NOZIONI DI LOGICA
PROPOSIZIONI.
Una proposizione è un’affermazione che è vera o falsa, ma non può essere
contemporaneamente vera e falsa.
ESEMPI
Sono proposizioni :
7 è maggiore di 2
Londra è la capitale della Francia
Un triangolo ha 5 lati
Non sono proposizioni :
Che tempo fa ?
Apri quella porta
Che bella festa!
Poiché ogni proposizione può essere solo vera o falsa , è possibile
associare ad ogni proposizione un valore di verità : vero o falso e si
denota rispettivamente con V o F o anche rispettivamente con 1 o 0 .
Se una proposizione è vera diremo che ha valore di verità V oppure 1 ,se è
falsa diremo che ha valore di verità F oppure 0 .
Ogni proposizione ha quindi un valore di verità.
Le proposizioni si denoteranno con le lettere minuscole dell’alfabeto
latino, quali a,b,c,….
La logica delle proposizioni descrive come si possono combinare tra loro
proposizioni in modo da ottenere altre proposizioni .
1
TAVOLE DI VERITA’
Data la proposizione a si può ottenere
La proposizione non a, detta la negazione di a .
In simboli : a
a
è vera quando a è falsa
a
è falsa quando a è vera.
I valori di verità di
verità
a
sono quindi descritti dalla seguente tavola di
a
a
V
F
F
V
ESEMPIO
a : Bari è una città
a : Bari non è una città
a : Oggi non abbiamo seguito le lezioni
a : Oggi abbiamo seguito le lezioni
2
Date due proposizioni a e b si possono ottenere :
La proposizione a e b detta la congiunzione di a e b .
In simboli : a b
a b è vera se e solo se a è vera e b è vera .
I valori di verità di a b sono quindi descritti dalla seguente tavola di
verità
a
V
V
F
F
b
V
F
V
F
ab
V
F
F
F
ESEMPI
a : 12 è divisibile per 3
b : 12 è divisibile per 2
a b : 12 è divisibile per 3 e per 2
(V)
(V)
(V)
a : 24 è multiplo di 6
b : 24 è multiplo di 7
(V)
(F)
a b : 24 è multiplo di 6 e 7
( F)
3
ESERCIZIO
a : 3 è multiplo di 5
b : 8 è multiplo di 2
a b : ?
a : 3 è multiplo di 7
b : 25 è divisibile per 2
a b : ?
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4
La proposizione a o b ,detta la disgiunzione di a e b
In simboli : a b.
a
b è vera se e solo se almeno una delle due proposizioni è vera.
I valori di verità di a
verità
b sono allora descritti dalla seguente tavola di
a
V
V
F
F
b
V
F
V
F
a b
V
V
V
F
ESEMPI
a
a : 7 -4 = 3
b : Bari è il capoluogo della Puglia
(V)
(V)
b : 7 - 4 = 3 o Bari è il capoluogo della Puglia
(V)
a : Firenze è una città
b : l’Arno è un lago
a b : Firenze è una città o l’Arno è un lago
(V)
(F)
(V)
OSSERVAZIONE
La ‘’ o ‘’ di ‘’ a o b ‘’ è intesa in senso inclusivo ( a è vero oppure b è
vero oppure a e b sono entrambe vere ) e non in senso esclusivo (a è
vera oppure b è vera, ma non sono entrambe vere) .
5
ESERCIZIO
a
a : 5 -4 = 8
b : Bari è una città
( )
( )
b: ?
( )
a : Bari è un lago
b : 4x2=9
a b: ?
( )
( )
( )
6
La proposizione se a allora b o anche a implica b ,detta implicazione.
In simboli : a b
a b è falsa se e solo se a è vera e b è falsa, in tutti gli altri casi a b è
vera
I valori di verità di a
verità.
b sono quindi descritti dalla seguente tavola di
a
V
V
F
F
b
V
F
V
F
a b
V
F
V
V
ESEMPI
a : 12 è un numero divisibile per 6
b : 12 è un numero divisibile per 3
a
b : se 12 è un numero divisibile per 6 allora è un numero
divisibile per 3
(V)
a : l’uomo è un elefante
b : 11 è un numero primo
a
(V)
(V)
(F)
(V)
b : se l’uomo è un elefante allora 11 è un numero primo ( V)
OSSERVAZIONE
La nozione di implicazione a b si discosta dal significato usuale che si
dà all’implicazione che esprime normalmente una correlazione di tipo
causa-effetto tra a e b .
7
ESERCIZIO
a : 10 + 2 = 12
b : ogni cane ha le ali
a
b: ?
a : 11 - 4 = 8
b : 5+3=9
a
b:
?
( )
( )
( )
( )
( )
( )
8
La proposizione : a se e solo se b
o anche
condizione necessaria e sufficiente affinché a è anche b,
detta doppia implicazione.
In simboli a b
a b è vera se e solo se a e b hanno lo stesso valore di verità .
I valori di verità di a
verità.
a
V
V
F
F
b sono allora descritti dalla seguente tavola di
b
V
F
V
F
a b
V
F
F
V
.
ESEMPI
a : Verdi è un compositore italiano
b : 22 = 4
a b : Verdi è un compositore italiano se e solo
se 2 2 = 4
a : il merluzzo è un mammifero
b : 4 è un numero dispari
a
b : il merluzzo è un mammifero se e solo se 4 è un
numero dispari
(V)
(V)
(V)
(F)
(F)
(V)
9
OSSERVAZIONE
Anche la doppia implicazione si discosta dal significato usuale di
se e solo se.
ESERCIZIO
a : 3–2=1
b : Il Mediterraneo è un deserto
a b : ?
a : ( 22 )3 = 25
b : ( 22 - 1 )2 = 9
a
b: ?
( )
( )
( )
( )
( )
( )
10
CONNETTIVI LOGICI
I simboli
, , ,,
sono detti connettivi logici
A partire da proposizioni molto semplici è possibile, utilizzando i
connettivi logici , ottenere proposizioni composte sempre più complesse
Il valore di verità di tali proposizioni è univocamente determinato
dalle tavole di verità una volta che si sia stabilito il valore di verità
delle singole proposizioni di cui sono composte.
, viene posto prima di una proposizione.
,, ,
, sono posti tra due proposizioni.
11
FORMULE
Si considerino ‘’n’’ simboli a 1 ,…, a n , detti variabili proposizionali
Si dicono formule o forme proposizionali ( nelle variabili a 1 ,…, a n ) le
espressioni definite da
1. a 1 ,…, a n sono formule
2. se a e b sono formule allora:
a
a
b
b
a
a b
a b
sono formule
3. sono formule (nelle variabili a 1 ,…, a n ) solo le espressioni
ottenute tramite le 1 e 2
ESEMPIO
a , b variabili
a b
(a b)
a b ( (a
b ))
è una formula
è una formula
è una formula
Per semplificare la scrittura:
Si eliminano le parentesi più esterne
L’ordine in cui si considerano i connettivi logici è il seguente:
prima la negazione , poi e , infine e .
12
ESEMPIO
(( a
b)
((
b)
(
a)
b)
b))
si scrive
(a
a
Per ogni forma proposizionale nelle variabili a 1 ,…, a n si può costruire una
tavola di verità
ESEMPIO
a b c
Le variabili sono a , b , c .
Le righe della sua tavola di verità sono 23 = 8
a
V
V
V
V
F
F
F
F
b
V
V
F
F
V
V
F
F
c
V
F
V
F
V
F
V
F
a b
V
V
V
V
V
V
F
F
a bc
V
F
V
F
V
F
V
V
OSSERVAZIONE
La tavola di verità di una formula in ‘’n’’ variabili ha 2n righe.
13
TAUTOLOGIE
E CONTRADDIZIONI
Una formula nelle variabili a 1 , …,a n che sia sempre vera qualunque siano
i valori di verità assegnati ad a 1 , …,a n si dice tautologia.
ESEMPIO
La formula a
(a
a
V
V
F
F
b)
b
V
F
V
F
b è una tautologia
a
b
a (a b)
V
F
F
F
V
F
V
V
a (a b)
V
V
V
V
b
Una formula nelle variabili a 1 , …,a n che sia sempre falsa qualunque siano
i valori di verità assegnati ad a 1 , …,a n si dice contraddizione.
ESEMPIO
La formula a
a è una contraddizione
a
V
F
a
F
V
a
a
F
F
OSSERVAZIONE
a è una contraddizione se e solo se a è una tautologia .
14
ESERCIZI
Siano a e b variabili proposizionali.
Si verifichi che sono tautologie le seguenti:
a b a b ;
a (b a b);
a a b;
15
CONSEGUENZA LOGICA
Siano a e b due formule della logica proposizionale.
Si dice che b è conseguenza logica di a, se b è vera ogni volta che a è vera
e si scrive:
a b.
Più in generale:
Siano a 1 ,…,a n e b formule .
Si dice che b è conseguenza logica di a 1 ,…,a n , se b è vera ogni volta che
a 1 ,…,a n sono vere e si scrive
a 1 ,…,a n b .
ESEMPIO
a , b , a b sono formule.
La formula b è conseguenza logica di a , a b ossia
a , a b b
Infatti : dalla tavola di verità di a b si vede che nell’unico caso in cui
a ed a b sono entrambe vere, il che corrisponde solo alla prima riga,
anche b è vero .
a
V
V
F
F
b
V
F
V
F
a b
V
F
V
V
16
ESEMPIO
a , b , a b sono formule.
La formula a non è conseguenza logica di b , a
b, a b a
b ossia non è vero che
Infatti : dalla tavola di verità di a b si vede che b ed a b sono
entrambe vere sia in corrispondenza della prima riga. sia in corrispondenza
della terza riga.
Ma mentre in corrispondenza della prima riga anche a è vera , in
corrispondenza della terza riga a è falsa.
a
V
V
F
F
b
V
F
V
F
a b
V
F
V
V
Siano a e b due formule
Si dice che a e b sono semanticamente equivalenti se hanno gli stessi
valori di verità, cioè se hanno le stesse tavole di verità e si scrive
a b.
Quindi se a e b sono semanticamente equivalenti si ha:
a è vera se e solo se b è vera ;
a è falsa se e solo se b è falsa.
17
ESEMPIO
Date le formule a e b, sono semanticamente equivalenti le formule :
a b e a b
Infatti : la tavola di verità di a b è
a
V
V
F
F
La tavola di verità di
a
V
V
F
F
a
b
V
F
V
F
a b
V
F
V
V
bè
b
V
F
V
F
a
F
F
V
V
a b
V
F
V
V
ESERCIZIO
Verificare che se a e b sono formule , allora sono semanticamente
equivalenti le formule
b a
( a b ).
a b ;
;
18
L’equivalenza semantica delle formule
a b ;
;
b a
( a b )
si collega a tre diversi modi in cui è possibile dimostrare una implicazione.
Per dimostrare che
da
a segue b
si può procedere con una :
dimostrazione diretta
si assume vero a e si deduce la verità di b;
dimostrazione indiretta o per contrapposizione
da b segue a;
dimostrazione per assurdo
si suppone a b e si giunge ad una contrapposizione e ciò
equivale a provare ( a b ).
19
FUNZIONI PROPOSIZIONALI o PREDICATI
In matematica sono necessarie oltre alle proposizioni anche le funzioni
proposizionali o predicati.
Sia D un insieme detto dominio.
Una funzione proposizionale su D è un’espressione P(x) tale che P(x) sia
una proposizione quando al posto della variabile individuale x si
sostituisce un arbitrario elemento a D, ossia, per ogni a D, si ha che P(a)
è vera o P(a) è falsa
Se si considera :
a :
Antonio è alto 1.60,
a è una proposizione.
Chi conosce Antonio sa se a è vera o se a è falsa.
Se si considera:
P ( x ) : x è alto 1.60 ( dove x varia nell’insieme di tutti gli uomini )
P(x) è una funzione proposizionale.
P ( x ) è vera se x varia nell’insieme di tutti gli uomini alti 1.60.
P ( x ) è falsa se x non varia nell’insieme di tutti gli uomini alti 1.60.
In generale:
Se D1 , D2 ,…,Dn sono n insiemi una funzione proposizionale ( in n
variabili) su D1 x D2 x…x Dn è un’espressione P(x1 , x2 ,…,xn ) tale che
P(a1 , a2 ,…,an ) è una proposizione, per ogni (a1 , a2 ,…,an ) elemento di
D1 x D2 x…x Dn .
20
ESEMPI
1. x è minore di 3 e maggiore di -3 ( dove x varia in R );
è una funzione proposizionale nella variabile x ed il dominio è R:
2. y = 2x ( dove x e y variano in Z );
è una funzione proposizionale nelle variabili x ed y su Z x Z.
21
QUANTIFICATORI
Un predicato P(x1 , x2 ,…,xn ) non è né vero né falso , ma diventa vero o
falso, cioè diventa una proposizione, se si vincolano le variabili .
Le variabili si vincolano se:
Si sostituiscono le variabili x1 , x2 ,…,xn con dei valori particolari.
ESEMPIO
P( x ) : x è un numero pari ( x varia in N )
P( 4 ) è vera
P( 11 ) è falsa
Quantificando le variabili
Sia P ( x ) un predicato con x variabile nel domino D. Si possono
avere enunciati del tipo :
1. per ogni x in D, la proposizione P ( x ) è vera.
In simboli
P(x)
x
si legge per ogni
è detto quantificatore universale
ESEMPIO
Per ogni numero intero x , x è maggiore di x-1.
22
2. esiste almeno un x in D per cui la proposizione P( x ) è vera.
In simboli
x
P(x)
si legge esiste
è detto quantificatore esistenziale.
ESEMPIO
Esiste almeno un numero intero pari minore di 20 divisibile
per 4.
La negazione di :
x
( x
x
ossia:
è:
P(x)
P(x))
P(x)
ESEMPIO
P(x) : un cane è nero.
ogni cane è nero :
in simboli x
P(x)
Ha come negazione : in simboli x P ( x )
che si legge :
esiste almeno un cane che non è nero.
Quindi per ogni funzione proposizionale P(x) su D le proposizioni :
( x P ( x ) )
e x P ( x ),
sono equivalenti.
Analogamente sono equivalenti le proposizioni:
( x P ( x ) ) e
x P ( x ).
23
ESEMPIO
P(x , y) : x + y è un numero pari.
Allora:
per ogni x esiste y tale che x + y non è pari
ossia in simboli
x
y
P(x,y)
è equivalente a
non esiste x tale che per ogni y , x + y è pari
ossia in simboli
( x y
P(x,y))
24
LINGUAGGIO
Un linguaggio del primo ordine L con identità è formato da
Le variabili individuali x 1 ,…, x n ,…
I connettivi logici ,, , ,
Il simbolo di uguaglianza =
I quantificatori ,
I simboli ausiliari ( , ) e ;
I simboli predicativi
I simboli funzionali
Le costanti individuali .
* simboli predicativi sono quelli che denotano le relazioni
* simboli funzionali sono quelli che denotano le applicazioni e le
operazioni
* le costanti individuali sono quelle che denotano particolari elementi
Si dicono simboli logici le variabili individuali , i connettivi logici , il
simbolo di uguaglianza e i quantificatori .
In ogni linguaggio si trovano sia i simboli logici sia i simboli
ausiliari.
I simboli funzionali, i simboli predicativi e le costanti individuali
dipendono dal linguaggio che si sta considerando.
25
