matematica di base -- 1 - Universita` degli Studi di Messina

F. Oliveri, Matematica di Base – 1
MATEMATICA DI BASE – 1
Francesco Oliveri
Dipartimento di Matematica, Università di Messina
30 Agosto 2010
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
MATEMATICA DI BASE
MODULO 1
Insiemi
Logica
Numeri
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Insiemi
Intuitivamente, con il termine insieme si indica una collezione di oggetti
chiamati elementi.
Gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente.
x ∈A
x∈
/A
l’elemento x appartiene all’insieme A;
l’elemento x non appartiene all’insieme A.
Due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi, cioè, due
insiemi A e B coincidono se per ogni elemento x tale che x ∈ A risulta
x ∈ B, e per ogni elemento x ∈ B risulta x ∈ A, o, più concisamente:
∀x ∈ A ⇒ x ∈ B
e
∀x ∈ B ⇒ x ∈ A.
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Insiemi
Un insieme può essere descritto in maniera estensiva (elencando gli
elementi che lo compongono),
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
o in maniera intensiva (le proprietà possedute dai suoi elementi),
A = {gli studenti di quest’aula il cui compleanno cade in settembre.}
Per gli elementi di un insieme non si fa caso all’ordine di disposizione.
A = {x, y , z}
rappresentano lo stesso insieme.
e
B = {y , z, x}
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Insiemi
Un insieme B si dice sottoinsieme dell’insieme A, e si indica con
B ⊆ A,
se per ogni elemento x ∈ B risulta x ∈ A.
Se esiste almeno un elemento x ∈ A che non appartiene a B (cioè x ∈
/ B)
allora si dice che B è una parte propria di A e si scrive
B ⊂ A.
In particolare, due insiemi A e B coincidono se risulta
B⊆A
e
A ⊆ B.
Due insiemi si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune.
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Insiemi – Diagrammi di Eulero–Venn
Un diagramma di Eulero–Venn è la rappresentazione grafica di un
insieme che consiste nel racchiuderne gli elementi all’interno di una linea
chiusa non intrecciata.
Gli elementi dell’insieme vengono evidenziati con punti interni alla linea,
gli elementi che non appartengono all’insieme con punti esterni ad essa.
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Insiemi – Diagrammi di Eulero–Venn
A⊂B
Insiemi disgiunti
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L’Insieme Vuoto
Si chiama insieme vuoto l’insieme che non contiene nessun elemento.
Tale insieme si indica con il simbolo ∅ oppure con le parentesi graffe
aperte e chiuse {}.
L’insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso se
stesso).
L’insieme vuoto è importante per definire in maniera generale le
operazioni tra insiemi.
È l’insieme più importante di tutta la Matematica, se non l’unico che serve
per edificare dal nulla la Matematica stessa.
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L’Insieme Vuoto
Si chiama insieme vuoto l’insieme che non contiene nessun elemento.
Tale insieme si indica con il simbolo ∅ oppure con le parentesi graffe
aperte e chiuse {}.
L’insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso se
stesso).
L’insieme vuoto è importante per definire in maniera generale le
operazioni tra insiemi.
È l’insieme più importante di tutta la Matematica, se non l’unico che serve
per edificare dal nulla la Matematica stessa.
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Operazioni tra Insiemi
Unione
L’unione di due insiemi A e B,
A ∪ B,
è l’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono all’insieme A o
all’insieme B o a entrambi.
Intersezione
L’intersezione di due insiemi A e B,
A ∩ B,
è l’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad entrambi gli
insiemi A e B.
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Operazioni tra Insiemi
Unione
L’unione di due insiemi A e B,
A ∪ B,
è l’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono all’insieme A o
all’insieme B o a entrambi.
Intersezione
L’intersezione di due insiemi A e B,
A ∩ B,
è l’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad entrambi gli
insiemi A e B.
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Operazioni tra Insiemi
Differenza
La differenza B meno A,
B−A
è data dall’insieme formato dai soli elementi di B che non appartengono
ad A,
B − A = {x : x ∈ B e x ∈
/ A}
La differenza tra B e A si dice anche complementare di A rispetto a B.
Differenza simmetrica
La differenza simmetrica tra due insiemi è l’insieme degli elementi che
appartengono ad A e non a B oppure che appartengono a B e non ad A:
A ∆ B = (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B).
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Operazioni tra Insiemi
Differenza
La differenza B meno A,
B−A
è data dall’insieme formato dai soli elementi di B che non appartengono
ad A,
B − A = {x : x ∈ B e x ∈
/ A}
La differenza tra B e A si dice anche complementare di A rispetto a B.
Differenza simmetrica
La differenza simmetrica tra due insiemi è l’insieme degli elementi che
appartengono ad A e non a B oppure che appartengono a B e non ad A:
A ∆ B = (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B).
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Operazioni tra Insiemi
Unione e Intersezione
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9},
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
A ∩ B = {4, 5, 6, 7},
A − B = {0, 1, 2, 3},
A ∆ B = {0, 1, 2, 3, 8, 9}.
Differenza e Differenza Simmetrica
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Operazioni tra Insiemi
Unione e Intersezione
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9},
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
A ∩ B = {4, 5, 6, 7},
A − B = {0, 1, 2, 3},
A ∆ B = {0, 1, 2, 3, 8, 9}.
Differenza e Differenza Simmetrica
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Insieme Complementare
Dati due insiemi A, ed U, con A ⊆ U, si definisce complementare di A
rispetto ad U l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad U ma
non appartengono ad A:
A = {x; : x ∈ U e x ∈
/ A}.
Solitamente con U si indica l’insieme Universo.
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Prodotto cartesiano
Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l’insieme di tutte le possibili
coppie ordinate (a, b) con a ∈ A e b ∈ B:
A × B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}.
Esempio
Se
A = {a, b, c},
B = {1, 2, 3, 4}
risulta
A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4),
(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}.
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Prodotto cartesiano
Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l’insieme di tutte le possibili
coppie ordinate (a, b) con a ∈ A e b ∈ B:
A × B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}.
Esempio
Se
A = {a, b, c},
B = {1, 2, 3, 4}
risulta
A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4),
(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}.
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Operazioni tra insiemi
A = {x ∈ N tali che 0 < x < 12}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
A ∩ B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
A − B = {2, 4, 6, 8, 10}
A ∆ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 14, 15}
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Logica
La Logica classica è la scienza che tratta tutta la validità e le articolazioni
di un discorso in termini di nessi inferenziali relativamente alle
proposizioni che lo compongono. La prima formulazione della logica come
scienza propedeutica a ogni possibile conoscenza si deve ad Aristotele.
La logica aristotelica si basa sul fatto che esistono solo due valori di
verità: Vero (V) e Falso (F).
Ogni proposizione è Vera oppure (in senso esclusivo) Falsa.
È questo il cosiddetto Principio del Terzo Escluso (tertium non datur).
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Logica
La Logica classica è la scienza che tratta tutta la validità e le articolazioni
di un discorso in termini di nessi inferenziali relativamente alle
proposizioni che lo compongono. La prima formulazione della logica come
scienza propedeutica a ogni possibile conoscenza si deve ad Aristotele.
La logica aristotelica si basa sul fatto che esistono solo due valori di
verità: Vero (V) e Falso (F).
Ogni proposizione è Vera oppure (in senso esclusivo) Falsa.
È questo il cosiddetto Principio del Terzo Escluso (tertium non datur).
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Logica Booleana
George Boole, considerando quantità logiche (cioè quantità che possono
avere come valori solo V, rappresentato anche come 1, o F,
rappresentato anche come 0), matematizzò la logica.
Tra quantità logiche si possono eseguire operazioni, come tra i numeri:
NOT
Negazione
Logica
OR
Disgiunzione
Logica
AND
Congiunzione
Logica
XOR
OR
Esclusivo
Ad ogni operazione logica corrisponde una sua tabellina, o tavola di verità.
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Logica Booleana
George Boole, considerando quantità logiche (cioè quantità che possono
avere come valori solo V, rappresentato anche come 1, o F,
rappresentato anche come 0), matematizzò la logica.
Tra quantità logiche si possono eseguire operazioni, come tra i numeri:
NOT
Negazione
Logica
OR
Disgiunzione
Logica
AND
Congiunzione
Logica
XOR
OR
Esclusivo
Ad ogni operazione logica corrisponde una sua tabellina, o tavola di verità.
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Logica Booleana
NOT
A
V
F
NOT(A)
F
V
A
1
0
NOT(A)
0
1
Operazioni binarie
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A OR B
1
1
1
0
A AND B
1
0
0
0
A XOR B
0
1
1
0
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Logica Booleana
NOT
A
V
F
NOT(A)
F
V
A
1
0
NOT(A)
0
1
Operazioni binarie
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A OR B
1
1
1
0
A AND B
1
0
0
0
A XOR B
0
1
1
0
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Numeri
Insiemi importanti in Matematica sono quelli i cui elementi sono i numeri.
I numeri sono rappresentati mediante cifre, secondo un sistema di
numerazione (decimale, binario, ottale, esadecimale, . . . ).
1
2
3
4
5
6
Numeri Naturali: N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Numeri Relativi: Z = {0, ±1, ±2, ±3 . . .}.
m
Numeri Razionali: Q = { con m, n ∈ Z, n 6= 0}.
n
3
15
−3
3
3
,
,
=
=− .
2
229
4
−4
4
√
Numeri Irrazionali: 2 = 1.414 . . ., π = 3.14159 . . ., e = 2.71828 . . ..
Numeri Reali: R, unione dei Razionali e degli Irrazionali.
√
Numeri Complessi: C = {a + ib : a, b ∈ R, i = −1}.
3 + 5i,
2.45 − 3.61i,
3 π
+ i.
5 6
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Numeri
Insiemi importanti in Matematica sono quelli i cui elementi sono i numeri.
I numeri sono rappresentati mediante cifre, secondo un sistema di
numerazione (decimale, binario, ottale, esadecimale, . . . ).
1
2
3
4
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6
Numeri Naturali: N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Numeri Relativi: Z = {0, ±1, ±2, ±3 . . .}.
m
Numeri Razionali: Q = { con m, n ∈ Z, n 6= 0}.
n
3
15
−3
3
3
,
,
=
=− .
2
229
4
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4
√
Numeri Irrazionali: 2 = 1.414 . . ., π = 3.14159 . . ., e = 2.71828 . . ..
Numeri Reali: R, unione dei Razionali e degli Irrazionali.
√
Numeri Complessi: C = {a + ib : a, b ∈ R, i = −1}.
3 + 5i,
2.45 − 3.61i,
3 π
+ i.
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Numeri
Insiemi importanti in Matematica sono quelli i cui elementi sono i numeri.
I numeri sono rappresentati mediante cifre, secondo un sistema di
numerazione (decimale, binario, ottale, esadecimale, . . . ).
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5
6
Numeri Naturali: N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Numeri Relativi: Z = {0, ±1, ±2, ±3 . . .}.
m
Numeri Razionali: Q = { con m, n ∈ Z, n 6= 0}.
n
3
15
−3
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3
,
,
=
=− .
2
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√
Numeri Irrazionali: 2 = 1.414 . . ., π = 3.14159 . . ., e = 2.71828 . . ..
Numeri Reali: R, unione dei Razionali e degli Irrazionali.
√
Numeri Complessi: C = {a + ib : a, b ∈ R, i = −1}.
3 + 5i,
2.45 − 3.61i,
3 π
+ i.
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Numeri
Insiemi importanti in Matematica sono quelli i cui elementi sono i numeri.
I numeri sono rappresentati mediante cifre, secondo un sistema di
numerazione (decimale, binario, ottale, esadecimale, . . . ).
1
2
3
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5
6
Numeri Naturali: N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Numeri Relativi: Z = {0, ±1, ±2, ±3 . . .}.
m
Numeri Razionali: Q = { con m, n ∈ Z, n 6= 0}.
n
3
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=
=− .
2
229
4
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√
Numeri Irrazionali: 2 = 1.414 . . ., π = 3.14159 . . ., e = 2.71828 . . ..
Numeri Reali: R, unione dei Razionali e degli Irrazionali.
√
Numeri Complessi: C = {a + ib : a, b ∈ R, i = −1}.
3 + 5i,
2.45 − 3.61i,
3 π
+ i.
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Numeri
Insiemi importanti in Matematica sono quelli i cui elementi sono i numeri.
I numeri sono rappresentati mediante cifre, secondo un sistema di
numerazione (decimale, binario, ottale, esadecimale, . . . ).
1
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Numeri Naturali: N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Numeri Relativi: Z = {0, ±1, ±2, ±3 . . .}.
m
Numeri Razionali: Q = { con m, n ∈ Z, n 6= 0}.
n
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−3
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=
=− .
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√
Numeri Irrazionali: 2 = 1.414 . . ., π = 3.14159 . . ., e = 2.71828 . . ..
Numeri Reali: R, unione dei Razionali e degli Irrazionali.
√
Numeri Complessi: C = {a + ib : a, b ∈ R, i = −1}.
3 + 5i,
2.45 − 3.61i,
3 π
+ i.
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Numeri
Insiemi importanti in Matematica sono quelli i cui elementi sono i numeri.
I numeri sono rappresentati mediante cifre, secondo un sistema di
numerazione (decimale, binario, ottale, esadecimale, . . . ).
1
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Numeri Naturali: N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Numeri Relativi: Z = {0, ±1, ±2, ±3 . . .}.
m
Numeri Razionali: Q = { con m, n ∈ Z, n 6= 0}.
n
3
15
−3
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=
=− .
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√
Numeri Irrazionali: 2 = 1.414 . . ., π = 3.14159 . . ., e = 2.71828 . . ..
Numeri Reali: R, unione dei Razionali e degli Irrazionali.
√
Numeri Complessi: C = {a + ib : a, b ∈ R, i = −1}.
3 + 5i,
2.45 − 3.61i,
3 π
+ i.
5 6
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Numeri
Insiemi importanti in Matematica sono quelli i cui elementi sono i numeri.
I numeri sono rappresentati mediante cifre, secondo un sistema di
numerazione (decimale, binario, ottale, esadecimale, . . . ).
1
2
3
4
5
6
Numeri Naturali: N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Numeri Relativi: Z = {0, ±1, ±2, ±3 . . .}.
m
Numeri Razionali: Q = { con m, n ∈ Z, n 6= 0}.
n
3
15
−3
3
3
,
,
=
=− .
2
229
4
−4
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√
Numeri Irrazionali: 2 = 1.414 . . ., π = 3.14159 . . ., e = 2.71828 . . ..
Numeri Reali: R, unione dei Razionali e degli Irrazionali.
√
Numeri Complessi: C = {a + ib : a, b ∈ R, i = −1}.
3 + 5i,
2.45 − 3.61i,
3 π
+ i.
5 6
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Numeri Naturali
Numeri Primi
Un NUMERO PRIMO è un numero naturale che è divisibile solamente per
se stesso e per 1.
I numeri primi sono infiniti (dimostrato da Euclide nel IV secolo a.C.): 2, 3,
4, 7, 11, 13, 17, . . .
Numeri Composti
Un NUMERO COMPOSTO è numero naturale che ha più di due divisori:
6 = 2 × 3, 280 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7.
Teorema fondamentale dell’Aritmetica
Ogni numero naturale diverso da 1 può essere scomposto nel prodotto di
numeri primi. Tale scomposizione è unica a meno dell’ordine dei fattori.
23244 = 2 × 2 × 3 × 13 × 149.
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Numeri Naturali
Numeri Primi
Un NUMERO PRIMO è un numero naturale che è divisibile solamente per
se stesso e per 1.
I numeri primi sono infiniti (dimostrato da Euclide nel IV secolo a.C.): 2, 3,
4, 7, 11, 13, 17, . . .
Numeri Composti
Un NUMERO COMPOSTO è numero naturale che ha più di due divisori:
6 = 2 × 3, 280 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7.
Teorema fondamentale dell’Aritmetica
Ogni numero naturale diverso da 1 può essere scomposto nel prodotto di
numeri primi. Tale scomposizione è unica a meno dell’ordine dei fattori.
23244 = 2 × 2 × 3 × 13 × 149.
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Numeri Naturali
Numeri Primi
Un NUMERO PRIMO è un numero naturale che è divisibile solamente per
se stesso e per 1.
I numeri primi sono infiniti (dimostrato da Euclide nel IV secolo a.C.): 2, 3,
4, 7, 11, 13, 17, . . .
Numeri Composti
Un NUMERO COMPOSTO è numero naturale che ha più di due divisori:
6 = 2 × 3, 280 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7.
Teorema fondamentale dell’Aritmetica
Ogni numero naturale diverso da 1 può essere scomposto nel prodotto di
numeri primi. Tale scomposizione è unica a meno dell’ordine dei fattori.
23244 = 2 × 2 × 3 × 13 × 149.
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Numeri Naturali
Massimo Comun Divisore (MCD) di due interi
È il più grande numero naturale che li divide entrambi. Ad es.,
MCD(30, 18) = 6,
MCD(242, 180) = 2.
Due numeri a, b si dicono coprimi se MCD(a, b) = 1.
Minimo Comune Multiplo (mcm) di due interi
È il più piccolo numero naturale multiplo di entrambi. Ad es.,
mcm(30, 18) = 90.
Vale la relazione
mcm(a, b) =
a·b
.
MCD(a, b)
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Numeri Naturali
Massimo Comun Divisore (MCD) di due interi
È il più grande numero naturale che li divide entrambi. Ad es.,
MCD(30, 18) = 6,
MCD(242, 180) = 2.
Due numeri a, b si dicono coprimi se MCD(a, b) = 1.
Minimo Comune Multiplo (mcm) di due interi
È il più piccolo numero naturale multiplo di entrambi. Ad es.,
mcm(30, 18) = 90.
Vale la relazione
mcm(a, b) =
a·b
.
MCD(a, b)
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Calcolo di MCD e mcm
MCD(23244, 1456)
Scomposizione in fattori primi:
23244 = 22 × 3 × 13 × 149,
1456 = 24 × 7 × 13.
Dunque:
MCD(23244, 1456) = 22 × 13 = 52,
23244 × 1456
= 650832.
mcm(23244, 1456) =
52
Usare la scomposizione in fattori primi per calcolare il MCD (e anche il
mcm) non è il metodo più efficiente.
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Calcolo del Massimo Comune Divisore
Si può calcolare il MCD di due numeri più facilmente che scomponendo in
primi ricorrendo alle seguenti proprietà:
MCD(m, 0) = m
se m 6= 0;
MCD(m, n) = MCD(m − n, n),
MCD(m, n) = MCD(n, r ),
se m > n;
se n > 0,
dove r è il resto della divisione tra m ed n.
L’ultima proprietà (Algoritmo di Euclide) è quella che rende i conti più
veloci.
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Calcolo del Massimo Comune Divisore
Si può calcolare il MCD di due numeri più facilmente che scomponendo in
primi ricorrendo alle seguenti proprietà:
MCD(m, 0) = m
se m 6= 0;
MCD(m, n) = MCD(m − n, n),
MCD(m, n) = MCD(n, r ),
se m > n;
se n > 0,
dove r è il resto della divisione tra m ed n.
L’ultima proprietà (Algoritmo di Euclide) è quella che rende i conti più
veloci.
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Calcolo del Massimo Comune Divisore
Si può calcolare il MCD di due numeri più facilmente che scomponendo in
primi ricorrendo alle seguenti proprietà:
MCD(m, 0) = m
se m 6= 0;
MCD(m, n) = MCD(m − n, n),
MCD(m, n) = MCD(n, r ),
se m > n;
se n > 0,
dove r è il resto della divisione tra m ed n.
L’ultima proprietà (Algoritmo di Euclide) è quella che rende i conti più
veloci.
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Calcolo del Massimo Comune Divisore
Si può calcolare il MCD di due numeri più facilmente che scomponendo in
primi ricorrendo alle seguenti proprietà:
MCD(m, 0) = m
se m 6= 0;
MCD(m, n) = MCD(m − n, n),
MCD(m, n) = MCD(n, r ),
se m > n;
se n > 0,
dove r è il resto della divisione tra m ed n.
L’ultima proprietà (Algoritmo di Euclide) è quella che rende i conti più
veloci.
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Calcolo del Massimo Comune Divisore
Per calcolare
MCD(23244, 1456)
si divide 23244 per 1456 (quoziente 15 e resto 1404). Dunque
MCD(23244, 1456) = MCD(1456, 1404).
Si divide 1456 per 1404 (quoziente 1 e resto 52) e quindi
MCD(1456, 1404) = MCD(1404, 52).
Si divide 1404 per 52 (quoziente 27 e resto 0) da cui
MCD(1404, 52) = MCD(52, 0) = 52.
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Calcolo del Massimo Comune Divisore
Per calcolare
MCD(31287 + 1, 31287 − 1)
che si fa? (Sono numeri con più di 600 cifre!).
Semplice, facendo la differenza tra i due numeri si ha:
MCD(31287 + 1, 31287 − 1) = MCD(2, 31287 − 1).
Poiché il secondo numero è pari (e quindi divisibile per 2) il MCD è
semplicemente 2.
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
MCD e mcm: cui prodest?
I numeri razionali non hanno una rappresentazione unica! Le frazioni
3
,
4
6
,
8
21
,
28
−243
−324
rappresentano tutte lo stesso numero 0.75.
La rappresentazione è unica se si considerano le frazioni ridotte ai minimi
termini, in cui numeratore e denominatore non hanno fattori in comune
(basta dividerli per il loro MCD). Ad es.,
23244
23244/52
447
=
=
.
1456
1456/52
28
Il mcm serve quando si eseguono operazioni aritmetiche tra numeri
razionali. E il MCD per semplificare eventualmente il risultato.
1
7
5
9 + 14 − 5
18
1
+
−
=
=
= .
4 18 36
36
36
2
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Potenza
Dato un numero reale x e un numero naturale n la potenza n–esima di x
(x n ) è data dal prodotto
xn = x
· . . . · x} .
| · x {z
n volte
Proprietà della Potenza
x0 = 1
m
(a patto che x 6= 0, altrimenti è indeterminato),
n
x × x = x m+n ,
xm
= x m−n ,
xn
(x m )n = x m·n .
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Potenza
Dato un numero reale x e un numero naturale n la potenza n–esima di x
(x n ) è data dal prodotto
xn = x
· . . . · x} .
| · x {z
n volte
Proprietà della Potenza
x0 = 1
m
(a patto che x 6= 0, altrimenti è indeterminato),
n
x × x = x m+n ,
xm
= x m−n ,
xn
(x m )n = x m·n .
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Radice
La radice n–esima (n numero naturale) del numero x,
y tale che y n = x, cioè
√
y = nx
⇔
y n = x.
√
n
x, è quel numero
Se n è pari x non può essere negativo.
Dalla definizione di radice n–esima e dalle proprietà delle potenze, si può
scrivere
√
n
x = x 1/n .
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Esponenziali e Logaritmi
Una funzione importante in Matematica è la funzione esponenziale ex ,
dove
1 n
e = lim 1 +
≈ 2.718281828459045 . . .
n→∞
n
è la costante di Nepero. Questa funzione si definisce come somma della
serie
∞
X
x2 x3 x4
xk
x
e =1+x +
+
+
... =
.
2
3!
4!
k!
k =0
Il logaritmo in base e (logaritmo naturale) di un numero x > 0 (ln x) è il
valore y per cui ey = x. Si ha dunque che la funzione logaritmo naturale è
la funzione inversa della funzione esponenziale ex , cioè,
y = ln x
⇔
x = ey .
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Esponenziali e Logaritmi
Per ogni numero reale a > 0, e per ogni numero reale x, si può definire la
funzione esponenziale ax di base a come segue:
ax = e(ln a)x .
Valgono le seguenti identità:
a0 = 1,
(ax )y = axy ,
a1 = a,
a−1 = a1 ,
ax ay = ax+y .
Oltre a quelli naturali, importanti logaritmi sono quelli in base 10 (log10 x),
e, per il loro uso in Informatica, i logaritmi in base 2 (log2 x).
Per i logaritmi valgono le seguenti relazioni:
loga 1 = 0,
loga x n = n loga x,
logb a = 1/loga b,
loga (x · y ) = loga x + loga y ,
loga (x/y ) = loga x − loga y ,
logb a = logc a/logc b.
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Numero di cifre
Il Logaritmo in base 10 può essere usato per sapere con quante cifre si
rappresenta un numero nel sistema decimale. Poiché è:
log10 1 = 0,
log10 10 = 1,
log10 100 = 2, . . . , log10 10n = n, . . .
e
x <y
⇒
log10 x < log10 y ,
aggiungendo 1 alla parte intera del logaritmo in base 10 di un numero si
ottiene il numero di cifre della sua rappresentazione decimale.
Numero di cifre(1952799 ) = 1 + log10 1952799 = 1 + 2799 log10 195 ≈ 6410
Per sapere quanti bit ha la rappresentazione binaria di un numero, in
maniera analoga basta aggiungere 1 al logaritmo in base 2.
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Numero di cifre
Il Logaritmo in base 10 può essere usato per sapere con quante cifre si
rappresenta un numero nel sistema decimale. Poiché è:
log10 1 = 0,
log10 10 = 1,
log10 100 = 2, . . . , log10 10n = n, . . .
e
x <y
⇒
log10 x < log10 y ,
aggiungendo 1 alla parte intera del logaritmo in base 10 di un numero si
ottiene il numero di cifre della sua rappresentazione decimale.
Numero di cifre(1952799 ) = 1 + log10 1952799 = 1 + 2799 log10 195 ≈ 6410
Per sapere quanti bit ha la rappresentazione binaria di un numero, in
maniera analoga basta aggiungere 1 al logaritmo in base 2.
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Manipolazione di Espressioni Aritmetiche
1
3
4
1
3
8
9
=
1·
3
4
·
4
3
4
3
=
3
4+9
4
12
=
32−63
− 74
36
13 −36
12 · 31
= −31
=
−36
36 · 31
+
4
3
1
4
.
3
=
13
12
−31
36
468
− 372
=
1
=
=−
39
31
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Manipolazione di Espressioni Aritmetiche
1
3
4
1
3
8
9
=
1·
3
4
·
4
3
4
3
=
3
4+9
4
12
=
32−63
− 74
36
13 −36
12 · 31
= −31
=
−36
36 · 31
+
4
3
1
4
.
3
=
13
12
−31
36
468
− 372
=
1
=
=−
39
31
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Notazione scientifica dei numeri reali
0.71 · 103 = 710
13.609 · 10−4 = 0.0013609
0.9 · 105
0.9 105
0.9
=
=
· 107 = 0.03 · 107 = 3 · 105 .
−2
−2
30 10
30
30 · 10
10−8
1
= · 10−8 = 0.5 · 10−8 = 5 · 10−9 .
2
2
Spero nessuno pensi che il risultato giusto sia 5−8 oppure 10−4 !
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Notazione scientifica dei numeri reali
0.71 · 103 = 710
13.609 · 10−4 = 0.0013609
0.9 · 105
0.9 105
0.9
=
=
· 107 = 0.03 · 107 = 3 · 105 .
−2
−2
30 10
30
30 · 10
10−8
1
= · 10−8 = 0.5 · 10−8 = 5 · 10−9 .
2
2
Spero nessuno pensi che il risultato giusto sia 5−8 oppure 10−4 !
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Notazione scientifica dei numeri reali
0.71 · 103 = 710
13.609 · 10−4 = 0.0013609
0.9 · 105
0.9 105
0.9
=
=
· 107 = 0.03 · 107 = 3 · 105 .
−2
−2
30 10
30
30 · 10
10−8
1
= · 10−8 = 0.5 · 10−8 = 5 · 10−9 .
2
2
Spero nessuno pensi che il risultato giusto sia 5−8 oppure 10−4 !
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Notazione scientifica dei numeri reali
0.71 · 103 = 710
13.609 · 10−4 = 0.0013609
0.9 · 105
0.9 105
0.9
=
=
· 107 = 0.03 · 107 = 3 · 105 .
−2
−2
30 10
30
30 · 10
10−8
1
= · 10−8 = 0.5 · 10−8 = 5 · 10−9 .
2
2
Spero nessuno pensi che il risultato giusto sia 5−8 oppure 10−4 !
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Manipolazione di Espressioni Aritmetiche
10−2 + 0.5 · 10−3
1 · 10−2 + 0.05 · 10−2
=
=
2 + 0.032
2 + 3.2 · 10−2
1.05
(1 + 0.05) · 10−2
=
=
· 10−2 = 0.516732 · 10−2
2.032
2.032
√
72
23 · 32
√
√
=
=
3
3
54
2 · 33
√
23/2 · 3
23/2
(23 · 32 )1/2
6
7/6
1+1/6
=
=
=
=
2
=
2
=
2
2.
1/3
1/3
1/3
3
(2 · 3 )
2 ·3
2
√
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Manipolazione di Espressioni Aritmetiche
10−2 + 0.5 · 10−3
1 · 10−2 + 0.05 · 10−2
=
=
2 + 0.032
2 + 3.2 · 10−2
1.05
(1 + 0.05) · 10−2
=
=
· 10−2 = 0.516732 · 10−2
2.032
2.032
√
72
23 · 32
√
√
=
=
3
3
54
2 · 33
√
23/2 · 3
23/2
(23 · 32 )1/2
6
7/6
1+1/6
=
=
=
=
2
=
2
=
2
2.
1/3
1/3
1/3
3
(2 · 3 )
2 ·3
2
√
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Manipolazione di Espressioni Aritmetiche
Il numero più grande tra
45
46
e
46
47
è il secondo, perché
45 · 47 < 462 .
Individuare i due numeri interi consecutivi tra i quali è compreso il numero
√
27 + 1.
√
27 è maggiore di 5 (52 = 25) e minore di 6 (62 = 36), cioè
√
√
√
5 < 27 < 6 ⇒ 5 + 1 < 27 + 1 < 6 + 1 ⇒ 6 < 27 + 1 < 7.
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Manipolazione di Espressioni Aritmetiche
Il numero più grande tra
45
46
e
46
47
è il secondo, perché
45 · 47 < 462 .
Individuare i due numeri interi consecutivi tra i quali è compreso il numero
√
27 + 1.
√
27 è maggiore di 5 (52 = 25) e minore di 6 (62 = 36), cioè
√
√
√
5 < 27 < 6 ⇒ 5 + 1 < 27 + 1 < 6 + 1 ⇒ 6 < 27 + 1 < 7.
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Manipolazione di Espressioni Aritmetiche
Stimare (senza usare la calcolatrice) il numero
√
√
3
141 − 5.
√
3
141 > 5 perché 141 > 53 = 125;
√
3
141 < 6 perché 141 < 63 = 216;
√
5 è compreso tra 2 e 3.
Dunque:
5<
5 + (−3) <
√
3
√
3
141 < 6,
2<
√
5 < 3,
√
141 + (− 5) < 6 + (−2)
√
−3 < − 5 < −2.
√
√
3
⇒ 2 < 141 − 5 < 4.
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Percentuali
Il p% di una quantità x si calcola moltiplicando x per p e dividendo il
risultato per 100. Ad es.,
Il 17% di 234 è :
1989
234 · 17
=
= 39.78.
100
50
Che valore assume una quantità x se viene aumentata del p%?
x +x ·
p
x(100 + p)
=
.
100
100
Ad es., se x = 35 e p = 7, il valore che si ottiene è
35(100 + 7)
749
=
= 37.45.
100
20
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Percentuali
Il p% di una quantità x si calcola moltiplicando x per p e dividendo il
risultato per 100. Ad es.,
Il 17% di 234 è :
1989
234 · 17
=
= 39.78.
100
50
Che valore assume una quantità x se viene aumentata del p%?
x +x ·
p
x(100 + p)
=
.
100
100
Ad es., se x = 35 e p = 7, il valore che si ottiene è
35(100 + 7)
749
=
= 37.45.
100
20
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Percentuali
Se una quantità x, diminuita del p% vale y , quanto vale x? Deve essere:
y =x −x
p
x(100 − p)
=
100
100
⇒
x=
100y
.
100 − p
Se nel periodo dei saldi una maglietta, scontata del 30%, viene pagata
59.99 Euro, il prezzo originale era:
100 · 59.99
= 85.70 Euro.
100 − 30
F. Oliveri, Matematica di Base – 1
Percentuali
Se una quantità x, diminuita del p% vale y , quanto vale x? Deve essere:
y =x −x
p
x(100 − p)
=
100
100
⇒
x=
100y
.
100 − p
Se nel periodo dei saldi una maglietta, scontata del 30%, viene pagata
59.99 Euro, il prezzo originale era:
100 · 59.99
= 85.70 Euro.
100 − 30