L’epidemiologia è la disciplina biomedica che si occupa della distribuzione
delle malattie nella popolazione. Cosa c’entra con l’automatica? Per rispondere a questa domanda in questo esercizio ci occuperemo di studiare l’epidemia
di ebola in un villaggio di persone sane nel quale viene introdotta la malattia.
Lo scopo di questa esercitazione è molteplice:
• Comprendere la versatilità dell’automatica nel trattare problemi di
natura apparentemente diversa tra loro con una metodologia comune,
mettendo in risalto i tratti essenziali del sistema in esame.
• Prendere confidenza con i concetti di linearizzazione, stabilità dell’equilibrio
di sistemi non lineari, movimenti dello stato.
1
Modello epidemico SIR (semplificato) del
virus Ebola
Consideriamo una popolazione di un villaggio, che puó variare nel tempo.
Assumption 1 Tutti i neonati sono suscettibili di infezione.
Assumption 2 La popolazione totale è suddivisa in tre gruppi:
• i sani o suscettibili, che possono essere infettati dal virus in qualunque
momento. Il loro numero sará indicato con S(t).
• Gli infetti, il cui numero indicheremo con I(t).
• I guariti, o recovered, che indicheremo con R(t).
Dunque il numero totale di abitanti del villaggio al tempo t è pari a
N (t) = S(t) + I(t) + R(t)
Introduciamo i seguenti parametri per la popolazione in esame:
• H è il numero di persone massimo che può ospitare il nostro villaggio.
Lo considereremo costante.
• b > 0 è il tasso di nascita, o birth rate.
• d > 0 è il tasso di morte naturale della popolazione, o baseline mortality
rate.
• α > 0 è il tasso di guarigione, o recovery rate.
1
• β > 0 è il tasso di infezione, o contact rate.
• µ è il tasso di mortalità specifico della malattia, o disease mortality
rate.
A questo punto possiamo introdurre le leggi dinamiche che regolano la
variazione di popolazione:
dS(t)
dt
dI(t)
dt
dR(t)
dt
= bH − dS(t) − βS(t)I(t)
= βS(t)I(t) − (α + µ + d)I(t)
= αI(t) − dR(t)
(1)
Domanda 1 Quali sono le variabili di stato in questo sistema?
Domanda 2 Il sistema è lineare o non lineare?
Domanda 3 Il sistema è stazionario o non stazionario?
2
Scrittura in forma di sistema dinamico
Il vettore di variabili di stato sarà:
x1
S
x = x2 := I
x3
R
e scegliamo come uscite y := x.
Possiamo riscrivere la dinamica del sistema come:
dx1 (t)
= bH − dx1 (t) − βx1 (t)x2 (t)
dt
dx
(t)
2
= βx1 (t)x2 (t) − (α + µ + d)x2 (t)
dxdt
3 (t)
= αx2 (t) − dx3 (t)
dt
y1 (t) = x1 (t)
y2 (t) = x2 (t)
y (t) = x (t)
3
3
(2)
Domanda 4 Il sistema è proprio o strettamente proprio?
Nella sua forma più generale, un sistema non lineare si può scrivere come:
ẋ = f (x, u)
(3)
y = g(x, u)
2
Domanda 5 Chi sono f (x, u) e g(x, u)?
Hands on 1 Calcolare le soluzioni di equilibrio (coppie stato-uscita) dell’equazione
(5) risolvendo:
0 = f (x̄, ū)
(4)
ȳ = g(x̄, ū)
Le soluzioni di equilibrio sono:
• Disease–free equilibrium:
x̄1
H
x̄ = x̄2 := 0
x̄3
0
• Endemic equilibrium:
x̄1
x̄ = x̄2 :=
x̄3
α+µ+d
β
bH
−d
α+µ+d β bH
α
− βd
d
α+µ+d
Procediamo alla linearizzazione del sistema, al fine di studiare la stabilità degli equilibri trovati. Per semplificare i conti aggiungeremo l’ipotesi
seguente.
Assumption 3 Il tasso di nascita e morte naturale hanno lo stesso valore.
Hands on 2 Calcolare
e
dg(x)
dx
df (x)
dx
df1 (x)
dx1
df1 (x)
dx2
df1 (x)
dx3
df2 (x)
dx1
df2 (x)
dx2
df2 (x)
dx3
df3 (x)
dx1
df3 (x)
dx2
df3 (x)
dx3
e
dg(x)
.
dx
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Soluzione:
−d − β x̄2
−β x̄1
0
β x̄2
β x̄1 − (α + µ + d)
0
0
α
−d
= I.
3
(5)
E, definendo x(t) = x̄+δx(t) otteniamo il sistema linearizzato nell’intorno
del generico equilibrio x̄:
δ ẋ(t) = Aδx(t)
δy(t) = Cδx(t)
(6)
Il sistema, per come è stato ottenuto, non possiede ingressi. Volendo si
potrebbe considerare H come ingresso ma noi non lo faremo.
Hands on 3 Ricavare la matrice dinamica A1 del sistema linearizzato nell’intorno
dell’equilibrio disease–free. Calcolarne gli autovalori.
−d
−βH
0
A1 = 0 βH − (α + µ + d) 0
0
α
−d
(7)
Autovalori di A1 :
φ(s) := det(sI − A) = (s + d)2 (s + (α + µ + d) − βH)
.
Hands on 4 Cosa si puo’ dire sulla stabilitá dell’equilibrio? (Criterio di
Routh–Hurwitz). Osservare come i vari parametri possano rendere l’equilibrio
stabile o instabile e.g. una malattia con un tasso di mortalitá molto alto,
µ >> 1, non riesce a diffondersi perché i portatori del virus muoiono prima
di poter contagiare altri individui.
3
Ebola outbreak
In tabella 3 troviamo i dati relativi all’epidemia.
Parametro
b
d
µ
α
β
H
Valore
0.07
0.07
0.1
0.012
0.001
1000
Table 1: Dati numerici
4
Population in thousands
2
1.5
Maximum population allowed
Susceptible nonlinear
Susceptible linearized
1
0.5
0
0
10
20
30
40
50
60
1
Maximum population allowed
Infected nonlinear
Infected linearized
0.5
0
0
10
20
30
40
50
60
1
Maximum population allowed
Recovered nonlinear
Recovered linearized
0.5
0
0
10
20
30
time [days]
40
Figure 1: Condizioni iniziali: Disease–free
5
50
60
Nelle figure che seguono confronteremo il movimento dell’uscita del sistema linearizzato col movimento dell’uscita del sistema non lineare.
Nel primo esempio le condizioni iniziali sono condizioni di assenza della
malattia. Dunque il movimento del sistema non–lineare e dell’equivalente
sistema linearizzato coincidono, come evidente dalla Figura 1.
Population in thousands
1
0.8
Maximum population allowed
Susceptible nonlinear
Susceptible linearized
0.6
0.4
0
10
20
30
40
50
60
1
Maximum population allowed
Infected nonlinear
Infected linearized
0.5
0
0
10
20
30
40
50
60
1
Maximum population allowed
Recovered nonlinear
Recovered linearized
0.5
0
0
10
20
30
time [days]
40
50
60
Figure 2: Condizioni iniziali: Disease–free ma lontano dall’equilibrio.
Nel secondo esempio le condizioni iniziali sono condizioni di assenza della
malattia ma con una popolazione di sani S(0) pari a metà della capacità
del villaggio. Anche in questo caso, essendo I(t) = 0, il movimento del
sistema non–lineare e dell’equivalente sistema linearizzato coincidono, come
da Figura 2.
Nel terzo esempio perturbiamo la popolazione introducendo un individuo
malato e osserviamo il diffondersi dell’epidemia in Figura 3.
Homework 1 Calcolare il movimento dello stato per il sistema linearizzato
di matrice A1 e A2 .
6
Population in thousands
1
Theoretical Equilibrium
Susceptible nonlinear
Susceptible linearized
0.5
0
0
10
20
30
40
50
60
5
Maximum population allowed
Infected nonlinear
Infected linearized
4
3
2
1
0
0
10
20
30
40
50
60
Maximum population allowed
Recovered nonlinear
Recovered linearized
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
time [days]
40
Figure 3: Virus outbreak con I(0) = 1
7
50
60
