le funzioni economiche - Pagina personale di Gargiulo Mario

M A R I O
G A R G I U L O
LE FUNZIONI
ECONOMICHE
APPLICAZIONE
DELL
’ANALISI MATEMATICA
APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FUNZIONI ECONOMICHE
FUNZIONI ECONOMICHE
L’economia è lo studio di come impiegare, con maggior convenienza, il denaro di cui si dispone per raggiungere determinati fini.
Per descrivere ciò si fa ricorso alle leggi economiche, basate sulle funzioni economiche.
Lo scopo ultimo, quindi, è osservabile fondamentalmente sotto due aspetti:
ottenere il massimo utile a parità di costi;
sostenere il minimo costo a parità di utile.
Le principali funzioni economiche sono:
la funzione di domanda;
la funzione di vendita;
la funzione di ricavo;
la funzione di costo.
Dobbiamo sempre distinguere, poi, tra due tipi di mercato:
c o n c o r r e n z a p e r f e t t a : caratterizzato dalla presenza di molti operatori, che
singolarmente, con il loro operare, non riescono ad influenzare il prezzo di mercato e/o la quantità di equilibrio;
m o n o p o l i o p e r f e t t o : caratterizzato dalla presenza di un solo operatore che decide ed impone il prezzo di mercato e la quantità di equilibrio.
Esistono, poi, numerosi tipi di mercati intermedi a quelli indicati, che si spostano su un’asse
immaginario tra la concorrenza perfetta ed il monopolio perfetto, come la concorrenza
monopolistica e l’oligopolio.
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APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FUNZIONI ECONOMICHE
FUNZIONE DI DOMANDA
La domanda è l’atto con cui un individuo fa richiesta di un bene dietro corresponsione di
un corrispettivo in denaro.
Le variabili che influenzano la domanda sono:
il prezzo del bene;
il reddito disponibile;
i prezzi degli altri beni;
i fattori psicologici che influenzano la scelta.
La funzione di domanda è una funzione matematica che ci spiega come, al variare del prezzo p, varia la quantità q domandata del bene.
Quindi, diremo che q = f (p).
Le funzioni più comuni sono:
funzione lineare:
q
espressa da q = a – bp dove a e b sono due
variabili positive.
a
funzione quadratica:
a/b
p
(a/b)
½
p
a/b -c
p
q
espressa da q = a – bp² dove a e b sono due
a
variabili positive.
funzione iperbolica:
espressa da q =
variabili positive.
a
− b dove a, b e c sono tre
p+c
q
a/c -b
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APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FUNZIONI ECONOMICHE
funzione esponenziale:
q
a
-bp
espressa da q = a e dove a e b sono due
variabili positive.
p
Si può facilmente verificare , comunque, che la quantità domandata di un bene è funzione
inversa del prezzo dello stesso bene, quindi la funzione di domanda è decrescente.
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APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FUNZIONI ECONOMICHE
FUNZIONE DI VENDITA
La funzione di vendita indica il prezzo in funzione della quantità.
Sono due i tipi principali di funzione di domanda:
funzione lineare:
p
espressa da p = a – bq dove a e b sono due
variabili positive.
a
funzione iperbole:
espressa da p =
positiva.
a
dove a è una variabile
q
a/b
q
a/b
p
q
a
La più importante e nota è la funzione lineare, comunemente nota come curva di domanda.
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APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FUNZIONI ECONOMICHE
FUNZIONE DI RICAVO
Il ricavo totale di un’impresa è la somma del prodotto tra il prezzo e la quantità venduta di
ogni bene. Per facilità di calcolo e di rappresentazione grafica, standardizziamo il modello
economico ad un’impresa che produce e vende un solo bene. Ci troviamo di fronte ad una
funzione rappresentabile su di un diagramma cartesiano, diversa a seconda che il mercato è:
R
concorrenza perfetta:
espressa da R = pq.
q
monopolio:
R
espressa dalla stessa funzione della concorrenza
perfetta, dove però p = a – bp dove a e b sono due
variabili positive.
q
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APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FUNZIONI ECONOMICHE
FUNZIONE DI COSTO
La teoria economica classifica i costi in costi di breve periodo e costi di lungo periodo. La
classificazione è basata sulla possibilità di variare tutti i fattori della produzione, ed abbiamo
i costi di lungo periodo, o meno, ed abbiamo i costi di breve periodo.
Esistono altre tipologie di costi, cioè:
c o s t i f i s s i : costi che non variano al variare dell’output;
c o s t i v a r i a b i l i : costi che variano al variare dell’output;
c o s t o m e d i o f i s s o : costi fissi per unità di output;
c o s t o m e d i o v a r i a b i l e : costi variabili per unità di output;
c o s t o t o t a l e : somma dei costi fissi e dei costi variabili;
c o s t o m e d i o t o t a l e : somma dei costi medi fissi e dei costi medi variabili.
Dato C il costo totale, abbiamo i seguenti altri costi:
Cmf
Cmv
Cm
Cf
q
Cv(q )
q
C Cf + Cv(q ) Cf Cv(q)
=
=
+
= Cmf + Cmv
q
q
q
q
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APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FUNZIONI ECONOMICHE
LA TEORIA DEI COSTI NEL BREVE PERIODO
Nel breve periodo troviamo tutte le configurazioni di costo analizzate sopra, con le seguenti caratteristiche:
C
costi fissi:
costanti rispetto alla produzione.
q
costi variabili:
C
variano al variare della produzione.
q
costo medio variabile:
rappresenta l’inclinazione della funzione di costo variabile.
C
costi medio fisso:
q
costi medio totale:
C
q
Il punto di minimo della funzione dei costi totali medi rappresenta il punto in cui la produzione è ottimale, ci indica cioè la quantità da produrre al minor costo sostenibile, dati i vincoli ed i costi di produzione.
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APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FUNZIONI ECONOMICHE
IL COSTO MARGINALE
Il costo marginale è il costo da sostenere per la produzione di un’unità aggiuntiva di output.
La funzione del costo marginale ci aiuta a quantificare le variazioni del costo marginale al
variare dell’output.
Il costo marginale, in termini matematici, è la derivata prima della funzione di costo totale,
quindi:
C ' ( q) =
dC (q )
dq
da cui deriva:
C ' (q ) =
dC (q) dCf dCv(q ) dCv(q)
=
+
=
= C ' v( q )
dq
dq
dq
dq
Il costo marginale è dunque la derivata prima del costo variabile.
Graficamente la funzione di costo marginale è rappresentata da:
C
C’
C
C’
Cm
q
q
Nel punto di intersezione della funzione del costo marginale con la funzione del costo medio, si ha il punto di minimo della curva del costo medio, cioè le coordinate ottimali di produzione – quantità e costi.
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APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FUNZIONI ECONOMICHE
RICAVO MARGINALE E RICAVO MEDIO
Il ricavo totale è dato dal prodotto tra la quantità venduta ed il prezzo di vendita. Abbiamo
visto che la formula del ricavo è R = pq.
Il ricavo medio è il ricavo per unità di output venduto, che, in base al tipo di mercato in cui
l’impresa opera, corrisponde:
concorrenza perfetta
monopolio
R(q ) pq
=
=p
q
q
R ( q ) p( q ) q
=
= p(q ) = a − bq
q
q
Come si vede il ricavo medio è uguale al prezzo di vendita, sia nel mercato in concorrenza
perfetta che nel mercato monopolistico.
Il ricavo marginale è il ricavo ottenuto dalla vendita di un’unità addizionale di output.
In concorrenza perfetta abbiamo:
R' (q ) =
dR(q ) dpq
=
=p
dq
dq
Il ricavo marginale, in concorrenza perfetta, è uguale al ricavo medio.
In un mercato monopolistico abbiamo:
R' (q ) =
dR(q ) d (a − bq)q daq − bq 2
=
=
= a − 2bq
dq
dq
dq
che corrisponde al ricavo medio in monopolio, ma con inclinazione doppia.
Graficamente:
C
C
Rm
Rm = R’
R’
q
concorrenza
q
monopolio
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APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FUNZIONI ECONOMICHE
MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO
La massimizzazione del profitto impone due alternative per il calcolo prima del profitto e
successivamente, in termini matematici o grafici, il calcolo del punto in cui il profitto è il
massimo.
Il profitto si determina come differenza tra il ricavo totale ed il costo totale. Graficamente
abbiamo due metodi:
differenza tra il ricavo totale ed il costo totale;
punto di intersezione tra la curva del ricavo marginale e la curva del costo marginale.
In concorrenza perfetta, analiticamente, per massimizzare la differenza tra il ricavo totale
ed il costo totale bisogna determinare il punto di massimo della funzione del profitto, cioè
la derivata prima della funzione di profitto π = R – C, e porlo uguale a 0:
π ' = R'−C ' = 0 e quindi R' = C ' = p
Per massimizzare il profitto la produzione deve essere tale
C
C’
Cm
che il costo marginale sia uguale al prezzo. Questo passaggio
ci riporta al secondo punto, cioè l’intersezione tra la curva del
R’=p
ricavo marginale, il prezzo, e la curva del costo marginale.
q
Anche in regime di monopolio abbiamo l’uguaglianza tra costo marginale e ricavo marginale, ma in questo caso dobbiamo tener presente delle due funzioni di costo. Abbiamo quindi
il sistema formato da R = aq – bq² e da C = c + dq. La soluzione sarà:
π ' = R'−C ' = a − 2bq − d da cui deriva che π’ = 0 se q =
a−d
.
2b
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APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FUNZIONI ECONOMICHE
ELASTICITÀ DELLA DOMANDA
L’elasticità di una funzione f in un punto x la quantità:
ε = y'
x dy x
=
y dx y
ed esprime il limite degli incrementi di y e della variabile x.
L’elasticità, nella teoria economica, ci aiuta a determinare l’elasticità del mercato in base al
prezzo.
Tale valore ci guida su come varia la quantità venduta al variare del prezzo.
L’elasticità della domanda sarà, quindi:
ε=
dq p dq / q
=
dp q dp / p
che per valori assoluti assume i seguenti significati:
|ε| < 1
|ε| = 1
|ε| > 1
domanda inelastica
domanda unitaria
domanda elastica
La domanda è elastica se ad una variazione del prezzo segue una variazione dello stesso segno della quantità domandata.
La domanda inelastica, invece, è caratterizzata da un comportamento del mercato in senso
opposto alla variazione del prezzo.
La domanda è unitaria se la variazione del prezzo e della quantità hanno lo stesso segno e
lo stesso rapporto costante.
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APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FUNZIONI ECONOMICHE
DOMANDA, OFFERTA ED EQUILIBRIO
q
L’offerta è la quantità di merce posta sul mercato dai produttori. Essa
è funzione crescente del prezzo, nel senso che all’aumentare del prezzo aumenta la quantità di output posto sul mercato.
p
q
La domanda è la quantità di merce richiesta dal mercato dai consumatori. Essa è funzione decrescente, nel senso che all’aumentare del
prezzo diminuisce la quantità di merce richiesta dai consumatori.
p
q
Dall’equilibrio tra i due mercati abbiamo il punto di equilibrio, che
definisce la quantità ed il prezzo di equilibrio tra domanda ed offerta.
All’aumentare del prezzo i produttori tenderanno a offrire più output
ed i consumatori a domandare più merce. I produttori allora tende-
p
ranno ad offrire quantità decrescenti di output fino a trovare la quantità domandata dai
consumatori. In questo punto d’incrocio si torna al punto d’equilibrio.
Analiticamente la quantità domandata q = a – bp e la quantità offerta s = - c + dp. Il punto
di equilibrio sarà il punto in cui q = s, cioè a − bp = −c + dp da cui deriva (b − d ) p = a + c
e da cui si ottiene il prezzo e la quantità di equilibrio:
p=
a+c
e q = a − bp
b−d
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APPLICAZIONE DELL’ANALISI MATEMATICA ALLE FUNZIONI ECONOMICHE
INDICE
FUNZIONI ECONOMICHE ..................................................................................................................2
FUNZIONE DI DOMANDA..............................................................................................................3
FUNZIONE DI VENDITA ................................................................................................................5
FUNZIONE DI RICAVO ...................................................................................................................6
FUNZIONE DI COSTO.....................................................................................................................7
LA TEORIA DEI COSTI NEL BREVE PERIODO ...................................................................................8
IL COSTO MARGINALE........................................................................................................................9
RICAVO MARGINALE E RICAVO MEDIO .........................................................................................10
MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO ................................................................................................11
ELASTICITÀ DELLA DOMANDA .......................................................................................................12
DOMANDA, OFFERTA ED EQUILIBRIO ...........................................................................................13
INDICE ...............................................................................................................................................14
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