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La verifica di ipotesi
Il test statistico e le ipotesi
Regione di accettazione e rifiuto
Test con ipotesi nulla semplice
Il p-value
Errori di I e II tipo
Funzione di potenza
Contenuti: Capitolo 13 libro di testo
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Le procedure di Inferenza Statistica
1)La stima puntuale
si
identificano
stimatori e si caratterizzano in termini di proprietà ottimali
2) La stima per intervallo
gli
si costruiscono
gli intervalli di confidenza
3) La verifica d’ipotesi
Questo tipo di inferenza è complementare alle due
precedenti tecniche di stima. Di grande rilevanza
applicativa, tale metodologia consente di fare
inferenza sui parametri della Popolazione alla luce
dell’analisi delle differenze tra i risultati che
osserviamo (la statistica campionaria) e quelli che ci
aspetteremmo di ottenere se una qualche ipotesi sulla
Popolazione fosse vera
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Il processo inizia con una ipotesi sulla “natura”
(parametri) di una Popolazione. L’ipotesi deve essere
stabilita in modo chiaro e comporta “due opzioni” (ipotesi);
una statistica test, calcolata con i dati di un campione
casuale, ci aiuterà a selezionarne una.
ESEMPI
1.Un’azienda produttrice di barrette alimentari, afferma che
mediamente, il peso di ognuna è di 20 gr. Per verificare
l’affermazione si può estrarre un campione casuale di barrette e
calcolarne il peso medio.
2.Un fabbricante di pezzi di ricambio per auto, vuole monitorare il
processo produttivo per assicurarsi che il diametro dei pistoni
soddisfi le specifiche richieste dalla casa automobilistica. A tal fine
si possono estrarre campioni casuale, ogni due ore dalla linea
produttiva ed usarli per accertare che gli standard siano rispettati.
3.Un’azienda farmaceutica vuole verificare se un nuovo farmaco è
efficace nell’abbassare la pressione sanguigna; a tal fine vengono
due gruppi di pazienti (campioni), che vengono trattati uno con un
placebo, l’altro con il farmaco al fine di stabilire se il farmaco
produce diminuzioni significative nell’abbassamento della
pressione.
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Logica concettuale di base
Per verificare le ipotesi si utilizzano statistiche campionarie;
poiché queste seguono una distribuzione campionaria, la
decisione a favore di una delle due viene presa sulla base di
variazioni aleatorie dovute al campione
per la scelta tra
due alternative servono chiare regole di decisione.
Il modo di procedere ha un’analogia diretta con le regole del
processo penale. In tale ambito vale sempre la presunzione di
innocenza (è cautelativo!) ed è la giuria a decidere se l’imputato
è colpevole sulla base di una forte evidenza empirica contro
l’ipotesi iniziale (l’innocenza). Nel processo penale, per scegliere
tra colpevolezza ed innocenza ci sono:
1.procedure rigorose per presentare e valutare le prove; 2.un
giudice che fa rispettare le regole; 3.un processo decisionale che
presume l’innocenza fino a prova contraria, ossia a meno che ci
sia evidenza di colpevolezza oltre ogni ragionevole dubbio.
In tal modo è vero che si potranno lasciar liberi degli imputati che
in realtà sono colpevoli, ma se e quando si rifiuta la presunzione
di innocenza e si ritiene l’imputato colpevole, significa che si ha
concreta evidenza della sua colpevolezza.
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Il test statistico e le ipotesi
Ipotesi sulla Popolazione
Se l’ipotesi riguarda
uno o più parametri della distribuzione di probabilità della
popolazione, si parlerà di test parametrico.
Le due opzioni a confronto
L’impostazione data
da J.Neyman e E.S.Pearson, nota come test d’ipotesi, prevede
la formulazione di un’ipotesi nulla e un’ipotesi alternativa.
Obiettivo:
Attraverso un campione di osservazioni stabilire, con un certo
grado di attendibilità, se poter rifiutare o meno l’ipotesi nulla a
favore dell’ipotesi alternativa.
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Formulazione delle ipotesi
ipotesi statistica : una congettura riguardante (il valore di) un
parametro θ della popolazione (es. µ,σ2 oppure π).
Nell’approccio di Neyman-Pearson si distinguono due ipotesi
contrapposte:
• ipotesi nulla, indicata con H 0
• ipotesi alternativa, indicata con H1
ESEMPIO
Secondo il costruttore di un certo tipo di batterie per autovetture, la
durata media è di 3400 ore. Un cliente, per verificarne la durata, osserva
un campione di 30 batterie:
H 0 : le batterie hanno durata media di almeno 3400 ore
H1 : le batterie hanno durata media inferiore a 3400 ore
L’ipotesi nulla è preesistente all’osservazione dei dati campionari
ed è ritenuta vera fino a prova contraria (ossia a meno che non ci
sia una prova evidente contro la sua veridicità). In genere è
l’ipotesi verso la quale si hanno dubbi e contro la quale si
cerca una evidenza empirica; quella alternativa è quella
che si contrappone alla nulla e che potrebbe essere
considerata più verosimile sulla base delle risultanze
campionarie.
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Indicando con Θ lo spazio parametrico, ossia l’insieme di tutti i
possibili valori che il parametro θ, su cui si fanno congetture può
assumere, l’ipotesi nulla e quella alternativa individuano una
partizione di Θ; a titolo esemplificativo:
Se si rifiuta l’ipotesi nulla, sarà accettata l’ipotesi alternativa. Se
non si rifiuta l’ipotesi nulla non necessariamente ciò significa che
essa sia corretta: in tal caso infatti possono essere vere o H0 o
H1, ma la tecnica di verifica che si usa non è abbastanza potente
per permetterci di rifiutare l’ipotesi nulla. Sarebbe più corretto
dire “non si rifiuta l’ipotesi nulla H0”
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Formulazione delle ipotesi
Θ
è lo spazio parametrico, ossia l’insieme di tutti i possibili
valori che può assumere θ
Θ0 e Θ1 sono i sottospazi che formano una partizione
dello spazio parametrico.
Indichiamo le due ipotesi con il seguente sistema:
H 0 : θ ∈ Θ0
H1 : θ ∈ Θ1
Ad esempio:
H 0 : µ ≥ 3400
H1 : µ < 3400
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Formulazione delle ipotesi
Un’ipotesi può essere:
• semplice, quando specifica completamente la
popolazione
• composta, quando non specifica completamente la
popolazione
Sia X ~ N ( µ , σ 2 = 9) allora H 0 : µ = 5 è un’ipotesi semplice,
mentre H 0 : µ > 5
è un’ipotesi composta.
Un’ipotesi composta può essere:
• unidirezionale, quando specifica un intervallo di valori
• bidirezionale, quando specifica due intervalli di valori
H 0 : µ > 5 è unidirezionale, mentre
H0 : µ ≠ 5
bidirezionale.
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Formulazione delle ipotesi
I sistemi di ipotesi più frequentemente utilizzati sono i
seguenti:
H 0 : θ = θ0
H1 : θ > θ 0
H 0 : θ = θ0
H1 : θ ≠ θ 0
H 0 : θ = θ0
H1 : θ < θ0
dove
θ0
è un valore fissato del parametro.
La formulazione delle ipotesi dipende dalla natura del
problema
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Esempi
La Toyota dichiara che il suo nuovo modello di auto, in autostrada otrà
percorrere in medi 23 km per litro di benzina. Se doveste sottoporre a
verifica tale affermazione, quale ipotesi nulla e quale alternativa
scegliereste?
H 0 : µ = 23 (km per litro)
H1 : µ ≠ 23 (km per litro)
In passato l’età media degli assicurati presso la XXX Compagnia di
Assicurazioni è stata di 48 anni. Poiché a società si è espansa ed ha
differenziato la propria offerta di polizze, il direttore dell’ufficio
finanziario ritiene che l’età media possa essere cambiata. Se doveste
condurre una indagine sulla base di un campione di assicurati, per
verificare tale considerazione, quali sarebbero le ipotesi a confronto?
H
H
0
:
1
:
µ = 48 anni
µ ≠ 48 anni
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Esempio
Il manager operativo dell’azienda di cereali sceglie come ipotesi nulla:
H0 : (peso medio) µ=368 gr. Procede all’estrazione di un campione di
scatole e ne determina il peso medio x . La media campionaria è uno
stimatore della corrispondente µ della intera popolazione di scatole; ed
è una statistica di cui è nota la distribuzione campionaria.
Se l’ipotesi nulla fosse vera, ossia che il peso medio della intera
produzione di scatole è di 368 gr, è vero che da un lato è probabile che
la statistica differisca dal vero valore del parametro (che ipotizziamo
pari a 368 gr) per effetto del caso o di un errore campionario, ma è
d’altronde pur vero che ci aspettiamo (che pur differendo) sia “vicina” al
valore vero del parametro che ipotizziamo essere 368. Se ciò succede
non ci sarebbero prove sufficienti a rifiutare tale ipotesi.
Ad es. se risultasse che la media campionaria fosse 367.9, è plausibile
concludere che la media della popolazione coincide con quanto
specificato dall’azienda: è molto probabile ottenere una media
campionaria di 367.9 da una popolazione la cui media è 368.
Non altrettanto si potrebbe concludere se fosse risultata una media
campionaria di 320: non altrettanto probabile ottenere una media
campionaria di 320 da una popolazione la cui media è 368!
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La decisione di scegliere l’una o l’altra delle ipotesi segue
uno schema rigoroso:
il processo decisionale usa una statistica test costruita sulla
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base di un campione casuale (es. X , S o p p u re Pˆ
). La
statistica test avrà una distribuzione campionaria nota,
basata sulle tecniche di campionamento e sul valore del
parametro specificato dall’ipotesi nulla.
Dalla distribuzione della statistica si determineranno i
valori della statistica test che avrebbero bassa una
bassa probabilità di verificarsi se l’ipotesi nulla fosse
vera. Se la statistica test relativa al campione considerato
assume uno tra questi valori, rifiuteremo l’ipotesi nulla ed
accetteremo quella alternativa, altrimenti non rifiuteremo
l’ipotesi nulla.
Ciò comporta la definizione delle cosiddette
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Regione di accettazione e di rifiuto
•Un test statistico è una regola che permette di discriminare
i campioni che portano all’accettazione dell’ipotesi nulla da
quelli che portano al suo rifiuto.
•Il test si basa sul valore assunto da una statistica test.
•La statistica test è una statistica campionaria la cui
distribuzione deve essere completamente nota sotto l’ipotesi
nulla.
•L’insieme dei valori della statistica test che portano
all’accettazione dell’ipotesi nulla è chiamata regione di
accettazione.
•L’insieme dei valori della statistica test che portano al
rifiuto dell’ipotesi nulla è chiamata regione di rifiuto.
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Regione di accettazione e di rifiuto
Esempio: Supponiamo che la popolazione sia Normale con
media µ incognita e varianza σ 2 nota. Si vuole verificare:
H 0 : µ = µ0
H1 : µ ≠ µ0
Considerando come statistica test la media campionaria X
sappiamo che sotto l’ipotesi nulla questa si distribuisce come
una Normale con media µ = µ0 e varianza σ 2 n .
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Dalla figura si può vedere che i valori critici definiscono la
zona di accettazione e che dipendono dal livello di
significatività α : maggiore è il suo valore, più ampia sarà la
regione di rifiuto.
Ad es. se 1- α è 0.90 e l’ipotesi nulla è vera, la probabilità di
osservare una media campionaria “vicina” a µ0 è 0.90,
mentre la probabilità di osservare un valore “distante” è
piccola, complessivamente 0.1. Tale considerazione è alla
base del funzionamento del TEST:
.
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Una volta estratto il campione ed osservato in tal caso, il valore
della media campionaria x , si va a verificare in quale zona si
colloca. Se il valore ottenuto è distante da µ0 l’ipotesi nulla di
partenza (µ=µ0) verrà “messa in dubbio”, poiché (sotto l’ipotesi
nulla, vera!) valori di questo tipo sono complessivamente poco
probabili.
Ciò comporta per l’appunto la suddivisione del campo di
variazione della media in due regioni: di accettazione e di
rifiuto (critica). La regione di rifiuto rappresenta l’insieme di
tutti i valori della statistica test che non è probabile si verifichino
quando l’ipotesi nulla è vera, mentre è invece probabile che si
verifichino quando è falsa. Il valore critico separa la regione di
accettazione da quella di rifiuto: la determinazione di tale valore
dipende dall’ampiezza della regione di rifiuto.
α
E la “ dimensione” di tali regioni dipende dal valore
scelto
(livello di significatività del test): maggiore il suo valore più
ampia è la regione di rifiuto. A sua volta ciò è legato al rischio
che comporta prendere una decisione su un parametro
alla luce delle sole informazioni campionarie.
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Test con ipotesi nulla semplice
In corrispondenza dell’ipotesi alternativa si possono
configurare diverse regioni di rifiuto:
H 0 : θ = θ0
H1 : θ ≠ θ0
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Esempio
In un paese è noto che la statura media degli abitanti è 175 cm.
Sulla base di cambiamenti nello stile di vita un ricercatore
ipotizza una sua variazione in 178 cm. Assumendo che la v.c.
2
statura sia distribuita come una normale, X N ( µ , σ ) con varianza
nota ed utilizzando la statistica media campionaria consideriamo
sotto l’ipotesi nulla la statistica test:
X − 175
N (0,1)
σ / n
a seco n d a d ella ip o tesi altern ativa si h an n o le seg u en ti reg io n i d i rifiu to :
H 1 : µ > 175
Z ≥ zα
Z =
H 1 : µ < 175
Z ≤ − zα
H 1 : µ ≠ 1 7 5 | Z |≥ z α / 2
es. p er σ
2
= 300
e p er n = 2 0 avessim o x = 1 7 7 ,5
1 1 7 .5 − 1 7 5
= 0 .6 4 5
300 / 20
co n u n livello α = 0 .0 5 i valo ri critici sareb b ero z α = 1 .6 4 5 e z α / 2 = 1 .9 6 .
z =
In n essu n o d ei casi si p o treb b e rifiu tare l'ip o tesi n u lla.
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L’approccio del p-value alla verifica di ipotesi
Per l’ampia diffusione dei pacchetti statistici è venuto
affermandosi un altro modo per evidenziare il risultato del test:
quello di calcolare il p-value. Poiché il valore di α è arbitrario una
ipotesi rifiutata al livello α=0.1 potrebbe invece essere accettata
con α=0.01
p-value : rappresenta la probabilità di osservare un valore della
statistica test uguale o più estremo del valore ottenuto a partire
dal campione, quando l’ipotesi nulla H0 è vera.
Viene anche chiamato livello di significatività osservato,
poiché coincide con il più piccolo livello di significatività in
corrispondenza del quale H0 è rifiutata. Non è una quantità
fissata come α, ma che misura l’evidenza fornita dai dati contro
l’ipotesi nulla: minore è il valore del p-value, più è forte
l’evidenza contro l’ipotesi nulla.
In pratica la regola decisionale:
•se p-value ≥
•se p-value <
α
non rifiuto H0
α
rifiuto H0
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Nell’esempio precedente piuttosto che rifiutare o
accettare l’ipotesi che µ=175 ad un prefissato valore
di α e preferibile riportare un p-value che misuri
l’evidenza contro l’ipotesi H0.
Poiché z=0.645 se l’ipotesi alternativa fosse H1:µ>175
risulterebbe:
P-value=p(Z>0.645)=1-Φ(0.645)=0.26
Non c’è una forte evidenza nei dati contro l’ipotesi
nulla: poiché il test è unilaterale l’ipotesi nulla sarà
rifiutata per valori di α maggiori di 0.26!
Vantaggio: il p-value può essere confrontato con
diversi possibili valori di α
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Errori di I e II specie
Quando si usa una statistica campionaria per prendere una decisione su P,
si corre sempre il rischio di prendere una conclusione sbagliata.
errore del I tipo: si rifiuta l’ipotesi nulla mentre questa è vera.
errore del II tipo: si accetta l’ipotesi nulla mentre questa è falsa
Decisione
Accetto
H 0 è vera
H0
Corretta
1−α
H 0 è falsa Errore del II tipo
β
•α
Rifiuto H 0
Errore del I tipo
α
Corretta
1− β
è la probabilità di commettere l’errore del I tipo. E’ detto
livello di significatività del test.
• 1 − α è detto coefficiente di confidenza del test.
• β è la probabilità di commettere l’errore del II tipo. E’ detto
rischio del test.
• 1 − β viene detto potenza del test e corrisponde alla probabilità
di
rifiutare l’ipotesi nulla quando questa è falsa.
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α:
livello di significatività ≈ errore di prima specie: rifiuto H0
quando è vera e quindi non dovrebbe essere rifiutata. Tale errore viene
controllato fissando il livello di rischio α che si è disposti a tollerare se si
rifiuta l’ipotesi nulla quando è vera. Poiché il livello di significatività è
specificato prima di condurre la verifica di ipotesi tale rischio è sotto il
controllo da chi compie l’analisi. Generalmente α è piccolo es. 0.05 e
dipende dai costi che derivano dal commettere un errore di prima
specie. Una volta specificato il valore di α si conosce anche la
dimensione della regione di rifiuto essendo questi la probabilità che la
statistica test cada nella regione di rifiuto quando l’ipotesi nulla è vera.
1-α
α:
coefficiente di confidenza (complemento ad 1 della probabilità
dell’errore di prima specie: rappresenta la probabilità che l’ipotesi nulla
non sia rifiutata quando è vera – quindi quando non dovrebbe essere
rifiutata) moltiplicato per 100% coincide con il livello di confidenza.
Questo coefficiente nella verifica delle ipotesi rappresenta la probabilità
di concludere che il valore del parametro individuato dall’ipotesi nulla è
plausibile, quando di fatto questa è vera
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β: il rischio; a differenza dell’errore di prima specie che viene
controllato fissando α, la probabilità di commettere un errore di seconda
specie dipende dalla differenza tra il valore ipotizzato ed il vero valore
del parametro di P. Se la differenza tra la statistica campionaria ed il
corrispondente parametro di P è grande, è probabile che β, la probabilità
di commettere l’errore di seconda specie (non rifiuto H0 quando è falsa)
sia piccolo; mentre se è piccola la differenza, la probabilità di
commettere un errore di seconda specie è grande.
1-β
β: potenza del test; complemento ad 1 del precedente rappresenta
la probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla quando è falsa – e quindi
dovrebbe essere rifiutata.
Un modo di controllare e ridurre β consiste nell’aumentare n. Una
elevata dimensione campionaria in genere permette di
individuare anche piccole differenze tra la statistica campionaria
ed il parametro di P: per un dato valore di α un aumento di n
determina una riduzione di β e quindi un aumento della potenza
del test per verificare se l’ipotesi nulla è falsa. Se invece per
“problemi di risorse” l’ampiezza campionaria non può essere
aumentata, per un dato n c’è da considerare il trade-off tra i due
possibili tipi di errore: possiamo controllare il rischio di un errore
di primo tipo, scegliendo un valore piccolo di α, ma al diminuire di
α, β aumenta.
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Nell’esempio del processo di produzione si compie un
errore di primo tipo se si conclude che il peso medio delle
scatole prodotte non è uguale a quanto specificato
dall’azienda, 368 gr, ed invece in realtà lo è; un errore di
seconda specie quando si conclude che il peso medio è
368 gr , ed invece non lo è.
La scelta di α e β dipende da costi che ciascuno dei due
errori comporta: un cambiamento del processo produttivo
potrebbe essere più costoso rispetto al costo di “una
perdita d’immagine” ad esempio. Viceversa si dovrebbe
per limitare il secondo dovremmo dare un valore più
elevato ad α.
Nel processo penale: “E’ più costoso moralmente lasciare
a piede libero un colpevole di reato oppure un tenere
innocente in galera?! “
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Errori di I e II tipo
I diversi errori che si possono commettere:
Si vede chiaramente come traα e β sussiste una relazione inversa:
minore è il valore di α , maggiore è il valore di β . Le probabilità di
commettere gli errori corrispondono a delle aree.
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Passi da seguire nella verifica d’ipotesi
•
Definizione del sistema d’ipotesi
•
Scelta della statistica test
•
Scelta del livello di significatività e della numerosità
campionaria
•
Definizione della regione di rifiuto
•
Estrazione del campione
•
Calcolo della statistica test
•
Decisione
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Esempio - passi da seguire
Si vuole verificare se dopo una campagna pubblicitaria il fatturato medio di
un’azienda, aumentato rispetto a quello dell’anno precedente pari a µ = 2500 .
2
Il fatturato è una v.c. Normale con varianza nota pari a σ = 1296
1. Definizione del sistema d’ipotesi H 0 : µ = 2500 contro H1 : µ > 2500
2. Scelta della statistica test
(
Z = ( X − 2500 ) 36
)
n ~ N (0 ,1)
3. Scelta del livello di significatività e della numerosità campionaria fissiamo
α = 0,05 (e quindi un valore critico pari a zα 2 = 1,645 ) e una numerosità n = 81
4. Definizione della regione di rifiuto R = {z > 1,645}
5. Estrazione del campione
si estrae un campione casuale di 81 clienti
6. Calcolo della statistica test la media campionaria risulta essere x
il valore della statistica test z = 2 ,51 − 2500 36 9 = 2 ,5
(
)(
)
= 2,51 e
7. Decisione Poiché il valore della statistica test cade nella regione di rifiuto
(2,5>1,645) rifiutiamo l’ipotesi nulla.
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Funzione di potenza
Corrisponde alla probabilità di rifiutare H0 quando questa è falsa (e
dovrebbe essere rifiutata)
dovrebbe essere la più elevata
possibile; se l’ipotesi alternativa H1 è composta non abbiamo un singolo
valore per β ma una funzione:
Si chiama funzione di potenza del test la funzione che
descrive la probabilità, al variare di θ di rifiutare H 0 e viene
indicata con π (θ )
Ad esempio, per un test sulla media con ipotesi nulla: H 0 : µ = 175
La funzione di potenza è:
N.B. per µ=175,
ossia sotto
l’ipotesi nulla, la
probabilità di
rifiutare H0
coincide con la
probabilità di
commettere
l’errore del I tipo
ossia: π (175) = α
