Il concetto di dimensione
Tutti noi possediamo un concetto intuitivo di dimensione: il punto ha dimensione zero, la retta ha
dimensione uno, il piano ha dimensione due, lo spazio ha dimensione tre.
La retta ha dimensione uno ,mentre i bordi delle sue parti (segmenti) sono punti (cioè oggetti di
dimensione zero)
ovvero
i punti (oggetti di dimensione zero) sono in grado di spezzare le rette.
Il piano ha dimensione due perché le sue parti (superfici) hanno bordi di dimensione 1 e perché le rette
(che sono di dimensione 1) lo spezzano in due. Analogo discorso per lo spazio
Questo concetto intuitivo ben si accorda con le definizioni che Euclide pone come base ai suoi “Elementi”
Definizione 1: Il punto è ciò che non ha parti.
Definizione 2: Una linea è lunghezza senza larghezza.
Definizione 3: Gli estremi di una linea sono punti.
Definizione 4: Una linea retta è una linea che giace in modo uguale rispetto ai suoi punti.
Definizione 5: Una superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza.
Definizione 6: I bordi di una superficie sono linee.
Definizione 7: Una superficie piana è una superficie che giace in modo uguale rispetto alle sue
rette.
Successivamente, quando passa alla geometria solida, Euclide apre il Libro XI con le seguenti definizioni:
Definizione 1: Un solido è ciò che ha lunghezza, larghezza e profondità.
Definizione 2: La faccia di un solido è una superficie.
La geometria analitica, con l’introduzione delle coordinate cartesiane, quantifica in modo semplice
la dimensione dello spazio in cui vengono studiate le figure geometriche (insieme di punti)
Un punto su una retta necessita di una sola coordinata, un punto nel piano è individuato da una
coppia ordinata di numeri reali, nello spazio da una terna.
Il concetto di dimensione ha assunto poi una forma molto più precisa con la dimensione
topologica.
Due spazi topologici hanno uguale dimensione se esiste ,tra i punti dell’uno e dell’altro ,una
corrispondenza che sia biunivoca e bicontinua (omeomorfismo)
Il modo di sconnettersi d’uno spazio topologico è un’indicazione della sua dimensione;
ecc.
un punto non può essere sconnesso;
una linea può esser sconnessa da un punto, che costituisce la frontiera delle due semilinee che
rimangono;
una superficie può esser sconnessa da una linea, che costituisce la frontiera fra le due semisuperfici
che rimangono;
Definizione (Dimensione topologica)
Uno spazio X ha dimensione 0 in un punto p (dim (X in p) = 0) se esistono intorni aperti arbitrariamente
piccoli di p con frontiera vuota.
Si dice che X ha dimensione 0 (dim X = 0) se dim (X in p)= 0 per ogni p X.
Uno spazio topologico costituito da un solo punto ha dimensione 0.Infatti la frontiera del punto è vuota.
Si fissa per convenzione: Un insieme ha dimensione -1 se e solo se è l’insieme vuoto
Dimensione locale
Uno spazio X ha dimensione ≤n (n ≥0) in un punto p se p appartiene ad intorni aperti arbitrariamente piccoli
la cui frontiera ha dimensione ≤(n-1).
X ha dimensione n in p se
, ma
è falsa.
Dimensione globale
Lo spazio X ha dimensione ≤n se dim (X in p)≤ n per ogni punto p in X; infine X ha dimensione n se (dim X
≤n) è vera, ma dim X≤ (n-1) è falsa.
Nella seconda metà dell'800 , nell’ambito della crisi di alcuni fondamenti della geometria euclidea, viene
messo in discussione anche il concetto classico di dimensione.
Si affaccia l’ipotesi dell’esistenza di "figure intermedie" tra il punto e la linea, la linea e il piano, il piano e
il volume.
Questi "oggetti" vennero considerati delle bizzarrie o delle mostruosità matematiche e furono
accantonati. Solo negli ultimi anni, con l'aiuto dei computer si è giunti a scoprire che tali prodotti
mostruosi della matematica teorica erano invece legati alla realtà naturale più delle forme ottenute con
la geometria euclidea.
La “ galleria dei mostri”
Curva di Peano
Nel 1890 il matematico Giuseppe Peano (1858-1932) pubblicò un articolo dal titolo "Sur une courbe qui
remplit toute une aire plan" in cui presentava una curva che aveva la strana proprietà di riempire tutto
un quadrato. Questo fatto lasciò molto perplessi poiché, per definizione, una curva è un ente
geometrico ad una sola dimensione, mentre il quadrato ha due dimensioni. Eppure, la curva di Peano
passa per tutti i punti del quadrato.
Esempio di curva di Peano ( si tratta in effetti di una famiglia di curve)
Si divida in tre parti uguali il segmento AB
e si costruiscano due quadrati CEFD e CELG di lato CE=1/3 AB, come in figura:
Si ottiene una poligonale, formata da 9 segmenti, che può
essere percorsa senza alzare la matita e senza passare due volte sullo
stesso tratto.
Tale costruzione si ripete su ciascuno dei 9 segmenti, dividendo
ognuno in tre parti uguali e costruendo sulla parte centrale un
rettangolo con il medesimo procedimento
Continuando si realizza una curva che riempie ” l’intero quadrato!
Insieme di Cantor (1884)
•
PASSO 0. Prendiamo il segmento unitario, cioè quello di estremi 0 e 1
sull'asse x del piano cartesiano:
•
PASSO 1. Eliminiamo il segmento centrale di lunghezza 1/3, ovvero tutti i
punti x tali che 1/3 < x < 2/3:
•
PASSO 2. Ripetiamo il procedimento sui due intervalli rimasti, eliminando
su ognuno un segmento di lunghezza 1/9:
•
PASSO 3. Ripetiamo il procedimento, eliminando su ogni intervallo rimasto
un segmento di lunghezza 1/27:
•
PASSO 4. Ripetiamo il procedimento, eliminando segmenti lunghi 1/81:
•
PASSO n. ….
• L’insieme di Cantor è l’insieme ottenuto
dopo uno numero infinito di passi
(“polvere di Cantor”)
• È privo di “punti interni”
• Non è “numerabile”
• Ha lunghezza uguale a zero
Passo 0:
Curva di von
Koch (1904)
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
• La curva di von Koch è l’insieme ottenuto dopo
un numero infinito di passi
(definizione iterativa)
Passo 4:
• È priva di tangente in ogni punto
Passo n:
• È una curva di lunghezza infinita
Il triangolo di Sierpinski 1915
Dato un triangolo equilatero pieno, lo si divida in 4 triangoli equilateri e si rimuova il triangolo centrale
rivolto verso il basso. Rimangono 3 triangoli: ad ognuno di essi si applichi lo stesso procedimento all’infinito
La dimensione frattale
Per cercare di capire che cos’è la dimensione frattale, iniziamo con il considerare un segmento che
dividiamo in tre parti uguali.
Consideriamo poi un quadrato e dividiamo ogni suo lato anche in questo
caso in tre parti. Uniamo poi i punti corrispondenti dei lati paralleli in modo da
ottenere 9 quadrati più piccoli.
Prendiamo infine un cubo e dividiamo sempre per tre tutte le sue dimensioni.
Il cubo viene diviso in 27 cubetti uguali.
Oggetto
Numero di divisioni
k
Numero di parti delle
figure N
Segmento
3
3=3
Quadrato
3
9=3
Cubo
3
27 = 3
Ipercubo
3
3
1
2
3
n
Procedimento per ottenere la dimensione di un insieme
• Se dividiamo un segmento in k parti uguali, otteniamo N=k segmenti più piccoli
• Se dividiamo i lati di un quadrato in k parti uguali, otteniamo N=k² quadrati più piccoli
• Se dividiamo gli spigoli di un cubo in k parti uguali, otteniamo N=k³ cubi più piccoli
• Se dividiamo gli spigoli di un ipercubo in k parti uguali, otteniamo N=kⁿ ipercubi più piccoli
Se indichiamo con d la usuale dimensione topologica di questi oggetti ,sussiste la relazione
N=kd, da cui
con il logaritmo preso in una base qualunque.
Tentiamo ora di applicare la stessa tecnica alle curve “patologiche” considerando l’elemento generatore
Oggetto
Numero di
divisioni k
Numero di parti delle
figure N
3
2
3
4
2
3
3
9
Insieme di Cantor
Curva di Koch
Triangolo di Sierpinski
Curva di Peano
Insieme di Cantor
•
•
•
Al passo 1, si divide il segmento in 3 parti, e si ottengono 2 sotto-segmenti: k=3,N=2
Al passo 2, ogni sotto-segmento è diviso in 3 parti, e si ottengono 2 sotto-sotto-segmenti:
k=3²,N=2²
Al passo n, otteniamo k=3ⁿ, N=2ⁿ
Osserviamo che anche ora, come prima, il rapporto
è costante (vale precisamente
solo che questo rapporto non è più intero ed è strettamente più grande della dimensione topologica
dell'insieme di Cantor che è zero.
Curva di Koch
Se sezioniamo il segmento in k=3 parti uguali otteniamo 4 parti identiche e simili all'originale, se k=9
otteniamo 16 parti identiche e simili all'originale, e così via.
Questa volta il rapporto, ancora costante, vale
Anche ora il rapporto è non intero e
strettamente maggiore della dimensione topologica della curva che è uno.
Triangolo di Sierpinski
Si divide in k=2 parti il lato del triangolo di Sierpinski e otteniamo N=3 copie dell’originale, se lo
dividiamo in 4 i triangoli saranno 9 ecc.
Questa volta il rapporto, ancora costante, vale
anche ora il rapporto è non intero e
compreso tra 1 e 2
Curva di Peano
E’ facile verificare che , in questo caso il rapporto è
=2
),
In questo caso troviamo un numero intero che però è in contrasto con l’idea di curva come oggetto di
dimensione 1
Questi rapporti devono avere un ben preciso significato molto vicino al concetto classico di dimensione.
In realtà, il fatto che per l'insieme di Cantor questo numero sia maggiore di zero soddisfa una certa idea
intuitiva secondo cui la dimensione zero, attribuita con il metodo tradizionale, sia un po' troppo poco per
un insieme che ha così tanti punti.
Analogo discorso per la curva di Koch e per il Triangolo di Sierpinski ,dove il fatto che questo rapporto sia
maggiore di uno è in accordo con l'idea intuitiva che l'oggetto sia un po' più di una curva, anche se non è
chiaramente una superficie, che avrebbe dimensione due.
La curva di Peano, invece, viene ad avere proprio la stessa dimensione del quadrato
Il valore
corrisponde proprio alla definizione di dimensione frattale.
Per alcuni oggetti (quali il segmento, il quadrato , il cubo) essa coincide con la dimensione topologica, per
altri no.
In effetti la dimensione frattale caratterizza una proprietà degli oggetti che non è presa in considerazione
dal concetto classico di dimensione :il livello di autosimilarità .
Si chiama frattale un oggetto autosimile per cui la dimensione frattale è strettamente maggiore di quella
topologica
