Istituzioni di Logica Matematica

Istituzioni di Logica Matematica
Sezione 6 del Capitolo 2
Alessandro Andretta
Dipartimento di Matematica
Università di Torino
A. Andretta (Torino)
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, S)
0 è l’unico numero che rende vera
∀y (S(y) 6= x) ,
(ϕ0 (x))
e k > 0 è l’unico numero che soddisfa
∃y ϕ0 (y) ∧ S (k) (y) = x ,
(ϕk (x))
Ogni insieme finito {k1 , . . . , kn } ⊆ N è definibile mediante la formula
ϕk1 (x) ∨ ϕk2 (x) ∨ · · · ∨ ϕkn (x).
Di conseguenza ogni insieme co-finito di naturali (cioè della forma N \ F
con F finito) è definibile. Dimostreremo che questi sono gli unici insiemi
di naturali definibili nella struttura (N, S).
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, S)
Un sistema di assiomi per (N, S) è


 ∃!x ∀y (S(y) 6= x)
∀x, y (x 6= y ⇒ S(x) 6= S(y))
Σ(N,S)


∀x(S (n) (x) 6= x)
(σn , n ≥ 1).
Σ(N,S) non è finitamente assiomatizzabile.
I suoi modelli sono della forma N ∪· (I × Z) con (i, k) 7→ (i, k + 1).
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, S, 0)
Espandiamo il linguaggio con lo 0 — i sottoinsiemi definibili in (N, S, 0)
sono esattamente quelli in (N, S). Un sistema di assiomi è dato da


 ∀x (S(x) 6= 0)


 ∀x (x 6= 0 ⇒ ∃y(S(y) = x))
Σ(N,S,0)

∀x, y (x 6= y ⇒ S(x) 6= S(y))




∀x(S (n) (x) 6= x)
(σn , n ≥ 1).
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
Eliminazione dei quantificatori
Definizione
Sia T una teoria in un linguaggio contenente costanti. T ammette
l’eliminazione debole dei quantificatori se ad ogni formula ϕ possiamo
associare una formula ϕ0 priva di quantificatori e con le medesime variabili
libere, cosı̀ che ϕ e ϕ0 sono logicamente equivalenti modulo T . Se
ϕ
ϕ0 può essere effettuata in modo meccanico, allora T ammette
l’eliminazione dei quantificatori.
Definizione
Una teoria T per cui esista un algoritmo in grado di stabilire in modo
meccanico se un dato enunciato σ sia conseguenza logica di T , si dice
decidibile.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
Eliminazione dei quantificatori
Proposizione
Se T ammette l’eliminazione (debole) dei quantificatori, e se T è completa
per enunciati atomici, cioè se per ogni enunciato atomico σ
T |= σ oppure T |= ¬σ,
allora T è completa.
Se T ammette l’eliminazione dei quantificatori, e se T è decidibile per
enunciati atomici, cioè se per ogni enunciato atomico σ è possibile stabilire
in modo meccanico se T |= σ oppure T |= ¬σ, allora T è decidibile.
Dimostrazione.
Dato σ, sia θ privo di quantificatori logicamente equivalente modulo T a σ.
θ è combinazione Booleana di formule atomiche, il risultato segue.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
Eliminazione dei quantificatori
Lemma
Le seguenti condizioni sono equivalenti:
1
T ammette l’eliminazione debole dei quantificatori,
2
ad ogni formula della forma ∃xψ, con ψ priva di quantificatori,
posiamo associare una formula θ priva di quantificatori e con le
medesime variabili libere di ∃xψ e tale che ∃xθ e ψ sono logicamente
equivalenti modulo T ,
3
come 2, ma con ψ della forma α1 ∧ · · · ∧ αn e αi atomica o
negazione di una formula atomica.
Se l’assegnazione ∃xψ
θ in 2 e 3 è effettiva, allora possiamo rafforzare
la condizione 1: T ammette l’eliminazione dei quantificatori.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
Dimostrazione
Chiaramente 1⇒2⇒3.
3⇒2
Se ψ è aperta, possiamo supporre sia in forma normale disgiuntiva, cioè
della forma ϕ1 ∨ · · · ∨ ϕk con ogni ϕi una congiunzione di formule
atomiche o negazioni di formule atomiche. Ne segue che ∃xψ è
logicamente equivalente a (∃xϕ1 ) ∨ · · · ∨ (∃xϕk ), quindi, per 3, è
logicamente equivalente modulo T ad una formula priva di quantificatori θ
con le medesime variabili libere di ∃xψ.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
Dimostrazione di 2⇒1
Possiamo supporre ϕ in forma prenessa e dimostrare il risultato per
induzione sulla complessità di ϕ.
Se ϕ è priva di quantificatori non c’è nulla da dimostrare e se ϕ è
della forma ¬ψ oppure ψ χ, con connettivo binario, il risultato
discende dall’ipotesi induttiva.
Se ϕ è ∃xψ, allora per ipotesi induttiva c’è una formula priva di
quantificatori ψ0 con le stesse variabili libere di ψ, e logicamente
equivalente a ψ modulo T . Allora ϕ è logicamente equivalente a
∃xψ0 modulo T , e per ipotesi c’è una formula priva di quantificatori θ
con le stesse variabili libere di ∃xψ e logicamente equivalente a ∃xψ
modulo T .
Se ϕ è ∀xψ, allora è logicamente equivalente a ¬∃x¬ψ, quindi per il
caso precedente c’è una formula priva di quantificatori θ, con le stesse
variabili libere di ∃x¬ψ, e logicamente equivalente a ∃x¬ψ modulo
T . Allora ¬θ è la formula richiesta.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
Eliminazione dei quantificatori per Σ(N,S,0)
Teorema
Σ(N,S,0) ammette l’eliminazione dei quantificatori.
Ogni enunciato σ del linguaggio contenente S e 0 è equivalente modulo
Σ(N,S,0) ad un enunciato privo di quantificatori σ0 , vale a dire una
combinazione Booleana di formule della forma S (n) (0) = S (m) (0), e per
ogni enunciato privo di quantificatori σ0 si ha che (N, S, 0) σ0 oppure
(N, S, 0) ¬σ0 .
Corollario
Le teorie Σ(N,S,0) e Σ(N,S) sono complete.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
Dimostrazione del Teorema
Una formula atomica è un’uguaglianza del tipo
1
S (n) (x) = S (m) (y) con x e y variabili distinte,
2
S (n) (x) = S (m) (0) o S (m) (0) = S (n) (x),
3
S (n) (x) = S (m) (x)
4
S (n) (0) = S (m) (0).
Le uguaglianze del primo tipo sono logicamente equivalenti alla formula
‘S (k) (x) = y’ oppure a ‘x = y’ oppure a ‘x = S (k) (y)’, con k > 0, a
seconda che n sia maggiore, o uguale, o minore di m.
Le uguaglianze del secondo tipo sono logicamente equivalenti a ‘x = 0’
oppure a ‘S (k) (x) = 0’ oppure a ‘x = S (k) (0)’, con k > 0.
Le uguaglianze del terzo tipo sono logicamente equivalenti a ‘S (k) (x) = x’
con k ≥ 0.
Quelle del quarto tipo sono logicamente equivalenti a ‘S (k) (0) = 0’ con
k ≥ 0.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, S, 0)
Se ϕ è una formula atomica o la negazione di una formula atomica, allora
è logicamente equivalente ad una formula con le medesime variabili ϕ0
della seguente lista:
x = S (m) (y)
x 6= S (m) (y)
x = S (m) (0)
x 6= S (m) (0)
x=x
x 6= x
0=0
0 6= 0
dove m ≥ 0. Chiameremo le formule nella prima colonna uguaglianze,
quelle della seconda colonna disuguaglianze.
Lemma
Se θ è una congiunzione di formule che sono atomiche o negazioni di
formule atomiche, allora ∃xθ è logicamente equivalente ad una formula
priva di quantificatori che ha le medesime variabili libere.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
Dimostrazione del Lemma
Supponiamo θ sia ψ1 ∧ · · · ∧ ψn con ψi atomica o negazione di una
formula atomica, e procediamo per induzione su n.
Se x non occorre in ψ1 , allora ∃xθ è equivalente a
ψ1 ∧ ∃x (ψ2 ∧ · · · ∧ ψn ), e applico l’ipotesi induttiva.
Se ψi è l’uguaglianza ‘x = x’, allora ψi può essere rimossa dalla
congiunzione e quindi si applica l’ipotesi induttiva. (Osserviamo che se
n = 1 e θ è x = x, allora ∃xθ è logicamente equivalente a 0 = 0.)
Possiamo quindi supporre che
la variabile x occorra in ogni ψi ,
nessuna ψi sia ‘x = x’,
ogni ψi sia della forma ‘S (m) (x) = t’ oppure ‘S (m) (x) 6= t’ dove
m ≥ 0 e t è un termine che non contiene la x.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
Dimostrazione del Lemma
Caso 1: le ψi sono tutte disuguaglianze.
Se ‘x 6= x’ è una tra le ψi alloraV∃xθ è logicamente equivalente alla
formula insoddisfacibile 0 6= 0 ∧ 1≤i≤k (yi = yi ), dove y1 , . . . , yk sono le
variabili distinte da x che compaiono in θ. Quindi possiamo supporre che
‘x 6= x’ non sia una delle ψi ; in altre parole θ è congiunzione di formule
(m) (0)’. Allora ∃xθ è logicamente
del tipo ‘x 6= S (m) (y)’ e ‘x 6= SV
equivalente alla formula valida 1≤i≤k (yi = yi ), dove y1 , . . . , yk sono le
variabili distinte da x che compaiono in θ.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
Dimostrazione del Lemma
Caso 2: c’è almeno una ψi che è un’uguaglianza.
Possiamo supporre ψi sia della forma ‘S (mi ) (x) = ti ’ dove mi ≥ 0 e ti è
un termine che non contiene la x. Rimpiazziamo ψi con
ti 6= 0 ∧ · · · ∧ ti 6= S (mi −1) (0)
se mi > 0, oppure con 0 = 0 se mi = 0, e cambiamo le altre ψj (che sono
della forma ‘S (k) (x) = u’ oppure ‘S (k) (x) 6= u’) in
S (k) (ti ) = S (k) (S (mi ) (x)) = S (mi ) (S (k) (x)) = S (mi ) (u)
cioè in ‘S (k) (ti ) = S (mi ) (u)’ oppure ‘S (k) (x) 6= S (mi ) (u)’. La congiunzione
risultante θ0 è logicamente equivalente a θ e non contiene la variabile x,
quindi è logicamente equivalente a ∃xθ.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, S, 0)
I sottoinsiemi definibili di (N, S, 0) (e quindi di (N, S)) sono gli insiemi
finiti e gli insiemi cofiniti.
i sottoinsiemi definibili in (N, S, 0) di dimensione 2 sono la più piccola
famiglia di sottoinsiemi di N2 contenente
tutti i punti di N2 ,
le linee diagonali (n, m) ∈ N2 | m = n + k , per qualche k ∈ Z,
oppure
le linee orizzontali e verticali
(n, k) ∈ N2 | n ∈ N e
(k, n) ∈ N2 | n ∈ N , per qualche k ∈ N,
e chiusa per intersezioni, unioni e complementi.
In particolare < non è definibile.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
Criterio per l’eliminazione dei quantificatori
Proposizione
Sia T una teoria del prim’ordine nel linguaggio L con costanti, e siano
M, N, M 0 , N 0 delle L-strutture tali che
M T e N T,
M 0 è una sottostruttura di M e N 0 è una sottostruttura di N ,
c’è un isomorfismo F : M 0 → N 0 .
Se per ogni ϕ(y, x1 , . . . , xn ) che è congiunzione di formule che sono
atomiche o negazione di formule atomiche, e per ogni a1 , . . . , an ∈ K
M ∃yϕ[a1 , . . . , an ] ⇔ N ∃yϕ[F (a1 ), . . . , F (an )],
allora T ammette l’eliminazione debole dei quantificatori.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, <)
La funzione successore è definibile mediante la formula
x < y ∧ ¬∃z (x < z ∧ z < y) .
Quindi tutto ciò che è definibile in (N, S) è definibile in (N, <), ma non
viceversa. Le strutture (N, <) e (N, <, S, 0) hanno gli stessi sottoinsiemi
definibili. Σ(N,<,S,0) è la teoria:
∀x(S(x) 6= 0)
∀x, y (x 6= y ⇒ S(x) 6= S(y))
¬∃x (x < x)
∀x, y, z (x < y ∧ y < z ⇒ x < z)
∀x, y (x < y ∨· x = y ∨· y < y) ∀x, y (x < S(x) ∧ ¬ (x < y ∧ y < S(x))) ,
dove ∨· è la disgiunzione esclusiva.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, <, S, 0)
Anche per Σ(N,<,S,0) si dimostra l’eliminazione dei quantificatori e gli
X ⊆ N definibili in (N, <) sono i finiti e i cofiniti.
Ma {(n, m) | n < m} non è definibile in (N, S).
Σ(N,<,S,0) è completa e decidibile.
I modelli di Σ(N,<,S,0) sono della forma N ∪· (I × Z) con (I, ≺) linearmente
ordinato.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, +)
x < y è definito dalla formula x 6= y ∧ ∃z (x + z = y).
Quindi possiamo definire tutti i sottoinsiemi finiti e cofiniti di N.
La congruenza modulo n è definibile in (N, +)
x ≡n y ⇔ ∃z x + z + · · · + z = y ∨ y + z + · · · + z = x ,
| {z }
| {z }
n
n
quindi gli insiemi definibili nella struttura (N, +, <, S, 0, ≡2 , ≡3 , . . . ) sono
quelli definibili in (N, +).
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, +)
L’aritmetica di Presburger ha per assiomi quelli di Σ(N,<,S,0) , più le
proprietà commutativa e associativa di +, la proprietà ∀x(x + 0 = x), più i
seguenti enunciati:
∀x, y, z (x + z = y + z ⇒ x = y)
∀x, y (x + y = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0)
∀x∃z x ≡n z ∧ z < S (n) (0)
(n > 1).
L’aritmetica di Presburger ammette l’eliminazione dei quantificatori, è
completa e decidibile.
I sottoinsiemi di N definibili in (N, <) sono esattamente gli insiemi che
sono unioni finite di insiemi eventualmente periodici, e i loro complementi.
I modelli dell’aritmetica di Presburger sono della forma {z ∈ Z | 0Z ≤ z}
dove Z è uno Z-gruppo, cioè della forma N ∪· (G+ × Z) con
G+ = {g ∈ G | 0G ≤ g} e G un gruppo abeliano divisibile ordinato.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, |) e (N, ·), dove | è il predicato binario di divisibilità.
| è definibile in (N, ·) dato che (n, m) ∈ N2 | n | m è l’insieme di verità
della formula ∃z(x · z = y), mentrela moltiplicazione non è definibile
a
3
partire dalla divisibilità, vale a dire (n, m, k) ∈ N | n · m = k non è
definibile in (N, |).
L’equivalenza
z = 0 ∨ (x + y) = z ⇔ (xz + 1)(yz + 1) = z 2 (xy + 1) + 1
implica che + è definibile mediante una formula priva di quantificatori in
(N, S, ·) e in (Z, S, ·).
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, ·)
Proposizione
(n, m, k) ∈ N3 | n + m = k non è definibile in (N, ·).
Dimostrazione.
Sia F una biezione sull’insieme dei numeri primi. Ogni naturale non nullo
può essere espresso in un unico modo come pn1 1 · · · pnk k con p1 , . . . , pk
primi distinti, quindi F si estende ad una biezione di N ponendo F (0) = 0
e F (pn1 1 · · · pnk k ) = F (p1 )n1 · · · F (pk )nk . È immediato verificare che
F : (N, ·) → (N, ·) è un automorfismo, ma F (n + m) 6= F (n) + F (m) se
F non è l’identità.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, +, ·)
Per aritmetica intendiamo la struttura (N, +, ·).
xy = x
· · x}
| ·{z
y volte
è una pseudo-formula, tuttavia l’esponenziale è definibile nell’aritmetica.
Infatti: ogni funzione calcolabile è definibile nell’aritmetica!
1
J (x, y) = (x + y)(x + y + 1) + x
2
è la biezione diagonale. Denoteremo con (·)0 , (·)1 : N → N le funzioni
inverse, definite da J ((n)0 , (n)1 ) = n.
J : N × N → N,
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
3
•
•
•
•
3
•
•
•
•
2
•
•
•
•
2
•
•
•
•
1
•
•
•
•
1
•
•
•
•
0
•
•
•
•
0
•
•
•
•
0
1
2
3
0
1
2
3
Enumerazione diagonale
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Enumerazione quadrata
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, +, ·)
La funzione J è definita dalla formula
∃w(w + w = (x + y) · (x + y + 1) ∧ w + x = z)
(ψJ (x, y, z))
mentre le funzioni (·)0 e (·)1 sono definite da
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∃y ψJ (x, y, z)
(ψ0 (z, x))
∃x ψJ (x, y, z).
(ψ1 (z, y))
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, +, ·)
L’obbiettivo è trovare
un sottoinsieme definibile
Seq ⊆ N
che codifichi tutte le successioni finite di naturali
una funzione definibile
`: N → N
tale che `(m) sia la lunghezza della sequenza codificata da m ∈ Seq
funzione definibile per la decodifica
Seq ×N → N,
(m, i) 7→ ((m))i
tale che ((m))i è l’i-esimo elemento della sequenza codificata da m, se
i < `(m)
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, +, ·)
hhn0 , . . . , nk ii.
è l’elemento di Seq che codifica la sequenza (n0 , . . . , nk )
Esempio
La funzione fattoriale è definita dalla formula con variabili libere x e y che
asserisce:
c’è una successione finita (s0 , . . . , sx ) di lunghezza x + 1 tale che
s0 = 1 e sx = y e si+1 = si · (i + 1),
in simboli
∃s[ϕSeq (s) ∧ `(s) = x + 1 ∧ ((s))0 = 1 ∧ ((s))x = y
∧ ∀i ≤ x (i + 1 ≤ x ⇒ ((s))i+1 = ((s))i · (i + 1))],
dove ϕSeq è la formula che definisce Seq.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
Esempio
La funzione esponenziale (n, m) 7→ nm è definita dalla formula con
variabili libere x, y, z che asserisce:
c’è una successione finita (s0 , . . . , sy ) tale che s0 = 1 e sy = z e
si+1 = si · x,
in simboli
∃s[ϕSeq (s) ∧ `(s) = y + 1 ∧ ((s))0 = 1 ∧ ((s))y = z
∧ ∀i ≤ x (i + 1 ≤ x ⇒ ((s))i+1 = ((s))i · x)].
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, +, ·)
Lemma (Teorema cinese del resto)
Se 1 < c0 , . . . , cn−1 ∈ N sono a due a due coprimi, allora per ogni
a0 , . . . , an−1 ∈ N esiste x ∈ N tale che x ≡ ai mod ci per i < n.
La strategia per la codifica sarà la seguente: dati a0 , . . . , an−1 scegliamo
1 < c0 , . . . , cn−1 coprimi fra loro e tali che ai < ci . Per il Lemma
possiamo trovare un x tale che ai = Rem(x, ci ), quindi l’intero J (n, x)
codifica la successione (a0 , . . . , an−1 ).
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
(N, +, ·)
Lemma
Fissiamo a0 , . . . , an−1 ∈ N. Sia y un intero positivo tale che
∀1 ≤ i < n (i | y) e siano
ci = 1 + (i + 1) · y.
Allora c0 , . . . , cn−1 sono coprimi fra loro.
Inoltre, se y ≥ max {a0 , . . . , an−1 } allora ai < ci per ogni i < n.
Dimostrazione.
Per assurdo supponiamo che p sia un primo tale che p | ci e p | cj , con
i < j < n. Allora p | cj − ci = (j − i) · y e quindi p | (j − i) o p | y. Poiché
j − i < n, e per ipotesi (j − i) | y, ne segue che p | y e quindi ci è
congruente ad 1 modulo p: assurdo.
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I numeri naturali
La funzione β
Definizione
β : N2 → N, è la funzione β(m, i) = Rem((m)0 , 1 + (i + 1) · (m)1 ).
β è definibile in (N, +, ·).
Lemma (Gödel)
Per ogni n > 0 e ogni scelta di a0 , . . . , an−1 ∈ N c’è un m tale che
β(m, i) = ai , per i < n.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I numeri naturali
La codifica
Dati a0 , . . . , an−1 poniamo
hha0 , . . . , an−1 ii = il minimo m tale che
β(m, 0) = n ∧ ∀i < n (β(m, i + 1) = ai ).
Quindi
`(x) = β(x, 0),
((x))i = β(x, i + 1),
e
Seq = {m ∈ N | ¬∃k < m (`(m) = `(k) ∧ ∀i < `(m) [((m))i = ((k))i ])} .
Seq, hha0 , . . . , an−1 ii, `, ((x))i sono definibili in (N, +, ·).
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
Gli interi e i razionali
ZeQ
Per un teorema di Lagrange, ogni naturale è somma di quattro quadrati,
quindi N è l’insieme di verità in (Z, +, ·) di
∃y1 , y2 , y3 , y4 (x = y1 · y1 + y2 · y2 + y3 · y3 + y4 · y4 ) .
Ogni k ∈ Z è definibile in (Q, +, ·) (esercizio). Utilizzando risultati non
banali sulle forme quadratiche, Julia Robinson ha dimostrato che l’insieme
Z è definibile in (Q, +, ·). Quindi per il teorema di Lagrange anche N è
definibile in questa struttura.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I reali e i complessi
ReC
Consideriamo la struttura (R, +, ·, 0, 1). La relazione d’ordine x < y è
definibile tramite la formula
∃z (z 6= 0 ∧ x + z · z = y) .
Ogni n ∈ Z è definibile, dato che {0} è definito dalla formula x = 0, e
{n}, se n 6= 0, è l’insieme di verità di


x = 1 + ··· + 1
se n > 0,

| {z }

n

+ · · · + 1)

x = −(1
| {z }
se n < 0,
n
Definizione
r ∈ R è un numero algebrico se è soluzione di un qualche polinomio a
coefficienti razionali o, equivalentemente, è soluzione di qualche polinomio
a coefficienti in Z.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I reali e i complessi
ReC
Ogni f ∈ Z[X] genera un termine t(x) con un unica variabile x, quindi
dire che r è soluzione di f equivale a dire che r è nell’insieme di verità
della formula t(x) = 0. Poiché l’insieme S delle soluzioni di f è finito,
possiamo individuare r in S specificandone la sua posizione rispetto
all’ordine: se S = {r1 < · · · < rk } e, per esempio r = r3 , allora r è l’unico
reale che rende vera la formula
t(x) = 0 ∧ ∃y1 ∃y2 t(y1 ) = 0 ∧ t(y2 ) = 0
∧ y1 < y2 < x ∧ ∀z (t(z) = 0 ∧ z < x ⇒ z = y1 ∨ z = y2 )
Quindi ogni numero algebrico, è definibile. Nessuno degli insiemi N, Z o Q
è definibile nel campo reale, neppure se aggiungiamo la funzione
esponenziale exp(x) = ex al linguaggio.
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I reali e i complessi
ReC
Ogni razionale è definibile nella struttura dei complessi (C, +, ·, 0, 1),
tuttavia il risultato non si estende ai numeri algebrici: l’insieme {i, −i} è
definibile ma nessuno dei suoi due elementi lo è.
Nessuno degli insiemi N, Z, Q o R è definibile nel campo complesso, ma
nel campo complesso con esponenziazione, cioè nella struttura
(C, +, ·, 0, 1, exp), possiamo definire
ker(exp) = {z ∈ C | exp(z) = 1} = 2iπZ
e quindi Z = {x ∈ C | x ker(exp) ⊆ ker(exp)} è definibile.
Teorema
Sia p un primo oppure p = 0. La teoria ACFp ammette l’eliminazione
debole dei quantificatori.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I reali e i complessi
Dimostrazione
Siano M, N campi algebricamente chiusi di caratteristica p, e supponiamo
che M 0 e N 0 siano una sottostruttura di M ed N , rispettivamente e che
F : M 0 → N 0 sia un isomorfismo. Quindi M 0 e N 0 sono dominio di
integrità di caratteristica p e l’isomorfismo F si estende al campi dei
quozienti. In altre parole posiamo supporre che M 0 e N 0 siano campi.
Siano M 0 e N 0 la chiusura algebrica di M 0 calcolata in M e la chiusura
algebrica di N 0 calcolata in N . Poiché la chiusura algebrica è unica a meno
di isomorfismo, l’isomorfismo F si estende ad un isomorfismo M 0 → N 0 .
Sia ϕ(y, x1 , . . . , xn ) una disgiunzione di congiunzioni di formule atomiche
o negazioni di formule atomiche e siano a1 , . . . , an ∈ M 0 : vogliamo
dimostrare che se M ∃yϕ[a1 , . . . , an ], allora
N ∃yϕ[F (a1 ), . . . , F (an )], e viceversa.
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Definibilità nei naturali, nei reali e nei grafi
I reali e i complessi
Dimostrazione(continua)
Una formula atomica è logicamente equivalente ad una formula della forma
t = 0, con t un termine contenente soltanto variabili tra le y, x1 , . . . , xn .
Dato che la congiunzione di due formule atomiche negate (t 6= 0) ∧ (s 6= 0)
è equivalente a t · s 6= 0, possiamo supporre che ϕ sia della forma
^
s 6= 0 ∧
ti = 0.
1≤i≤k
Supponiamo M ∃yϕ[a1 , . . . , an ]: questo equivale a dire che c’è un
b ∈ M che non è radice del polinomio s[a1 , . . . , an ], e tuttavia è soluzione
di ogni polinomio ti [a1 , . . . , an ]. Osserviamo che b ∈ M 0 , quindi
F (b) ∈ N 0 è radice dei polinomi ti [F (a1 ), . . . , F (an )] e tuttavia non è
radice di s[F (a1 ), . . . , F (an )]. Ne segue che N ∃yϕ[F (a1 ), . . . , F (an )].
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