2. Algebra degli enunciati

16/09/12 Prof. Emanuele Papo5o Algebra di BOOLE —  L’algebra di Boole è un sistema algebrico sviluppato a metà
dell’‘800 dal matematico e logico inglese George Boole, per
formalizzare la sillogistica aristotelica mediante una logica delle
classi. —  Essa fu interpretata dallo stesso autore anche come una struttura di
relazioni logiche tra proposizioni, mostrando così le affinità profonde
esistenti tra la logica e l’usuale algebra.
1 16/09/12 Algebra di BOOLE —  L’algebra di Boole è rimasta pressoché ignorata per oltre 80 anni,
cioè fino al 1937, quando lo scienziato americano Claude Elwood
Shannon propose per primo di applicarla all’analisi e alla sintesi di
circuiti a relè, che sono caratterizzati dai due stati di funzionamento
“aperto” e “chiuso”.
—  Da allora l’algebra di Boole viene impiegata per la progettazione dei
circuiti elettronici di tutti i computer.
Proposizioni e valori di verità —  In informaDca spesso si ricorre ai principi della logica degli enunciaD, una branca della matemaDca che studia l’algebra delle proposizioni che prende il nome di algebra booleana —  Quando esprimiamo il nostro pensiero, lo facciamo parlando, pronunciando dei discorsi. Ogni discorso, semplice o complesso, si compone di un insieme di frasi, le proposizioni: frase o espressione autonoma di senso compiuto formata almeno da un sogge5o e da un predicato. —  L’enunciato è una proposizione della quale si può dire con certezza se è vera o è falsa —  Sono esempi di proposizioni: — 
— 
— 
— 
il 25 dicembre è Natale la Sicilia è un’isola il numero 7 è divisibile per 2 Milano è una ci5à del Piemonte 2 16/09/12 Proposizioni e valori di verità —  La verità (V oppure 1) o la falsità (F oppure 0) di un enunciato sono de5e valori di verità. —  Un enunciato può essere o vero o falso, ma non entrambe le cose —  il 25 dicembre è Natale —  la Sicilia è un’isola —  il numero 7 è divisibile per 2 —  Milano è una ci5à del Piemonte La prima e la seconda sono proposizioni vere (V ), la terza e la quarta sono false (F ). EnunciaD semplici —  Noi ci occuperemo solo di proposizioni e gli argomenD tra5aD rientrano nello studio della logica a due valori (o binaria…0 1 sempre loro ;-­‐)) ) proprio perché, come vedremo, ogni proposizione sarà vera o falsa e il verificarsi di uno dei due casi esclude l’altro. —  Indicheremo le proposizioni con le5ere minuscole dell’alfabeto, per esempio: p, q, r, … 3 16/09/12 EnunciaD semplici —  per esempio: p: il 25 dicembre è Natale q: il numero 7 è divisibile per 2 —  Se una proposizione, come la p, è vera scriveremo: p=V —  se è falsa, come la q, scriveremo: q=F —  è possibile anche idenDficare il valore V con la cifra 1 e il valore F con la cifra 0; in tal modo, per le proposizioni precedenD potremo scrivere: p=1 q=0 EnunciaD composD —  Alcuni enunciaD posso essere composB, cioè formaD da so5oenunciaD collegaD tra loro dai conneCvi: Operazioni logiche ConneCvo logico ConneCvo Lingua italiana ConneCvo Lingua inglese Negazione ¬ non not Congiunzione ∧
e and Disgiunzione ∨
o Or Disgiunzione esclusiva xor O esclusivo xor 4 16/09/12 EnunciaD composD —  ecco alcuni esempi: piove e il mare è calmo non piove e il mare è calmo piove e il mare non è calmo non piove e il mare non è calmo piove o il mare è calmo EnunciaD composD —  Consideriamo ora una delle proposizioni precedenD: r = p and q r = piove e il mare è calmo —  Il problema che ci poniamo è stabilire quando r è vera o falsa, —  Per dare una risposta occorre: —  conoscere il valore di verità delle proposizioni semplici p, q —  conoscere il significato della parola “and” che collega p con q. 5 16/09/12 Tabella di verità and p
q
p and q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
La congiunzione di due proposizioni è vera solo quando le due proposizioni componenB sono entrambe vere E’ falsa in tud gli altri casi Tabella di verità and p
q
p and q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Si osservi che solo il primo enunciato p and q è VERO gli altri sono falsi p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=5 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=5 6 16/09/12 Tabella di verità or p
q
p or q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
La disgiunzione di due proposizioni è vera solo quando almeno una delle due proposizioni componenB è vera E’ falsa quando entrambe le proposizioni componenD sono false Tabella di verità or p
q
p or q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Si osservi che solo l’ulBmo enunciato p or q è FALSO gli altri sono veri p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=5 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=5 7 16/09/12 Tabella di verità not p
not p
V
F
F
V
Data una proposizione p, preme5endo il connedvo “not”, si odene : not p significa inverDre il valore di verità di p: se p è vera not p è falsa, se p è falsa not p è vera Esempio: p: “6 è divisibile per 3” ( p = V) not p: “6 non è divisibile per 3” (not p = F) Tabella di verità xor p
q
p xor q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
Si osservi che quando le proposizioni p xor q sono entrambe vere o false l’enunciato risulterà FALSO p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=5 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=5 8 16/09/12 Forme enunciaDve —  not (p and not q) —  Nella costruzione della tabella dobbiamo sempre tener presente: —  Nelle prime colonne me5ere tu5e le combinazioni dei valori che possono assumere le variabili —  Se ho n variabili: Righe della tabella = 2 n —  Ordine esecuzione operazioni: not, and, or p q not q p and not q not (p and not q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V not (p and not q) and (p or r) p q r not q p and not q not (p and not q) p or r not (p and not q) and (p or r) V V V F F V V V V V F F F V V V V F V V V F V F V F F V V F V F F V V F F V V V F V F F F V F F F F V V F V V V F F F V F V F F 9 16/09/12 Esercizi (p and q) or (p or q) (p or q) and r (p or q) and (p or z) not ( (p or q) and r) Proprietà dei connedvi logici —  Analogamente alle operazioni aritmeDche, anche i connedvi logici godono di alcune proprietà e precisamente: —  commutaBva: A AND B = B AND A A OR B = B OR A —  associaBva: A AND B AND C = (A AND B) AND C = A AND (B AND C) A OR B OR C = (A OR B) OR C = A OR (B AND C) 10 16/09/12 Proprietà dei connedvi logici —  idempotenza: A AND A =A A OR A =A —  distribuBva: dell'OR rispe5o all'AND (A AND B) OR C = (A OR C) AND (B OR C) dell'AND rispe5o all'OR (A OR B) AND C = (A AND C) OR (B AND C) —  doppia negazione (involuzione): NOT (NOT A) = A Proprietà dei connedvi logici —  Oltre alle proprietà appena enunciate che possono essere facilmente dimostrate uDlizzando le tavole di verità, rivestono grande importanza altre due proprietà meglio note come le leggi di De Morgan: Prima legge: NOT(A OR B)= (NOT A) AND (NOT B) Seconda legge: NOT (A AND B) = (NOT A) OR (NOT B) 11 16/09/12 Esercizio —  Verifica alcune proprietà dei connedvi logici creando le relaDve tavole di verità 12