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LOGICA MATEMATICA
La Logica è quella parte della Matematica che si occupa del calcolo delle proposizioni.
Si propone cioè di analizzare un ragionamento e di stabilirne la correttezza (la verità o la falsità)
utilizzando oggettivamente strumenti propri del calcolo.
Le proposizioni che vengono considerate dalla Logica Matematica sono solo quelle delle quali si
può stabilire, in modo oggettivo, il valore di verità (proposizione VERA o FALSA).
Esempi di proposizioni matematiche:
• Oggi è Natale
• 2+7=9
• Il triangolo isoscele ha tutti i lati congruenti
Infatti, in tutte queste proposizioni, è possibile accertare oggettivamente se sono vere oppure false.
Esempi di proposizioni non matematiche:
• Franco è un ragazzo simpatico.
• Penso che domenica prossima pioverà.
• Luisa è buona di carattere.
Queste altre proposizioni, invece, esprimono considerazioni soggettive la cui verità non è pertanto
dimostrata.
< =4?!@BAC@BCEDF2GEF0CE=4HJIKFELM4FENJCEOKOKHPPFQR?ESH=4PH!@BCEDDF0TKF0U0HJDP?TKF0U0F0AHJDHJNWVEXEYKZ
>
C@K@BM4AHJ[Z]\$^Z_QRF0H=4HJL`4F0?S?P?!@BAC@CKDF2GEF0CE=4HJS?PHS?PF0L?JCa?=4L`4H
QR?AF0?TKF0U0HbTKCECEU0HE?=4?
(*)c
(*) Da George Boole (1815-1864) matematico inglese fondatore del Calcolo logico o Algebra di Boole.
La logica matematica, oggi, sta alla base della struttura dei componenti elettronici denominati porte
logiche e costituisce il punto di partenza del funzionamento dei moderni calcolatori e di
innumerevoli altri dispositivi elettronici.
Le operazioni logiche fondamentali
simbolo: ¬
La Negazione logica (NOT).
La negazione si applica ad una proposizione.
Questa operazione ha l’unico effetto di cambiate in valore di verità di una proposizione. Se è VERA
diventerà FALSA; viceversa, se è FALSA diventerà VERA.
La Negazione è l’equivalente dell’operazione insiemistica del COMPLEMENTO di un insieme ( A )
Tavola di verità della negazione logica:
d
¬
e
d
f
f
e
!"$#
%
& '(*),+-',.0/,& 12'43-'5056798:
:0;
\$?J=4HOK?GEF0CE=4HJU0CEOKF0L?JIKFEM4=4?!@BAC@BCEDF2GEF CE=4HJNJ[Z]\$^$Z DHJU0?!@BAC@BCEDF2GEF0CE=4HJN
VEXEYKZ
^4?A JF0=QRHLHWVEXEYKZ DHJU ?!@BAC@BCKDF2GEF0CE=4HJNJ[Z]\$^$Z
c
c
simbolo: ∧
Il Prodotto logico AND
Il prodotto logico si applica a due proposizioni.
Il prodotto logico è l’equivalente dell’operazione insiemistica di INTERSEZIONE di insiemi
( A ∩ B ). Questa operazione collega le due proposizioni con in connettivo logico “e” (congiunzione
logica).
Tavola di verità del prodotto logico:
d
e
d
∧
e
f
e
e
f
e
f
f
f
f
f
DUCE@B=4ACbCEHIK=4CEPPAP?CbSU0CETKOKHWF0LVECbXEIKYBFEX IKM4H!=@BPM4ACPP@BFECEOKDU0F2FEGE?F0CEU0P=>AFEFELNW?VEDXEFEYAF0 DM4DU0PCEHU0CbAJD[HJZ]U0H!\$^@B AC@BCEDF2GEF0CE=4F
c
c
simbolo: ∨
La Somma logica OR
La somma logica si applica a due proposizioni.
La somma logica è l’equivalente dell’operazione insiemistica di UNIONE di insiemi ( A ∪ B ).
Questa operazione collega le due proposizioni con in connettivo logico “o” (disgiunzione logica).
Tavola di verità della somma logica:
d
e
f
e
e
e
∨
e
e
f
f
d
e
f
f
\$?JDCESS?JU0CEOKF0L?JIKFEIKM4H!@BAC@BCEDF2GEF0CE=4FKNJ[Z]\$^$Z DCEU0CbDHJU0H!@BAC@BCEDF2GEF0CE=4F
DCE=4CbH=4PA?STKHJ[Z]\$^4X
=P
M4PPFEOKU0FE?U0PAFEL?DFEAF0DM4U0PHA WVEXEYKZ
c
J"$#
%
c
& '(*),+-',.0/,& 12'43-'5056798:
:0;
Espressioni logiche.
Si chiama espressione logica una successione di operazioni logiche fra proposizioni.
Calcolare il valore di una espressione logica vuol dire effettuare tutte le operazioni logiche che
compaiono nell’espressione fino ad ottenere un unico valore di verità (VERO o FALSO).
Come in ogni tipo di espressione bisogna rispettare le precedenze delle operazioni. Nelle operazioni
HOK?GEF0CE=4HJU0CEOKF L?
logiche le precedenze sono:
cc ^4 CEACESIKSCEP?JPCbU0CEU0OKCEF0OKLF0? LC ]Z Y c
Primo esempio:
Calcolare il risultato logico di una espressione conoscendo i valori iniziali delle proposizioni.
Calcoliamo il risultato logico dell’ espressione
∨¬
∧
∧¬
Sapendo che i valori iniziali delle proposizioni A,B,C e D sono i seguenti:
Sostituendo i valori di verità alle proposizioni l’espressione logica diventa:
∨¬
∧
∧¬
Eseguendo le singole operazioni e rispettando le precedenze avremo presto il risultato:
∨¬ ∧ ∧¬
∨ ∧ ∧
∨ ∧
∨
Secondo esempio:
Calcolare il risultato logico di una espressione senza conoscere i valori iniziali.
In questo caso, più complesso, si richiede di studiare l’espressione in tutte le sue possibili
combinazioni. E’ necessario costruire una tavola di verità dell’espressione.
Supponiamo di dover calcolare in quali casi la seguente espressione risulterà FALSA.
¬
∧
∨¬
J"$#
%
& '(*),+-',.0/,& 12'43-'5056798:
:0;
Iniziamo con una tabella a tre colonne per le tre proposizioni presenti e facciamo tutte le possibili
combinazioni di VERO o FALSO:
Aggiungiamo due colonne per i risultati delle operazioni di Negazione logica ¬
e¬ .
¬
¬
Aggiungiamo un’altra colonna per i risultati dell’operazione del Prodotto logico ¬ ∧ .
¬
¬
J"$#
¬ ∧
%
& '(*),+-',.0/,& 12'43-'5056798:
:0;
Ora, aggiungendo un’altra colonna, andiamo a calcolare l’ultima operazione di Somma logica fra i
risultati appena ottenuti nella colonna ¬ ∧ e quelli della colonna ¬C.
Questi saranno i risultati finali dell’espressione ¬ ∧ ∨¬
¬
¬ ∧
¬
¬ ∧ ∨¬
Ecco i risultati richiesti: l’espressione data è FALSA nei seguenti casi:
e
1. A=
e
2. A= f
3. A=
e
e
B=
f
B= f
B=
C=
e
C=e
C=
In tutti gli altri casi è VERA.
Attualmente ci sono molti programmi per computer in grado di svolgere le operazioni logiche e
quindi di calcolare rapidamente i risultati di espressioni anche molto complesse.
Microsoft Excel è uno di questi.
J"$#
%
& '(*),+-',.0/,& 12'43-'5056798:
:0;
NOT A
A
A AND B
A
B
A OR B
A
J"$#
%
B
& '(*),+-',.0/,& 12'43-'5056798:
:0;
"! " "$#&% " "' "!()%("$#-" *% ! #&#&+% ' " %
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& '(*),+-',.0/,& 12'43-'5056798:
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