Esercizi Quarta Lezione
Geometria
8/02/2017
1. Sia ABC un triangolo. Scelto uno dei lati si tracci la retta r parallela ad esso e passante per uno dei punti
medi dei lati adiacenti. Dimostrare che i punti A, B e C sono tutti equidistanti dalla retta r.
2. Del triangolo ABC sappiamo che AB = 77, BC = 123 e CA = 130.
Risolvere i seguenti problemi:
• Trovare l’altezza relativa al lato AB
• Sia P un punto interno al triangolo (in particolare P non sta sui lati) e sia S la somma delle distanze di
P dai 3 lati del triangolo. Quanti diversi valori interi può assumere S?
• Sia P un punto interno al triangolo e sia P il prodotto delle distanze di P dai 3 lati del triangolo.
Indichiamo con M il massimo valore che P può assumere al variare della posizione di P. Poiché M è una
frazione, dire qual è il suo denominatore dopo che è stata ridotta ai minimi termini.
3. Un triangolo equilatero ha lo stesso perimetro di un rettangolo di dimensioni b e h (con b > h). L’area del
√
b
triangolo è 3 volte quella del rettangolo. Quanto vale ?
h
4. Sia ABC un triangolo rettangolo con i lati lunghi rispettivamente 5, 12 e 13. Quanto vale la lunghezza della
bisettrice dell’angolo retto? In generale quanto vale tale lunghezza in un generico triangolo rettangolo?
5. Priscilla è stata incaricata di realizzare la scenografia per la recita della scuola. Ha bisogno di una falce di
luna, e ha a disposizione un cerchio di cartone di raggio r in √cui ritagliarla; allora punta il compasso sul
bordo del cerchio, disegna un arco di circonferenza di raggio r 2 e taglia lungo la linea tracciata. Quanto
vale l’area di falce di luna che ottiene?
6. In un trapezio ABCD di base maggiore AB, le diagonali vengono divise dal loro punto di incontro O in parti
proporzionali ai numeri 1 e 3. Sapendo che l’area del triangolo BOC è 15, quanto misura l’area dell’intero
trapezio?
7. In un triangolo isoscele ABC con AC = BC 6= AB, si fissi un punto P sulla base AB. Quante posizioni può
assumere nel piano un punto Q se vogliamo che i punti A, P e Q, presi in ordine qualsiasi, siano i vertici di
un triangolo simile ad ABC
8. Stessa situazione del problema precedente. Dimostrare che la somma delle distanze del punto P dai lati AC
e BC è costante e pari all’altezza relativa ai lati obliqui.
9. Un quadrato ABCD di lato 1 è inscritto in una circonferenza γ. Si costruiscano i simmetrici degli archi
AB, BC, CD, DA di γ rispetto ai lati AB, BC, CD, DA rispettivamente. Indichiamo con L, M, N, O i punti
medi degli archi cosı̀ ottenuti: quanto vale l’area di LM N O?
\ = 15◦ . Sia H il piede dell’altezza da A e siano J, K le
10. Sia ABC un triangolo rettangolo in A, con ABC
proiezioni di H su AB e AC. Sapendo che l’area di AJHK è di 45 cm2 , quanti cm2 vale l’area del rettangolo
che ha per dimensioni BJ e CK?
11. Tracciando le diagonali AC, CE, EA, BD, DF e F B di un esagono regolare ABCDEF di area 2310, questo
viene diviso in 13 regioni. Determinare l’area di quella a forma di esagono regolare.
12. Una capra è legata con una corda lunga 12 metri ad un angolo di una casa a base quadrata col lato di 6 metri,
completamente circondata da un prato enorme senza ostacoli. Sia A l’area, espressa in m2 della porzione di
A
prato sulla quale la capra riesce a brucare l’erba. Quanto vale ?
π
13. In un ottagono regolare ABCDEF GH si tracciano tutte le diagonali che sono parallele al lato AB o al lato
CD. In tal modo l’ ottagono risulta suddiviso in 9 zone. Sapendo che l’area della più grande è 2014 m2 , dire
quanto vale (sempre espressa in m2 ) la somma delle aree delle 4 zone più piccole.
1
14. L’esagono convesso ABCDEF è inscritto in una circonferenza. Se gli angoli interni in A e in C misurano
rispettivamente 112◦ e 137◦ , quanto misura, in gradi, l’angolo interno in E?
15. Il poligono convesso di 6 vertici ABCDEF è circoscritto alla circonferenza Γ. Inoltre è noto che AB = 100
cm, BC = 94 cm, CD = 63 cm, DE = 17 cm e EF = 16 cm. Qual è la misura, espressa in cm, di F A?
16. Nel trapezio scaleno ABCD, con basi AB e CD, le diagonali si intersecano nel punto E. Sapendo che il
triangolo ABE ha area 1922 e il triangolo CDE ha area 1250, determinare l’area totale del trapezio.
√
17. All’interno di un triangolo equilatero, i cui lati hanno lunghezza pari a 40 3, il punto P si trova a distanza
di 17 da un lato e 22 dall’altro lato. Qual è la distanza di P dl terzo lato?
18. Un’isola ha la forma di poligono convesso (ma irregolare) di 2013 lati e le sue coste sono lunghe, complessivamente, 75 km. Qual è l’area A, espressa in km2 , della parte di mare che dista dalla costa non più di 10 km?
(Indicare nella risposta la parte intera di A; se si ritiene che i dati forniti siano insufficienti indicare come
risposta 0).
19. Sia ABCD un quadrilatero convesso e sia P un punto del lato AB diverso da B. Sappiamo che AB = AC =
BD = 3AD = 3BC = 3CP e che, detta Q l’intersezione di CP e BD, l’area del triangolo P BQ è 17. Trovare
l’area di AP QT dove T è l’intersezione di AC e BD.
20. Le diagonali del quadrilatero convesso ABCD si intersecano nel punto P. Sapendo che i triangoli AP B, BP C
e CP D hanno aree rispettivamente 100, 200 e 400 calcolare l’area complessiva del quadrilatero ABCD.
21. Una cinghia è tesa tra due pulegge
circolari di raggi rispettivamente 1 e 6 e con i centri che distano d. Quanto
√
è lunga la cinghia, se d = 5 2?
22. Un esagono equiangolo ha quattro lati consecutivi lunghi nell’ordine 5,3,6 e 7. Determinare le lunghezze degli
altri due lati.
23. Le tre mediane di un triangolo misurano, rispettivamente 135, 120 e 39 cm. Quanto misura l’area del
triangolo?
24. Nel triangolo ABC si prendano un punto P sul lato AC ed un punto Q sul lato BC. Indichiamo con S
l’intersezione tra AQ e BP e prolunghiamo CS fino ad intersecare il lato AB nel punto R. SE le aree dei
triangoli ASP , ASR e BSR sono rispettivamente 126, 84 e 24, quanto vale l’area del triangolo ABC?
25. Il perimetro di un triangolo, espresso il millimetri, è un numero intero, mentre la somma delle mediane è 3
metri. Quanti diversi valori può assumere il perimetro?
26. Nella figura, ABCD è un quadrato e AEF J un rettangolo. SE JB = ID e AB = 111,quanto vale l’area di
AEF J?
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27. Sia ABCD un rettangolo e Γ una circonferenza passante per C e tangente ai lati AB e AD in M e N,
rispettivamente. Se la distanza di C dal segmento MN misura 5, quanto vale l’area del rettangolo ABCD?
28. Considerate due piramidi una a base triangolare e l’altra a base quadrata, aventi tutti gli spigoli della stessa
lunghezza. Se le due piramidi vengono incollate lungo una delle facce triangolari il solido risultante avrà n
facce. Quanto vale n?
29. In un cubo di lato 1 è inscritta una sfera; oltre a questa vi sono altre otto sfere più piccole, ognuna tangente
esternamente alla sfera grande e tangente anche a tre facce del cubo. Qual è il raggio delle sfere più piccole?
30. Sia T un tetraedro regolare con volume di 7 m3 e sia H un ottaedro regolare la cui superficie totale è 72 volte
quella di T . Qual è (in m3 ) il volume di H?
31. Un cono con un raggio di base di 6 cm è fatto ruotare tenendo fisso il vertice al centro di un grande cerchio.
Il cono compie 3 rotazioni complete attorno al suo asse, prima di ritornare alla posizione di partenza. Qual
è la superficie laterale del cono?
32. Uno scultore vuole costruire un tetradecaedro (o più semplicemente un cubo troncato) da un cubo di lato 3 m.
per ognuno dei vertici del cubo, misura 1 m dal vertice, e taglia il tetraedro rettangolo che ne risulta, lasciando
a
6 facce ottogonali, e 8 facce triangolari. Se il volume si può scrivere come con a e b sono interi coprimi e
b
√
la superficie laterale è c + d e, dove e è un numero primo, qual è il risultato della somma a + b + c + d + e?
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