UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO
FACOLTÀ DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA
ANNO ACCADEMICO 2000/2001
TESINA DI
DIDATTICA DELLA MATEMATICA 2
Realizzata da:
CUTUGNO PALMA
DI PIAZZA ANTONINA
LO CICERO LAURA
MAGNOTTI ANNALISA
La tesina è stata eseguita sviluppando i seguenti punti:
1) Analisi comparativa di due o più testi del II ciclo di scuola
elementare differenti per impostazione nei quali si è cercato di
mettere in evidenza il ruolo degli approcci alla geometria:
- geometria come prima rappresentazione del mondo fisico;
- geometria come scienza dell’argomentare (legami con le
attività logiche;
- geometria delle trasformazioni;
- il metodo delle coordinate;
e di giustificare anche l’ordine di introduzione dei vari approcci.
2) Messa a punto di una situazione a-didattica riguardante la
geometria con rispettiva definizione della situazione, ruolo
dell’insegnante, descrizione della consegne per gli allievi e analisi
delle fasi d’azione, di formulazione e di validazione.
3) Analisi a-priori di una situazione/problema riguardante la
geometria del II ciclo, con particolare attenzione ai
comportamenti attesi da parte degli allievi.
4) Sperimentazione della sopraccitata
nell’ambito del lavoro del tirocinio.
5)
Scheda di riflessione metacognitiva.
situazione/problema
1) ANALISI COMPARATIVA DEI TESTI DI SCUOLA
ELEMENTARE
Scheda riassuntiva:
Argomenti:
Titolo:
Autori:
Casa ed.:
Copyright:
II CICLO (CLASSE IV)
Gli angoli
LeTrasformazioni
Le linee
geometriche
Per lavorare insieme
I triangoli
Il segreto delle cose
AA.VV.
AA.VV.
Nicola Milano Ed.
Il Capitello Ed.
1994
1993
APPROCCI ALLA GEOMETRIA: i due testi
considerati seguendo un ordine diverso, ossia:
Testo 1
La traslazione e la simmetria
Le linee
I triangoli e le loro classificazioni
Gli angoli
presentano
gli
argomenti
Testo 2
Le linee
Gli angoli
I triangoli
La simmetria
In particolare, il secondo testo presenta un maggiore ordine logico degli
argomenti rispetto al primo; mentre, invece, quest’ultimo tratta
inspiegabilmente la classificazione dei triangoli in base all’ampiezza degli angoli
prima ancora di spiegare il concetto di angolo stesso. Inoltre, il primo testo
tratta della geometria delle trasformazioni ancor prima di aver presentato i
concetti base della geometria (p. es. i punti e le linee). Probabilmente ciò è
accaduto perché, nel presentare le trasformazioni geometriche, il testo prende
in considerazione forme di oggetti naturali.
Testo 1
Argomento
Approccio
Testo 2
Argomento
Approccio
La traslazione e la 1) Geometria come La traslazione e la Non tratta la
simmetria
prima
simmetria
traslazione e per
rappresentazione
del mondo fisico;
2) Metodo delle
coordinate.
Le linee
I triangoli
Gli angoli
1) Geometria come Le linee
prima
rappresentazione
del mondo fisico;
2) Geometria come
scienza
dell’argomentare
(legami con le
attività logiche).
1) Geometria
I triangoli
come prima
rappresentazione
del mondo fisico;
2) Geometria come
scienza
dell’argomentare
(legami con le
attività logiche).
Geometria come
Gli angoli
prima
rappresentazione
del mondo fisico.
quanto riguarda la
simmetria
l’approccio è:
Geometria come
prima
rappresentazione
del mondo fisico.
1) Geometria
come prima
rappresentazione
del mondo fisico;
2) Geometria come
scienza
dell’argomentare
(legami con le
attività logiche).
Nessun approccio
considerato.
1) Geometria come
scienza
dell’argomentare
(legami con le
attività logiche);
2) Geometria delle
trasformazioni.
È abbastanza evidente che in entrambi i testi la maggior parte degli argomenti
presentati prevede come primo approccio la geometria come prima
rappresentazione del mondo fisico, e non è per caso; infatti, come sottolineano i
Programmi didattici per la scuola elementare dell’85, “l’itinerario geometrico
elementare, tendendo alla sistemazione delle esperienze spaziali del fanciullo,
si svilupperà attraverso la progressiva introduzione di rappresentazioni
schematiche degli aspetti della realtà fisica; dallo studio e dalla realizzazione
di modelli e disegni si perverrà alla conoscenza delle principali figure
geometriche piane e solide e delle loro trasformazioni elementari”. In tal senso,
quindi, il punto di partenza rimane l’osservazione della realtà e l’esperienza
concreta del bambino/bambina.
Per quanto riguarda la geometria come scienza dell’argomentare, sia nei
Programmi didattici dell’85 che nei Nuovi Curricoli “l’educazione matematica
mira alla formazione del pensiero nei suoi vari aspetti: d’intuizione, di
immaginazione, di progettazione, di ipotesi e deduzione, di controllo”. L’uso di
questo approccio nei testi di matematica per la scuola elementare è motivato
dalla necessità di far passare i bambini dall’esperienza della manipolazione e
della descrizione degli oggetti in maniera spontanea e informale, e della
riflessione sugli stessi, a quella dell’astrazione, cioè alla capacità di riconoscere
le caratteristiche comuni di certi oggetti ed appropriarsi del concetto generale
che li racchiude tutti.
Il metodo delle coordinate viene trattato solamente dal primo testo per
quanto riguarda l’argomento “traslazione e simmetria. Questo metodo, al pari
degli altri ha anch’esso la sua importanza, come fanno notare i Programmi
dell’85, in quanto “promuove la capacità di orientamento, di riconoscimento e di
localizzazione di oggetti e forme e, in generale, di progressiva organizzazione
dello spazio, anche attraverso la progressiva introduzione di opportuni sistemi
di riferimento”. In questo caso esso è adoperato per localizzare la posizione
nello spazio di figure geometriche trasformate.
Infine, l’approccio della geometria delle trasformazioni viene utilizzato
solamente dal secondo testo per trattare l’argomento degli angoli. In esso,
infatti, per far comprendere meglio il concetto di angolo e la sua misura, viene
usata la rotazione delle lancette di un orologio.
2) SITUAZIONE A-DIDATTICA DI GEOMETRIA
Obiettivo generale:
Operare con figure geometriche, grandezze e misure.
Obiettivo specifico:
a) riconoscere i triangoli come poligoni con 3 lati;
b) classificare i triangoli in base alla congruenza dei lati.
Attività: GIOCHIAMO CON I TRIANGOLI
Riconoscimento della situazione problematica:
- I bambini osservano alla lavagna un insieme di triangoli.
- L’insegnante pone una domanda:<<Come sono questi triangoli tra loro?>
- L’insegnante richiama l’attenzione degli alunni sulla diversa lunghezza dei lati
dei triangoli con una serie di domande–guida:
<<I triangoli che vedete sono tutti uguali?>>
<< Che cosa hanno di diverso?>>
I bambini devono arrivare a formulare autonomamente la domanda/problema
che guiderà tutto il percorso successivo.
La domanda/problema è:
<<Come possono essere i lati di un triangolo tra di loro?>>
- Consegna 1:
L’insegnante, dopo aver fatto costruire ai bambini dei listelli di carta di vario
colore e misura, suddivide la classe in 4 sottogruppi e pone loro la seguente
domanda/problema:
<<È sempre possibile per qualsiasi gruppo di listelli costruire un
triangolo?>>
Ogni gruppo viene invitato a rispondere alla domanda formulando delle ipotesi e
fornendo, anche, le motivazioni ad esse; le ipotesi vanno, naturalmente, scritte
sul quaderno.
Listelli:
- 3 gialli cm 6
- 3 blu cm 8.5
- 3 rossi cm 12
- 3 neri cm 15
- 3 verdi cm 18
Dialettica dell’azione:
All’interno di ogni gruppo formato, vengono formulate le ipotesi che possono
essere accettate o rifiutate o rifiutate dal gruppo.
La formulazione di tali ipotesi, nate dalle interazioni tra gli allievi e la
domanda/problema, costituisce la dialettica dell’azione.
Gli allievi iniziano, adesso, a costruire un modello implicito, cioè un insieme di
relazioni e di regole in base alle quali prendere le proprie decisioni.
Situazione di formulazione:
Ogni alunno propone ed argomenta le proprie ipotesi.
Situazione di validazione:
Le ipotesi accettate dal gruppo vengono scritte sul quaderno.
- Consegna 2:
Gli allievi vengono invitati dall’insegnante a scegliere a caso 9 gruppi di 3 listelli
ciascuno e a costruire, per ognuno di essi, un triangolo.
I gruppi di listelli scelti non potranno essere cambiati per nessun motivo.
I bambini devono anche costruire una tabella esemplificativa dei tentativi fatti
per costruire i triangoli.
Per facilitare la comprensione della consegna l’insegnante costruisce alcuni
triangoli.
Situazione di azione:
Ogni gruppo costruisce i suoi triangoli: alcuni si potranno costruire, altri no, in
questo modo i bambini lavorano su basi concrete per dare una risposta alla
domanda/problema:
ALUNNO
Azione
Informazione
Retroazione
DOMANDA/PROBLEMA
Situazione di scoperta:
La classe ha scoperto che non è sempre possibile, avendo tre listelli, costruire
un triangolo.
Si invita ogni gruppo a leggere a voce alta le ipotesi formulate. La classe
accetta o rifiuta le ipotesi in base alla nuova scoperta.
Le ipotesi accettate vengono scritte alla lavagna.
Situazione di formulazione:
Dopo avere sperimentato sui listelli il bambino è in grado di “vedere” che non è
sempre possibile, dati tre listelli, costruire un triangolo.
Con la guida dell’insegnante egli intuisce che i lati di un triangolo sono in
relazione tra loro. Ora si tratta di portarlo a ragionare, a formulare congetture
su tali relazioni.
In questa fase, estremamente delicata, è essenziale il ruolo dell’insegnate che
deve stimolare gli alunni a formulare ipotesi corrette.
A questo scopo potrebbero essere utili una serie di domande-guida quali:
<<Guardiamo la tabella:
- Usando uno verde, più uno giallo, più uno blu, possiamo costruire il
triangolo?
- Usando uno rosso, più uno blu, più uno nero, possiamo costruire il
triangolo?
- Cosa succede?
- Perché il triangolo non si chiude?
- Proviamo a chiudere i due listelli sul terzo: cosa succede nei due casi?
- Accostando i due listelli cosa notiamo?>>
I bambini cominciano a riformulare le ipotesi in base a questi nuovi dati.
Situazione di validazione:
Si scrivono alla lavagna le ipotesi che tutti accettano come esatte.
Questa fase, in cui la classe lavora con l’insegnante, deve continuare fino a
quando i bambini non arrivano a formulare le seguenti ipotesi:
a)
se lo somma di due lati è minore del terzo lato il triangolo
b)
non si può costruire;
se la somma di due lati è maggio del terzo lato il triangolo si
può costruire;
- Consegna 3:
Guardiamo nella nostra tabella i triangoli che si possono costruire: quante
combinazioni di listelli uguali o diversi tra loro si possono avere?
Dialettica dell’azione:
La classe è divisa in gruppi.
Ogni gruppo formula le proprie ipotesi.
Situazione di formulazione:
Ogni gruppo scrive le proprie ipotesi alla lavagna. Durante questa fase il gruppo
deve spiegare alla classe le proprie ipotesi.
In questo modo gli alunni mettono alla prova la propria capacità argomentativi.
Situazione di validazione:
Le congetture proposte da ogni gruppo, vengono validate dalla classe, se sono
accettate da tutti divengono un teorema. I bambini giocando con i triangoli
scoprono che l’insieme dei triangoli può essere diviso, in base alla congruenza
dei lati, in tre sottoinsiemi: triangoli equilateri, triangoli isosceli, triangoli
scaleni.
In questo percorso la definizione diviene un punto di arrivo, una conquista della
classe.
3) ANALISI A-PRIORI DI UNA SITUAZIONE/PROBLEMA
DI GEOMETRIA: COMPORTAMENTI ATTESI DA PARTE
DEGLI ALLIEVI
Riconoscimento della situazione problematica:
* i bambini non riconoscono la similitudine di due triangoli se uno di essi è
ruotato, cioè se la base maggiore non è orizzontale e in basso, come se si
trattasse di un corpo pesante;
* i bambini affermano che i triangoli sono diversi perché hanno una forma
diversa;
* i bambini confondono il concetto di forma con quello di dimensione.
- Consegna 1:
FORMULARE IPOTESI SULLA DOMANDA-PROBLEMA: <<E’ SEMPRE
POSSIBILE PER QUALSIASI GRUPPO DI LISTELLI COSTRUIRE UN
TRIANGOLO?>>
* i bambini comprendono/non comprendono la consegna data.
Dialettica dell’azione:
*
*
*
*
*
*
si, perché il triangolo ha 3 lati;
no, perché anche se il triangolo ha 3 lati i listelli non sono abbastanza lunghi;
si, ma solo se i listelli sono tutti uguali;
si, ma solo se i listelli sono tutti diversi;
no, perché non sempre i listelli combaciano tra di loro;
no, perché non sempre il triangolo si può chiudere.
Situazione di formulazione e di validazione:
* i bambini sono capaci/non sono capaci di argomentare le proprie ipotesi;
* i bambini accettano/non accettano le ipotesi.
- Consegna 2:
SCEGLIERE A CASO 9 GRUPPI DI 3 LISTELLI CIASCUNO, E CON OGNUNO
DI ESSI COSTRUIRE UN TRIANGOLO.
* i bambini comprendono/non comprendono la consegna data.
Dialettica dell’azione:
* i bambini usano listelli dello stesso colore per costruire il triangolo;
* i bambini non comprendono che ad ogni listello corrisponde un lato del
triangolo;
* i bambini usano più di 3 listelli per costruire il triangolo;
* i bambini sovrappongono i listelli per costruire il triangolo poiché non hanno
chiaro il concetto di “poligono”;
* i bambini considerano triangoli anche figure non chiuse come la seguente:
* i bambini mirano in ogni caso a rispettare la consegna di costruire il
triangolo;
* i bambini non hanno chiaro il concetto di “triangolo”;
* i bambini si rifiutano di eseguire la consegna.
Situazione di scoperta:
* i bambini giungono da soli/non giungono da soli alla scoperta effettuata;
* i bambini sono capaci/non sono capaci di applicare la scoperta per modificare
le ipotesi fatte.
Situazione di formulazione e di validazione:
* i bambini intuiscono/non intuiscono che i lati di un triangolo sono in relazione
tra di loro;
* i bambini notano che il triangolo non si può formare quando chiudendo i 2 lati
sul terzo essi non si uniscono;
* i bambini notano che il triangolo non si può formare quando chiudendo i 2 lati
sul terzo essi si uniscono e si sovrappongono;
* accostando i listelli, i bambini notano/non notano che il triangolo non si può
formare quando i due listelli uniti sono più corti del terzo listello;
* accostando i listelli, i bambini notano/non notano che il triangolo si può
formare quando i due listelli uniti sono uguali o più lunghi del terzo listello;
* i bambini non confrontano l’insieme dei due listelli col terzo, ma confrontano,
invece, la lunghezza di un lato col lato più lungo;
* i bambini non comprendono che due listelli qualsiasi possono essere
confrontati con l’altro lato;
* i bambini non comprendono che i termini di paragone della regola data sono:
la somma delle lunghezze di 2 lati (e non la lunghezza di ognuno dei 2 lati) e il
terzo lato;
* i bambini hanno difficoltà nel formulare correttamente la regola;
* i bambini hanno difficoltà a comprendere che il percorso compiuto serve a
risponder alla domanda-problema posta inizialmente.
- Consegna 3:
SCOPRIRE QUANTE COMBINAZIONI DI LISTELLI UGUALI O DIVERSI
TRA LORO SI POSSONO AVERE NEI TRIANGOLI COSTRUITI.
* i bambini comprendono/non comprendono la consegna data.
Dialettica dell’azione:
* i bambini sostengono che vi siano tante combinazioni possibili, dato che i
listelli sono di diversa lunghezza;
* i bambini sostengono che ci possono essere solamente 3 combinazioni
possibili, poiché il triangolo ha: 1. tutti i lati uguali
2. tutti i lati diversi
3. 2 lati uguali e 1 diverso;
* i bambini sostengono che ci possono essere solamente 2 possibili
combinazioni:
1. triangolo con tutti i lati uguali
2. triangolo con tutti i lati diversi.
Situazione di formulazione e di validazione:
* i bambini sono capaci/non sono capaci di argomentare le proprie ipotesi;
* i bambini accettano/non accettano le ipotesi.
5) SCHEDA DI RIFLESSIONE METACOGNITIVA
Questionario
1) A cosa ti è servito questo lavoro?
1) Quale scopo volevamo raggiungere?
2) Cosa hai scoperto?
3) Quali difficoltà hai avuto?
4) Cosa ti ha fatto capire quale era la strada giusta?
5) Cosa ti ha aiutato nel modo di lavorare degli altri compagni del gruppo?
6) Potresti riutilizzare questo modo di lavorare in altre occasioni?
7) Ricostruisci il percorso che hai fatto.
