Corso di Laurea in Matematica per
l’Informatica e la Comunicazione Scientifica
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Esame di profitto di Matematica Discreta 1 - I modulo
Novembre 2005.
Esercizio 1. Si indichi, tra le seguenti, l’unica affermazione corretta:
(a) In F27 si ha nx = 0∀x ∈ F27 ⇐⇒ n = 27.
(b) L’anello quoziente Z3 [x]/(x2 + x + 1) è isomorfo a F9 .
(c) Sia ξ il generatore del gruppo moltiplicativo di F81 e si ponga a = ξ 20 . Il
polinomio x2 + ax − 1 ammette a come radice.
(d) Le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione. F27 è un campo di caratteristica 3 quindi si ha 3x = 0∀x ∈ F27 .
x2 + x + 1 è un polinomio riducibile perché ammette −1 come radice.
√
Poiché a4 = (ξ 20 )4 = ξ 80 = 1, si ha a = −1 e conseguentemente a2 +aa−1 =
−3 = 0.
Esercizio 2. Si indichi, tra le seguenti, l’unica affermazione sbagliata:
P
(a) Sia f : N∗ → N∗ la funzione n 7→ d|n φ(d), dove φ denota la funzione di
Eulero; allora f = idN∗ .
P
(b) Sia f : N∗ → N∗ la funzione n 7→ d|n µ(d), dove µ denota la funzione di
Möbius; allora f (n) = 0 ∀n > 1.
P
(c) Sia f : N∗ → N∗ la funzione n 7→ d|n |µ(d)|, dove µ denota la funzione
di Möbius; allora f (n) = 2n ∀n ∈ N∗ .
(d) una delle precedenti affermazioni non è corretta.
Soluzione. La (a) è conseguenza di una formula nota:
P
d|n
φ(d) = n ∀n ∈ N∗ .
L’addendo µ(d) in (b) è diverso da 0 esattamente quando d = 1 oppure d è
prodotto di r primi distinti e in tal caso vale (−1)r . Detti p1 , . . . , pt i divisori
primi di n, vi sonoPprecisamente (tr ) divisori d di n per cui si ha µ(d) = (−1)r .
t
Pertanto f (n) = r=0 (−1)r (tr ) ed è ben noto dalla teoria che questa somma
vale 0 per t > 0, ovvero per n > 1.
Pt
Con analoghe considerazioni in (c) vale f (n) = r=0 (tr ), se t denota nuovamente il numero dei fattori primi di n, ed è noto dalla teoria che quella somma
vale 2t che è in generale un numero diverso da 2n .
Esercizio 3. Per un dato intero n si ponga tn := 3n5 − 3n + 6. Si indichi tra
le seguenti affermazioni l’unica che risulta corretta:
(a) Non esiste alcun numero intero n > 109 per cui la cifra delle unità di tn
sia 6.
(b) La cifra delle unità di t109 è 6= 6.
(c) Esistono interi n > 109 per i quali la cifra delle unità di tn non è 6.
(d) Per ogni intero n > 109 la cifra delle unità di tn è 6.
Soluzione. In realtà la cifra delle unità di tn è 6 ∀n. Infatti è noto dalla teoria
che, per ogni intero n, n5 ha la stessa cifra delle unità di n e quindi anche 3n5 e
3n hanno la stessa cifra delle unità. Dunque la cifra delle unità di 3n5 − 3n è 0
e di conseguenza la cifra delle unità di tn è 6 qualunque sia il valore di n.
Esercizio 4. Quanti numeri di sei cifre si possono ottenere utilizzando le cifre
0, 1, 4, 7, 9 con la condizione che il numero ottenuto non inizi con 000 e non
finisca con 40?
(a) meno di diecimila;
(b) tra diecimila e ventimila;
(c) tra ventimila e trentamila;
(d) più di trentamila.
Soluzione. Si deve applicare il principio d’inclusione-esclusione: il numero cercato è
c = |C1 | − |C2 | − |C3 | + |C4 |
dove C1 , C2 , C3 , C4 denotano rispettivamente
• l’insieme di tutti i numeri di sei cifre che si possono ottenere utilizzando le
cifre 0, 1, 4, 7, 9 (se ne ottengono 56 = 15.625);
• l’insieme di tutti i numeri di sei cifre che si possono ottenere utilizzando le
cifre 0, 1, 4, 7, 9 e che iniziano con 000 (se ne ottengono 53 = 125);
• l’insieme di tutti i numeri di sei cifre che si possono ottenere utilizzando le
cifre 0, 1, 4, 7, 9 e che terminano con 40 (se ne ottengono 54 = 625);
• l’insieme di tutti i numeri di sei cifre che si possono ottenere utilizzando le
cifre 0, 1, 4, 7, 9 e che iniziano con 000 e terminano con 40 (se ne ottengono
5). Dunque è c = 14.880.
Esercizio 5. In quale dei seguenti campi finiti si può estrarre la radice quarta
di −1:
(a)
F125 ,
(b)
F243 ,
(c)
F343 ,
(d)
F2401 .
Soluzione. Siano q una potenza di un primo e ξ un generatore del gruppo moltiplicativo del campo Fq . Se in Fq è possibile estrarre la radice quarta di −1,
dato ξ k , allora ξ 8k = 1 e si vede che questo può succedere esattamente quando
8k divide l’ordine q − 1 del gruppo moltiplicativo di Fq . Si può controllare che
l’unico valore di q tra quelli dati per cui q − 1 è divisibile per 8 è q = 2401 = 74 .
Esercizio 6. Quale tra i seguenti numeri è uguale al numero degli anagrammi
della parola carrarmato?
(a) il numero di applicazioni suriettive N10 → N6 ;
(b) il coefficiente del termine x31 x2 x5 x8 x9 x310 del polinomio
³P
10
k=1
xk
´10
;
(c) il numero dei numeri telefonici di 10 cifre con prefisso 191919;
(d) il numero delle parole di lunghezza 10 nell’alfabeto {a, c, m, o, r, t} che contengono tre a e tre r.
Soluzione. Il numero degli anagrammi della parola carrarmato è dato dal coefficiente multinomiale
¡ 10
¢
3, 3, 1, 1, 1, 1 = 100.800.
Il numero delle applicazioni suriettive N10 → N6 è dato dal prodotto
6! × S(10, 8)
che, come si può controllare, è un numero più grande di 100.800.
³P
´10
10
è dato
Il coefficiente del termine x31 x2 x5 x8 x9 x310 del polinomio
k=1 xk
dal multinomiale
¡
¢
10
3, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 3 = 100.800.
I numeri telefonici di 10 cifre con prefisso 191919 sono tanti quante sono le
parole di lunghezza 4 nell’afabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} che sono in numero di
104 .
Tra e parole di lunghezza 10 nell’alfabeto {a, c, m, o, r, t} che contengono tre
a e tre r, oltre a tutti gli anagrammi di carrarmato, sono contenute anche parole,
per esempio, con 2 m o con 3 t, etc.
