IL TRATTAMENTO DEL RISCHIO
NELL’ANALISI DEGLI INVESTIMENTI
IN BENI STRUMENTALI
Testo di riferimento:
Analisi finanziaria (a cura di E. Pavarani) McGraw-Hill 2001
cap. 11 (dottor Alberto Lanzavecchia)
Indice
n
Introduzione
n
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
n
Dominanza stocastica
n
Analisi di sensibilità (sensitivity analysis)
n
Analisi di scenario con simulazione Montecarlo
n
Albero delle decisioni (decision tree analysis)
n
Opzioni reali
2
Perché un capitolo a parte per il trattamento del
rischio?
n
Qualsiasi investimento di impresa può trovare una
rappresentazione finanziaria ed economica di sintesi nell’ambito
dei criteri tradizionali o finanziari esaminati in precedenza.
n
Tuttavia, le imprese che effettuano investimenti complessi
(caratterizzati da elevato capitale investito ed elevata incertezza
sui flussi di cassa futuri) sentono il bisogno di rettificare o
integrare le analisi tradizionali con nuovi dati e informazioni.
n
In quest’ambito e con questa finalità verranno proposti diversi
metodi per il trattamento del rischio nell’analisi degli investimenti
industriali.
3
Che cosa è il rischio nell’analisi degli
investimenti?
n
Incertezza e rischio sono spesso usati come sinonimi, ma il
rischio nasce perché il payout non è identificabile con certezza.
Si ricorre così alla probabilità che diversi scenari si manifestino
n
L’incertezza agisce invece sull’impossibilità di attribuire una
probabilità allo scenario.
n
Ai fini pratici, potremmo dire che “incertezza significa che
possono accadere più cose di quante in realtà succederanno”.
n
L’incertezza verrà trattata come variabilità dei risultati, agendo
direttamente sui flussi di cassa, quindi sul valore attuale netto
atteso che rappresenta sempre il metodo di analisi più completo
4
n
Introduzione
n
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
n
Dominanza stocastica
n
Analisi di sensibilità (sensitivity analysis)
n
Analisi di scenario con simulazione Montecarlo
n
Albero delle decisioni (decision tree analysis)
n
Opzioni reali
5
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Una prima informazione in più dalla statistica
n
n
n
n
Un primo approccio è ricorrere a due misure fondamentali della
statistica descrittiva: la media e la deviazione standard.
Associando ad ogni scenario un certo livello di probabilità che
questo si manifesti è possibile calcolare un rendimento medio
atteso e una sua deviazione standard.
Maggiore è la dispersione dal valor medio atteso, maggiore è il
rischio dell’attività.
La “qualità” del rendimento, intesa come scostamento dei
rendimenti rispetto al valor medio è l’informazione in più nelle
mani del decisore.
6
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
I tre ingredienti base
n
Le tre misure “prese in prestito” dalla statistica descrittiva:
n
la media (o tasso di rendimento atteso);
n
la varianza;
n
lo scarto quadratico medio (o deviazione standard).
7
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Il primo passo: i dati necessari
n
n
Attribuzione di probabilità ai diversi scenari
2 fattori fondamentali:
n
disponibilità di dati oggettivi relativi al verificarsi di eventi
che condizionano il manifestarsi degli scenari previsti;
n
volontà o capacità del decisore di utilizzare i dati.
8
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Il secondo passo: la distribuzione di probabilità
Esempio
Distribuzione di probabilità dei flussi di cassa relativi al progetto X
Probabilità
0.10
0.05
0.20
0.55
0.10
Valori in L. al 1° anno (1)
101
103
105
107
110
Tasso di rendimento (2)
0.01
0.03
0.05
0.07
0.10
(1) Si assume un investimento pari a 100 all’anno zero
(2) Calcolato come: (Valore dopo 1 anno - 100) / 100
9
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Il rendimento medio atteso - definizione
R = ∑ s =1 Ps × Rxs
n
dove:
n
n
n
n
n
R= rendimento atteso netto;
s= scenario;
n= numero complessivo di scenari previsti;
Ps= probabilità associata a ciascuno scenario;
Rxs= tasso di rendimento del progetto X al verificarsi dello
scenario s.
10
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Il rendimento medio atteso - significato
n
Il tasso di rendimento atteso è una misura della tendenza
centrale dei diversi valori che si prevede il progetto possa
assumere.
n
La formula del tasso di rendimento atteso rappresenta la media
ponderata dei diversi rendimenti che si ritiene il progetto possa
generare; il fattore di ponderazione è in tal caso costituito dalle
probabilità del verificarsi dei diversi scenari.
Sulla base dei dati di TABELLA si ha:
0,10 (0,01) + 0,05 (0,.03) + 0,20 (0,05) + 0,55 (0,07) + 0,10 (0,10) =
= 0,001 + 0,0015 + 0,01 + 0,0385 + 0,01 = 0,0610
Il rendimento medio atteso per il progetto X è pari al 6,1%
11
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
La varianza
n
n
La varianza può essere calcolata sia sui rendimenti attesi da un
progetto sia sui valori storicamente osservati.
Nel caso dei rendimenti prospettici (come in tab. a pagina 9):
n
σ = ∑ Ps × ( Rxs − R' x) 2
2
x
S =1
dove:
n σ 2x = varianza dei rendimenti dell’investimento X
n S = scenario
n N = numero complessivo degli scenari
n Ps = probabilità associata al verificarsi dello scenario s
n Rxs = tasso di rendimento del progetto x al verificarsi dello
scenario s
n R’x = tasso di rendimento atteso del progetto X
12
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
La deviazione standard
Definizione:
n
La deviazione standard è la radice quadrata della varianza ed
ha il pregio di esprimere la rischiosità del progetto nella stessa
unità di misura in cui sono espressi i valori attesi o osservati e la
loro media.
13
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Il coefficiente di variazione
n
Si tratta di un altro indicatore di rischiosità, ottenuto mettendo a
rapporto la deviazione standard ed il rendimento atteso da un
investimento.
σx
CV x =
Rx
n
n
Il coefficiente esprime l’ammontare di rischio per unità di
rendimento.
L’indicatore è utile nel caso in cui il decisore debba scegliere tra
progetti alternativi che presentano misure di rendimento atteso e
di deviazione standard tra loro molto diverse.
14
n
Introduzione
n
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
n
Dominanza stocastica
n
Analisi di sensibilità (sensitivity analysis)
n
Analisi di scenario con simulazione Montecarlo
n
Albero delle decisioni (decision tree analysis)
n
Opzioni reali
15
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Dominanza stocastica
n
Se dovessimo scegliere fra due investimenti caratterizzati da un
diverso valore attuale netto in relazione alla probabilità che si
realizzi, sceglieremmo quello non solo con il Van più alto, ma
anche con la probabilità più elevata che ciò avvenga.
n
Si dice che esiste dominanza stocastica dell’attività x, con una
funzione cumulativa di probabilità Fx(W) sull’attività y, con una
funzione cumulativa di probabilità Gy(W), se per qualsiasi valore
dell’attività x:
Fx(W) = Gy(W) per ogni W (dominanza stocastica di primo grado)
16
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Dominanza stocastica
n
Graficamente, se la funzione cumulativa di probabilità (definita
sul livello di utilità W) dell’attività y sta sempre a sinistra della
funzione cumulativa di probabilità dell’attività x, si dice che x
domina stocasticamente y.
f(W)
g y(W)
fx(W)
W
F(W)
1,0
Fy(W)
Gy(W)
µy
µx
W
17
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Dominanza stocastica
Esempio
VAN Y
100
120
140
160
180
200
Probabilità
0,10
0,10
0,15
0,25
0,25
0,15
FCP
0,10
0,20
0,35
0,60
0,85
1,00
VAN X
100
120
140
160
180
200
Probabilità
0,00
0,05
0,15
0,25
0,35
0,20
FCP
0,00
0,05
0,20
0,45
0,80
1,00
Funzione
cumulativa di
probabilità
Graficamente…
1,00
0,80
Il progetto X, domina
stocasticamente il progetto Y: la
curva del progetto X sta sempre
sotto (a destra) rispetto al progetto
Y.
FCP
0,60
Attività Y
Attività X
0,40
0,20
0,00
100
120
140
160
VAN
180
200
18
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Dominanza stocastica, come scegliere?
n
Quale dei due progetti deve essere intrapreso?
Ø
Il progetto X perché, per ogni livello di Van, ha una più bassa
probabilità che si manifestino valori inferiori a quel valore
atteso.
n
Il progetto Y ha il 20% di probabilità di presentare valori inferiori
a 120, rispetto al 5% del progetto X; il progetto Y ha il 35% di
probabilità di presentare valori inferiori a 140, contro il 20% del
progetto X, e così via…
In altri termini, per qualsiasi livello di
Van, il progetto X offre una probabilità
maggiore che ciò avvenga.
19
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Un caso più complicato (ma più veritiero)
Esempio
1,00
0,80
0,60
FCP
Il confronto tra le due aree non
sempre è di immediata soluzione:
occorre procedere al calcolo
integrale.
0,40
Attività H
Attività K
0,20
Area K
0,00
100
120
140
160
180
200
VAN
n
Il progetto K domina il progetto H se:
VANi
∫G
H
(Van ) d (Van) ≥ G K (Van ) d (Van)
0
20
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
L’interpretazione dei risultati
n
n
n
n
Dall’esempio precedente, l’Area K identifica dove il progetto k
domina stocasticamente h, secondo la nuova definizione.
Per contro, l’area in alto a destra individua dove il progetto h
domina stocasticamente il progetto k.
Si noti che il progetto k “lavora meglio” in circa il 70% dei casi,
ma il progetto A è migliore negli scenari più ottimistici.
Infatti, le due aree potrebbero anche essere viste come la
resistenza del progetto ad offrire Van superiori in casi
pessimistici (Area K) rispetto al peso attribuito al progetto H di
offrire rendimenti migliori, ma in casi ottimistici.
21
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
In conclusione…
n
Il criterio della dominanza stocastica bene unisce il concetto di
probabilità e valore atteso, fornendo inoltre una rappresentazione
grafica non di poco conto (spesso self explaining), rispetto
all’esposizione di un semplice numero.
n
Permane tuttavia l’ambito soggettivo di attribuzione delle
probabilità ai diversi scenari che determinano il valore attuale
netto dei progetti.
22
n
Introduzione
n
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
n
Dominanza stocastica
n
Analisi di sensibilità (sensitivity analysis)
n
Analisi di scenario con simulazione Montecarlo
n
Albero delle decisioni (decision tree analysis)
n
Opzioni reali
23
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Il metodo più usato: l’analisi di sensibilità
n
n
Questo metodo quantifica gli effetti indotti sui flussi di cassa da
variazioni nei parametri di input, quindi sull’esito finale del
progetto calcolato mediante il Van.
Occorre individuare prima le variabili critiche da cui scaturiscono
le previsioni sui flussi di cassa (i driver del progetto).
Successivamente ipotizzare almeno tre scenari alternativi: uno
atteso, uno ottimistico ed uno pessimistico.
L’analisi di sensitività vuole fornire al
decisore elementi di analisi su che cosa
succede se (“what if”) alcuni parametri si
discostano dal caso base.
24
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Prima di tutto, individuare i driver del progetto
Esempio
Scenario pessimistico
Scenario atteso
Scenario ottimistico
Driver del progetto
Best, optimistic, pessimistic scenario
25
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Calcolare il Van, al variare dei driver
n
n
L’analisi di sensibilità mira ad individuare l’effetto indotto dal
variare del parametro di input sul risultato finale.
L’esito dell’analisi è riassumibile in quanto segue:
Van e Scenario
Variabile
Dimensione mercato
Quota di mercato
Prezzo medio unitario
Costi variabili
Costi fissi
Investimenti
Congiuntamente
Pessimistico Atteso Ottimistico
1.003
-157
412
1.549
1.549
1.707
-2.109
1.776
1.776
1.776
1.776
1.776
1.776
1.776
3.323
3.710
2.231
1.958
2.004
1.916
6.965
26
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
Apprezzare la sensibilità di alcuni driver sul
risultato finale
n
La sensibilità di ciascun parametro è apprezzabile mediante il
confronto fra le variazioni percentuali delle variabili e la
variazione percentuale del Van:
Pessimistico
Variabile
Dimensione mercato
Quota di mercato
Prezzo medio unitario
Costi variabili
Costi fissi
Investimenti
Congiuntamente
Delta Van
-44%
-109%
-77%
-13%
-13%
-4%
-219%
Ottimistico
Delta variabile Delta Van Delta variabile
-10%
-25%
-15%
17%
6%
3%
87%
109%
26%
10%
13%
8%
292%
20%
25%
5%
-13%
-6%
-7%
27
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
I pregi di questo metodo
n
Consente al manager di condurre un’analisi più approfondita
sulle determinanti dei flussi di cassa e valutare il progetto non
come una scatola chiusa, ovvero: migliora la consapevolezza
del rischio di business e dell’ambiente competitivo.
n
Consente di esprimere, pur nell’ambito della soggettività e della
semplificazione, il probabile andamento del progetto, quindi a
ridurre l’incertezza sul suo esito.
n
Tuttavia, proprio da quest’ultimo aspetto nascono i principali
aspetti negativi…
28
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
I difetti di questo metodo
n
n
n
n
Necessita l’identificazione dei fattori di rischio (driver dei flussi di
cassa o del valore attuale netto) e l’ampiezza delle loro
oscillazioni. Anche laddove il primo requisito venga superato,
assai spesso permane la difficoltà nel superare il secondo.
L’analisi separata delle variabili esclude che vi sia fra di loro una
correlazione o che si possano manifestare congiuntamente gli
scenari previsti sulle singole variabili.
Non viene considerata la probabilità che gli scenari si
manifestino.
La determinazione del valore assunto dal parametro nello
scenario ipotizzato è soggettiva.
29
n
Introduzione
n
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
n
Dominanza stocastica
n
Analisi di sensibilità (sensitivity analysis)
n
Analisi di scenario con simulazione Montecarlo
n
Albero delle decisioni (decision tree analysis)
n
Opzioni reali
30
La simulazione Montecarlo
Affidare al computer gli infiniti scenari possibili
n
n
n
L’analisi di sensibilità non consente di muovere tutti i parametri
contemporaneamente.
Anche volendo procedere sistematicamente su ogni variabile, gli
scenari sono tendenzialmente infiniti.
La Simulazione Montecarlo non è altro un metodo che permette
di prendere in considerazione tutte le combinazioni possibili e di
tracciare una distribuzione di frequenza dei Van generati.
31
La simulazione Montecarlo
Come procedere?
n
n
n
n
n
n
La Simulazione Montecarlo necessita di assunzioni sulla
funzione di distribuzione del fenomeno osservato e
l’esplicitazione delle relazioni fra le variabili coinvolte.
Passi logici da seguire:
Definizione delle variabili rilevanti
Definizione del risultato a cui si intende pervenire
Attribuzione della funzione di distribuzione di probabilità e
range della variabile (definite al punto 1)
Lancio della simulazione
32
La simulazione Montecarlo
L’esito della simulazione
n
Graficamente, il risultato è simile alla seguente figura:
n
E’ possibile quantificare il valore medio atteso dalla
simulazione e il valore atteso ad ogni intervallo di confidenza.
33
La simulazione Montecarlo
Pregi e difetti
Pregi
Aiuta a comprendere meglio le origini del rischio del progetto e
come le variabili, considerate congiuntamente, influenzano
l’esito finale.
n
Difetti
n
n
n
n
n
E’ difficile stabilire una relazione fra le variabili. Ad esempio:
legame tra quota di mercato e prezzo di vendita (notorietà del
marchio, qualità percepita dal cliente, ecc.);
legame tra dimensione del mercato (domanda) e prezzi;
legame tra spese variabili (pubblicità) e la domanda e/o il
prezzo, e così via.
Nella Simulazione Montecarlo tutto questo è affidato al caso:
negli n scenari previsti, si sono verificati anche quegli scenari
che avremmo costruito legando fra loro le variabili.
34
Vero, ma non abbiamo scartato quelli sbagliati!
n
Introduzione
n
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
n
Dominanza stocastica
n
Analisi di sensibilità (sensitivity analysis)
n
Analisi di scenario con simulazione Montecarlo
n
Albero delle decisioni (decision tree analysis)
n
Opzioni reali
35
L’albero delle decisioni
Quale utilità in più rispetto al Van?
n
Il metodo del Van incontra alcuni limiti quando:
n
l’investimento è scomponibile in fasi distinte, ognuna oggetto di
analisi finanziaria;
la continuazione del progetto dipende dal verificarsi di eventi
esterni;
ogni fase è incerta con riferimento alla manifestazione dei flussi
di cassa
n
n
Il modello di analisi dell’albero delle decisioni valuta l’impatto di
ogni nodo decisionale sia come una scelta di investimento a sé
stante sia con riferimento agli effetti che questa produce sul
progetto nel suo complesso.
36
L’albero delle decisioni
Come procedere?
Nel modello di analisi dell’albero delle decisioni i rami
rappresentano il valore di ogni scelta, i nodi le singole decisioni
di investimento intermedie. In aggiunta, ad ogni passo
successivo è associato un livello di probabilità che questo si
manifesti:
Investire
VAN 1,
probabilità
Ott
im
isti
co
Ott
im
isti
co
n
Uscita di
cassa
Investire
Non
investire
Fase 1
VAN 2,
probabilità
Uscita di
cassa
o
istic
sim
Pes
o
istic
sim
Pes
Decidere
VAN 3,
probabilità
Decidere
VAN 4,
probabilità
...
Non
investire
Fase 2
37
L’albero delle decisioni
Come interpretare i dati?
n
n
n
n
Ogni sequenza decisionale completa (l’esito finale) ha un valore
pari al valore attuale netto della sequenza dei flussi di cassa
ipotizzati ponderato per la probabilità congiunta che le singole
decisioni intermedie si avverino.
Il Van medio atteso del progetto, è la somma dei Van ponderati
di ogni sequenza decisionale completa.
In tal modo, viene esplicitato il legame fra tutte le decisioni
intermedie e il loro peso sul risultato finale.
E’ possibile inoltre sapere con quale probabilità il progetto non
risulta economicamente conveniente.
38
L’albero delle decisioni
Pregi e difetti
Pregi
n
n
Esprime un concatenamento, una sequenzialità di effetti di
singole decisioni passate sul valore complessivo del progetto.
Induce a ragionare “al contrario”: dagli scenari finali alle
decisioni che devono essere via via prese durate lo sviluppo
del progetto
Difetti
n
n
n
Considera un numero limitato di scenari.
L’attribuzione del livello di probabilità avviene in modo
soggettivo.
Non evidenzia i driver dei flussi di cassa né i loro effetti indotti
da piccole variazioni nei parametri di input.
39
n
Introduzione
n
Strumenti statistici per la misurazione del rischio
n
Dominanza stocastica
n
Analisi di sensibilità (sensitivity analysis)
n
Analisi di scenario con simulazione Montecarlo
n
Albero delle decisioni (decision tree analysis)
n
Opzioni reali
40
Le Opzioni reali - Un nuovo modo di pensare:
l’incertezza come opportunità
n
n
La “finanza statica”, pur integrata da simulazioni sulla
sensibilità di alcune variabili di input o su scenari probabilistici,
non è in grado di valorizzare la flessibilità nelle decisioni
manageriali.
Le opzioni reali appartengono alla “finanza dinamica” perché il
loro valore e il loro esercizio dipendono dall’evoluzione di una o
più variabili incerte: è compito del management gestirle ed
esercitarle nel momento migliore.
41
Le Opzioni reali
Integrare il Van con il valore dell’incertezza
n
La valutazione con le opzioni reali è un approccio bottom-up: al
valore stimato con metodologia DCF viene aggiunto il valore
delle opzioni:
Value of
real
options
Corporate
market
value
DCF
analysis
Value of
current assets
n
+
Real option
value
=
Corporate
market value
Per il calcolo si fa ricorso alle formule di Black-Merton-Scholes
o di Cox-Ross-Rubinstein: la difficoltà non è nella formula, ma
nel suo uso!
42
Le Opzioni reali
Come agiscono le variabili in gioco?
n
n
Mentre i contratti derivati negoziati in Borsa sono
standardizzati, le opzioni reali devono essere esaminate e
valutate singolarmente.
Gli effetti indotti da variazioni nei parametri sul valore di una
opzione sono i seguenti:
Variabile
Incremento valore del sottostante
Incremento strike price
Incremento volatilità del sottostante
Incremento vita residua
Incremento risk free rate
Incremento dividend yield
Valore Call
↑
↓
↑
↑
↑
↓
Valore put
↓
↑
↑
↑
↓
↑
43
Le Opzioni reali
Di che tipo di opzioni stiamo parlando?
n
In generale, le opzioni nelle mani dei manager sono le
seguenti:
n
di differimento dell’investimento (wait and see);
di crescita (entrata o effettuazione);
di flessibilità (o trasferimento);
di uscita (abbandono);
di apprendimento (fasi successive)
n
n
n
n
44
Le Opzioni reali
Conclusioni
n
n
n
n
L’utilizzatore deve comprendere le variabili in gioco, come
queste interagiscono fra di loro e sul risultato finale, ma non è
tenuto a conoscere tutte le relazioni matematiche sottostanti.
L’elevata incidenza delle opzioni reali sul valore complessivo
del progetto ne aumenta il rischio esponendo l’attività a
possibili squilibri finanziari.
E’ possibile quantificare il rischio insito nel progetto/impresa
dalla percentuale che ricopre il valore delle opzioni sul valore
totale dell’attivo
Eliminano parte della soggettività tipica dei modelli statistici
(attribuzione della probabilità) perché è il mercato che prezza il
rischio dell’attività/progetto (attraverso la volatilità).
45
Bibliografia
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46
