
XVII sec. R. Descartes: introduzione del simbolismo
1629 A. Girard, Invention nouvelle en algèbre enuncia
il teorema fondamentale dell’algebra (che sarà dimostrato
in modo rigoroso oltre un secolo dopo)
Incertezze nel considerare veri numeri i numeri irrazionali, i numeri
6
negativi (“falsi”) e i complessi (“anfibi fra essere e non-essere”)
3
inizi XIX sec.
Algebra = teoria delle equazioni algebriche
“L’algebra come la si intende comunemente, è l’arte di determinare
quantità incognite in quanto funzioni di quantità conosciute o
supposte tali; è altresì l’arte di trovare una soluzione generale per
equazioni.
Questa soluzione consiste nel ricercare per
tutte le equazioni dello stesso grado,
quelle funzioni dei coefficienti delle
equazioni stesse
che ne rappresentano tutte le radici.
Finora il problema si può considerare
risolto solo per equazioni
di 1°. 2°, 3°, 4° grado…”
[J.-L. Lagrange, 1808]
7
1799 C.F. Gauss dimostra nella sua tesi di dottorato il teorema
fondamentale dell’algebra:
“Demonstratio nova theorematis omnem
functionem algebraicam rationalem
integram unius variabilis in factores
reales primi vel secundi gradus
resolvi posse”
Ogni equazione algebrica ha
sempre una radice
Gauss diede altre tre dimostrazioni di questo teorema.
Da allora sono state date circa un centinaio.
8
4
Inizi XIX sec.
sec P. Ruffini e N. Abel dimostrano che
le equazioni algebriche generali di grado
maggiore o uguale al 5° non sono risolubili
mediante radicali
in
18311831-1832 I lavori di E. Galois determinano
un ampliamento degli orizzonti: dalla sua
opera trae origine l’algebra astratta
1847 G. Boole afferma che l’algebra deve occuparsi “delle
operazioni in sé considerate indipendentemente dalle
materie diverse alle quali possono essere applicate”
9
Algebra astratta studio delle strutture algebriche
Evoluzione del simbolismo
ς è l’incognita x (arithmos)
Δy è x2, dove Δ è l’iniziale
di dúnamis, potenza
/|\
10 x − 8
=
x2 +1
•
yâ va 0 yâ 10 rû 8
yâ va 1 yâ 0 rû 1
x 2 ⋅ 0 + x ⋅ 10 − 8
x 2 ⋅1 + x ⋅ 0 + 1
yâ (yavat-tavat = tanto quanto) incognita
yâ va (yavat-varga) incognita al quadrato
rû (rûpa=ciò che appare) termine noto
10
5
x 2 + 9 = 10 x
Census (possesso, ricchezza) è x2
10 x = x 2 + 9
11
Introduce le lettere per rappresentare le quantità incognite
e le quantità note, indicando le prime con una vocale e le
seconde con una consonante
bx = x 2 + z
10 x = x 2 + 9
10 x − 8 = x
2
+ 1
12
6
Un problema “algebrico” del III millennio a. C.
Gli scavi della Missione Italiana di Roma, iniziati nel 1964, hanno
portato alla luce i resti della splendida civiltà di Ebla (III millennio
a. C.) e una biblioteca di 20000 tavolette (testi di tipo economico
amministrativo, testi storici e giuridici, testi lessicali e grammaticali
e letterari, enciclopedie, …)
13
Il problema dello
scriba di Kĭš, Išma-Ia
(2500 a. C.)
600 gal
3600 gal
36000 gal
360000 gal
360000 × 6 gal
non svolto
Problema
dello
scriba
di Kiš
Išma-Ia
I simboli numerici sono molto simili a
quelli sumerici
14
7
La chiave interpretativa sta nel simbolo
che letteralmente significa “ grande”
Gli storici interpretano gal come fattore moltiplicativo 60 ×,
allora il problema dello scriba di Kiš è
Qual è quel numero che moltiplicato per 60 dà 600, 3600,…?
60 x = 600
600
3600
=
=
…
36000
360000
360000 × 6
=
=
=
…
…
…
…
15
Vedi STORIA 1
Sistema di numerazione
presso gli Egizi
Sistema di numerazione decimale additivo
senza lo zero (1800 a. C.)
1 10
100 101
100
…
1000 10.000
100.000 1.000.000
106
16
8
1
n
< r > = parte
Cubito reale, circa 1550 a.C.
n
1
14
1
10
1
3
L'insieme numerico su cui operano gli Egizi è l'insieme
dei numeri naturali escluso lo zero cui vanno aggiunte
tutte le frazioni del tipo 1/n con n intero positivo e la
frazione particolare 2/3.
17
I calcoli <aha>
‘h’w = mucchio, cumulo, quantità incognita
Rhind 24, 25, 26, 27
metodo della falsa
posizione
x+
1
x=b
n
Rhind 24
18
9
In che cosa consiste il metodo della
semplice falsa posizione
Devo risolvere l' equazione di 1° grado
ax = b
suppongo che la quantità incognita valga x'
(falsa posizione)
sostituisco x' nell' equazione di partenza
7 x = 52
x' = 7
7 ⋅ 7 = 49
ax' = b'
x:x' = b : b'
bx'
x=
b'
x : x ' = 52 : 49
x=7
52
49
=
52
7
è un metodo aritmetico, non algebrico
Es. 1
Tradurre con il
simbolismo odierno
i passaggi indicati
dallo scriba
ed eseguire le
operazioni alla
maniera degli Egizi
19
Problema 24 del Papiro Rhind
1. Una quantità, cui viene aggiunto
un suo settimo, diventa 19
Prova a prendere 7. Aggiungi 1/7
di esso ad esso, ottenendo 8
2. Opera su questo 8 per ottenere 19
[dividi 19 per 8]
3. Ora moltiplica 2 + 1/4+ 1/8 per 7
Allora la risposta è 16 +1/ 2 +1/8
4. Prendi 1/7 di questa quantità ed
aggiungilo ad essa, il risultato è il
richiesto 19.
20
10
Traduzione del testo
1.Una quantità, cui viene aggiunto
un suo settimo, diventa 19
Prova a prendere 7. Aggiungi 1/7
di esso ad esso, ottenendo 8
Rhind
24
2. Opera su questo 8 per ottenere
19 [dividi 19 per 8]
1
2
1/2
1/4
1/8
8
16
4
2
1
2+1/4+1/8
19
Interpretazione
1.
1
x = 19
7
x+
Metodo della falsa posizione
Pongo x'= 7
2.
7+
1
7=8
7
19 : 8 = x : 7
19 : 8 = 2+1/4 +1/8
1 1
1 1
3. x = 7.(2 + + ) = 16 + +
4 8
2 8
3. Ora moltiplica 2 + 1/4+ 1/8 per 7
1
2
4
2 +1/4 +1/8
4 +1/2 +1/4
8 + 1 +1/2
7
15+1+1/2+1/8
Allora la risposta è 16 +1/ 2 +1/8
4. Prendi 1/7 di questa quantità ed
aggiungilo ad essa, il risultato è il
richiesto 19.
4.Verifica1
1 1 1
1 1
16 + + + (16 + + ) =
2 8 7
2 8
1 1
1 1 1
16 + + + 2 + 2 + + = ...
2 8
7 14 56
= 19
21
Vedi STORIA 1
Sistema di numerazione
sessagesimale posizionale babilonese
Fa la sua comparsa nell’ambiente colto all’inizio del II millennio a.C.
come strumento per la matematica e più tardi per l’astronomia
I numeri da 1 a 59 sono scritti in modo additivo con la base
ausiliaria 10, per i numeri superiori a 60 è utilizzato il principio
22
di posizione
11
h Manca lo zero sia in posizione mediale che finale
h Le frazioni sessagesimali sono
poste sullo stesso piano degli interi
L’inverso di ogni numero regolare
(contenente cioè solo i fattori 2, 3, 5)
è esprimibile con una frazione
sessagesimale finita.
Gli inversi dei numeri irregolari come 7, 11, 13, … danno luogo
a frazioni sessagesimali infinite periodiche: i Babilonesi usavano
approssimazioni.
23
Il “calcolo algebrico” in Mesopotamia
h Il simbolismo algebrico è assente.
h Le incognite del problema sono espresse con termini tratti
dalla geometria, ma sono usati in modo del tutto astratto:
lunghezza
uš
larghezza
sag
area
a-sa
h Vengono affrontati problemi che conducono a equazioni di 2°
grado, a particolari equazioni di grado superiore al 2° e a
particolari sistemi
 metodo del completamento del quadrato
 metodo della semisomma e della semidifferenza
 uso sistematico di identità notevoli
 riduzione di problemi quadratici alla forma:
trovare due numeri nota la loro somma (o differenza) e il loro
24
prodotto
12
Identità notevoli usate dai babilonesi e loro
visualizzazione geometrica
b2
b2
a2
(a + b)2 = a2+2ab+b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(a - b)2 = a2- 2ab + b2
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
(a + b)2 + (a - b)2 = 2 (a2+b2)
Es. 2
Non c’è però nessuna documentazione
del fatto che i Babilonesi abbiano
25
ottenuto così le identità notevoli
Osservare le figure e individuare, in ciascun caso,
l’identità illustrata
a
b
a2 – (a - b)2
a
b
2a⋅b – b2
26
13
a
a
b
b
a2 – b2
a
b
b(a-b) + a(a-b)
c
(a + b + c)2
a
b
c
27
a2 + b2 + c2 +2ab +2ac +2bc
Es. 3
Problema 1, BM 13901
Ho addizionato la superficie e
il lato del mio quadrato: 0;45
Tu porrai 1 l’unità
Tu dividerai in due l’unità:
0;30
Tu moltiplicherai 0;30 e 0;30
: 0;15
Tu aggiungerai 0;15 a 0;45
Tradurre con il
simbolismo odierno
i passaggi indicati
dallo scriba
ed esprimere i numeri
indicati in notazione
decimale
1 è il quadrato di 1
0;30 che tu hai moltiplicato, lo
sottrai da 1
0;30 è il lato del quadrato
28
14
Traduzione
Interpretazione
Ho addizionato la superficie e
il lato del mio quadrato: 0;45
Tu porrai 1 l’unità
Tu dividerai in due l’unità:
0;30
Tu moltiplicherai 0;30 e 0;30
: 0;15
Tu aggiungerai 0;15 a 0;45
1 è il quadrato di 1
0;30 che tu hai moltiplicato, lo
sottrai da 1
0;30 è il lato del quadrato
x2+x = 3/4
1 = 60/60
1/2 = 30/60
2
2
(1/2) = 1/4
3/4 + 1/4 = x2+x + 1/4
(x+1/2)2 = 3/4 + 1/4 =1
1⎞
⎛
⎜ x + ⎟ =1
2⎠
⎝
1
x + =1
2
1
x =1−
2
2
⎛1⎞ 3 1
x = ⎜ ⎟ + − = 1/2 (=0;30)
⎝2⎠ 4 2
Lo scriba
calcola
solo la
radice
positiva
Problema 1, BM 13901
metodo del
completamento del
quadrato
Es. 4
3
4
1 3 1
2
x + x + = + =1
4 4 4
2
(0;45 = 45/60) x + x =
x 2 + bx = c
2
b
⎛b⎞
x =− + ⎜ ⎟ +c
2
⎝ 229⎠
Trovare la soluzione positiva della seguente
equazione con l’aiuto della geometria
x2 + 4x = 32
Suggerimento:
Costruire il quadrato di lato x e su due suoi lati consecutivi
costruire due rettangoli di area complessiva 4x,
completare il quadrato, …
Dunque
x2
2x
x+2
x2 + 4x + 4 = 32+ 4
(x+2)2= 36
2x
22
da cui l’area del quadrato di lato
x+2 è 36, dunque il lato
x+2 = 6, da cui x = 4
30
15
Problema 9, BM 13901
Ho sommato la superficie dei miei
due quadrati: 21,40, l’uno supera
l’altro di 10
Tu dividerai in due 21,40, tu
scriverai 10,50
Tu dividerai in due 10 : 5
Tu moltiplicherai 5 per 5 : 25
Tu sottrarrai 25 da 10,50: 10,25
Questo è il quadrato di 25
Scriverai 25 due volte
Es. 5
Tradurre con il
simbolismo odierno
i passaggi indicati
dallo scriba
ed esprimere i numeri
indicati in notazione
decimale
Aggiungerai il 5, che hai
moltiplicato, al primo 25: 30, è il
primo quadrato
Sottrarrai 5 dal secondo 25: 20 è il
secondo quadrato
Traduzione
Problema 9,
BM 13901
metodo della
semisomma e
semidifferenza
31
Interpretazione
Ho sommato la superficie dei
miei due quadrati: 21,40, l’uno
supera l’altro di 10
Tu dividerai in due 21,40, tu
scriverai 10,50
Tu dividerai in due 10 : 5
Tu moltiplicherai 5 per 5 : 25
Tu sottrarrai 25 da 10,50:
10,25
Questo è il quadrato di 25
x2 + y2 = 1300 (= 21,40)
x – y = 10
(x2 + y2)/2 = 650 (=10,50)
(x – y )/2= 5
((x – y )/2)2= 25
(x2 + y2)/2 - ((x – y )/2)2 = 625
(=10,25)
2
x2 + y 2 ⎛ x − y ⎞
−⎜
⎟ = 25
2
⎝ 2 ⎠
Utilizzo due volte (x + y )/2= 25
Scriverai 25 due volte
Aggiungerai il 5, che hai
x+ y x− y
+
= 30 (= x)
moltiplicato, al primo 25: 30, è
2
2
il primo quadrato
Sottrarrai 5 dal secondo 25: 20 x + y x − y
−
= 20 (= y )
è il secondo quadrato
2
2
x2 + y 2 ⎛ x + y ⎞ ⎛ x − y ⎞
=⎜
⎟ +⎜
⎟
2
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2
2
32
16
In Grecia
Sistema di numerazione alfabetico
PIA = 100+10+1
poteva essere scritto anche così AIP o
decimale additivo
IAP
33
MIGLIAIA
Per denotare i numeri superiori a 10000 viene usato
il segno M iniziale di miriade
λα
M ,Δ ρ ν θ =
31·10000 + 4000 + 100 + 50 + 9 = 314159
34
17
Vedi STORIA 1
La scoperta, nell’ambito della Scuola pitagorica,
delle grandezze incommensurabili (come il lato e
la diagonale del quadrato), cioè grandezze per cui
non esiste sottomultiplo comune, fece sì che
l’aritmetica perdesse il suo primato.
La geometria invece, potendo accogliere questa
nuova realtà, si sviluppò notevolmente.
Infatti una qualunque grandezza razionale o irrazionale può essere
rappresentata con un segmento, il prodotto di due grandezze disuguali
con il rettangolo avente per dimensioni i segmenti che le rappresentano,
il prodotto di due grandezze uguali con il quadrato costruito sul
segmento corrispondente,…
Per questa ragione nella matematica greca classica troviamo solamente
solamente
la risoluzione geometrica di problemi riconducibili a equazioni di 1°
1° e
di 2°
2° grado.
Sarebbe improprio parlare di algebra.
35
Problemi di applicazione delle aree
Si tratta di problemi geometrici riconducibili ad equazioni
di 1° e di 2° grado che Proclo (V sec.) fa risalire ai Pitagorici
e che vengono affrontati da Euclide
nel I, II e VI libro degli Elementi
Applicazione parabolica:
parabolica
= applicazione
costruire un rettangolo di area data S su una base b.
Indicata con x l’altezza il problema si traduce per noi
in un’equazione di 1° grado:
bx = S
x
b
36
18
Applicazione ellittica o per difetto:
difetto:
= mancanza,
mancanza, difetto
costruire un rettangolo di area data S su una base b - x e altezza x.
Il problema si traduce per noi in un’equazione
di 2° grado:
(b - x)x = S
x
x
b
Applicazione iperbolica o per eccesso:
eccesso
= eccesso
costruire un rettangolo di area data S su una base b + x e altezza x.
Il problema si traduce per noi in
un’equazione di 2° grado:
(b + x)x = S
b
x
37
x
Vedi STORIA 1
Euclide (300 a. C.)
Insegna matematica in Alessandria d’Egitto.
La sua opera gli Elementi sono il più
perfetto esempio di assiomatica antica.
A partire da alcune proprietà primitive (assiomi)
la cui intelligibilità è garantita dall’evidenza,
Euclide ricava deduttivamente tutte le altre proposizioni
(teoremi).
Visione della matematica di stampo platonico, dunque
la matematica è razionalità pura.
Gli Elementi di Euclide, Classici della scienza, Utet, Torino 1988
38
19
Elementi, Libro II
dimostrazione geometrica rigorosa delle identità
usate dai Babilonesi
a
b
Prop.
Prop. II. 4
“Se si divide a caso una linea retta, il
quadrato di tutta la retta è uguale [in
grandezza] alla somma dei quadrati delle
parti e del doppio del rettangolo
compreso dalle parti”. [p. 163]
C
∧
(a + b)2 = a2 + b2 +2ab
∧
∧
∧
A
B
CGB = ADB (corrispond enti ) = ABD = GBC
H
K
dunque CGB = GBC → BC = CG
∧
G
∧
ma BC = GK e CG = BK → GK = BK
per cui il parallo log ramma CBKG ha tutti i
D
E
lati uguali . Dico che gli angoli sono retti .
39
F
A
a
C b
∧
B
L ' angolo KBC è retto per ipotesi , dunque
K
anche GCB è retto (CG//BK)
∧
H
G
D
e così pure gli altri
E
⇓
CBKG è un quadrato.
F
Per la stessa ragione HGFD è un quadrato.
I rettangoli ACGH e GKEF sono uguali perché costruiti su
segmenti uguali , dunque
(a+b)2
a2
+
b2
+2
ab
eq.
40
20
Prop.
Prop. II.5
“Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il rettangolo
compreso dalle parti disuguali della retta, insieme col quadrato
della parte compresa fra i punti di divisione, è uguale [in
grandezza] al quadrato della metà della retta”. [p. 166]
a
b
a-b
(a +b)(a - b) = a2 - b2
a2
(a+b)(a-b)
+
b2
eq.
41
II. 5
R(AD, DB) + Q(CD) = Q(AC)
ADFE = ACHE + CDFH
= CBKH + FKNM = Q(CB) - Q(CD)
La dimostrazione
Euclidea segue
questa traccia
cioè
R(AD, DB) = Q(CB) - Q(CD)
R(AD, DB) = Q(AC) - Q(CD)
A
C
D
B
R(AD, DB) + Q(CD) = Q(AC)
c.d.d.
H
E
F
K
L
M
N
42
21
Es. 6 Quale identità è dimostrata nella seguente
proposizione degli Elementi di Euclide?
Prop. II.8 “Se si divide a caso una linea retta, il quadruplo del
rettangolo compreso da tutta la retta e da una delle parti, insieme
col quadrato della parte rimanente, è uguale [in grandezza] al
quadrato descritto, come su una sola linea retta, sulla somma di
tutta la retta iniziale e della detta parte” [p. 175]
4ab
+(a-b)2=(a+b)2
A
a
C
B b
b
oppure
(a+b)2 - (a-b)2 = 4ab
a-b
b
a-b
b
AB = a
CB = b
a+b
A
a
B b
43
Prop.
Prop. VI.12
“Date tre rette, trovare la quarta proporzionale dopo di esse” [p. 378]
a
b
c
Si tratta di trovare un segmento x tale che
a:b=c:x
Usando il nostro simbolismo il problema
equivale a risolvere l’equazione di 1° grado
ax = bc
Si considerino due semirette DE e DF formanti un
angolo qualsiasi. Si ponga DG = a, GE = b
e DH = c.
Si congiunga H con G e si conduca per E
il segmento EF parallelo ad HG .
D
Poiché nel triangolo DEF il segmento GH//EF si
avrà: DG : GE = DH : HF .
HF è la quarta proporzionale cercata.
E
G
H
F
44
22
Diofanto di Alessandria (III sec.)
è l’ultimo matematico greco creativo, la cui opera,
Le Aritmetiche, si discosta nei metodi dalla matematica greca
classica e recupera della tradizione logistica e l’eredità babilonese
“La sua giovinezza durò 1/6 della sua vita; poi la sua barba
crebbe per 1/12; si sposò dopo 1/7 e gli nacque un figlio dopo 5
anni. Il figlio visse la metà
metà degli anni del padre e il padre morì
morì 4
anni dopo il figlio”
figlio”
1
1
1
x
x+ x+ x+5+ +4 = x
6
12
7
2
x = 84
Le Aritmetiche 13 libri, circa 200 problemi
6 libri (manoscritto greco), 4 libri (manoscritto arabo)
La formulazione del problema è astratta, solo in un secondo
tempo vengono forniti i dati numerici e la risoluzione è puramente
numerica e indipendente dall’interpretazione geometrica
45
(sintomatico è l’uso di potenze superiori al cubo)
introduce delle abbreviazioni (algebra sincopata)
l’incognita x del problema → arithmos (numero) ς
x2 → Δy dove Δ è l’iniziale di dúnamis = potenza
x3 → Ky (kúbos)
x 4 → Δy Δ
x6 → Ky K
o
M → unità (monás) e indica che ciò che segue è un numero puro
/|\ → segno di sottrazione
x6 - 5x4 + x2 - 3x - 2
o
Ky K α Δy α /|\ Δy Δ ε ς γ M β
(15x2-36)/(x4+36-12x2) Δy ιε /|\ M λς εν μοριω Δy Δα M λς /|\ Δy ιβ
o
o
-l’insieme numerico è limitato ai razionali positivi
- uso dei numeri negativi solo nei calcoli intermedi
- soluzione di equazioni determinate e indeterminate
- grande padronanza delle proprietà dei numeri, abilità nell’escogitare
artifici
46
influenza sulla moderna teoria dei numeri
23
Alcune regole [Le Aritmetiche, I, pp. 1212-13, 155]
Ariqmo\j me\n e}pi\ a}riqmo\n poluplasiasqei\j poiei~ du/namin, e}pi\
de\ du/namin, ku/bon,…
}
x × x = x 2 , x × x 2 = x 3 ,...
Lei~vij e}pi\ lei~vin poluplasiasqei~a poiei~ u$parxin, lei~vij
e}pi\ de\ u$parxin poiei~ lei~vin, kai\ th~j lei/vewj shmei~on V
e}llipe\j/|\ka/tw neu~on,
“Una mancanza moltiplicata per una mancanza fa un avere; una mancanza
per un avere fa una mancanza e segno della mancanza [è] V troncato,
rivolto in giù /|\ ”
Es. Nel problema Probl. III. 8 deve sottrarre 2x + 7 da x2 + 4x + 1 e scrive
x 2 + 2x - 6
Diofanto però usa i numeri negativi solo nei calcoli intermedi, mentre
accetta come soluzioni dei problemi solo i razionali positivi.
47
Aritmetica, Prop. II. 8
“Decomporre un quadrato dato in due quadrati”
Sul Codice di Madrid che ci ha tramandato il testo c’è
l’annotazione:
“Che la tua anima, o Diofanto, sia con Satana per
la difficoltà dei tuoi altri teoremi e soprattutto per
questo”
Fermat: “Al contrario è impossibile
decomporre un cubo in due cubi, un biquadrato
P. de Fermat (1601-1665)
in due biquadrati, sia in generale una potenza
qualunque superiore al quadrato in due potenze
dello stesso grado: io ne ho scoperto una
dimostrazione meravigliosa, ma il
x n + y n = zn
margine è troppo stretto per
non ammette soluzioni
contenerla”
Il “teorema di Fermat”
Fermat” sarà
sarà dimostrato intere positive diverse da 0
per n ≥ 3
48
da Andrew Wiles solo nel 19941994-95
24
In
India
La civiltà Hindu risale
almeno al 2000 a.C.,
Iscrizione sanscrita dell’876
ma i primi documenti
di carattere matematico risalgono solo al VII
sec. a.C. e hanno un carattere primitivo.
Il periodo più importante è quello che va dal II all’XII secolo
e vede operare matematici come Aryabhata (V sec), Brahmagupta (VI VII sec), Mahavira (IX sec. ), Bhaskara II (XII sec)
Il sistema di numerazione posizionale in base 10 con un simbolo per lo
zero si può far risalire al 200 a. C., anche se è solo dopo il V sec. che
divenne di uso comune, quando si ebbe una trattazione completa
dell’aritmetica decimale e l’enunciazione delle proprietà dello zero. 49
VII - IX sec.
1 ⎛1 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1 1 1⎞ ⎛1 1 1⎞
+ ⎜ ⋅ ⎟ + ⎜1 : ⎟ + ⎜ + ⋅ ⎟ + ⎜ − ⋅ ⎟
2 ⎝ 4 4⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 2 2 2⎠ ⎝ 3 2 3⎠
1
1
- uso delle frazioni (bhinna = rotto) indicate
2
4
come facciamo noi senza la linea divisoria
- uso dei numeri negativi rappresentati
sovrapponendo un punto al simbolo numerico
•
9 = - 9, però generalmente non è considerata
la soluzione negativa di un’equazione di secondo grado
sama-karana
equazione
- uso di abbreviazioni
yâ (yavat-tavat = tanto quanto)
incognita
yâ va (yavat-varga)
incognita al quadrato
rû (rûpa=ciò che appare)
termine noto
1
4
1
1
3
1
2
1
2
1
3
•
11
22
.
•
yâ va 0 yâ 10 rû 8
yâ va 1 yâ 0 rû 1
10 x − 8 = x 2 + 1
50
25
Alcune Definizioni e Regole
Brahmagupta definisce lo zero come il risultato dell’operazione di
sottrarre fra loro due numeri uguali.
“Il prodotto di un numero positivo per un negativo è negativo;di
due negativi è positivo; un positivo moltiplicato per un positivo è
positivo” [Brahmagupta, VII sec.]
“Il quadrato di un numero positivo o negativo è positivo”
[Brahmagupta, VII sec.]
“Se zero è aggiunto ad un numero, il numero è invariato; lo
stesso è vero quando lo zero è sottratto. Nell’operazione di
moltiplicazione o divisione di zero per un altro numero il risultato
è zero” [Aryabhata II, X sec.]
[Datta,Singh, I, 238-243; II, 51
22-24]
[Colebrooke, p. 347]
Esempio tratto dall’opera
Kuttakadyaya di Brahmagupta (VII sec.)
•
yâ va 1 • yâ 10
rû 9
•
Il numero puro 9 è
moltiplicato
per il quadrato
•
1: 9 .
sia aggiunto al quadrato
della metà del numero di
mezzo 25, che fa 16, la cui
radice è 4, meno• la metà
dell’incognita 5 : 9
Si divida 9 per il quadrato
1.
Ecco il valore dell’incognita
Traduzione
simbolica
x2 - 10x = -9
- 9×1= - 9
(-10 : 2)2 = 52
25 +(-9) = 16
16 = 4
4 - (-5) = 9
9
=9
1
x=9
Formalizza zione
ax 2 + bx + c = 0
− ac
b2 ⎛ b ⎞
=⎜ ⎟
4 ⎝2⎠
b2
− ac ,
4
−
b
+
2
−
x=
2
b2
− ac
4
b2
− ac
4
a
b
+
2
b2
− ac
4 52
a
26
Bhaskara II, Bîjaganita (1150)
“Regola: la somma dei quadrati di due quantità differisce
dal quadrato della loro somma di due volte il loro prodotto”
Per esempio, siano le quantità 3 e 5. I loro quadrati sono 9 e 25.
Il quadrato della loro somma, 64. Guarda:
3×5
32
3
52
5
8
Qui le celle quadrate sono chiaramente eguali a due volte il
prodotto; e la proposizione è dimostrata”
(x+y)2- (x2+y2) = 2xy
53
[Colebrooke, p. 224]
Bhaskara II, Bîjaganita (1150)
Un problema di IV grado
“Se tu sei versato nelle operazioni dell’algebra, dimmi il numero il cui
biquadrato meno il doppio della somma del quadrato e di duecento
volte il numero è uguale alla miriade meno 1”.
x 4 − 2( x 2 + 200 x) = 10000 −1
Baskara cerca con " ingegnose" manipolazi oni di avere
un quadrato sia al primo che al secondo membro :
x 4 − 2 x 2 − 400 x = +10000 −1
x 4 + 2 x 2 + 1 = 4 x 2 + 400 x + 10000
( x 2 + 1) 2 = (2 x + 100 ) 2
x 2 + 1 = 2 x + 100
x 2 − 2 x + 1 = 100
( x −1) 2 = 10 2
x −1 = 10
x = 11
aggiunge +4x2
ad ambo i membri
Eguaglia le radici positive
Trova una sola soluzione
54
[Colebrooke, p. 215]
27
Nel mondo islamico
La civiltà islamica si sviluppa a partire dal 622 (anno
della fuga di Maometto a Medina) e raggiunge il
massimo splendore tra il IX e il XIII sec.
55
I matematici e gli scienziati
islamici danno contributi
importanti all’algebra, alla
trigonometria e alla
geometria, e attraverso una
fitta opera di traduzioni dei
classici greci hanno fatto sì
che il sapere antico non
andasse perduto.
Verso l’830 il califfo al-Ma’mūn fonda a Bagdad la Casa della
saggezza (Bayt al-Hikma) che richiama scienziati e letterati. Fra di essi
vi erano molti traduttori con il compito di tradurre dal greco i testi
matematici e filosofici (Euclide, Archimede, Apollonio, Diofanto,
Aristotele,…)
Il fiorire della traduzioni si verificherà anche in Spagna dopo la
56
conquista araba (Cordova, Toledo, Saragozza, …)
28
Muhammed ibn Musa alal-Khwarizmi (780-850), è considerato il
padre dell’algebra.
A lui si deve anche la prima esposizione del sistema di numerazione
indiano decimale posizionale e delle operazioni in un’opera che ci è
pervenuta solo nella versione latina Algoritmi de numero indorum
Omar al Khayyam (1048-1131?) nell’opera Sulle dimostrazioni
di al-jabr e al-muqabala ci dà la seguente definizione di algebra:
“L’arte dell’ al-jabr e dell’al-muqabala è un’arte scientifica il cui
oggetto è il numero puro e le grandezze misurabili in quanto
incognite, ma rapportate ad una cosa nota, mediante la quale le si
può determinare.”
al-jabr
(completamento)
al-muqabala
(bilanciamento)
2 x 2 + 68 − 10 x = 58
si eliminano i termini negativi
2
2 x + 68 − 10 x + 10 x = 58 + 10 x
2 x 2 + 10 = 10 x
57
si addizionano i termini simili
Al-Khwarizmi, Al-kitab al-mukhtasar fi hisab
al-jabr wa'l-muqabalah" [830 circa]
(Breve opera sul calcolo di spostare e raccogliere)
raccogliere)
La forma espositiva adottata è quella dell’algebra retorica:
i numeri sono chiamati dirham, l’incognita x
con say’ (cosa) o gizr (radice) ed il quadrato dell’incognita x2 con mal
(possedimento).
I caratteri salienti del libro possono essere così riassunti:
- parte dalle equazioni e solo successivamente considera i
problemi. Ciò denota una visione dell’equazione come oggetto
matematico in sé, svincolato dalle applicazioni
- ricerca la soluzione delle equazioni per via algebrica di cui fornisce
la giustificazione geometrica sfruttando l’eredità classica greca.
- si limita a considerare le equazioni di primo e secondo grado - non
tiene conto delle soluzioni negative e nulle, nonostante conoscesse
l’esistenza dei numeri negativi dagli indiani, forse perché era legato
all’interpretazione geometrica delle grandezze (sempre positive).
- classifica le equazioni e fornisce il metodo risolutivo discutendone
infine la risolubilità.
58
29
Distingue 6 tipi canonici di equazioni, dove i coefficienti a, b, c sono
interi positivi:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Quadrati uguali a radici
Quadrati uguali a numeri
Radici uguali a numeri
Quadrati e radici uguali a numeri
Quadrati e numeri uguali a radici
Radici e numeri uguali a quadrati
ax2 = bx
ax2 = c
ax = c
ax2 + bx = c
ax2 + c = bx
bx + c = ax2
Non considera la soluzione x=0
Non utilizza quasi mai gli irrazionali gizr asamm = radice sorda
59
60
30
Come si vede egli ottiene le due soluzioni positive dell’equazione alle quali
affianca il seguente commento:
"…Se tu affronti un problema che si riconduce a
questo tipo di equazione, verifica l'esattezza della
soluzione con l'addizione, come si è detto. Se non
è possibile risolverlo con l'addizione, otterrai
certamente il risultato con la sottrazione. Questo
è il solo tipo in cui ci si serve dell'addizione e
della sottrazione, cosa che non trovi nei tipi
precedenti.
Devi inoltre sapere che se in questo caso tu dividi
a metà la radice e la moltiplichi per se stessa e il
prodotto risulta minore del numero che è
aggiunto al quadrato, allora il problema è
impossibile.
Se invece risulta uguale al numero, ne segue che
la radice del quadrato sarà uguale alla metà
delle radici che sono col quadrato, senza che si
tolga o si aggiunga qualcosa."
2
⎛ p⎞
⎜ ⎟ >s
⎝2⎠
→ Δ>0
due soluzioni reali
2
⎛ p⎞
⎜ ⎟ <s
⎝2⎠
→ Δ<0
nessuna soluzione reale
2
⎛ p⎞
⎜ ⎟ =s
⎝2⎠
→ Δ=0
due soluzioni reali
coincidenti
Dà una dimostrazione geometrica separatamente per le due soluzioni.
61
Costruzione geometrica della prima soluzione
il rettangolo GCDE, di lati GC= p e CD = x, è formato dal quadrato
ABCD = x2 e dal rettangolo GBAE = (p-x)x = s.
Se si pone x < p/2 si può innalzare da F, punto medio di GC,
la perpendicolare FH a GC e prolungare FH del segmento
HK=AH=p/2 - x.
M
M
x
p
62
31
Si costruiscono quindi i quadrati GFKM =
⎛ p⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
2
e IHKL =
⎛p
⎞
⎜ − x⎟
⎝2
⎠
2
.
Dalla costruzione risulta che i rettangoli EILM e FBAH sono uguali,
per cui IHKL risulta essere la differenza fra q(GFKM) e r(GBAE),
2
2
p
p
cioè ⎛⎜ − x ⎞⎟ = ⎛⎜ ⎞⎟ − s .
⎝2
⎠
⎝2⎠
2
p
Dunque IH = AH = ⎛⎜ ⎞⎟ − s e
⎝2⎠
AD = HD–AH =
M
2
= x=
p
⎛ p⎞
− ⎜ ⎟ −s
2
⎝2⎠
63
Quadrati e radici uguali a numeri
“…un quadrato e 10 radici sono
uguali a 39 unità.
Il modo di risolvere questo tipo di
equazione è prendere mezza radice
appena menzionata. Adesso, le radici
nel problema sono dieci. Quindi
prendiamo la metà ossia 5, che
moltiplicato per se stesso dà 25, una
somma che unita a 39 dà 64. Avendo
preso poi la radice quadrata di questo
che è 8, sottratto della metà delle
radici, 5, diventa 3. Il numero 3 quindi
rappresenta una radice di questo
quadrato, che è 9 naturalmente. 9
quindi dà il quadrato”
Traduzione
simbolica
x2 + 10x = 39
Formalizzazione
x2 + px = q
10 : 2 = 5
5 · 5 = 25
p p ⎛ p⎞
⋅ =⎜ ⎟
2 2 ⎝2⎠
p:2
25 + 39 = 64
64 =8
8–5=3
x=3
x2 = 9
2
2
⎛ p⎞
⎜ ⎟ +q
⎝2⎠
2
p
⎛ p⎞
x= ⎜ ⎟ +q−
2
⎝2⎠
64
32
⎛ 10 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 4⎠
x
Prova geometrica
Completamento
del quadrato
2
x2 + 10x = 39
Costruisce sui lati del
quadrato di lato x quattro
rettangoli di base 10/4 e per
completare la figura
occorrono quattro
quadratini di lato 10/4:
10
4
x2 + 4·(10/4)x + 4·(10/4)2 =
= x2 +10x +25
Sapendo che x2 + 10x = 39, il quadrato esterno ha un'area
2
⎛ 10 ⎞
39 + 4⎜ ⎟ = 64
⎝4⎠
lato misura 8. Dalla figura si osserva che il lato è di lunghezza
10
10
+x+ ,
4
4
x + 5 = 8, che dà x = 3.
Es. 7
e il suo
quindi
65
Trovare le soluzioni positive della seguente
equazione come fa Al-Khwarizmi
x2 + 4x = 32
Suggerimento:
Costruire il quadrato di lato x e sui suoi lati costruire 4 rettangoli
di lato 1.
Completare il quadrato, …
12
x2
1
x+2
Dunque
x2 + 4(1)x + 4(12) =
x2 + 4x + 4
ma x2 + 4x vale 32
dunque il quadrato esterno ha area
32+4 =36 e il suo lato
x+2 sarà = 6, da cui x = 4
66
33
Omar al-Khayyam
(1048 – 1131?)
Astronomo, matematico e
poeta persiano, celebre per le
sue Quartine (Rubáiyát)
“Il tuo oggi non ha potere sul domani,
e il pensiero del domani non ti frutta che malinconia.
Non buttar via questo istante, se il tuo cuore non è pazzo,
ché questo resto di vita non si sa quanto possa valere”
67
“Sulle dimostrazioni dei problemi di al-jabr e
al-muqabala”.
Con al-Khayyam l'algebra diventa la teoria generale delle
equazioni algebriche di grado minore o uguale a tre e con
coefficienti interi positivi
I risultati più importanti ottenuti da al-Khayyam si possono così
riassumere
9 Osserva il principio di omogeneità dimensionale tra le grandezze
9 Per le equazioni di terzo grado non riconducibili ad equazioni di
secondo, riconoscendo il suo fallimento nella ricerca delle radici
per via algebrica, ricava le soluzioni per via geometrica
mediante intersezione di coniche
9 Considera solo le soluzioni positive (non le radici negative) delle
quali discute le condizioni di esistenza
9 Nonostante l’analisi sia profonda e dettagliata gli sfugge il caso
della terza soluzione positiva dell’equazione x3+ bx = ax2+ c
68
34
Classifica le equazioni secondo il loro grado e il numero di monomi che le
compongono, in particolare suddivide le equazioni di terzo grado in binomie,
trinomie e quadrinomie, come segue (a, b, c costanti e positive):
x3 = c
- equazione binomia
x3 + bx = c
- equazioni trinomie senza termine di secondo grado I. x3 + c = bx
bx + c = x3
- trinomie senza termine di primo grado
x3 + ax 2 = c
II. x3 + c = ax 2
ax 2 + c = x3
- quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad un termine positivo
I.
x3 + ax 2 + bx = c
x3 + ax 2 + c = bx
x3 + bx + c = ax 2
ax 2 + bx + c = x3
- quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a due termini positivi
x3 + ax 2 = bx + c
II. x3 + bx = ax 2 + c
x3 + c = ax 2 + bx
69
Il primo matematico di
rilievo in Occidente è
Leonardo Fibonacci
Pisano
(ca. 11801180-ca.1240)
che in giovane età imparò la
matematica dagli arabi nella
città di Bugia, dove il padre
notaio curava nella dogana
gli interessi dei mercanti, e
nei viaggi successivi in
Egitto, Siria, Grecia, ...
70
35
Il frutto di questi viaggi e di questi studi è il
Liber Abaci (1202)
che è una summa del sapere aritmetico e algebrico del mondo arabo
Si compone di 15 capitoli
- i primi 7 capitoli sono dedicati all’introduzione
delle cifre indoarabiche, alla numerazione
decimale posizionale, agli algoritmi delle
operazioni.
- 4 capitoli sono dedicati all’aritmetica mercantile
- vi è poi un capitolo di problemi miscellanei,
fra cui problemi di “matematica ricreativa”
- il cap. 13 è dedicato al metodo della falsa
posizione
- i capitoli 14 e 15 sono dedicati alla teoria
delle proporzioni e all’algebra.
Liber Abaci, I numeri di man dritta
71
Abacisti contro Algoristi
Leonardo Pisano diede un
notevole impulso alla
diffusione in Italia delle
cifre indoarabiche
(sistema decimale
posizionale) e del calcolo
con carta e penna, ma nel
resto dell’Europa l’uso
dell’abaco resistette a
lungo, anche perché i
sistemi monetari e di misura
non erano decimali.
Locuzioni come
“prenderne uno, riportarne
due, …” traggono origine
72
dalla pratica dell’abaco.
36
Evoluzione delle cifre indoarabiche
XII sec.
XIII sec.
XIV sec.
XV sec.
Inizi XVI
sec.
73
L’ultimo capitolo del Liber Abaci è dedicato all’
all’algebra [pp. 406 segg.]
La trattazione è divisa in due parti:
h la prima di carattere teorico in cui, seguendo Al Khwarizmi,
Leonardo Pisano discute i sei tipi di equazioni di 2° grado, dà le
regole per la soluzione e la dimostrazione geometrica
h la seconda contiene un centinaio di problemi risolti con l’uso di
queste regole
74
37
Le regole non sono date mediante formule, ma mediante una
ricetta verbale.
Vediamo per esempio il caso “censo e numero uguale a radici”
radici”
x 2 + c = bx
[p. 409]
Successivamente dà la dimostrazione geometrica basandosi sulla
Prop. II. 5 degli Elementi di Euclide
75
Es. 8
Tradurre e interpretare il passo di Leonardo Pisano
“Quando avviene che il censo e il numero sono uguali alle radici,
sappi che ciò non si può fare a meno che il numero sia uguale o
minore del quadrato della metà delle radici. E se il numero è
uguale, la soluzione è la metà delle radici. Se invece è minore,
sottrai il numero dal quadrato della metà delle radici, e sottrai la
radice del risultato dalla metà delle radici … ovvero somma la
radice del risultato con la metà delle radici”
In questo modo Fibonacci trova sia la condizione per l'esistenza di
radici reali dell'equazione x2 + c = bx, sia le due radici positive
dell'equazione che noi scriviamo:
x = b − ( b )2 − c
2
2
x = b + ( b )2 − c
2
2
76
38
Il Liber Abaci era molto al di
sopra delle comuni conoscenze
matematiche del mondo
occidentale; ci vorrà almeno un
secolo prima che fosse
pienamente compreso.
In Italia furono le Scuole
d’abaco a favorirne la
diffusione.
77
Bibliografia
Giusti E. (a cura di) Un ponte sul mediterraneo. Leonardo Pisano, la
scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente, Il
Giardino di Archimede. Un Museo per la matematica, Firenze,
2002, pp. 7-43
Franci R., Toti Rigatelli L., Storia della teoria delle equazioni
algebriche, Mursia, Milano, 1979
Maracchia S., Storia dell'algebra, Liguori, 2005
I testi
Bombelli R., L’Algebra, (1572) Feltrinelli, Milano, 1966
Brahmagupta, Bhaskara, Algebra, a cura di H.T. Colebrooke, 1817,
Rist., M. Sändig, Vaduz, 1973
Diophantus, Les Arithmétiques, a cura di R. Rashed, Paris, 1984
Euclide, Gli Elementi, Classici della scienza, Utet, Torino, 1988
Leonardo Pisano, Liber Abaci, in Leonardo Fibonacci, Testi e Studi,
Il Giardino di Archimede, CD-Rom.
Tannery P. ( a cura di), Diophanti Alexandrini Opera Omnia cum
Graecis Commentariis, Lipsiae, 1893
78
39
