ESERCIZIO – Il telescopio

ESERCIZIO – Il telescopio
Consideriamo un telescopio kepleriano costituito da due lenti sottili L1 e L2, positive poste in aria in
configurazione afocale kepleriana.
Se L1 ha un potere 1 = 2D ed un diametro utile D1 = 50mm ed L2 ha un potere 2 = 50D:
1) determinare la posizione e la dimensione della pupilla di ingresso e della pupilla di uscita del
telescopio
2) Supponendo che un oggetto posto all’infinito sottende sulla pupilla di ingresso un angolo  =0.2° determinare la posizione e dimensione della sua immagine fatta dal telescopio. Come si
potrebbe definire l’ingrandimento angolare del telescopio e quanto vale in questo caso? Si può
definire l’ingrandimento angolare come una grandezza algebrica?
3) Schematizzando l’occhio con una lente sottile L3 posta in aria di potere 3 = 60.5D e di
diametro utile D3 = 2mm (visione diurna), determinare la posizione di L3 in modo che
l’accoppiamento telescopio-occhio sia ottimale. Infine determinare la dimensione dell’immagine
retinica corrispondente all’oggetto sopra menzionato.
SVOLGIMENTO
Poiché le due lenti sono in configurazione afocale kepleriana la distanza tra L1 e L2 sarà
(
)
Determiniamo adesso posizione e dimensione della pupilla di ingresso e della pupilla di uscita.
Dato che L1 funziona da STOP, la pupilla di ingresso del telescopio coincide con lo STOP e quindi
con L1, perciò:
Per calcolare posizione e dimensione della pupilla di uscita si deve determinare la posizione e
dimensione dello STOP fatta da L2. Quindi:
⇒
⇒
(
)⇒
E dunque:
(
)
La pupilla di uscita è quindi REALE dato che tXP>0.
Inoltre l’ingrandimento che compete alla coppia di piani coniugati su cui giacciono EP e XP è dato
da:
(
(
Quindi
| |
)
)
Essendo il telescopio AFOCALE, formerà all’infinito una immagine di un oggetto all’infinito,
ovvero L1 forma sul suo secondo piano focale una immagine reale intermedia (1’) dell’oggetto
all’infinito che sottende l’angolo .
Dato che il primo piano focale di L2 coincide con il secondo piano focale di L1, la lente L2 forma
all’infinito una immagine della immagine intermedia 1’.
Essendo l’immagine fatta dal telescopio all’, la sua dimensione sarà assegnata angolarmente
mediante l’angolo ’ che sottende.
In figura si ha che: <0, 1’<0, ’>0. In approssimazione parassiale è facile vedere che
(approssimando le tangenti con gli angoli stessi, espressi in radianti):
Da cui:
Il segno meno ricorda che l’immagine è INVERTITA
Guardando la relazione tra gli angoli  ed ’ appare naturale definire l’ingrandimento angolare del
telescopio come:
Che è una grandezza ALGEBRICA: se l’ingrandimento angolare è maggiore di zero l’immagine
all’infinito è ERETTA, quando è minore di zero è ROVESCIATA.
Il miglior accoppiamento telescopio-occhio si ha quando la pupilla di ingresso dell’occhio coincide
con la pupilla di uscita del telescopio. Nel nostro caso quando la lente sottile L3 è posta sulla XP del
telescopio. In visione diurna l’accoppiamento è ottimale in quanto la distanza tXP lascia abbastanza
spazio per posizionare l’occhio e la pupilla di ingresso ha mediamente un diametro di 2 mm.
La dimensione dell’immagine retinica risulta:
Infine osserviamo che
|
|
Ovvero il diametro della pupilla di uscita del telescopio è inversamente proporzionale
all’ingrandimento angolare del telescopio stesso