SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 293 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 Prendiamo due numeri : 8 e 13. Sappiamo che un numero è DIVISIBILE per un altro se eseguendo la DIVISIONE del primo per il secondo, il RESTO è ZERO. Ora il numero 8 è divisibile per: 1, 2, 4, 8. Esaminiamo il numero 13. Esso è divisibile solamente per: 1, 13. Quindi, 8 ammette come divisori 1, se stesso e altri divisori (2, 4). Mentre 13 ammette come divisori solamente 1 e se stesso. I numeri come il 13 si chiamano NUMERI PRIMI ASSOLUTI o più semplicemente NUMERI PRIMI. Possiamo affermare che un NUMERO PRIMO è un numero DIVISIBILE solamente per 1 e per SE STESSO. Si chiamano COMPOSTI, invece, i numeri che hanno, oltre all'uno e a se stessi, ALTRI DIVISORI. Quindi: NUMERO DIVISORI 8 1, 2, 4, 8 NUMERO COMPOSTO 13 1, 13 NUMERO PRIMO Facciamo degli altri esempi: NUMERO DIVISORI 11 1, 11 NUMERO PRIMO 105 1, 3, 5, 7, 21, 35, 105 NUMERO COMPOSTO 28 1, 2, 4, 7, 14, 28 NUMERO COMPOSTO 7 1, 7 NUMERO PRIMO Il numero 1 non viene considerato nè un numero primo (in quanto ammette un solo divisore, se stesso), nè un numero composto. I NUMERI PARI, ad eccezione del numero 2, sono sempre dei NUMERI COMPOSTI perché ammettono come divisori, sempre, oltre a se stessi e all'unità anche il 2. Esempio: NUMERO DIVISORI 4 1, 2, 4 6 1, 2, 3, 6 8 1, 2, 4, 8 10 1, 2, 5, 10 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 Quindi i NUMERI PRIMI sono sicuramente NUMERI DISPARI. Non è vero, invece, il contrario: cioè iNUMERI DISPARI non è detto che siano NUMERI PRIMI, quindi possono essere sia NUMERI PRIMI che NUMERI COMPOSTI. Esempio: NUMERO DIVISORI 3 1, 3 NUMERO PRIMO 5 1, 5 NUMERO PRIMO 7 1, 7 NUMERO PRIMO 9 1, 3, 9 NUMERO COMPOSTO 11 1, 11 NUMERO PRIMO 13 1, 13 NUMERO PRIMO 15 1, 3, 5, 15 NUMERO COMPOSTO Quindi, ricapitolando: 1 non è nè NUMERO PRIMO nè NUMERO COMPOSTO NUMERI PARI (eccetto il 2) sono sempre NUMERI COMPOSTI NUMERI DISPARI possono essere NUMERI PRIMI o NUMERI COMPOSTI I NUMERI PRIMI sono in numero ILLIMITATO infatti, se prendiamo un numero primo ne possiamo trovare sempre uno maggiore. Come sappiamo un NUMERO si dice COMPOSTO quando ha qualche altro divisore oltre all'UNITA' e a SE STESSO. Sappiamo anche che i NUMERI PARI sono senz'altro dei NUMERI COMPOSTI, mentre i numeri dispari possono essere sia composti che primi. Scegliamo, quindi, un numero pari, ad esempio: 30. Esso è senz'altro un numero composto e ammette, come divisore, il 2. Dividiamo allora per 2 e avremo: 30 : 2 = 15. Di conseguenza possiamo scrivere: 15 x 2 = 30. Anche 15 è un numero composto. Esso ha come più piccolo divisore il numero 3. Quindi possiamo scrivere: 15 : 3 = 5. E di conseguenza possiamo dire che: 3 x 5 = 15. Quindi attraverso una serie di sostituzioni possiamo dire che: 30 = 2 x 15 = 2 x 3 x 5. Ricapitolando: 30 = 2 x 3 x 5. Come possiamo notare abbiamo scritto il numero 30 come il prodotto di più numeri e questi numeri (2, 3, 5) sono tutti NUMERI PRIMI. Questa operazione prende il nome di SCOMPOSIZIONE di un NUMERO in FATTORI PRIMI. Quindi noi abbiamo scomposto 30 in fattori primi. Prendiamo un altro NUMERO COMPOSTO, ad esempio: 105. Il numero 105 non è divisibile per 2, trattandosi di un numero dispari. E' divisibile per tre dato che la somma delle sue cifre è 6, cioè un numero divisibile per 3. Quindi possiamo scrivere: 105 : 3 = 35. Ovvero: 105 = 3 x 35. Il numero 35 è ancora un numero composto che, poiché termina con la cifra 5, è divisibile per 5. Quindi: 35 : 5 = 7. Ovvero: 35 = 5 x 7. Quindi possiamo dire che: 105 = 3 x 5 x 7. Possiamo allora affermare che ogni NUMERO COMPOSTO è uguale al PRODOTTO di più NUMERI PRIMI. Vediamo come si effettua, in pratica, la SCOMPOSIZIONE di un NUMERO in FATTORI PRIMI. Prendiamo il numero 60 e proviamo a scomporlo in fattori primi. Per fare questo dobbiamo tracciare una LINEA VERTICALE. A sinistra di questa linea scriviamo il numero da scomporre, nel nostro caso60. Ora cerchiamo il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO per cui esso è divisibile. Essendo il numero da scomporre 60, cioè un numero pari, esso è senz'altro divisibile per 2. Scriviamo questo fattore primo alla destra della linea verticale. Così: Ora dividiamo 60 per 2 e scriviamo il risultato della divisione (cioè il quoto) sotto il numero 60. Così: Cerchiamo ora il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO per cui è divisibile 30: anche in questo caso ci troviamo di fronte ad un numero pari che sarà, quindi, divisibile per 2. Scriviamo il 2 a destra del numero 30. Ora dividiamo 30 per 2 e scriviamo il risultato della divisione sotto il numero 30. Così: 15 è un numero dispari, quindi non è certamente divisibile per 2. Esso invece è divisibile per 3, dato che la somma delle sue cifre (1+5) dà come risultato 6 che è un numero divisibile per 3. Scriviamo il 3 a destra del numero 15. Ora dividiamo 15 per 3 e scriviamo il risultato della divisione sotto il numero 15. Il numero 5 è un numero primo, divisibile solo per se stesso e per l'unità. Dividiamo allora il numero 5 per se stesso. Il risultato della divisione è 1. La nostra scomposizione del numero 60 in fattori primi è terminata. Il NUMERO DA SCOMPORRE (nel nostro caso 60) può essere scritto come il PRODOTTO di tutti i FATTORI PRIMI scritti a sinistra della linea verticale. Così: 60 = 2 x 2 x 3 x 5. Ma sappiamo che 2 x 2 = 22. Per cui sostituendo, avremo: 60 = 22 x 3 x 5. Più in generale possiamo dire che per SCOMPORRE un numero in FATTORI PRIMI, lo si DIVIDE per il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO SUO DIVISORE, poi si DIVIDE il QUOTO ottenuto per il PIU' PICCOLO NUMERO PRIMO SUO DIVISORE, e così via fino ad ottenere come quoto 1. Il numero dato è uguale al PRODOTTO di TUTTI I NUMERI PRIMI usati come DIVISORI. Vediamo qualche altro esempio. Scomponiamo il numero 325. Avremo: Quindi possiamo scrivere: 325 = 5 x 5 x 13. Ovvero: 325 = 52 x 13. Ora scomponiamo il numero 168. Avremo: Quindi possiamo scrivere: 168 = 2 x 2 x 2 x 3 x 7. Ovvero: 168 = 23 x 3 x 7. Quando scriviamo un numero come prodotto di più numeri primi si parla di FATTORIZZAZIONE in NUMERI PRIMI. In alcuni casi è possibile abbreviare la scomposizione in fattori primi. Vedremo, di seguito, come è possibile abbreviare, in alcuni casi, la SCOMPOSIZIONE di un numero in FATTORI PRIMI. Le regole che vedremo di seguito si fondano sui criteri di divisibilità di un numero. 1° REGOLA. Sappiamo che un numero è DIVISIBILE per10, 100, 1.000, ecc.. se esso TERMINA rispettivamente con 1, 2, 3, .... ZERI. Esempio: 1.350 Termina con uno zero DIVISIBILE PER 10 1.800 Termina con due zeri DIVISIBILE PER 100 27.000 Termina con tre zeri DIVISIBILE PER 1.000 30.000 Termina con quattro zeri DIVISIBILE PER 10.000 Poiché sappiamo che: 10 = 2 x 5; 100 = 22 x 52; 1.000 = 23 x 53; ecc.. quando ci troviamo di fronte ad un numero divisibile per 10, 100, 1.000, ecc.., il PRIMO DIVISORE del numero sarà rispettivamente: 2 x 5; 22 x 52; 23 x 53. Esempio: Per cui scriveremo: 1.350 = 2 x 5 x 33 x 5. ovvero: 1.350 = 2 x 52 x 33. Oppure Per cui scriveremo: 1.800 = 23 x 52 x 32. 2° REGOLA. Sappiamo che un numero è DIVISIBILE per 4 se le sue ULTIME DUE CIFRE A DESTRA formano un NUMERO DIVISIBILE per 4 o sono ENTRAMBI ZERO. Esempio: 216 Ultime due cifre a destra 16 1.200 Ultime due cifre 00 Poiché sappiamo che: 16 divisibile per 4 216 DIVISIBILE PER 4 1.200 DIVISIBILE PER 4 4 = 22 quando ci troviamo di fronte ad un numero divisibile per 4, possiamo considerare come suo divisore 22. Esempio: Per cui scriveremo: 216 = 23 x 33. Oppure: Per cui scriveremo: 1.200 = 24 x 52 x 3. 3° REGOLA. Sappiamo che un numero è DIVISIBILE per 9se la SOMMA delle SUE CIFRE è DIVISIBILE per 9. Esempio: Numero Somma delle cifre 64.800 6 + 4 + 8 + 0 + 0 = 18 18 divisibile per 9 64.800 DIVISIBILE PER 9 Poiché sappiamo che: 9 = 32 quando ci troviamo di fronte ad un numero divisibile per 9, possiamo considerare come suo divisore 32. Esempio: Per cui scriveremo: 64.800 = 25 x 34 x 52. CRITERI DI DIVISIBILITÀ Un numero è DIVISIBILE per un altro se eseguendo la DIVISIONEdel primo per il secondo, il RESTO è ZERO. Cioè: In questo caso possiamo dire che a è DIVISIBILE per b. Esempio: 25 : 5 = 5 con resto 0 18 : 3 = 6 con resto 0 70 : 4 = 17 con resto 2 25 è DIVISIBILE per 5 18 è DIVISIBILE per 3 70 NON è DIVISIBILE per 4 Per sapere se un numero è divisibile per un altro non è sempre necessario eseguire la divisione. Infatti, esistono delle REGOLE che ci permettono di stabilire facilmente se un NUMERO E' DIVISIBILE per UN ALTRO. Queste regole prendono il nome di CRITERI DI DIVISIBILITA'. Vediamo, di seguito, quali sono questi criteri. 1. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 2. Un numero è DIVISIBILE per 2 se la sua ULTIMA CIFRA A DESTRA è 2 o una CIFRA PARI. Esempio: 42 Ultima cifra a destra è 2 DIVISIBILE PER 2 172 Ultima cifra a destra è 2 DIVISIBILE PER 2 1.732 Ultima cifra a destra è 2 DIVISIBILE PER 2 874 Ultima cifra a destra è pari DIVISIBILE PER 2 910 Ultima cifra a destra è pari.Lo zero è una cifra pari DIVISIBILE PER 2 93 Ultima cifra a destra è dispari NON DIVISIBILE PER 2 2. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 3. Un numero è DIVISIBILE per 3 se la SOMMA delle SUE CIFRE è DIVISIBILE per 3. Esempio: Numero Somma delle cifre 27 2+7=9 9 divisibile per 3 27 DIVISIBILE PER 3 147 1 + 4 + 7 = 12 12 divisibile per 3 147 DIVISIBILE PER 3 1.824 1 + 8 + 2 + 4 = 15 15 divisibile per 3 1.824 DIVISIBILE PER 3 337 3 + 3 + 7 = 13 13 non divisibile per 3 337 NON DIVISIBILE PER 3 3. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 4. Un numero è DIVISIBILE per 4 se le sue ULTIME DUE CIFRE A DESTRA formano un NUMERO DIVISIBILE per 4 o sono ENTRAMBI ZERO. Esempio: 212 Ultime due cifre a destra 12 12 divisibile per 4 212 DIVISIBILE PER 4 1.316 Ultime due cifre a destra 16 16 divisibile per 4 1.316 DIVISIBILE PER 4 328 Ultime due cifre a destra 28 28 divisibile per 4 328 DIVISIBILE PER 4 100 Ultime due cifre a destra 00 937 Ultime due cifre a destra 37 DIVISIBILE PER 4 37 non divisibile per 4 937 NON DIVISIBILE PER 4 4. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 5. Un numero è DIVISIBILE per 5 se l'ULTIMA CIFRA A DESTRA è 5 o ZERO. Esempio: 35 Ultima cifra a destra è 5 DIVISIBILE PER 5 185 Ultima cifra a destra è 5 DIVISIBILE PER 5 1.925 Ultima cifra a destra è 5 DIVISIBILE PER 5 210 Ultima cifra a destra è zero DIVISIBILE PER 5 88 Ultima cifra a destra non è 5 nè 0 NON DIVISIBILE PER 5 5. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 6. Un numero è DIVISIBILE per 6 se è DIVISIBILE CONTEMPORANEAMENTE per 2 e per 3. Esempio: 72 Ultima cifra a destra è pari. DIVISIBILE PER 2 DIVISIBILE PER 6 7 + 2 = 9. DIVISIBILE PER 3 792 Ultima cifra a destra è pari. DIVISIBILE PER 2 DIVISIBILE PER 6 7 + 9 + 2 = 18. DIVISIBILE PER 3 210 Ultima cifra a destra è pari. DIVISIBILE PER 2 DIVISIBILE PER 6 2 + 1 + 0 = 3. DIVISIBILE PER 3 88 Ultima cifra a destra è pari. DIVISIBILE PER 2 NON DIVISIBILE PER 6 8 + 8 = 16. NON DIVISIBILE PER 3 6. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 9. Un numero è DIVISIBILE per 9 se la SOMMA delle SUE CIFRE è DIVISIBILE per 9. Esempio: Numero Somma delle cifre 279 2 + 7 + 9 = 18 18 divisibile per 9 279 DIVISIBILE PER 9 972 9 + 7 + 2 = 18 18 divisibile per 9 972 DIVISIBILE PER 9 908 9 + 0 + 8 = 17 17 non divisibile per 9 908 NON DIVISIBILE PER 9 7. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 10, 100, 1.000, ecc.... Un numero è DIVISIBILE per 10, 100, 1.000, ecc.. se esso TERMINA rispettivamente con 1, 2, 3, .... ZERI. Esempio: 1.250 Termina con uno zero DIVISIBILE PER 10 13.520 Termina con uno zero DIVISIBILE PER 10 12.200 Termina con due zeri DIVISIBILE PER 100 135.700 Termina con due zeri DIVISIBILE PER 100 12.000 Termina con tre zeri DIVISIBILE PER 1.000 170.000 Termina con quattro zeri DIVISIBILE PER 10.000 8. CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 11. Un numero è DIVISIBILE per 11 se la DIFFERENZA tra la SOMMA delle CIFRE di posto DISPARI e la SOMMA delle SUE CIFRE di posto PARI è uguale a ZERO, o 11 o MULTIPLO di 11. Esempio: Numero Cifre di posto dispari Cifre di posto pari Somma cifre di posto Somma cifre di dispari (a) posto pari (b) (a) (b) 385 3, 5 8 3+5 = 8 8 8- DIVISIBILE 8= PER 11 0 77.132 7,1,2 7, 3 7+1+ 2 = 10 7+3 = 10 10- DIVISIBILE 10= PER 11 0 737 7, 7 3 7+7 = 14 3 14- DIVISIBILE 3= PER 11 11 2,1,8 8+9+7+9 = 33 2+1+8 = 11 33- DIVISIBILE 11= PER 11 22 8.291.789 8,9,7,9