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CAPITOLO 2
Gli insiemi N e Z
1. I NUMERI INTERI CON DERIVE
Nella parte introduttiva abbiamo giaÁ visto come si inserisce e si semplifica un'espressione con Derive; vediamo
adesso alcune particolari funzioni che operano sui numeri interi, a cominciare dai numeri primi dei quali abbiamo
visto l'importanza ai fini della scomposizione in fattori.
n PRIME …n†
eÁ una funzione che restituisce true (vero) se n eÁ un numero primo, false (falso) se non lo eÁ. Per esempio:
PRIME …28† restituisce false
PRIME …89† restituisce true
n NTH PRIME …n†
restituisce l'ennesimo numero primo. Per esempio:
NTH PRIME …5† daÁ 11 (eÁ il quinto numero primo)
NTH PRIME …127†
daÁ 709
n FACTOR …n†
restituisce la scomposizione in fattori primi del numero n. Per esempio:
FACTOR …3528† daÁ 23 32 72
FACTOR …2416† daÁ 24 151
Si ottiene lo stesso risultato scrivendo il numero da scomporre ed attivando poi il comando Semplifica/Fattorizza e spuntando la casella Decomposizione numeri primi.
n DIVISORS…n†
restituisce tutti i divisori del numero n. Per esempio:
DIVISORS(15)
daÁ [1, 3, 5, 15]
n GCD…a, b, c, ::::†
calcola il M:C:D: fra i numeri a, b, c, ::::. Per esempio:
GCD…16, 24†
daÁ 8
n LCM…a, b, c, ::::†
calcola il m:c:m: fra i numeri a, b, c, ::::. Per esempio:
LCM…4, 6, 14† daÁ 84
n NEXT PRIME…m† e PREVIOUS PRIME…m†
restituiscono rispettivamente il numero primo immediatamente successivo a m e il numero primo immediatamente precedente a m; per esempio:
PREVIOUS PRIME…68† restituisce 67
NEXT PRIME…68† restituisce 71
n MOD…a, b†
restituisce il resto della divisione intera a : b. Per esempio:
MOD(18, 4)
n FLOOR…a, b†
restituisce il quoziente intero della divisione a : b. Per esempio: FLOOR(25, 3)
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daÁ 2
daÁ 8
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
EZ
1
Le seguenti funzioni semplificano invece il calcolo della somma e del prodotto di numeri che sono generati da una
particolare espressione.
n SUM (espressione, variabile, a, z, p)
calcola la somma dei numeri dati mediante l'espressione scritta come primo parametro, che contiene la variabile indicata al secondo parametro, attribuendo a tale variabile come primo valore a e come valore finale
z, aumentando con passo p; se il passo eÁ 1 questo parametro puoÁ essere omesso. Per esempio:
SUM (x ^ 2
1, x, 1, 9, 2†
calcola la somma dei numeri che hanno la forma x 2 1, funzioni della variabile x, attribuendo inizialmente a x il
valore 1, aumentando di 2 unitaÁ tale valore (il passo eÁ 2) fino a raggiungere il valore finale 9. In sostanza vengono generati i numeri
per
per
per
xˆ1
xˆ5
xˆ9
!
!
!
1 1ˆ0
25 1 ˆ 24
81 1 ˆ 80
e di essi si calcola la somma:
per
per
xˆ3
xˆ7
!
!
9 1ˆ8
49 1 ˆ 48
0 ‡ 8 ‡ 24 ‡ 48 ‡ 80 ˆ 160
n PRODUCT (espressione, variabile, a, z, p†
agisce in modo analogo alla funzione SUM, ma calcola il prodotto dei numeri che vengono generati. Per esempio:
PRODUCT (2a
1, a, 2, 6†
calcola il prodotto dei numeri generati dall'espressione 2a 1 nella variabile a, a partire da a ˆ 2 fino ad a ˆ 6,
con passo 1 perche il parametro del passo eÁ stato omesso; il risultato che viene restituito eÁ 10395.
P Q
Le funzioni SUM e PRODUCT si possono attivare anche con le icone
e
seguendo poi le istruzioni delle
finestre di dialogo.
2. I NUMERI INTERI CON EXCEL
L'ambiente di lavoro di Excel
Uno dei software sicuramente piuÁ usati oggi eÁ il foglio elettronico; in questo testo impareremo ad usare Excel
nella sua versione 2007. Le figure che si riferiscono a finestre particolari o parti del foglio di lavoro possono differire in qualche particolare se si usa una versione diversa, ma i principi di funzionamento sono gli stessi.
Per chi usasse ancora la versione 2003 indicheremo fra parentesi in carattere blu il corrispondente comando in
quella versione. Avviato Excel con un doppio clic sulla sua icona, lo schermo del computer appare come nella
figura di pagina seguente nella quale distinguiamo alcune parti.
n Il pannello di controllo con la barra di accesso rapido in alto a sinistra, la riga dei menu (Home, Inserisci,
ecc.), i gruppi con le icone degli strumenti corrispondenti al menu attivo in quel momento, la riga con la barra
delle formule.
Ciascun menu puoÁ essere personalizzato cliccando su di esso con il tasto destro del mouse e scegliendo il
comando Personalizza.
Nella barra di accesso rapido conviene avere a disposizione l'icona di salvataggio
e di apertura dei file
;
se questi comandi non fossero presenti, conviene aggiungerli.
n Il foglio di lavoro, che puoÁ essere paragonato ad un foglio a quadretti nel quale si possono scrivere frasi, eseguire
calcoli, fare disegni. Ogni "quadretto" di questo foglio si chiama cella; ogni cella eÁ individuata da un indirizzo, composto da una lettera che indica la colonna e da un numero che indica la riga sulla quale essa si trova. L'indicazione
dell'indirizzo di una cella attiva (cioeÁ una cella nella quale si possono immettere dati o formule) si trova scritto nel
pannello di controllo a sinistra della barra delle formule; nel disegno la cella attiva eÁ A1 (colonna A, riga 1).
Si puoÁ passare da una cella all'altra nel foglio di lavoro spostandosi con i tasti freccia o piuÁ semplicemente con
un clic del mouse.
2
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
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pannello di controllo
foglio di lavoro
riga di stato
Un foglio di lavoro eÁ molto grande (i numeri di riga sono progressivi da 1 a piuÁ di 65 mila, le indicazioni delle
colonne partono da A a Z e poi usano una doppia lettera: AA, AB, AC e cosõÁ via fino a IV) e lo schermo del
computer ne puoÁ contenere solo una piccola parte; per accedere a parti non visibili sullo schermo occorre far
scorrere il foglio con i tasti freccia (oppure piuÁ rapidamente con Pag# e Pag"); per tornare alla cella A1 da qualsiasi punto basta usare i tasti CTRL+HOME mentre premendo semplicemente Home si torna nella casella iniziale della riga in cui ci si trova.
La parte visibile del foglio di lavoro eÁ delimitata in basso da una riga che indica qual eÁ il foglio su cui si sta
lavorando (foglio1, foglio2, foglio3) e dalla barra di scorrimento orizzontale, sulla destra dalla barra di scorrimento verticale.
n Dopo il foglio di lavoro troviamo la riga di stato che contiene informazioni sullo stato del foglio di lavoro; in
genere, quando si trova il messaggio Pronto significa che la cella attiva in quel momento eÁ pronta a ricevere
dati o formule.
Nell'angolo in alto a destra troviamo poi ancora i pulsanti di riduzione ad icona, di riduzione e ingrandimento, di
chiusura del lavoro e nella parte centrale dello schermo (sempre in alto) il nome della cartella di lavoro (il nome di
default eÁ carteln, essendo n un numero progressivo).
Per capire quali sono le funzioni di un foglio elettronico, ti proponiamo una semplice esercitazione introduttiva. Per
darti le indicazioni di come procedere, scriveremo a sinistra il riferimento della cella attiva e a destra il dato da
inserire; per esempio per indicare che nella cella A1 devi inserire il numero 5, scriveremo:
A1:
5
Tieni presente poi che:
n per inserire un dato devi rendere attiva la cella cliccando su di essa (o muovendoti con i tasti freccia), digitare
il dato e confermare con invio oppure cliccando su un'altra cella;
n per correggere un dato giaÁ immesso devi cliccare sulla cella da correggere, cliccare sulla parte destra della
barra della formula (lõÁ eÁ scritto il contenuto della cella) e fare le tue correzioni;
n per cancellare il contenuto di una cella devi cliccare sulla cella e premere il tasto CANC.
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Esercitazione 1. Come inserire dati e formule
Dati due numeri interi vogliamo calcolare la loro somma, differenza, prodotto e quoziente.
Procedi inserendo i dati come indicato (osserva nel frattempo la parte destra della barra della formula che visualizza quello che stai inserendo):
A1:
A2:
Primo numero
Secondo numero
PuoÁ darsi che queste due frasi, che in terminologia informatica si dicono stringhe (una stringa eÁ un qualunque
insieme di caratteri che possono essere lettere, numeri o caratteri speciali), occupino anche la casella vicina perche sono troppo lunghe per essere contenute in una sola cella; possiamo allora decidere di immettere gli altri dati
nella colonna C che eÁ libera, oppure possiamo allargare la colonna A in modo da renderla sufficientemente ampia.
Per variare la larghezza di una colonna si puoÁ agire in due modi:
n cliccando sulla riga di confine fra la colonna da allargare (o stringere) e la successiva (nel nostro caso fra A e B)
e trascinando il mouse fino a raggiungere la larghezza desiderata (osserva che il puntatore sul video cambia
forma);
n cliccando sull'intestazione della colonna (nel nostro caso A), dal menu Home scegliere il gruppo Celle e poi la
casella Formato; da questa selezionare Larghezza colonne e indicare la larghezza desiderata (nella versione
2003 eÁ il percorso Formato / Colonne / Larghezza).
Dopo aver adeguato la larghezza della colonna A al testo scritto, immettiamo i due numeri nella colonna B.
B1:
56
B2:
8
I dati da noi proposti sono solo indicativi, se vuoi puoi inserire due numeri a tua scelta.
Nella colonna C scriveremo le intestazioni dei risultati.
C1:
C3:
Somma
Prodotto
C2:
C4:
Differenza
Quoziente
Nella colonna D chiederemo ad Excel di calcolare i risultati delle varie operazioni. Per fare cioÁ dovremo immettere
delle formule.
Una formula in Excel inizia sempre con il simbolo ˆ seguito dall'indicazione delle operazioni da compiere sulle
celle; ecco quindi quello che si deve immettere, confermando ogni espressione con il tasto INVIO:
D1:
D2:
D3:
= B1 ‡ B2
= B1 B2
= B1 B2
(il simbolo di moltiplicazione eÁ l'asterisco)
Una riflessione a parte va fatta per la divisione; sappiamo infatti che non si puoÁ calcolare il quoziente fra due numeri quando il divisore eÁ zero. Dobbiamo allora usare una funzione di selezione che calcola il quoziente se il
secondo numero, quello in B2, eÁ diverso da zero, mentre invia un messaggio che indica che la divisione non eÁ
possibile se tale numero eÁ zero. Una funzione di selezione eÁ un comando che consente di scegliere fra due possibili alternative a seconda che venga o meno verificata una certa condizione ed in Excel ha la seguente struttura
= SE (proposizione; istruzione_vero; istruzione_falso)
che significa: se la proposizione indicata eÁ vera esegui la prima istruzione scritta, se eÁ falsa esegui la seconda.
Allora nella cella D4 dovremo inserire la seguente formula
D4:
= SE (B2< >0; B1 / B2; "divisione impossibile")
che significa: se B2 eÁ diverso da 0, allora esegui B1 / B2 (cioeÁ calcola il quoziente), altrimenti scrivi la stringa divisione impossibile.
Osserviamo che diverso si indica con il simbolo < > e che la stringa deve essere racchiusa fra doppi apici.
Con i dati assegnati, nella cella D4 vi eÁ il valore 7; prova a variare il dato nella cella B2 facendogli assumere ora
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Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
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valore zero: Excel aggiorna automaticamente il foglio e ricalcola tutte le formule inserite con i nuovi dati; questa
volta in D4 c'eÁ il messaggio che la divisione eÁ impossibile.
Come memorizzare una cartella di lavoro
Terminata l'esercitazione, bisogna salvare la cartella in un file; basta cliccare sull'icona con il dischetto posta nel(nella versione 2003, in alternativa, segui il percorso File / Salva).
l'angolo superiore di sinistra dello schermo
Quando si esegue questo comando per la prima volta, si apre una finestra, detta di dialogo, in cui sono elencate
la directory corrente (in alto) e le directory figlie (nel riquadro piuÁ grande), ed in cui si chiede il nome da dare al file.
Se si desidera memorizzare il file nella directory corrente, basta assegnare il nome e confermare con il pulsante
Salva, se si desidera cambiare directory basta selezionare il nuovo percorso muovendosi nell'albero delle directory che puoi visualizzare cliccando sul triangolino messo sulla destra del nome di quella corrente.
Salva dunque il tuo primo lavoro in un file cui puoi dare nome ESER1.
Per chiudere la cartella, rimanendo in ambiente Excel devi cliccare sul pulsante di chiusura del foglio. Per chiudere
la sessione di lavoro, e quindi uscire da Excel devi cliccare sul pulsante di chiusura del programma.
Esercizi
Risolvi con Derive.
1. Usando l'appropriata funzione di Derive, stabilisci quali fra i seguenti numeri sono primi:
1737
239
433
2211
577
2. Quale funzione eÁ utile per stabilire se due numeri sono primi tra loro? Usala per stabilire quali fra le seguenti
coppie di numeri lo sono:
322, 121
63, 92
44, 143
13, 38
3. Utilizza le funzioni di calcolo appropriate di Derive per calcolare:
a. la fattorizzazione dei numeri 7218, 842, 916;
b. i primi 10 multipli del numero 12;
c. la somma dei primi 15 multipli del numero 3;
d. la somma dei quadrati dei primi 7 numeri interi;
e. il prodotto dei primi 5 numeri primi;
f. il quoziente intero di 1714 : 62;
g. il resto della divisione intera di 864 : 15;
h. tutti i divisori di 316;
i. il M:C:D: e il m:c:m: tra 150, 230, 75.
4. Determina il piuÁ piccolo numero primo che segue 1319 e il piuÁ grande numero primo che lo precede.
Risolvi con Excel.
5. Cerca la funzione di Excel che permette di calcolare il M:C:D: tra due o piuÁ numeri e determina
M:C:D:…15, 18, 24†.
6. Cerca la funzione di Excel che permette di calcolare il m:c:m: tra due o piuÁ numeri e determina
m:c:m:…10, 25, 40†.
7. Trova una procedura con Excel che, inseriti due numeri naturali, stabilisca se il primo eÁ divisibile per il secondo.
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Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
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5
Matematica e storia
Alla conquista dei numeri
Il concetto di numero eÁ presente in moltissime culture fin dai tempi piuÁ antichi, anche se inizialmente
presso i popoli primitivi ci si limitava ad enumerare
oggetti, per esempio segnando delle pietre o incidendo tacche su pezzi di legno; inizialmente poi
esistevano simboli solo per indicare numeri piccoli,
uno, due, forse tre, ma poi gli oggetti diventavano
molti.
La tribuÁ dei Piraha, che vive in piccoli gruppi di 10,
20 individui sulle rive del fiume Maici nella foresta
amazzonica brasiliana, ancora oggi conta solo fino a 2 e la loro lingua non possiede nomi per altri
numeri.
E' in ogni caso piuÁ probabile che all'inizio l'uomo
fosse colpito piuÁ dalle differenze che dalle somiglianze: era sicuramente piuÁ facile cogliere la differenza fra una pecora e un gregge che non la similaritaÁ fra una pecora e un sasso, una pecora e una
tacca sul legno. A poco a poco, peroÁ, questa osservazione delle differenze condusse anche al riconoscimento delle analogie quantitative; un animale,
un frutto colto da un albero, una pecora hanno
qualcosa in comune, il fatto di essere una sola entitaÁ; cosõÁ come una coppia di lupi, due gemelli, una
pecora ed il suo agnello hanno in comune il fatto di
essere una coppia di elementi.
Dopo questa scoperta l'uomo comincioÁ ad utilizzare metodi di contare segnando tacche su ossa o
pezzi di legno, senza tuttavia dare dei nomi ai numeri o inventare simboli che li rappresentino; l'invenzione delle scritture matematiche caratterizza
infatti solo le prime grandi civiltaÁ, dove i sistemi numerici rispondono a finalitaÁ di ordine amministrativo e religioso.
Le piuÁ antiche testimonianze di questo modo di
contare risalgono a piuÁ di 30000 anni prima di
Cristo. Al museo di Bruxelles si trova l'osso Ishango, cosõÁ chiamato dal luogo del suo ritrovamento
in Africa, e databile attorno al 20000 a.C.; questo
osso riporta tre serie di intaccature e suggerisce
giaÁ una primordiale idea di moltiplicazione e divisione per 2. Nella Repubblica Ceca eÁ stato ritrovato un osso di lupo risalente al 30000 a.C. che presenta due serie di intaccature distribuite in gruppi
di cinque.
La popolazione Inca usava un sofisticato metodo
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Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
basato sui nodi, il quipu. Un quipu eÁ formato da
un sostegno al quale sono appese cordicelle di diversi colori (ogni colore aveva un significato particolare) e con vari tipi di nodi, che partono da un
unico punto comune o messe parallelamente fra loro (figura 1).
I nodi che si trovano all'estremitaÁ inferiore della
cordicella rappresentano le unitaÁ, piuÁ sopra ci sono le decine, piuÁ in alto ancora le centinaia e cosõÁ
via fino a rappresentare le decine di migliaia; c'era anche un equivalente dello zero, rappresentato
da un intervallo senza nodi (figura 2). Per leggere
la cordicella si cominciava dall'alto e, poiche pochi erano in grado di decifrare un quipu, questo
dava potere e garantiva segretezza.
Figura 2
Il riconoscimento del numero come proprietaÁ intrinseca di un insieme di oggetti da una parte e, successivamente, lo sviluppo del linguaggio dall'altra,
diedero un contributo essenziale al sorgere e allo
svilupparsi del pensiero matematico astratto.
Parallelamente, la nascita di societaÁ organizzate e
la trasformazione dell'uomo da nomade a sedentaQ Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
rio, da cacciatore ad agricoltore, aumentarono la
necessitaÁ di conoscere meglio l'ambiente (ad esempio per determinare il periodo dell'anno piuÁ adatto
alla semina o alla mietitura, i cicli delle grandi
piogge e delle piene dei fiumi, etc.). CioÁ comportoÁ
il fiorire dell'astronomia per misurare in modo preciso i tempi dell'anno, con la conseguente creazione dei primi calendari.
Anche la crescita degli insediamenti umani, la formazione di cittaÁ e stati, con popolazioni, eserciti,
patrimoni di grandi proporzioni, rese indispensabile l'elaborazione di sistemi numerici piuÁ sofisticati. Si svilupparono cosõÁ presso i vari popoli diversi
modi di scrivere i numeri, capaci di rappresentare
anche numeri molto grandi.
Ad esempio gli Egiziani usavano una numerazione
decimale che faceva uso dei simboli illustrati in figura 3.
alfabetico, che utilizzava le ventiquattro lettere dell'alfabeto piuÁ altre tre cadute in disuso (stigma,
coppa, sampi) (figura 5).
Figura 5 Simboli della numerazione greca
Figura 3 Simboli della numerazione egizia
Per scrivere un numero si servivano di un sistema
additivo, in cui ogni simbolo poteva essere ripetuto
fino a nove volte. In figura 4 sono riportate le scritture dei numeri 1324 e 3782.
Quando il numero superava il mille, si ricominciava dalla prima lettera facendola peroÁ precedere
da un indice posto in basso.
In figura 6 puoi vedere la scrittura dei numeri 742,
539, 3497 e 1628.
Figura 6 Scrittura greca di alcuni numeri
Figura 4
I Greci possedevano tre sistemi di numerazione in
base dieci: il primo serviva ai mercanti per il commercio ed usava puntini o trattini per indicare le
unitaÁ, che venivano raggruppate in gruppi di 10;
il secondo veniva usato per le epigrafi (iscrizioni
su edifici, tombe, etc.) ed ogni numero era indicato
con l'iniziale del suo nome; il terzo era un sistema
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Non deve meravigliare che proprio i Greci, cosõÁ
progrediti nella geometria (ancor oggi nelle scuole
si studia la geometria euclidea, le cui basi vennero
poste da Euclide nel 300 a.C.) usassero un sistema
di scrittura dei numeri cosõÁ complesso e cosõÁ poco
efficace. Infatti, la geometria apparteneva al campo della scienza ed era quindi concepita prevalentemente come gioco intellettuale privo di applicazioni pratiche, mentre le tecniche di calcolo venivano considerate legate alla sfera pratica dei commerci e quindi trascurate dagli intellettuali.
Il sistema di numerazione usato dagli antichi Romani probabilmente deriva dal sistema etrusco. EÁ
sufficiente paragonare i due sistemi numerici per
notare le caratteristiche comuni.
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
EZ
7
Figura 7 L'abaco
Rispetto a questo e ai precedenti, questo sistema introduce peroÁ delle novitaÁ; infatti per scrivere i numeri viene usata anche la sottrazione oltre all'addizione. CosõÁ il numero quattro si indica con IV perche il simbolo I messo a sinistra del V sta a significare che il numero uno viene sottratto al numero
cinque; il numero sei invece, in romano VI, ha il
simbolo dell'uno a destra con una notazione additiva; quattrocento si scrive CD, cioeÁ cinquecento
meno cento, milleseicentocinquantatre si scrive
MDCLIII.
Anche la simbologia romana, come quella egiziana o greca, era peroÁ di uso complicato quando si
trattava di effettuare calcoli.
Per calcolare, i popoli antichi, o meglio gli antichi
mercanti, si servivano dell'abaco, una tavoletta di legno suddivisa in colonne, sulle quali si ponevano
dei sassolini, oppure un supporto con alcune asticelle sulle quali si infilavano degli anellini (figura 7).
L'abaco funziona un po' come il pallottoliere. Per
capirne il funzionamento immaginiamo che le asticelle siano ordinate da destra verso sinistra e che il
sistema di numerazione sia quello in base dieci
che usiamo abitualmente (nell'antichitaÁ i popoli
usavano diverse basi di numerazione). Se pensiamo di rappresentare con degli anellini le unitaÁ su
ogni asticella, il numero 3142 avraÁ 2 anellini sull'asticella piuÁ a destra, 4 anellini su quella a sinistra piuÁ vicina, 1 anellino sulla successiva e 3 anellini su quella dopo ancora.
Eseguire un'addizione con un abaco eÁ abbastanza semplice: basta infilare gli anellini sulle asticelle
corrispondenti, facendo attenzione che su un'asticella non ce ne siano piuÁ di 9, perche 10 anellini
formano 1 anellino dell'ordine superiore. Se ad
esempio, dopo aver eseguito l'addizione, un'asticella avesse 12 anelli, se ne dovranno togliere
10 e aggiungerne uno sull'asticella immediatamente a sinistra che rappresenta le unitaÁ di ordine superiore (figura 8). In modo analogo si procede
per eseguire una sottrazione.
L'abaco continuoÁ ad essere usato fin nel Medioevo, quando venne progressivamente sostituito
da un nuovo ed importantissimo sistema di numerazione: la cosiddetta numerazione "araba" che ancora oggi utilizziamo. Si tratta di un sofisticato sistema posizionale: ai numeri, cioeÁ, vengono fatti
corrispondere dei simboli, che assumono valori diversi secondo la posizione che occupano. CosõÁ, in
base decimale, 2 significa «2 unitaÁ» se eÁ collocato
Figura 8 Un'addizione con l'abaco
8
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
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all'estrema destra di un numero, oppure «2 decine» se eÁ collocato nella seconda posizione da destra (come ad esempio nel numero 324) e cosõÁ via.
Il sistema corrispondeva concettualmente a quello
adottato dall'abaco, ma era piuÁ perfezionato, perche sostituiva simboli astratti alle file di oggetti concreti, rendendo i calcoli piuÁ rapidi ed aprendo la
possibilitaÁ di grandi sviluppi della teoria matematica.
Questo tipo di scrittura rappresentoÁ quindi una autentica rivoluzione: importato dagli Arabi nel decimo secolo dall'lndia, grazie alla sua praticitaÁ d'uso, si diffuse ben presto in tutta Europa. Inizialmente esso fu usato all'interno del sistema dell'abaco.
Si racconta che il futuro Papa Silvestro II avesse fatto coniare dei gettoni che riportavano i simboli delle cifre allora in uso, in modo da poterli riportare
sull'abaco senza piuÁ bisogno delle tacche di incisione o dei sassolini. Se, ad esempio, si doveva
rappresentare il numero otto su una colonna dell'abaco, bastava porvi sopra il gettone con il simbolo
dell'otto.
Un sistema, dunque, molto simile a quello moderno, ma con una differenza importantissima: non
prevedeva ancora un simbolo per rappresentare
lo zero ed era quindi inscindibile dall'utilizzo dell'abaco.
Solo successivamente si diffuse l'utilizzo dello zero,
un simbolo particolare in quanto rappresenta una
non-quantitaÁ, ma, al contempo, indispensabile
per "costruire" grandi numeri.
Anche la "conquista" dello zero, dovuta a sua volta
alla grande civiltaÁ indiana ed alla mediazione araba, fu una conquista difficile: poiche i numeri erano
stati inventati per contare, sembrava assurdo dover
introdurre un simbolo per contare "niente".
L'introduzione dello zero consentõÁ di fare a meno
dell'abaco e permise di scrivere numeri anche molto grandi con un limitato numero di simboli ed una
scrittura ridotta. Pensa a come si scriverebbe unmilioneottocentoventinovemilasettecentotrentadue in
numeri egiziani o romani.
La parola «zero», sembra derivi da quella indiana
«sumpa», che fu tradotta in arabo con «sifr», da
cui viene la parola «aÁfra»; nella traduzione latina
divenne «zephirum» ed infine «zero».
Ma oltre alla espansione quantitativa dei numeri,
la nuova numerazione consentõÁ anche, e soprattutto, una straordinaria evoluzione qualitativa; divenne possibile aprire nuovi orizzonti della matematica (numeri razionali, irrazionali, algebra, etc.), il
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
che a sua volta pose le basi per rivoluzionari sviluppi scientifici e filosofici.
Ma vediamo ora come si faceva nel passato ad eseguire un calcolo, per esempio una moltiplicazione.
Un modo curioso risale al XVI secolo e viene detto
metodo per graticola. Supponiamo di dover calcolare 3125 642. Prepariamo uno schema di 12 caselle divise a metaÁ da una diagonale e, esternamente ad esso, in corrispondenza di ciascuna riga e colonna, scriviamo le cifre dei numeri da moltiplicare:
In ogni casella, separando la cifra delle decine da
quella delle unitaÁ, scriviamo il prodotto dei numeri
sulla riga e sulla colonna corrispondente: per esempio nella prima casella scriveremo 18 mettendo 1
nella metaÁ superiore e 8 in quella inferiore; lo schema che si ottiene eÁ il seguente:
Sommiamo adesso le cifre che si trovano sulla stessa
diagonale a partire dall'angolo in basso a destra e
riportando le decine alla diagonale successiva.
Se ora leggiamo le cifre ottenute accostandole una
all'altra partendo dalla cifra in alto a sinistra, otteniamo il prodotto cercato, cioeÁ 2006250.
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
EZ
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I numeri primi e altro
I numeri primi, come giaÁ sappiamo sono quei numeri naturali maggiori di 1 che sono divisibili solo
per se stessi e per l'unitaÁ; il primo di essi eÁ 2, che eÁ
anche l'unico numero primo pari, gli altri sono tutti
dispari: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, .................
I puntini sono d'obbligo percheÁ i numeri primi sono
tanti, tantissimi, addirittura infiniti; purtroppo peroÁ
non esiste una regola che li possa generare tutti,
o meglio, se una regola c'eÁ, questa non eÁ ancora
stata trovata.
Ci sono peroÁ dei metodi, alcuni semplici, altri piuÁ
complessi, che permettono di generarne un po';
fra tutti il crivello di Eratostene eÁ sicuramente quello
piuÁ conosciuto e forse ne avrai giaÁ sentito parlare.
Funziona cosõÁ:
si scrive la successione dei primi n numeri naturali a partire da 2; per ragioni ovvie di spazio
scriviamo solo i primi 50
l
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
4
14
24
34
44
5
15
25
35
45
6
16
26
36
46
7
17
27
37
47
8
18
28
38
48
9
19
29
39
49
10
20
30
40
50
Eliminiamo tutti i multipli di 2, escluso il 2 che eÁ
primo
l
2
11
21
31
41
3
13
23
33
43
5
15
25
35
45
7
17
27
37
47
9
19
29
39
49
Ecco i passaggi:
l
si eliminano i multipli di 5
2
11
31
41
l
5
7
17
19
29
37
47
43
49
si eliminano i multipli di 7
2
11
31
41
l
3
13
23
3
13
23
5
7
17
19
29
37
47
43
si eliminano i multipli di 11
2
11
31
41
3
13
23
5
7
17
19
29
37
47
43
A questo punto, poiche in questo passaggio non
abbiamo fatto piuÁ eliminazioni, la tabella contiene
solo numeri primi.
Ci sono altri modi per ottenere numeri primi, basati
su delle formule, che peroÁ funzionano fino a un certo punto; le piuÁ note sono:
n
Eliminiamo adesso tutti i multipli di 3, escluso il
3 che eÁ primo
l
2
11
31
41
3
13
23
43
5
25
35
7
17
37
47
F … 1† ˆ 2 2 ‡ 1 ˆ 5
19
29
F …2† ˆ 24 ‡ 1 ˆ 17
49
ma giaÁ per n ˆ 5 il numero ottenuto non eÁ primo:
Proseguendo nello stesso modo, eliminiamo i multipli del primo numero che eÁ ancora nella tabella dopo quello che eÁ stato considerato per ultimo, fino a
che non si elimina piuÁ alcun numero.
10
n la formula di Fermat F …n† ˆ 22 ‡ 1
che genera numeri primi solamente per
n ˆ 1, 2, 3, 4:
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
EZ
F …3† ˆ 28 ‡ 1 ˆ 257
F …4† ˆ 216 ‡ 1 ˆ 65537
F …5† ˆ 232 ‡ 1 ˆ 4294967297 ˆ 641 6700417
n le formule
F … n† ˆ n2
n ‡ 41 e F …n† ˆ n2
79n ‡ 1601
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
che generano parecchi numeri primi: la prima
funziona per tutti gli n < 40, la seconda per tutti
gli n < 80, ma poi vengono generati numeri
composti.
Sono stati poi dimostrati diversi teoremi sui numeri
primi, alcuni di semplice comprensione, altri invece piuÁ difficili per le nostre attuali conoscenze;
per esempio si sa che:
n ogni numero primo si puoÁ scrivere nella forma
4n 1 oppure 4n ‡ 1, dove n puoÁ essere un
numero naturale qualsiasi.
Questa peroÁ non eÁ una formula per generare
numeri primi percheÂ, per esempio, se n ˆ 1 le
due formule danno rispettivamente i numeri 3
e 5, se n ˆ 2 i numeri generati sono 7 e 9 dei
quali peroÁ 9 non eÁ primo.
Essa afferma tuttavia che ogni numero del quale
si sa giaÁ che eÁ primo si puoÁ scrivere come
4n 1 oppure 4n ‡ 1; per esempio:
13 ˆ 4 3 ‡ 1
p
sto che n eÁ dell'ordine di 1019 , quanto impiegherebbe un computer per fare 1019 divisioni?
Un computer con un processore veloce puoÁ fare circa 1010 operazioni al secondo e, se ne deve fare
1019 impiega un tempo pari a 1019 : 1010 ˆ 109
secondi, cioeÁ
109 : …60 60 24 365† 31,7 anni;
un po' troppo tempo!
I test di primalitaÁ che usano oggi i computer sono
molto piuÁ efficienti di questo (e molto piuÁ complessi
per le nostre conoscenze) ed in effetti se imposti la
funzione prime …2127 1† con Derive, basta premere il tasto INVIO per avere la risposta immediata
che si tratta di un numero primo; fra parentesi,
che questo numero eÁ primo si sa dal 1876!
Una curiositaÁ: molti numeri primi hanno la forma
2n 1 e sono detti numeri di Mersenne. I numeri
primi piuÁ grandi che oggi si conoscono sono proprio due numeri di Mersenne:
l
17 ˆ 4 4 ‡ 1
47 ˆ 4 12
1
Ma il problema piuÁ importante eÁ un altro: dato un
numero qualsiasi (ovviamente dispari) come si fa a
sapere se eÁ o non eÁ primo? E ancora, se un numero
non eÁ primo, come si fa a trovare i fattori della sua
scomposizione?
Un metodo molto semplice eÁ quello basato sulle divisioni; se vogliamo sapere se un numero n eÁ primo
cominciamo a dividerlo prima per 2, poi per 3,
poi per 4, per 5, per 6 e cosõÁ via, almeno fino
n
a ; se nessuna delle divisioni ha dato resto zero
2
possiamo concludere che il numero eÁ primo. In
n
realtaÁ non occorre arrivare fino a , basta fer2
p
marsi a n; per esempio, per decidere con questo metodo se 20587319 eÁ primo basta fare
p
20587319, cioeÁ 4537 divisioni.
Se poi da questi numeri togliamo tutti quelli pari
che sicuramente non sono primi perche divisibili
per 2, il numero di divisioni si riduce ancora ma
eÁ sempre un numero abbastanza elevato.
E' pur vero che i calcoli li fa un computer e che
quindi non ci dovremmo preoccupare piuÁ di tanto.
Pensiamo peroÁ ad un numero grande, per esempio
n ˆ 2127 1 che eÁ un numero che ha 39 cifre; viQ Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
l
224036583 1 scoperto nel Dicembre del 2003
da Michael Shaper, all'epoca uno studente di ingegneria di 26 anni, e che ha ben 6320430 cifre (la sua scrittura per esteso sarebbe lunga 20
km!)
220996011 1 scoperto da Josh Findley nel Maggio del 2004
Per ulteriori aggiornamenti puoi fare una ricerca in
Internet usando come motore di ricerca la parola
Mersenne.
Ma perche eÁ cosõÁ importante scoprire se un numero
eÁ primo e, se non lo eÁ, trovare la sua scomposizione?
Una delle applicazioni dei numeri primi riguarda
la crittografia, cioeÁ la conversione di un'informazione in codice. La necessitaÁ di comunicare in modo che sia mantenuta la segretezza dei messaggi eÁ
di grande attualitaÁ e riguarda tutti i rami dell'economia e della politica di un Paese: banche, industrie, governi, per ragioni di sicurezza, hanno
spesso la necessitaÁ di inviare informazioni che
non devono essere decifrate da nessun altro oltre
il destinatario.
Anche la posta elettronica funziona in questo modo: un messaggio da inviare viene scomposto in
varie parti da chi lo spedisce mediante una chiave
segreta; chi lo riceve, conoscendo il codice, lo ricompone. La chiave eÁ costituita da un numero di
molte cifre, ottenuto come prodotto di numeri granTema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
11
di. Un intercettatore che volesse interpretare il messaggio, non avendo la chiave, dovrebbe cercare
tutte le combinazioni di numeri primi tali che il loro
prodotto sia proprio il numero chiave.
rificano quando il numero di partenza daÁ origine
ad un ciclo di ordine 2. Per esempio, consideriamo
il numero 220:
Oltre ai numeri primi, i matematici si sono interessati anche ad altri tipi di numeri naturali che presentano caratteristiche curiose.
‡44 ‡ 55 ‡ 110 ˆ 284
Consideriamo la funzione f …n† che ad ogni numero naturale n > 1 associa la somma dei suoi divisori, escluso il numero stesso e poniamo f …1† ˆ 1.
Per esempio
f … 8† ˆ 1 ‡ 2 ‡ 4 ˆ 7
f …12† ˆ 1 ‡ 2 ‡ 3 ‡ 4 ‡ 6 ˆ 16
Applichiamo adesso la funzione f piuÁ volte, ogni
volta al risultato ottenuto dalla sua precedente applicazione. Per esempio, se consideriamo il numero 15 come primo numero abbiamo che:
f …15† ˆ 1 ‡ 3 ‡ 5 ˆ 9
E' evidente il rimando continuo dall'uno all'altro
numero.
Quando due numeri si comportano come 220 e
284, cioeÁ quando la somma dei divisori del primo
daÁ il secondo e viceversa, si dice che sono numeri
amici.
Fra i numeri naturali, le coppie di numeri amici non
sono molte; finora se ne conoscono solo un centinaio delle quali 220, 284 eÁ la piuÁ piccola.
Un altro caso significativo che puoÁ capitare eÁ quello in cui la funzione genera sempre il numero di
partenza.
Per esempio:
f …28† ˆ 1 ‡ 2 ‡ 4 ‡ 7 ‡ 14 ˆ 28
f … 4† ˆ 1 ‡ 2 ˆ 3
f … 3† ˆ 1
f … 1† ˆ 1
Da questo punto in poi la funzione f genera sempre il numero 1.
Osserviamo che se il numero n eÁ primo, la funzione
genera solo il numero 1; altri casi particolari si ve-
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
f …284† ˆ 1 ‡ 2 ‡ 4 ‡ 71 ‡ 142 ˆ 220
f … 6† ˆ 1 ‡ 2 ‡ 3 ˆ 6
f … 9† ˆ 1 ‡ 3 ˆ 4
12
f …220† ˆ 1 ‡ 2 ‡ 4 ‡ 5 ‡ 10 ‡ 11 ‡ 20 ‡ 22‡
EZ
Numeri di questo tipo si dicono perfetti. Ad oggi si
conoscono solo trenta numeri perfetti, di cui solo i
primi cinque sono relativamente "piccoli": 6, 28,
496, 8128, 33550336; l'ultimo numero perfetto
che si conosce eÁ composto da 130100 cifre!
I numeri perfetti non sono solo una curiositaÁ; la rapiditaÁ con cui un calcolatore riesce ad individuarli
eÁ una misura della sua potenza di calcolo.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
1 Dati tre numeri a, b, c, supponiamo che il massimo comune divisore fra essi sia 1. Allora:
a. vi eÁ una coppia di numeri primi tra loro
b. il prodotto dei tre numeri eÁ uguale al loro minimo comune multiplo
c. fra i tre numeri non vi eÁ alcuna coppia di numeri pari
d. almeno uno dei tre numeri eÁ multiplo di 3
e. le conclusioni precedenti sono tutte errate.
‰e:Š
2 Quale dei seguenti insiemi di numeri interi contiene almeno un quadrato perfetto maggiore di 1?
a. I numeri che terminano per 3.
b. I numeri che terminano per 26.
c. I numeri la cui somma delle cifre eÁ uguale a 48.
d. I numeri formati da un numero pari di cifre tutte uguali a 9.
e. I numeri che terminano per 001.
‰e:Š
3 Il numero 10100 ‡ 10010 eÁ uguale a:
a. 10020
b. 1020 …1080 ‡ 1†
‰b:Š
c. 10100 …1010 ‡ 1†
d. 10120
e. 110110
4 Sul pianeta Uru le settimane durano 8 giorni, i mesi (tutti indistintamente) durano 34 giorni e in un anno
ci sono 14 mesi. Quando il primo giorno dell'anno cade di Domenica (ultimo giorno della settimana) si
celebra la Festa del Pianeta. Sapendo che oggi su Uru eÁ la Festa del Pianeta, tra quanti giorni saraÁ la prossima?
a. 238
b. 476
c. 952
d. 1428
e. 1904
‰c:Š
5 Allo stadio gli spettatori entrano attraverso cinque cancelli, posti uno di fianco all'altro, secondo questa
regola: viene fatta entrare una persona dal primo cancello, poi due persone dal secondo cancello, poi tre
persone dal terzo, quattro dal quarto e infine cinque persone dal quinto. Poi si ricomincia procedendo
allo stesso modo e si va avanti fino a che non sono entrati tutti. Sapendo che Raffaele saraÁ la 2007-esima
persona ad entrare, da quale cancello entreraÁ?
a. dal primo
b. dal secondo
c. dal terzo
d. dal quarto
e. dal quinto
‰e:Š
6 Alla gara di pesca di Borgio Verezzi, il punteggio viene attribuito assegnando ai concorrenti 50 punti
per ogni pesce, piuÁ 1 punto per ogni grammo di pesce pescato. Jacob ha preso 19 pesci per un peso
totale di 2430 grammi. Mirko, invece, aveva preso 14 pesci per un peso totale di 1860 grammi ma,
proprio un attimo prima del fischio di fine gara, riesce a prendere 2 pesci dello stesso peso e si ritrova
con lo stesso punteggio di Jacob. Qual eÁ il peso in grammi di uno dei due ultimi pesci presi da Mirko?
‰360 grammiŠ
7 Questo regolo contiene 10 numeri, non necessariamente distinti, scritti uno per casella (due numeri sono
giaÁ scritti).
.....
6
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
4
La somma dei tre numeri scritti nelle tre caselle di sinistra eÁ uguale a 11. Ogni volta che si sposta la finestrella verso destra di una casella, la somma dei tre numeri scritti all'interno aumenta di una unitaÁ.
Completa le caselle vuote.
‰1 6 4 2 7 5 3 8 6 4Š
8 Nando adora giocare a figurine con i suoi amici. LunedõÁ ne ha vinte 3. MartedõÁ ne ha vinte altre 3 3.
MercoledõÁ ne ha vinte altre 3 3 3. E cosõÁ via: ogni giorno della settimana ne vince altre, il triplo di quelQ Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
13
le che aveva vinto il giorno precedente. CosõÁ, sabato, ne vince ancora 3 3 3 3 3 3, arrivando a 2008
figurine. Quante figurine aveva lunedõÁ, prima di vincere le sue prime 3 figurine?
‰916Š
9 6 concorrenti che indossavano dei pettorali numerati da 1 a 6 hanno partecipato ad una corsa. I corridori
con pettorali pari hanno ottenuto all'arrivo dei piazzamenti dispari. I concorrenti recanti dei numeri multipli di 3 si sono classificati in una posizione il cui numero non eÁ divisibile per 3. Infine, i corridori recanti
dei numeri superiori a 3 hanno conquistato le prime tre posizioni. Qual eÁ l'ordine d'arrivo?
‰6
5
4
3
2
1 Š
10 Gli scienziati della NASA si collegano ogni giorno con il loro robot che si trova sul pianeta Marte e lanciano un appello radio nel momento in cui, per il robot, sorge il Sole. La rotazione di Marte su se stesso eÁ
un po' meno veloce di quella della Terra e quindi una giornata su Marte (dal sorgere del sole di un giorno
a quello successivo) dura 25 ore. L'appello radio della NASA di lunedõÁ 2 febbraio ha avuto luogo alle 9
del mattino. Qual eÁ il giorno successivo in cui gli scienziati hanno potuto lanciare il loro appello di nuovo alle 9 del mattino?
[27 febbraio]
11 Quale dei seguenti numeri eÁ un divisore di 33 44 53 ?
a. 42
b. 45
c. 52
d. 85
‰b:Š
e. 105
12 Nella griglia a lato x eÁ un numero da determinare. Si sa che eÁ possibile scrivere un numero in ogni cella vuota della griglia in modo che la somma dei
tre numeri che si trovano su qualunque riga, colonna o diagonale, sia sempre la stessa. Allora x vale:
a. 0
b. 1
c. 3
d. 6
e. 9
6
x
4
5
‰a:Š
13 La professoressa di italiano entra in una classe di 24 studenti, tutti presenti, per un'ora di interrogazione.
Decide di interrogare gli studenti a cui corrisponde sul registro un numero n che sia primo e tale che
anche n3 ‡ 3 sia primo. Quanti studenti interroga?
a. 1
b. 3
c. 4
d. 7
e. 9
‰a:Š
Le gare di matematica
La tua classe ha deciso di partecipare alle gare di
matematica che si svolgono ogni anno nel mese
di novembre. I quesiti che vengono proposti sono di solito diversi dai problemi che si affrontano
e si risolvono a scuola, anche se gli strumenti
matematici che servono sono proprio quelli
che a scuola si imparano.
Questi problemi spesso sono di carattere logico,
a volte bisogna usare anche un po' di comune
buon senso e naturalmente occorre fare un po'
di allenamento per poter affrontare la prova nel
migliore dei modi.
Mettiti alla prova e risolvi i quesiti che ti proponiamo.
14
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
EZ
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Ogni risposta corretta vale 5 punti, ogni risposta sbagliata vale 0 punti e ogni risposta non data vale 1 punto. Il
tempo a disposizione eÁ di un'ora.
1 Una volpe in fuga eÁ 50 passi davanti a un cane che la insegue. Mentre il cane percorre un tratto di 9
passi, la volpe ne percorre uno di 6 passi. Dopo quanti passi il cane raggiunge la volpe?
a. 100 passi della volpe
b. 150 passi della volpe
c. 50 passi della volpe
d. 120 passi della volpe
e. non la raggiunge mai
2 Su un autobus ci sono venti bambini ciascuno dei quali ha tre zaini nei quali sono contenuti tre gatti e tre
pappagalli adulti. Ogni gatto ha 4 zampe e ogni pappagallo ne ha due. I gatti adulti hanno ciascuno tre
gattini e i pappagalli adulti hanno ciascuno tre pappagallini. Fra zampe e gambe, quante ce ne sono sull'autobus?
a. 3280
b. 3240
c. 4320
d. 4360
e. 1080
3 Una corda eÁ lunga 28 metri; ogni giorno, a partire dal LunedõÁ, se ne tagliano 2 metri, tranne la Domenica,
giorno nel quale si esegue un taglio al mattino e uno alla sera. In quale giorno si finisce di tagliare la
corda?
a. Sabato
b. MartedõÁ della settimana successiva
c. Domenica
d. Sabato della settimana successiva
e. VenerdõÁ della settimana successiva
4 Fra Genova e la Sardegna esiste un regolare servizio di battelli che impiega 8 ore per compiere il tragitto
Genova-Olbia e ogni ora, sia di giorno che di notte, parte un battello sia da Genova che da Olbia. Supposto che il servizio sia regolare e funzioni da tempo, uno dei battelli partiti da Genova (o, che eÁ lo stesso, da Olbia) quanti altri battelli del servizio incontreraÁ sul percorso?
a. 0
b. 16
c. 12
d. 15
e. 9
5 Lisippo chiese al pastore Numidio quante pecore possedesse; il pastore rispose:
"Non lo so esattamente, ma se le conto per gruppi di due, di tre, di quattro, di cinque e di sei ne avanza
sempre una, mentre se le conto per gruppi di sette non ne avanza nessuna."
Lisippo subito rispose:
"Allora Numidio tu hai ....... pecore."
Sai dire quante sono le pecore di Numidio?
a. 735
b. 721
c. 686
d. 701
e. 385
6 Si apre un libro a caso e sulla pagina di destra si leggere il numero 123; si girano un certo numero di
pagine e si legge di nuovo il numero sulla pagina di destra: 433. Quante sono le pagine dispari tra quelle
indicate?
a. 154
b. 155
c. 156
d. 153
e. 309
7 La metaÁ di 1010 eÁ:
4 b.
5 b.
6 a.
7 c.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
d. 105
e. 109
3 e.
c. 5 109
2 d.
b. 55
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
1 a.
a. 510
EZ
15