ESERCIZIO – Il telescopio
Consideriamo un telescopio kepleriano costituito da due lenti sottili L1 e L2, positive poste in aria in
configurazione afocale kepleriana.
Se L1 ha un potere 1 = 2D ed un diametro utile D1 = 50mm ed L2 ha un potere 2 = 50D:
1) determinare la posizione e la dimensione della pupilla di ingresso e della pupilla di uscita del
telescopio
2) Supponendo che un oggetto posto all’infinito sottende sulla pupilla di ingresso un angolo =0.2° determinare la posizione e dimensione della sua immagine fatta dal telescopio. Come si
potrebbe definire l’ingrandimento angolare del telescopio e quanto vale in questo caso? Si può
definire l’ingrandimento angolare come una grandezza algebrica?
3) Schematizzando l’occhio con una lente sottile L3 posta in aria di potere 3 = 60.5D e di
diametro utile D3 = 2mm (visione diurna), determinare la posizione di L3 in modo che
l’accoppiamento telescopio-occhio sia ottimale. Infine determinare la dimensione dell’immagine
retinica corrispondente all’oggetto sopra menzionato.
SVOLGIMENTO
Poiché le due lenti sono in configurazione afocale kepleriana la distanza tra L1 e L2 sarà
(
)
Determiniamo adesso posizione e dimensione della pupilla di ingresso e della pupilla di uscita.
Dato che L1 funziona da STOP, la pupilla di ingresso del telescopio coincide con lo STOP e quindi
con L1, perciò:
Per calcolare posizione e dimensione della pupilla di uscita si deve determinare la posizione e
dimensione dello STOP fatta da L2. Quindi:
⇒
⇒
(
)⇒
E dunque:
(
)
La pupilla di uscita è quindi REALE dato che tXP>0.
Inoltre l’ingrandimento che compete alla coppia di piani coniugati su cui giacciono EP e XP è dato
da:
(
(
Quindi
| |
)
)
Essendo il telescopio AFOCALE, formerà all’infinito una immagine di un oggetto all’infinito,
ovvero L1 forma sul suo secondo piano focale una immagine reale intermedia (1’) dell’oggetto
all’infinito che sottende l’angolo .
Dato che il primo piano focale di L2 coincide con il secondo piano focale di L1, la lente L2 forma
all’infinito una immagine della immagine intermedia 1’.
Essendo l’immagine fatta dal telescopio all’, la sua dimensione sarà assegnata angolarmente
mediante l’angolo ’ che sottende.
In figura si ha che: <0, 1’<0, ’>0. In approssimazione parassiale è facile vedere che
(approssimando le tangenti con gli angoli stessi, espressi in radianti):
Da cui:
Il segno meno ricorda che l’immagine è INVERTITA
Guardando la relazione tra gli angoli ed ’ appare naturale definire l’ingrandimento angolare del
telescopio come:
Che è una grandezza ALGEBRICA: se l’ingrandimento angolare è maggiore di zero l’immagine
all’infinito è ERETTA, quando è minore di zero è ROVESCIATA.
Il miglior accoppiamento telescopio-occhio si ha quando la pupilla di ingresso dell’occhio coincide
con la pupilla di uscita del telescopio. Nel nostro caso quando la lente sottile L3 è posta sulla XP del
telescopio. In visione diurna l’accoppiamento è ottimale in quanto la distanza tXP lascia abbastanza
spazio per posizionare l’occhio e la pupilla di ingresso ha mediamente un diametro di 2 mm.
La dimensione dell’immagine retinica risulta:
Infine osserviamo che
|
|
Ovvero il diametro della pupilla di uscita del telescopio è inversamente proporzionale
all’ingrandimento angolare del telescopio stesso
