lezione - liceo scientifico gaetano salvemini

Liceo Scientifico “G. Salvemini”
Corso di preparazione per la gara provinciale delle
OLIMPIADI DELLA MATEMATICA
INTRO
GEOMETRIA
TRIANGOLI
Criteri di congruenza
Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti:
2 lati e 1 angolo compreso
1 lato e 2 angoli
3 lati
L’angolo esterno ..
SUPPLEMENTARE dell’ANGOLO ADIACENTE ..
è uguale alla SOMMA DEGLI ANGOLI
INTERNI non ADIACENTI
POLIGONI SIMILI
Due poligoni sono simili se hanno i lati
corrispondenti proporzionali
Il rapporto di similitudine R è il rapporto tra due lati
corrispondenti.
Il rapporto tra i perimetri di due poligoni simili è R.
Il rapporto tra le aree di due poligoni simili è R2.
Criteri di similitudine dei triangoli
Due triangoli sono simili se hanno:
2 coppie di lati proporzionali e 1 angolo congruente
3 angoli congruenti
3 coppie di lati proporzionali
TEOREMA DELLA BISETTRICE
La bisettrice di un TRIANGOLO divide il LATO OPPOSTO in
SEGMENTI PROPORZIONALI AGLI ALTRI DUE LATI.
B
D
C
A
AC : CD = AB : BD
TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
A
AH = Altezza relativa all’ipotenusa
AB  AC
AH 
BC
B
C
H
AB2 + AC2 = BC2
TEOREMA DI PITAGORA
I° TEOREMA DI EUCLIDE
I triangoli ABC, ABH e
CAH sono SIMILI
AB2 = BH·BC
II° TEOREMA DI EUCLIDE
AC2 = CH·BC
AH2 = BH·HC
APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA
DIAGONALE DI UN QUADRATO
d
d l 2
l
ALTEZZA DEL TRIANGOLO EQUILATERO
h
l
l
h
3
2
2h
l
3
3
AREA DEL TRIANGOLO EQUILATERO
l/2
l
l l
l2
4h 2
3 h2
A h
3
3
3

3
2
22
4
9
4
3
QUESITO
SUGGERIMENTO
Traccia il quadrato costruito sull'ipotenusa e quello
che comprende triangolo e quadrato come in figura:
I triangoli ABC - CXD - DYE - BZE sono ..
Le aree dei triangoli ACD e ABE sono = ..
SOLUZIONE
Tracciamo il quadrato costruito
sull'ipotenusa e quello che comprende
triangolo e quadrato come in figura:
I triangoli ABC - CXD - DYE - BZE sono
congruenti perchè hanno per ipotenusa
il lato del quadrato BCDE ed hanno
angoli congruenti.
Segue che l'area di ACD =
Analogamente, l'area di ABE =
In conclusione l'area di ABC =
QUESITO
SUGGERIMENTO
C
Considera il triangolo che
si forma unendo il centro
con un vertice e con un
punto simmetrico:
.O
A
Adesso costruisci i
due triangoli ..
30°
H
D
AO = 2 OH
B
SOLUZIONE
C
C
E
F
.O
A
30°
H
D
AO = 2 OH
.O
La parte comune è
formata da 6
triangoli = 6/9
dell’area del
triangolo ABC
B
B A
D
Acomune
2
2
 A
3
3
QUESITO
SUGGERIMENTO
Detto ABC il triangolo che forma la base, la
zona di sicurezza è un triangolo A′B′C′ (con
A′ appartenente alla bisettrice dell’angolo
in A) interno al triangolo ABC. Dette H e K
le proiezioni di A′ e B′ rispettivamente sul
lato AB, si ha A′H = 1 metro.
SOLUZIONE
a a  a2  a
30°
1
CIRCONFERENZA E CERCHIO
La CIRCONFERENZA è il luogo dei punti equidistanti da un punto
detto centro. Il CERCHIO è la figura piana compresa.
PROPRIETA’
L’asse di una corda passa per il centro
C
r
L’asse di un segmento è anche il luogo dei punti
equidistanti dagli estremi del segmento
Raggio e retta tangente in un punto
sono perpendicolari
Misura della circonferenza = 2r
MISURA DEGLI ANGOLI
Gli angoli si possono misurare in ..
GRADI
Un ANGOLO GRADO ° è la 360-esima
parte di un angolo GIRO
Si divide in 60 ANGOLI PRIMI ‘.
Ogni ANGOLO PRIMO si divide in 60 ANGOLI SECONDI ‘’
RADIANTI
A
B

La misura in radianti di un angolo al
centro  che insiste su un arco AB di
una circonferenza di raggio r è:
AB

r
Un angolo di 1 radiante insiste su un arco di lunghezza = raggio !
 g :  r  180 : 
g 
180   r

  g
r 
180
ANGOLI ELEMENTARI


2
(
90

)
(60)
 (120) 2

3
3
(45)
3
 (135)
4
4

(30)
5
6
 (150)
6
0(0)
2 (360)
 (180)
7
 (210)
6
5
 (225)
4
4
11
 (330)
6
7
 (315)
4
5
 (240) 3
 (300)

(
270

)
3
3
2
AREA DI FIGURE PIANE
TRIANGOLO
RETTANGOLO
bh
A
2
TRAPEZIO
( B  b)  h
A
2
PARALLELOGRAMMO
A  bh
CERCHIO
A  r
ROMBO
A
d1  d 2
2
SEGMENTO CIRCOLARE
DI AMPIEZZA  (RADIANTI)
2
A

2
r
2
QUESITO
SUGGERIMENTO
Con riferimento alla figura,
siano A e B estremità di sbarre
contigue, V il vertice dell’arco
AB , M il punto medio di AB e O
il centro della circonferenza cui
appartiene l’arco AB.
Deve valere OB = OV, posto
dunque OM = x ..
9
x
SOLUZIONE
Deve valere OB = OV, posto
dunque OM = x . Per il Teorema
di Pitagora, deve valere:
9
30°
60°
54
9
9
6 3 x  54  x 


6 3
3
3
x
3 9

3 3 3
3 3
QUESITO NUMERICO
SUGGERIMENTO
Si cerchi la relazione tra il raggio
di 1 e quello di 0 : sarà la
stessa esistente tra il raggio di
n e quello di n-1 .
A tale scopo essendo D0O0B0 =
60° (angolo a centro di D0C0B0)
segue che il triangolo D0O0B0 è
equilatero ..
SOLUZIONE
Quindi,
poichè
B0H0
è
perpendicolare a C0D0 , H0 è
punto medio di O0D0 e il raggio
1
di 1 è 4 R(0)
Con la stessa costruzione si
mostra che in generale vale
POLIGONI REGOLARI
Un poligono regolare ha lati e angoli congruenti.
Un poligono regolare è simmetrico rispetto a
ogni retta passante per un vertice e il centro.
Pertanto, vi sono esattamente n assi di
simmetria; se poi il numero di lati n è pari, allora
il centro è centro di simmetria per il poligono.
Ogni angolo interno di un poligono ha ampiezza pari a
, pertanto la somma degli angoli
interni è (n-2)180°. Gli angoli esterni invece misurano 360°/n
e dunque la loro somma consiste in un angolo di 360°.
POLIGONI REGOLARI
Ogni poligono regolare è inscrivibile e circoscrivibile in due
circonferenze concentriche.
Il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema e,
chiaramente, coincide con la distanza dal centro di un qualsiasi
lato del poligono.
QUESITO
SUGGERIMENTO
I triangoli AEB e ACB sono
isosceli. Calcoliamo la
misura di un angolo del
pentagono e dimostriamo
che il triangolo BCP ..
SOLUZIONE
ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA
Gli angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda (arco)
sono:
- CONGRUENTI se insistono dallo stesso arco
- SUPPLEMENTARI se insistono dallo archi opposti
- LA META' dell'angolo al centro corrispondente
Un triangolo inscritto in una
semicirconferenza è rettangolo:
QUADRILATERO INSCRIVILE IN UNA CIRCONFERENZA
Un quadrilatero si può inscrivere in una circonferenza (e si dice
CICLICO) solo se la somma delle ampiezze degli angoli opposti è =
180°. Per esempio, il trapezio isoscele, il rettangolo e il quadrato
sono sempre inscrittibili, mentre il trapezio rettangolo,
il
parallelogramma e il rombo no.
Un altro criterio per stabilire se un
quadrilatero è ciclico è verificare se sullo
stesso lato insistono angoli congruenti:
QUADRILATERO CIRCOSCRIVIBILE AD UNA CIRCONFERENZA
Un quadrilatero si può circoscrivere a una circonferenza solo se le
somme delle lunghezze dei lati opposti sono uguali: per esempio,
il rombo e il quadrato sono sempre circoscrivibili, mentre il
rettangolo e il parallelogramma no.
Corde, secanti e tangenti in una circonferenza
Teorema delle due corde: Il punto P comune a due corde di una
circonferenza divide le corde in parti in modo che le due parti di una
corda siano i medi e le due parti dell'altra gli estremi di una
proporzione.
PA : PC = PD : PB
Teorema delle due secanti: Una circonferenza divide
due secanti condotte da uno stesso punto P, esterno
alla circonferenza, in modo che un'intera secante e la
sua parte esterna siano i medi, l'altra secante e la sua
parte esterna gli estremi di una proporzione.
PA : PC = PD : PB
Teorema della secante e della tangente: Condotte da
un punto P esterno ad una circonferenza una tangente
ed una secante, il segmento di tangente è medio
proporzionale tra l'intera secante e la sua parte esterna.
PD : PT = PT : PC
QUESITO
SUGGERIMENTO
SOLUZIONE
VOLUMI E SUPERFICI DI SOLIDI
CUBO di lato l
CILINDRO
di raggio di base r
e altezza h
PARALLELEPIPEDO
di dim. a,b,c
V  r 2 h
V  l3
S L  2rh
V  abc
CONO
PIRAMIDE
SFERA diraggio r
4
V  r 3
3
S  4r 2
V 
1 2
r h
3
S L  ra
V 
1
Abase h
3
S L  Pbase a
QUESITO
SUGGERIMENTO
C
I
P
d = 4 km
D
Sviluppiamo sul piano la
superficie laterale della
montagna,
tagliandola
lungo il segmento DC. Si
avrà un settore circolare di
centro C, raggio 4 km,
ossia la lunghezza di DC, e
delimitato da un arco di
circonferenza di 4π km,
ossia ..
SOLUZIONE
C
C
D
4 km
3 km
I
1 km
I
P
d = 4 km
D
P
4π km
Lo sviluppo è un semicerchio.
Il triangolo ICD è rettangolo.
L’ipotenusa ID = 5 km.
D
QUESITO A RISPOSTA APERTA
SUGGERIMENTO (a)
SOLUZIONE (a)



SUGGERIMENTO (b)
Ridisegna il quadrilatero
ABCM e la circonferenza
circoscritta:
Il triangolo ABC è isoscele e
gli angoli che insistono
sulla corda AB ..
SOLUZIONE (b)
SCHEDA DI VALUTAZIONE
QUESITO DI LOGICA
SOLUZIONE
A
B
C
D
PIOVE
T (V)
V – S (F)
V - S (F)
T (V)
NON PIOVE
S (F)
V – T (V)
V – T (V)
V (V) – S (F)