16/09/12 Prof. Emanuele Papo5o Algebra di BOOLE L’algebra di Boole è un sistema algebrico sviluppato a metà
dell’‘800 dal matematico e logico inglese George Boole, per
formalizzare la sillogistica aristotelica mediante una logica delle
classi. Essa fu interpretata dallo stesso autore anche come una struttura di
relazioni logiche tra proposizioni, mostrando così le affinità profonde
esistenti tra la logica e l’usuale algebra.
1 16/09/12 Algebra di BOOLE L’algebra di Boole è rimasta pressoché ignorata per oltre 80 anni,
cioè fino al 1937, quando lo scienziato americano Claude Elwood
Shannon propose per primo di applicarla all’analisi e alla sintesi di
circuiti a relè, che sono caratterizzati dai due stati di funzionamento
“aperto” e “chiuso”.
Da allora l’algebra di Boole viene impiegata per la progettazione dei
circuiti elettronici di tutti i computer.
Proposizioni e valori di verità In informaDca spesso si ricorre ai principi della logica degli enunciaD, una branca della matemaDca che studia l’algebra delle proposizioni che prende il nome di algebra booleana Quando esprimiamo il nostro pensiero, lo facciamo parlando, pronunciando dei discorsi. Ogni discorso, semplice o complesso, si compone di un insieme di frasi, le proposizioni: frase o espressione autonoma di senso compiuto formata almeno da un sogge5o e da un predicato. L’enunciato è una proposizione della quale si può dire con certezza se è vera o è falsa Sono esempi di proposizioni:
il 25 dicembre è Natale la Sicilia è un’isola il numero 7 è divisibile per 2 Milano è una ci5à del Piemonte 2 16/09/12 Proposizioni e valori di verità La verità (V oppure 1) o la falsità (F oppure 0) di un enunciato sono de5e valori di verità. Un enunciato può essere o vero o falso, ma non entrambe le cose il 25 dicembre è Natale la Sicilia è un’isola il numero 7 è divisibile per 2 Milano è una ci5à del Piemonte La prima e la seconda sono proposizioni vere (V ), la terza e la quarta sono false (F ). EnunciaD semplici Noi ci occuperemo solo di proposizioni e gli argomenD tra5aD rientrano nello studio della logica a due valori (o binaria…0 1 sempre loro ;-­‐)) ) proprio perché, come vedremo, ogni proposizione sarà vera o falsa e il verificarsi di uno dei due casi esclude l’altro. Indicheremo le proposizioni con le5ere minuscole dell’alfabeto, per esempio: p, q, r, … 3 16/09/12 EnunciaD semplici per esempio: p: il 25 dicembre è Natale q: il numero 7 è divisibile per 2 Se una proposizione, come la p, è vera scriveremo: p=V se è falsa, come la q, scriveremo: q=F è possibile anche idenDficare il valore V con la cifra 1 e il valore F con la cifra 0; in tal modo, per le proposizioni precedenD potremo scrivere: p=1 q=0 EnunciaD composD Alcuni enunciaD posso essere composB, cioè formaD da so5oenunciaD collegaD tra loro dai conneCvi: Operazioni logiche ConneCvo logico ConneCvo Lingua italiana ConneCvo Lingua inglese Negazione ¬ non not Congiunzione ∧
e and Disgiunzione ∨
o Or Disgiunzione esclusiva xor O esclusivo xor 4 16/09/12 EnunciaD composD ecco alcuni esempi: piove e il mare è calmo non piove e il mare è calmo piove e il mare non è calmo non piove e il mare non è calmo piove o il mare è calmo EnunciaD composD Consideriamo ora una delle proposizioni precedenD: r = p and q r = piove e il mare è calmo Il problema che ci poniamo è stabilire quando r è vera o falsa, Per dare una risposta occorre: conoscere il valore di verità delle proposizioni semplici p, q conoscere il significato della parola “and” che collega p con q. 5 16/09/12 Tabella di verità and p
q
p and q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
La congiunzione di due proposizioni è vera solo quando le due proposizioni componenB sono entrambe vere E’ falsa in tud gli altri casi Tabella di verità and p
q
p and q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Si osservi che solo il primo enunciato p and q è VERO gli altri sono falsi p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=5 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=5 6 16/09/12 Tabella di verità or p
q
p or q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
La disgiunzione di due proposizioni è vera solo quando almeno una delle due proposizioni componenB è vera E’ falsa quando entrambe le proposizioni componenD sono false Tabella di verità or p
q
p or q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Si osservi che solo l’ulBmo enunciato p or q è FALSO gli altri sono veri p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=5 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=5 7 16/09/12 Tabella di verità not p
not p
V
F
F
V
Data una proposizione p, preme5endo il connedvo “not”, si odene : not p significa inverDre il valore di verità di p: se p è vera not p è falsa, se p è falsa not p è vera Esempio: p: “6 è divisibile per 3” ( p = V) not p: “6 non è divisibile per 3” (not p = F) Tabella di verità xor p
q
p xor q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
Si osservi che quando le proposizioni p xor q sono entrambe vere o false l’enunciato risulterà FALSO p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 2 q= 2+2=5 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=4 p= 14 è divisibile per 3 q= 2+2=5 8 16/09/12 Forme enunciaDve not (p and not q) Nella costruzione della tabella dobbiamo sempre tener presente: Nelle prime colonne me5ere tu5e le combinazioni dei valori che possono assumere le variabili Se ho n variabili: Righe della tabella = 2 n Ordine esecuzione operazioni: not, and, or p q not q p and not q not (p and not q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V not (p and not q) and (p or r) p q r not q p and not q not (p and not q) p or r not (p and not q) and (p or r) V V V F F V V V V V F F F V V V V F V V V F V F V F F V V F V F F V V F F V V V F V F F F V F F F F V V F V V V F F F V F V F F 9 16/09/12 Esercizi (p and q) or (p or q) (p or q) and r (p or q) and (p or z) not ( (p or q) and r) Proprietà dei connedvi logici Analogamente alle operazioni aritmeDche, anche i connedvi logici godono di alcune proprietà e precisamente: commutaBva: A AND B = B AND A A OR B = B OR A associaBva: A AND B AND C = (A AND B) AND C = A AND (B AND C) A OR B OR C = (A OR B) OR C = A OR (B AND C) 10 16/09/12 Proprietà dei connedvi logici idempotenza: A AND A =A A OR A =A distribuBva: dell'OR rispe5o all'AND (A AND B) OR C = (A OR C) AND (B OR C) dell'AND rispe5o all'OR (A OR B) AND C = (A AND C) OR (B AND C) doppia negazione (involuzione): NOT (NOT A) = A Proprietà dei connedvi logici Oltre alle proprietà appena enunciate che possono essere facilmente dimostrate uDlizzando le tavole di verità, rivestono grande importanza altre due proprietà meglio note come le leggi di De Morgan: Prima legge: NOT(A OR B)= (NOT A) AND (NOT B) Seconda legge: NOT (A AND B) = (NOT A) OR (NOT B) 11 16/09/12 Esercizio Verifica alcune proprietà dei connedvi logici creando le relaDve tavole di verità 12
