Esercizio 1
Due masse uguali m = 2 kg sono unite da un’asta rigida di massa trascurabile e lunghezza d = 1 m. L’asta
è posta sul piano orizzontale, inizialmente ferma, quando le vengono applicate due forze orizzontali come
nel disegno, imprimendo un moto rotazionale dell’asta di 1 giro/min. Calcolare per quanto tempo le forze
agiscono e la velocità finale del centro di massa.
2F = 200 N
m
O
F = 100 N
m
Soluzione
Ponendoci nel centro di massa del sistema in O, possiamo applicare il teorema del momento angolare:
⃗ (cm)
dL
= τ (cm)
dt
→
⃗ (cm) = τ (cm) dt
dL
Integrando, poichè il momento τ (cm) è costante, si ottiene:
! Lf
! tf
(cm)
⃗
dL
=
τ (cm) dt →
Li
⃗ (cm) = τ (cm) ∆t
∆L
ti
Il momento angolare iniziale del sistema rispetto al centro di massa è nullo (il sitema è in quiete), quello
finale vale in modulo:
d d
d2
Lf = 2m ω = mω
2 2
2
Il momento delle forze esterne calcolato rispetto al centro di massa vale in modulo:
τ (cm) = F
d
d
3
+ 2F = F d
2
2
2
Pertanto otteniamo:
⃗ (cm)
∆L
mωd
=
≃ 0.7 ms
(cm)
3F
τ
Anche la quantità di moto del centro di massa varia nel tempo, possiamo applicare ora il teorema dell’impulso:
F ∆t = ∆p → (2F − F )∆t = 2mvf → vf ≃ 1.75 cm/s verso destra
∆t =
Esercizio 2
Un’asta di massa trascurabile lunga d = 0.5 m, con due masse m = 0.2 kg attaccate alle estremità, viene
lanciata nel piano verticale come nel disegno, avendole impresso una velocità angolare di rotazione ω = 15
rad/s. La velocità iniziale del centro di massa vale v0 = 8 m/s e l’angolo θ = 50◦ . Determinare il numero
di giri che ha compiuto quando il CM ripassa per la quota di lancio y = 0. Calcolare anche la tensione
dell’asta.
y
m
v0
θ
x
ω
m
Soluzione
Il CM inizialmente si trova nell’origine. Il moto del CM è esattamente lo stesso del semplice proiettile
puntiforme già discusso in cinematica, infatti l’equazione del moto è la stessa:
→
2m⃗acm = 2m⃗g
⃗acm = ⃗g
La legge oraria del moto del centro di massa è quindi la stessa di un proiettile sparato con velocità iniziale
pari a ⃗v0 che forma un angolo θ con l’orizzontale:
1
y(t) = (v0 sin θ)t − gt2
2
→
y(t) = 0 t =
2v0 sin θ
≃ 1.25 s
g
Per capire se il moto di rotazione è in qualche modo influenzato dalla forza peso (che è l’unica forza esterna),
bisogna valutare il momento della forza peso rispetto al centro di massa del sistema durante il moto, infatti:
⃗ (cm)
dL
(cm)
= ⃗τext
dt
Se consideriamo la seguente figura, è chiaro che il momento totale della forza peso rispetto al centro di massa
è sempre nullo!
T
v1 ’
mg
cm
T
ω
v2 ’
mg
Conseguentemente, il momento angolare del sistema calcolato rispetto al centro di massa si conserva. Le
velocità delle masse rispetto al centro di massa sono dovute al solo moto rotazionale a velocità angolare ω,
cioè:
" #2
d
d
d
′
′
v1 = v2 = ω
→ Lcm = 2mv1 = 2m
ω
2
2
2
Quindi la velocità angolare deve rimanere costante durante il moto! La grandezza (dipendente dalle masse
e dalla loro distribuzione geometrica) che moltiplicata per la velocità angolare fornisce il momento angolare
si chiama momento d’inerzia ed esprime la “resistenza” che un corpo esteso oppone quando si cerca di
cambiarne lo stato di rotazione, analogamente all’inerzia nel caso della definizione di forza (legge di Newton).
Il numero di rotazioni (cioè di giri attorno al proprio asse di rotazione) del sistema è dato da:
N=
ωt
≃ 3 giri
2π
Per calcolare la tensione dell’asta, cioè la forza che l’asta esercita su ciascuna massa:
m⃗a = m(⃗acm + ⃗a′ ) = m⃗g + T⃗
ma essendo ⃗acm = ⃗g :
m⃗a′ = T⃗
→
T =
mv1′2
d
= mω 2 = 11.25 N
d/2
2
costante in modulo e indipendente dall’orientazione dell’asta.
Esercizio 3
Una massa m con velocità v0 su un piano orizzontale liscio, urta l’estremità di un’asta, inizialmente ferma,
di massa trascurabile con due masse uguali m a distanza d. La massa incidente rimane attaccata all’asta
dopo l’urto. Determinare il moto del sistema dopo l’urto.
2
PRIMA
v0
DOPO
2m
Q
Q
m
m
xcm
cm
ω
vcm
d
m
m
Soluzione
Per prima cosa, non essendoci forze esterne orizzontali agenti, possiamo stabilire che la velocità del centro
di massa resta costante:
v0
mv0 = 3mvcm → vcm =
3
Per sfruttare la conservazione del momento angolare, per esempio rispetto al punto fisso Q coincidente con
l’estremo dell’asta inizialmente ferma che viene urtato, conviene calcolare la posizione del centro di massa:
xcm =
md
d
=
3m
3
Impostiamo ora la conservazione del momento angolare rispetto al polo Q sfruttando il teorema di König:
⃗ (Q) = L
⃗ (cm) + ⃗rcm × p⃗
L
quindi, se scegliamo come positivo il verso di rotazione orario:
⃗ (cm)
L
Ne segue che:
⃗
rcm ×⃗
p
%&
$ %& ' $"
#'
$%&'
d
dd
2 2
0 = − 3mvcm + 2mω
+ mω d d
3
33
3 3
⃗ (Q)
L
ω=
v0
2d
Esercizio 4
Due masse m sono attaccate alle estremità di un’asta lunga d che viene fatta scivolare (moto traslatorio)
su un piano orizzontale senza attrito come in figura, con velocità v0 . Determinare la velocità angolare
di rotazione acquisita dall’asta quando essa si è agganciata al perno Q. Determinare la reazione vincolare
esercitata dal perno Q sull’asta nel momento dell’urto.
PRIMA
DOPO
m
m
v0
d
ω
m
m
Q
Q
Soluzione
Si tratta di un urto anelastico, come verificheremo alla fine. La presenza di una reazione vincolare esterna
impulsiva impedisce la conservazione della quantità di moto, mentre si conserva senz’altro il momento
angolare rispetto a Q (momento nullo della forza impulsiva). Possiamo scrivere:
⃗ (Q) = cost.
L
→
mv0 d = mωd2
3
→
ω=
v0
d
Pertanto, la quantità di moto del sistema non si conserva! In particolare potremo valutare l’impulso
esercitato dal perno:
I⃗ = ∆⃗
p = mωd − 2mv0 = −mv0
Il perno esercita quindi un impulso diretto verso sinistra e di intensità pari a mv0 . L’energia cinetica
diminuisce:
1
1
1
∆Ek = m(ωd)2 2mv02 = − mv02
2
2
2
Esercizio 5
Un corpo puntiforme di massa M è appeso tramite un’asta rigida, lunga L = 1.2 m e di massa trascurabile,
al soffitto e può oscillare senza attrito. L’asta, inizialmente in quiete, viene urtata in maniera completamente
anelastica a metà altezza da un corpo di massa m, in moto con velocità v0 = 3 m/s lungo l’asse orizzontale.
Determinare l’angolo massimo formato dal pendolo con la verticale dopo l’urto, ipotizzando M = 2m.
L/2
m, v0
L/2
M
Soluzione
A seguito dell’urto, il sistema acquisisce una velocità angolare iniziale ω0 , con cui tende a ruotare attorno
al perno in O. Il sistema è vincolato, pertanto lungo la direzione orizzontale non si ha conservazione della
quantità di moto. Tuttavia, la reazione impulsiva, cosı̀ come la forza peso di tutti corpi appena dopo
l’urto, hanno una retta d’azione che passa per il punto di vincolo tra l’asta e il soffitto. Avremo dunque
conservazione del momento angolare rispetto al punto O:
mv0
L
L2
= (M L2 ω0 + m ω0 )
2
4
→
ω0 =
2mv0
2 v0
=
≃ 0.555 rad/s
4M L + mL
9L
Dopo l’urto si conserva l’energia meccanica del sistema, pertanto, possiamo scrivere:
Em,f = Em,i
→
1 ω02 L2 1
L
m
+ M ω02 L2 = mg (1 − cos θ) + M gL(1 − cos θ)
2
4
2
2
Svolgendo i calcoli e sfruttando M = 2m:
cos θ = 1 −
9 ω02
L
20 g
4
→
θ ≃ 10.6◦
