Perché
Perché le celle delle api hanno una struttura esagonale regolare?
Università
Università delle Liberetà
Liberetà 2008 – ‘ 09
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appunti di marinella bassi
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piastrelle
Il tessuto di molti vegetali e il pigmento della retina nei
nostri occhi hanno anche una conformazione a esagoni
regolari
I radiolari (animali unicellulari che vivono in acque marine
e non marine) hanno spesso uno scheletro regolarmente
strutturato che dà all’animale la forma di poliedro
regolare
piastrelle
La struttura a maglie regolari, in tecnologia, è la più
resistente a parità di materiale usato
La natura fabbrica cristalli di sale a forma di cubi
Il cristallo di pirite (solfuro di ferro) è un dodecaedro
regolare
Il cristallo di diamante ha la forma di ottaedro
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piastrelle
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Tassellatura di Penrose
e
s
a
g
n
quadrati
i
triangoli
equilateri
“tassellano” un piano
Si utilizzano due rombi con angoli di
36°
36° e 144°
144°per il primo e di 72°
72° e di
108°
108° per il secondo
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Tassellatura di Penrose
Penrose e John Conway hanno dimostrato che ci sono
infiniti modi di coprire il piano con mattonelle di questi
due tipi (nessuna di queste coperture è periodica))
aquiloni e
punte
riempiono il
piano
36°
36°
36°
72°
36°
36°
36°
72°
Le figure che si ottengono danno
l’impressione di tendere sempre alla
regolarità ma di non riuscire mai a
raggiungerla
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Escher
(1898 – 1972)
lavoro simmetrico 21
Tassellatura del piano
mediante riproduzione, per
trasformazioni isometriche,
di un unico motivo
fondamentale
Il pavimento del distretto della cattedrale di Wakefield
Gran Bretagna
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Una trasformazione si dice che è una isometria se due figure
del piano che si corrispondono secondo quella trasformazione
sono uguali
Studio di divisione
regolare del piano con
cavalieri
Diciamo isometro un ‘gruppo’ costituito da isometrie
(traslazioni, rotazioni, ribaltamenti, . . . )
china ed acquarello di Escher
Tra l’Ottocento e il Novecento furono scoperti tutti i gruppi
isometri del piano ed il loro numero ( sono diciassette)
In questa tassellatura del
piano euclideo,non solo i diversi
cavalieri si corrispondono
secondo trasformazioni di un
gruppo isometro, ma si verifica
anche che la linea che delimita
ciascuno di essi delimita anche
parti di altri
Gli artisti arabi nell’Alhambra (a Granada) riprodussero tutti i
17 gruppi isometri, con tecniche di mosaico o di intarsio o con
la lavorazione dello stucco a incisione o a stampo
Oss. La costruzione dell’ Alhambra ebbe inizio nel 1238
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Alcuni particolari
delle decorazioni che
ricoprono pareti,
pavimenti, soffitti,
colonne ed arcate
Interno di una
delle sale
dell’
dell’Alhambra di
Granada
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ricordiamo che
tassellatura del piano
mediante riproduzione,
per trasformazioni
isometriche, di un unico
motivo fondamentale
• la somma degli angoli interni di un triangolo è
uguale a un angolo piatto
• la somma degli angoli interni di un poligono
(convesso) vale tanti angoli piatti quanto è il
numero dei vertici del poligono meno due
la somma degli angoli esterni di un poligono è
un invariante
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Si propongono alcuni tipi di pavimentazione con mattonelle
non tutte uguali, verificare che i poligoni sono regolari
PAVIMENTAZIONI
alcuni esercizi
1. E’ possibile realizzare una pavimentazione con ottagoni regolari?
e con decagoni regolari?
2. Si può realizzare una pavimentazione accostando esagoni regolari e
triangoli equilateri di ugual lato?
3. Accostare due pentagoni regolari e un decagono regolare di ugual lato
e verificare che “si riempie” un angolo giro. Far vedere che, però, non si
può costruire una pavimentazione
4. In alcune vetrate del XVI secolo si trovano
esagoni regolari e parallelogrammi di cui due
lati sono doppi degli altri due. Di quanti gradi
devono essere gli angoli dei parallelogrammi?
(v. figura)
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Servendosi della formula di Eulero, si trova che non esistono
più di cinque poliedri regolari
Infatti
Per poliedro si intende un solido la cui superficie è
costituita da un certo numero di facce poligonali
Supponiamo che un poliedro regolare abbia F facce, ciascuna
delle quali sia un poligono regolare di n (n ≥ 3) lati e che a
ciascun vertice si incontrino r (r ≥ 3) spigoli
Formula di Eulero (1707 – 1783)
e inoltre
n•F =2•S (ogni spigolo appartiene a due facce)
V+F–S=2
r•V = 2•S (ogni spigolo contiene due vertici)
2•S
da cui
n
(V: num.
num. dei vertici, F: n. delle facce, S: n. degli spigoli)
...
Un poliedro si dice regolare se tutti i poligoni sono regolari e
tutti gli angoloidi sono uguali
(*)
+
2•S _ S =
2
r
1/n + 1/r = 1/2 + 1/S
ma n ed r non possono essere entrambi maggiori di 3 altrimenti
la formula (*) non è valida per ogni valore positivo di S
allora se r = 3, i valori che può assumere n sono 3, 4 o 5 e
La formula di Eulero è valida per poliedri “semplici”
semplici” , cioè
cioè poliedri la
cui superficie può essere trasformata per deformazione continua
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nella superficie di una sfera
S : 6, 12 o 30 (tetraedro, cubo, dodecaedro)
se n = 3, i valori che può assumere r sono 3, 4 o 5 e
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S : 6, 12 o 30 (tetraedro, ottaedro, icosaedro)
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L’angoloide in V
diminuisce
V
L’angoloide in V
aumenta
I cinque poliedri convessi regolari ( solidi Platonici )
tetraedro
esaedro
o cubo
ottaedro
dodecaedro
V
icosaedro
L’angoloide in V “si
schiaccia” sul
piano
α
β
γ
Sulla porta d’ingresso della scuola di Platone era scritto
“Non entri nessuno che sia ignorante di geometria”
geometria”
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La somma degli angoli che delimitano un
angoloide deve essere minore di 360°
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Tre triangoli equilateri concorrono in un vertice
3• 60°= 180°
Tre pentagoni regolari concorrono in un vertice
3• 108°= 240°
Tre quadrati concorrono in un vertice
3• 90°= 270°
Quattro triangoli equilateri concorrono in un
vertice
Quattro triangoli equilateri concorrono in un
vertice
4• 60°= 240°
4• 60°= 240°
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Un modo dinamico per vedere la somma degli angoli interni di un
triangolo
Poligoni: somma degli angoli esterni di un poligono
Facciamo una semplice
osservazione: se cammino
attorno ad un edificio di
forma poligonale, mi ritrovo
alla fine al punto di partenza
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Tassellatura di Penrose
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