ROTTURA SPONTANEA DI SIMMETRIA: DAL

ROTTURA SPONTANEA DI SIMMETRIA:
DAL FERROMAGNETISMO ALLA FISICA
DELLE PARTICELLE
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Indice
Indice
Indice ............................................................................................................................................................ 2
Introduzione ..................................................................................................................................................... 3
Bosoni massivi in fisica della particelle ......................................................................................................... 3
Correnti schermanti: la “massa del fotone” ................................................................................................. 6
Risoluzione del problema ................................................................................................................................. 7
Diamagnetismo e Superconduttività ............................................................................................................ 7
Modello di Higgs U(1) ................................................................................................................................. 10
Rottura spontanea di simmetria: il caso del ferromagnetismo .............................................................. 10
Rottura spontanea di simmetria: il modello di Higgs U(1) ...................................................................... 12
Dove finisce la Gauge invarianza quando la simmetria è rotta? ................................................................. 14
Modello di Higgs SU(2)xU(1) e verifica sperimentale ................................................................................. 15
Bibliografia ..................................................................................................................................................... 18
Bosoni massivi in fisica della particelle
Introduzione
Bosoni massivi in fisica della particelle
All’epoca della formulazione della meccanica quantistica, l’unico bosone mediatore conosciuto era il
fotone. Esso è il mediatore del campo elettromagnetico. Le equazioni di Maxwell prevedono che esso sia
una particella a massa nulla, e di ciò si hanno evidenze sperimentali.
In seguito, con lo studio delle interazioni forti, è stato ipotizzato, e poi confermato indirettamente dai dati
sperimentali, che anche l’interazione forte è descrivibile con una teoria di gauge e che essa possiede 8
bosoni mediatori, anche essi a massa nulla.
Ci si può dunque chiedere se l’assenza di massa sia una caratteristica di tutti i bosoni mediatori di un campo
di gauge. Tuttavia, quando analizziamo i dati sperimentali di processi dovuti ad interazioni deboli, vediamo
che essi non sono compatibili con bosoni mediatori a massa nulla, anzi i bosoni mediatori di tale interazione
devono avere una massa molto maggiore di quella del protone!
Nasce allora il problema dell’invarianza di gauge.
In meccanica quantistica una particella elementare è descrivibile con una funzione d’onda, che associa ad
ogni punto dello spazio un numero complesso. Tale funzione d’onda deve soddisfare l’equazione di
Schrödinger.
In assenza di altre particelle o campi però l’unica osservabile è la densità di probabilità di osservare la
particella in un dato punto, ovvero il modulo di tale funzione d’onda. Nasce allora spontanea la domanda:
posso scegliere la fase della funzione d’onda arbitrariamente in ogni punto dello spazio tempo, se essa non
contiene nessuna informazione fisica?
Deve continuare a valere è l’equazione di Schrödinger: la nuova funzione d’onda dovrà sempre essere
soluzione dell’equazione di Schrödinger. Tuttavia si osserva subito che se è soluzione, allora
non lo è, infatti
e i termini aggiuntivi che compaiono fanno si che l’equazione di Schrödinger scritta in questa forma non sia
soddisfatta. Possiamo allora introdurre un campo di gauge, per esempio quello elettromagnetico. In questo
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Bosoni massivi in fisica della particelle
caso l’Hamiltoniana cambia, e il suo cambiamento rende covariante l’equazione di S. sotto trasformazioni
arbitrarie di fase:
Infatti se
allora la funzione d’onda trasformata
soddisfa l’equazione di S. trasformata in modo covariante se i campi trasformano in questo modo:
Infatti:
In quanto:
Bosoni massivi in fisica della particelle
L’equazione diventa allora
che è equivalente a quella di partenza.
La stessa cosa avviene in una teoria di gauge come la QED:
Se partiamo dalla densità lagrangiana di Dirac:
e cambiamo la fase del campo spinoriale
allora
Se introduciamo però un campo di gauge (campo elettromagnetico) con l’accoppiamento minimale la
densità lagrangiana diventa:
che è invariante sotto trasformazioni del tipo:
Infatti
Il ruolo di tale campo di gauge sembra quello di “riconciliare” i cambiamenti di fase che possono riferirsi, in
linea di principio, a particelle molto distanti nello spazio. Tuttavia solitamente c’è una connessione fra il
raggio di azione di un campo e la massa del suo mediatore. Nel caso dei campi di gauge la “riconciliazione”
della fase deve essere fatta su distanze spazio-temporali arbitrariamente grandi, e quindi sembrerebbe
allora necessario richiedere che i quanti mediatori siano a massa nulla.
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Correnti schermanti: la “massa del fotone”
Si può vedere matematicamente che i quanti di gauge dovrebbero essere a massa nulla nel modo seguente.
L’equazione di Maxwell per il campo elettromagnetico è
ed è invariante sotto la trasformazione
Invece l’equazione per un bosone massivo è
manifestamente non invariante sotto la trasformazione precedente, e il termine di rottura è proprio quello
di massa.
Sembra quindi che abbiamo raggiunto un vicolo cieco nel tentativo di applicare una teoria di gauge alle
interazioni deboli.
Correnti schermanti: la “massa del fotone”
L’unico modo per cui le due equazioni possono essere fra loro consistenti è il seguente:
prendendo la divergenza dell’equazione per il bosone massivo otteniamo la condizione
per cui le due equazioni diventano
e possono essere consistenti se e solo se
cosa che ovviamente non è una condizione gauge invariante. Ciò era presumibile: siamo partiti
dall’equazione per il bosone massivo che non era gauge invariante, e la condizione che abbiamo trovato
sulla divergenza di
può essere interpretata come una scelta di gauge per il campo .
Vediamo ora perché questa condizione è chiamata di corrente schermante partendo dalle equazioni di
Maxwell.
Considerando il caso statico
dato che
si ottiene (usando la corrente schermante):
Diamagnetismo e Superconduttività
che ha come soluzione accettabile solo l’esponenziale decrescente con lunghezza di decadimento
,
detta lunghezza di schermaggio. Questo significa che in un mezzo in cui valgono le precedenti equazioni, il
campo magnetico può penetrare sol per una lunghezza pari a
.
Cos’è che scherma il campo? È il campo stesso che genera correnti indotte le quali generano a loro volta un
campo indotto che cancella quello esterno.
Risoluzione del problema
Diamagnetismo e Superconduttività
Consideriamo il problema del Diamagnetismo in meccanica quantistica. Dobbiamo usare la corrente di
probabilità quantistica modificata per la presenza del campo elettromagnetico (in unità naturali)
corrente ottenuta da quella standard costituendo l’operatore
La funzione d’onda
con la derivata covariante
è ovviamente la funzione d’onda dell’elettrone.
Ponendo
otteniamo una corrente effettivamente invariante per trasformazioni del tipo
Abbiamo allora da risolvere le seguenti equazioni accoppiate
dove ci siamo ridotti al caso statico e alla gauge trasversa.
Osserviamo che esiste una soluzione dove la funzione d’onda è costante:
.
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Diamagnetismo e Superconduttività
da cui risulta che la lunghezza di schermaggio è (andando a ripristinare le costanti universali con l’analisi
dimensionale):
Se consideriamo poi una distribuzione uniforme di elettroni allora
dove
è il raggio di Bohr, e risulta
Questo effetto và applicato singolarmente ad ogni atomo, il quale avendo dimensioni di circa
sentirà un’attenuazione massima pari a
e pertanto il Diamagnetismo è un effetto molto debole.
Alcune note:


nella soluzione del sistema, per la prima equazione basta considerare l’approssimazione di campo
debole, per cui si vede che trascurando il termine in
la funzione d’onda rimane imperturbata e
l’energia subisce uno schift dovuto a , che non è altro che il contributo orbitale al
paramagnetismo. Per questa ragione una seconda semplificazione sta nel porre
, ottenendo
che così anche l’energia non cambia di valore.
Un’ultima approssimazione necessaria per risolvere solo la seconda equazione consiste nel
supporre il modulo della funzione d’onda ovunque costante. Questa approssimazione non cambia il
risultato finale, cioè che l’effetto è molto debole.
Consideriamo ora il fenomeno della superconduttività e l’effetto Meissner.
L’effetto del diamagnetismo è piccolo perché è grande rispetto alle dimensioni atomiche. Gli orbitali degli
elettroni di conduzione nei metalli si estendono su regioni più ampie, quindi potremmo pensare che
l’effetto del Diamagnetismo in questo caso sarebbe più grande, ma le funzioni d’onda sono fortemente
perturbate dal campo e quindi la nostra approssimazione non vale.
Se però il metallo viene raffreddato al di sotto di una certa temperatura, il flusso magnetico che lo
attraversa viene espulso repentinamente, perché vengono a formarsi correnti superficiali che cancellano
esattamente il contributo del campo esterno all’interno del conduttore.
Nella superconduttività valgono esattamente le stesse equazioni che per il Diamagnetismo, dove però
bisogna reinterpretare il significato di ogni singolo termine.
La funzione d’onda diventa una funzione d’onda macroscopica, cioè di tutte le particelle, che vengono
quindi considerate coerenti fra loro, cioè aventi la stessa fase. Insomma tutte le particelle stanno nello
stesso stato. Qui sorge una domanda: se le particelle sono elettroni, che sono fermioni, come possono stare
Diamagnetismo e Superconduttività
tutte nello stesso stato? La risposta è che a tale temperatura gli elettroni vanno a formare delle coppie
dette “coppie di Cooper” che sono bosoni e quindi possono stare tutte nello stesso stato.
Per quanto riguarda gli altri termini: diventa la carica di una coppia di Cooper,
Cooper, e la densità delle coppie di Cooper per unità di volume.
la massa di una coppia di
Vediamo che si ottiene una praticamente uguale alla precedente:
e ponendo
Adesso però cambia un’altra cosa: prima l’elemento a cui andava applicato il singolo effetto di schermaggio
era l’atomo, ora invece è un oggetto macroscopico di dimensione
Quindi lo schermaggio è pressoché totale all’interno; infatti già a
c’è uno schermaggio pari a:
Alcune note:



Stiamo assumendo che una parte degli elettroni formino coppie di Cooper (bosoni): questa è
un’assunzione non perturbativa. Usando invece la teoria delle perturbazioni non saremmo mai
potuti arrivare a uno stato dove gli elettroni formino coppie di Cooper. Inoltre queste coppie si
trovano tutte nello stesso stato quantistico. Si tratta quindi di una “condensazione” nello spazio
degli impulsi: tutte le coppie hanno lo stesso momento del centro di massa.
Non tutti gli elettroni di conduzione che si convertono in coppie cadono in questo stato
fondamentale, ma solo una frazione, che varia da nessuno (alla temperatura critica) alla totalità
(allo zero assoluto). Quindi quando abbiamo posto la densità delle coppie di Cooper pari a metà di
quella degli elettroni di conduzione abbiamo fatto l’approssimazione di essere vicini a temperatura
nulla.
Infine notiamo che siamo giunti a un’equazione
che dà massa alle sole componenti trasverse del campo . Infatti ci siamo messi nella gauge trasversa e
abbiamo assunto che la funzione d’onda fosse stabile per variazioni del campo : e questo può essere vero
solo per variazioni della parte trasversa, in quanto la parte longitudinale può variare di un termine di
gradiente che non ha nessun effetto sulla situazione fisica (non modifica né il campo, né altro).
Manca allora da capire come si fa a far assumere massa anche alla componente longitudinale, massa che
deve essere la stessa di quella delle componenti trasverse.
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Modello di Higgs U(1)
Modello di Higgs U(1)
Vediamo ora un modello analogo in teoria dei campi. Mettendoci sempre nella gauge trasversa scriviamo
l’equazione covariante per il campo
(ovviamente non possiamo più ridurci al caso statico):
Aggiungiamo al modello la presenza di un campo bosonico scalare carico, la cui corrente è:
che si ottiene come in M. Q. partendo dalla corrente standard e sostituendo la derivata normale con quella
covariante.
Assumendo quindi l’esistenza di un bosone scalare carico in aggiunta al campo
diventa:
, l’equazione precedente
Ponendo poi
si ottiene:
da cui si può osservare che la seconda parte dell’equazione è gauge invariante mentre la prima parte non lo
è, avendo scelto la gauge trasversa.
Scegliendo poi
che dà al campo
si ottiene:
una massa
.
Ora vedremo come questo è possibile, ma prima apriamo una piccola parentesi.
Rottura spontanea di simmetria: il caso del ferromagnetismo
Un semplice esempio di rottura spontanea di simmetria è il modello di un ferromagnete dove
l’Hamiltoniana che descrive le interazioni spin-spin è invariante per rotazioni. In assenza di campi esterni
non ci sono altre interazioni significative e quindi tutta l’Hamiltoniana è invariante per rotazioni. Tuttavia,
se raffreddiamo il ferromagnete al di sotto della temperatura critica, il ferromagnete presenta una
magnetizzazione spontanea non nulla. Il vettore magnetizzazione sceglie “a caso” una delle possibili
direzioni, il fatto che la sceglie fa si che lo stato fondamentale non sia rotazionalmente invariante. Il vettore
magnetizzazione può però scegliere qualsiasi direzione, ed è qui che la simmetria dell’Hamiltoniana si
ripresenta, “nascosta”. Per questo alcuni libri indicano questo fenomeno come “simmetria nascosta” invece
che rotta, perché in realtà esiste ancora, ma non si vede.
Come si può facilmente capire che può esistere uno stato fondamentale con magnetizzazione non nulla?
Prendiamo il modello di Landau.
Modello di Higgs U(1)
Il potenziale termodinamico rilevante è l’energia libera di Gibbs che può essere approssimata da:
Prendendo configurazioni uniformi l’ultimo termine si annulla e il minimo del potenziale si può avere
quando vale (abbiamo indicato con il modulo della magnetizzazione, essendo la direzione arbitraria):
I punti stazionari sono quindi
dove abbiamo scartato la soluzione col segno meno in quanto significherebbe solo un cambio di verso del
vettore. Inoltre la seconda soluzione è ammissibile solo se
in quanto il modello assume che si ha
sempre
.
Andando a considerare la derivata seconda
si vede che il primo caso corrisponde a un minimo se
, mentre il secondo è un minimo se
.
Pertanto riassumendo:


Se
esiste solo un punto stazionario che è di minimo e corrisponde a magnetizzazione
spontanea nulla; questo sarà il caso in cui siamo sopra la temperatura critica
Se
esistono due punti stazionari,
che è di massimo e quindi instabile, ed un altro
punto con
che è di minimo e quindi stabile; questo sarà invece il caso in cui siamo al di sotto
della temperatura critica
Ecco di seguito un grafico dell’energia di Gibbs in funzione del modulo della magnetizzazione a temperatura
maggiore e minore di quella critica.
Energia libera di Gibbs a temperatura superiore a quella critica (blu) ed inferiore (viola). Scale arbitrarie.
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Modello di Higgs U(1)
Rottura spontanea di simmetria: il modello di Higgs U(1)
Il modello di Higgs assume l’esistenza di un campo bosonico scalare carico:
Dove
e
sono campi reali per i quali vale lo sviluppo standard in onde piane del tipo
che trasforma in questo modo:
La scelta della forma del potenziale è il passaggio che determina se c’è o meno rottura spontanea di
simmetria.
Per ragioni dimensionali, perché la teoria sia rinormalizzabile è necessario che il potenziale abbia la forma
di un polinomio del campo di grado non superiore a 4. La scelta più ovvia allora ricade su un analogo
dell’energia di Gibbs del paragrafo precedente:
dove abbiamo preso il modulo del campo invece del campo stesso in quanto il potenziale deve essere
anche gauge invariante.
Se ora scegliessimo
avremmo un potenziale con minimo in
e quindi valore di aspettazione sul vuoto nullo:
Plot 3D del potenziale del campo di Higgs, caso a>0
Modello di Higgs U(1)
Se scegliessimo invece
Il minimo del potenziale si avrà per un valore del campo non nullo, e sarà quello il punto attorno al quale si
dovrà sviluppare il campo per applicare la teoria delle perturbazioni:
Plot del potenziale del campo di Higgs, caso a<0
Come si può vedere dal plot abbiamo un insieme continuo di minimi, costituito da una circonferenza di
raggio . Una volta fissata la gauge, ogni punto della circonferenza è uno stato di vuoto differente; tuttavia
a noi è necessario un solo stato fondamentale da cui fare lo sviluppo perturbativo. La scelta dello stato di
vuoto da usare è indifferente dato che l’intero modello è invariante
anche globalmente, ed è quindi
sempre possibile fare una trasformazione globale che renda il valore di aspettazione del campo sul vuoto
reale. Tuttavia la scelta di uno stato fondamentale fra gli infiniti possibili sulla circonferenza “rompe”
l’invarianza
del modello.
Nel caso di simmetria rotta l’equazione per il campo
diventa:
Alcune note:

Quanto detto inizialmente ha quindi valore se siamo nel caso di rottura di simmetria, infatti se il
potenziale ha minimo per campo nullo si ha

e il campo
non acquista massa
Per far apparire la massa al campo
abbiamo dovuto supporre l’esistenza di un altro campo.
Questo è detto modello di Higgs minimale in quanto lo abbiamo fatto col numero minimo di campi
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Dove finisce la Gauge invarianza quando la simmetria è rotta?


possibile (2 campi scalari reali). È possibile ottenere risultati analoghi usando più campi e
complicando il modello.
I campi aggiunti devono comunque essere campi bosonici, in quanto campi mediatori di una
interazione, e scalari: infatti se esistesse un campo vettoriale con valore di aspettazione sul vuoto
non nullo, avremmo una direzione privilegiata nello spazio-tempo e perderemmo quindi l’isotropia
di quest’ultimo. Considerazioni analoghe escludono di poter usare campi tensoriali di ordine
superiore.
La rottura di simmetria modifica la situazione fisica in modo non perturbativo: cambia infatti lo
stato di vuoto della teoria, che passa da uno con valore di aspettazione di tutti i campi nullo a uno
dove c’è un campo con valore di aspettazione diverso da zero. Non avremmo quindi potuto
ottenere questi risultati usando la teoria delle perturbazioni, in quanto cambia il punto attorno a
cui sviluppare il potenziale.
Dove finisce la Gauge invarianza quando la simmetria è rotta?
Per rispondere a questa domanda dobbiamo ricostruire tutte le equazioni in modo che siano gauge
invarianti, il modo migliore è scrivere la lagrangiana che abbiamo ottenuto includendo tutti i campi che
abbiamo preso in considerazione.
Tale Lagrangiana finale risulta essere:
dove così scritta è ovvia la gauge invarianza ma si visualizzano male i singoli termini. Sviluppando attorno al
minimo del potenziale, facendo varie sostituzioni e ponendo
otteniamo:
Vediamo che se facciamo la trasformazione di gauge
Essendo
invariante per trasformazioni di gauge la lagrangiana assume la forma
Dove è scomparso il grado di libertà associato a
.
Se scriviamo le equazioni del moto per il campo otteniamo l’equazione
Che, con la stessa trasformazione di gauge proposta in precedenza, diventa
Modello di Higgs SU(2)xU(1) e verifica sperimentale
che è l’equazione che avevamo scritto nella gauge trasversa per cui
. La trasformazione di gauge
presa in considerazione cambia la divergenza di , che non sarà quindi più trasverso, ma avrà una
componente longitudinale. Tale componente è acquisita tramite trasformazione di gauge perdendo il grado
di libertà di fase .
Analizziamo ora i rimanenti termini della lagrangiana (abbiamo tralasciato il termine costante):
I primi due termini sono quelli di un campo bosonico massivo libero per il fotone, come abbiamo appena
detto, con massa
Il terzo e il quarto sono termini di un campo bosonico massivo scalare, con massa
accoppiato in modo minimale con il campo elettromagnetico del fotone. Questo è il campo di Higgs per il
modello
.
Gli ultimi due termini sono termini di auto-interazione del campo di Higgs con sè stesso.
Andiamo a trarre le conclusioni:



Il cambio di gauge che abbiamo mostrato rende possibile scegliere un reale. Il grado di libertà
apparentemente perso (dato che era inizialmente complesso) viene in realtà trasformato nel
terzo grado di libertà del campo del fotone che, essendo ora massivo, ha tre componenti
indipendenti invece di due
Se scegliamo di lavorare in altre gauge, dove non scompare, le equazioni del moto, le regole e i
diagrammi di Feynmann sono differenti, includendo anche propagatori e vertici per il campo non
fisico dovuto al grado di libertà aggiuntivo contenuto in .
La rottura di simmetria si è potuta verificare solo grazie a un insieme di precise relazioni fra i
parametri della lagrangiana. Attraverso la verifica sperimentale che tali relazioni valgono
effettivamente possiamo capire la veridicità del modello e della presenza della rottura di simmetria
Modello di Higgs SU(2)xU(1) e verifica sperimentale
Il modello di Higgs per il gruppo
rispetto a quello
:
di isospin debole non ha concettualmente nessuna differenza
Il campo da scalare complesso diventa un doppietto di isospin debole complesso, la fase
matrice hermitiana:
diventa una
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Modello di Higgs SU(2)xU(1) e verifica sperimentale
e il campo di gauge diventa un campo a 3 componenti
dove le
sono le matrici di Pauli.
Di conseguenza si ridefinisce
e il potenziale diventa
Di conseguenza si ottiene che la parte di gauge per il modello elettrodebole è
Una prima relazione fra i coefficienti si ottiene quando si va ad imporre che la rottura di simmetria sia
esattamente per la parte
e che la simmetria
rimanga quindi esatta:
mentre dalla lagrangiana così scritta ricaviamo altre relazioni con dati misurabili:
Queste sono 5 equazioni in 5 incognite:
. Se conoscessimo i valori di tutte le altre costanti
che compaiono nelle equazioni potremmo trovare i valori di tutte le incognite, ma non sarebbe una verifica
in quanto per ogni set di dati misurati posso trovare una soluzione al sistema. Aggiungiamo allora anche un
altro vincolo, ottenibile confrontando gli accoppiamenti con i leptoni:
Usando questo ulteriore vincolo calcoliamo le masse previste dei bosoni:
Modello di Higgs SU(2)xU(1) e verifica sperimentale
e dai risultati sperimentali risulta:
L’accordo dei dati migliora andando a fare il calcolo delle masse dei bosoni a 2 loop*:
Purtroppo non conosciamo né né
(e nemmeno se tale particella effettivamente esiste!), altrimenti
potremmo andare a fare anche un confronto ulteriore sul valore della sua massa.
I risultati sperimentali finora ottenuti sono comunque in buon accorto con tale modello teorico, infatti le
correzioni dalle sezioni d’urto dovute ai diagrammi contenenti il bosone di Higgs migliorano l’accordo fra
previsioni teoriche e dati sperimentali se attribuiamo a tale bosone una massa compresa fra
e
.
Per concludere riporto alcuni dati sul range delle possibili masse del bosone di Higgs:
da argomenti teorici (Lee et al 1977) deve valere
mentre un risultato del
*Poiché a questo livello la massa dei bosoni
assicura un limite inferiore, a livello di confidenza del
e
dipende dalla massa del bosone di Higgs, riporto dati per il caso
, pari a
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Modello di Higgs SU(2)xU(1) e verifica sperimentale
Bibliografia

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

I.J.R. Aitchison, A.J.G. Hey, Gauge Theories in Particle Physics Vol 2: QCD and the Electroweak
Theory, 1989 Taylor and Francis Group
I.J.R. Aitchison, A.J.G. Hey, Gauge Theories in Particle Physics Vol 2: QCD and the Electroweak
Theory, 2004 Taylor and Francis Group
Enore Guadagnini, Fisica Teorica: Lezioni per il corso di Dottorato in Fisica, Cap. 13, 1999 ETS
F.Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, 1993, John Wiley & Sons
Georg Weiglein, Precise Predictions for the W-Boson Mass, 1997
Grafici realizzati con il software Wolfram Mathematica 7