erserciziario di matematica

S. Serio
ESERCIZIARIO
DI
MATEMATICA
VOLUME I
Espressioni aritmetiche
M.C.D. m.c.m.
Unità di misura
Proporzioni
Calcolo letterale
Monomi
Polinomi
INDICE
MODULO A : Numeri Naturali
MODULO B : M.C.D. m.c.m.
MODULO C : Frazioni e Numeri decimali
MODULO D : Unità di misura
MODULO E : Proporzionalità diretta
MODULO F : Proporzionalità inversa
MODULO G : Percentuali
MODULO H : Numeri Relativi
MODULO I : Calcolo letterale
MODULO L : Monomi
MODULO M : Polinomi
I NUMERI NATURALI
Sono i primi numeri che l’uomo ha utilizzato, servono per contare ed ordinare, sono
infiniti. Nell’insieme dei numeri naturali (N) sono sempre possibili le operazioni di
addizione e moltiplicazione, mentre non sono sempre possibili le operazioni di
sottrazione e divisione.
I termini dell’addizione si chiamano addendi, il risultato si chiama somma.
I termini della sottrazione si chiamano minuendo e sottraendo, il risultato si chiama
differenza. La sottrazione è impossibile in N se il minuendo è minore del sottraendo
(5  8 = impossibile).
I termini della moltiplicazione si chiamano fattori, il risultato si chiama prodotto.
I termini della divisione si chiamano dividendo e divisore, il risultato si chiama quoto
se il resto della divisione è zero, si chiama quoziente se il resto è diverso da zero.
Vale la relazione : dividendo = divisore x quoziente + resto.
L’operazione di elevamento a potenza consiste nel calcolare il prodotto di tanti
fattori tutti uguali. Il fattore che viene moltiplicato si chiama base, il numero di volte
che viene moltiplicato si chiama esponente, il risultato si chiama potenza. Es.:
2  222  8
3
2 = base
3= esponente
8 = potenza
L’operazione inversa dell’addizione è la sottrazione, della moltiplicazione è la
divisione, dell’elevamento a potenza è l’estrazione di radice. Infatti:
2
36  6  6  36
2
3
125  5  5  125
3
4
16  2  2  16
4
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
2
1)
a a  a
2)
a a  a
3)
a 
4)
a  b  a  b 
5)
a  b  a  b 
m
n
m
n
m
n
n
m n
a
n
n
5
 3  3  3  27 
2
3
3 2
5
5 2
2
2 
mn
3
 2  2  64
32
2
6
2  4  2  4  8  512
n
n
2  2
3
mn
 2  32 
3
3
n
3
3
3
12  6  12  6  2  16
4
A1
4
4
4
ESPRESSIONI NUMERICHE
SI DICE ESPRESSIONE NUMERICA UN COMPLESSO DI OPERAZIONI DA ESEGUIRE
SU NUMERI.
SI ESEGUONO PRIMA LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI PIU' INTERNE (TONDE)
DANDO LA PRECEDENZA PRIMA ALLE POTENZE, POI ALLE MOLTIPLICAZIONI E
DIVISIONI E INFINE ALLE ADDIZIONI E SOTTRAZIONI. SI PROCEDE POI, SECONDO
LE PRECEDENZE SUDDETTE, ALLO SVILUPPO DELLE OPERAZIONI
NELLE
PARENTESI DI ORDINE SUCCESSIVO (QUADRE E GRAFFE) FINO AD OTTENERE UN
UNICO NUMERO CHE RAPPRESENTA IL RISULTATO DELL'ESPRESSIONE.
NEL CASO DI PIU’ ADDIZIONI E SOTTRAZIONI, OPPURE DI PIU’ MOLTIPLICAZIONI E
DIVISIONI, LE OPERAZIONI VANNO ESEGUITE COSI’ COME VENGONO.
CALCOLIAMO IL VALORE DELL'ESPRESSIONE:
2  3  3  4  2  7 : 9  15 6  3  42 2
ESEGUIAMO I CALCOLI NELLE PARENTESI PIU' INTERNE (LE TONDE)
(2 + 3) = 5
(4 + 2) = 6
( 6  3  4 2 )  (18  16 )  2
SOSTITUIAMO I RISULTATI AL POSTO DELLE RISPETTIVE PARENTESI
5  3  6  7  : 9  15  2 2
ESEGUIAMO ORA LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI QUADRE DANDO LA
PRECEDENZA ALLA MOLTIPLICAZIONE E SOSTITUIAMO
[ 3  6  7 ]  [ 3  42 ]  45
5  45
: 9  15   2 2
ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI GRAFFE ESEGUENDO LA
MOLTIPLICAZIONE E LA DIVISIONE NELL'ORDINE IN CUI SONO SCRITTE
25  15 4
40  4  160
A2
CALCOLA IL VALORE DELLE SEGUENTI ESPRESSIONI :
2 + {[14 x 2 – 2 x 5 + (8 – 18 : 3)] : (18 + 5 – 3)} + (7+ 24 : 8)
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi TONDE rispettando le priorità:
2 + {[14 x 2 – 2 x 5 + (8 – 6)] : (23 – 3)} + (7+ 3)
2 + {[14 x 2 – 2 x 5 + 2] : 20} + 10
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi QUADRE rispettando le priorità:
2 + {[28 – 10 + 2] : 20} + 10
2 + {[18 + 2] : 20} + 10
2 + {20 : 20} + 10
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi GRAFFE:
2 + 1 + 10 = 13
{13 x [(48 – 8 x 4 + 5) : 3 + 10 –8] : 13} + 21
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi TONDE rispettando le priorità:
{13 x [(48 – 32 + 5) : 3 + 10 –8] : 13} + 21
{13 x [(16 + 5) : 3 + 10 –8] : 13} + 21
{13 x [21 : 3 + 10 –8] : 13} + 21
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi QUADRE rispettando le priorità:
{13 x [7 + 10 –8] : 13} + 21
{13 x 9 : 13} + 21
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi GRAFFE:
{117 : 13} + 21
9 + 21 = 30
A3

(3  4 : 22 ) 4  26 : 22  3  4  23

2


 3  13  22  3
1° Metodo
CALCOLIAMO LE POTENZE
22  2  2  4
23  2  2  2  8
26  2  2  2  2  2  2  64
E SOSTITUIAMO
(3  4 : 4) 4  64 : 4  3  4  8  3  13  4  3
2
ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI TONDE
3  4 : 4  12 : 4  3
4  3  4  8  4  12  8  16  8  8
13  4  3  13  12  1
E SOSTITUIAMO
34  64 : 82  3 1
ESEGUIAMO LE OPERAZIONI RISPETTANDO LE PRECEDENZE (PRIMA LE
POTENZE, POI LE MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI E INFINE LE ADDIZIONI E
SOTTRAZIONI)
81  64 : 64  3  81  1  3  79
A6

(3  4 : 22 ) 4  26 : 22  3  4  23

2


 3  13  22  3
2° Metodo
ESEGUIAMO LE POTENZE NELLE PARENTESI TONDE:
(3  4 : 4) 4  26 : 4  3  4  82  3  13  4  3
ESEGUIAMO LE MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI NELLE PARENTESI TONDE :
(3) 4  26 : 4  12  82  3  13  12
ESEGUIAMO LE ADDIZIONI E LE SOTTRAZIONI NELLE PARENTESI TONDE :
(3) 4  26 : 82  3 1
ESEGUIAMO LE OPERAZIONI RISPETTANDO LE PRECEDENZE (PRIMA LE
POTENZE, POI LE MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI E INFINE LE ADDIZIONI E
SOTTRAZIONI)
81 + 64 : 64 – 3
81 + 1 – 3
82 – 3
79
A7
Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle
potenze (Pag. A1) :
1)
5
5
4
 5 2  5  5 2 
4
 5 2  5  5 4 21  57
9
31
proprietà n. 1
5   5 
7 9
2)
2 31
5 79  5 231  5 63  5 62
proprietà n. 3
5 63  5 62  5 6362  5
proprietà n. 2
2
5

 2 2   2  2 7 
4
2
5
2
5
2
5  8 1
2
 2 2 x 4  2  2 7 
2
proprietà n. 3
 2 8  2  2 7 
2
  2 
7 2
2 2
14
proprietà n. 1
7 x2
proprietà n. 3
2 2
14
14
=1
25  5   5 2 3
3
3)
3 2
25  5   5 
3 2
5   5 
3 2
proprietà n. 5
2 3
53 x 2  5 2 x 3
56  56
2 3
proprietà n. 3
=1
A18
SCOMPOSIZIONE DI UN NUMERO IN FATTORI PRIMI.
Un numero si dice divisibile per un altro se la divisione del primo per il secondo non
dà resto. In tal caso il primo si dice multiplo del secondo e anche che il secondo è
divisore del primo.
Un numero si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso.
Scomporre un numero in fattori primi significa trovare quei fattori primi il cui
prodotto è uguale al numero dato.
Es.:
24
12
6
3
1
2
2
2
3
24  2 3  3
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3
48  2 4  3
75 5
15 5
3 3
1
75  3  5 2
90
45
9
3
1
2
5
3
3
90  2  5  32
270
135
27
9
3
1
2
5
3
3
3
270  2  5  33
Si definisce minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri il più piccolo dei
multipli comuni ai numeri dati.
Es.:
Trovare il m.c.m. dei numeri 24, 36, 48
Multipli di 24 = { 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240, 264, 288, 312, …..}
Multipli di 36 = { 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 324, …..}
Multipli di 48 = { 48, 96, 144, 192, 240, 288, 336, ….}
Multipli comuni = { 144, 288, ….}
m.c.m. = { 144 }
Si definisce massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri il più grande
dei divisori comuni ai numeri dati.
Es.:
Trovare il M.C.D. dei numeri 24, 36, 48
Divisori di 24 = { 1, 2, 4, 6, 8, 12, 24 }
Divisori di 36 = { 1, 2, 3,4, 9, 12, 18, 36 }
Divisori di 48 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 }
Divisori comuni = { 1, 2, 4, 12 }
M.C.D. = { 12 }
B1
CALCOLO DEL MASSIMO COMUNE DIVISORE (M.C.D.)
Metodo della scomposizione in fattori primi
Per calcolare il M.C.D. tra due o più numeri, si scompongono questi in
fattori primi e si fa il prodotto dei fattori primi comuni presi ciascuno una
volta sola col minimo esponente.
- Calcolare il M.C.D. dei numeri 48 - 72 - 84
Scomponiamo in fattori primi :
48 3 24
72  23  32
84  22  3  7
M .C.D.(48,72,84)  3  22  12
- Calcolare il M.C.D. dei numeri 56 - 80 - 120
Scomponiamo in fattori primi :
56 7  23
80  5 24
120  3  5  2 3
M .C .D.(56,80,120 )  2 3  8
B2
CALCOLO DEL MASSIMO COMUNE DIVISORE (M.C.D.)
Metodo della scomposizione simultanea
Si dispongono i numeri su una stessa riga e alla fine si traccia una linea
verticale; si divide ciascuno di essi per il loro più piccolo divisore comune e i
quozienti si scrivono in un secondo rigo; si dividono questi quozienti ancora per
il loro più piccolo divisore comune e i quozienti si scrivono in un terzo rigo
e così si continua finché non si trova che tutti i quozienti non hanno più alcun
divisore comune.
Il prodotto di tutti i divisori comuni adoperati è il massimo comune divisore dei
numeri dati.
- Calcolare il M.C.D. dei numeri 48 - 72 - 84
48 72 84
24 36 42
12 18 21
4 6
7
2
2
3
1
M .C . D .( 48 , 72 ,84 )  3  2  2  1  12
- Calcolare il M.C.D. dei numeri 56 - 80 - 120
56
28
14
7
80 120 2
40 60 2
20 30 2
10 15 1
M .C . D .( 56 , 80 ,120 )  2  2  2  1  8
B5
CALCOLO DEL MINIMO COMUNE MULTIPLO (m.c.m.)
Metodo della scomposizione in fattori primi
Per calcolare il m.c.m. tra due o più numeri, si scompongono questi in
fattori primi e si fa il prodotto dei fattori primi comuni e non comuni presi,
ciascuno una volta sola, col massimo esponente.
- Calcolare il m.c.m. dei numeri 48 - 72 - 84
Scomponiamo in fattori primi :
48 3 24
72  23  32
84  22  3  7
m.c.m.(48,72,84)  32  2 4  7  1008
- Calcolare il m.c.m. dei numeri 56 - 80 - 120
Scomponiamo in fattori primi :
56 7 23
80  5  24
120 3 5 23
m.c.m.(56,80,120)  2 4  5  3  7  1680
B6
CALCOLO DEL MINIMO COMUNE MULTIPLO (m.c.m.)
Metodo della scomposizione simultanea
Si dispongono i numeri su una stessa riga e alla fine si traccia una
linea verticale; si divide ciascuno di essi per il più piccolo
divisore e i quozienti si scrivono in un secondo rigo; i numeri che
non sono divisibili per il divisore scelto si riportano tal quali; si
dividono questi quozienti ancora per il più piccolo divisore e i
quozienti si scrivono in un terzo rigo e così si continua finché non
si trova che tutti i quozienti hanno come divisore l'unità.
Il prodotto di tutti i divisori adoperati è il minimo comune multiplo
dei numeri dati.
- Calcolare il m.c.m.. dei numeri 48 - 72 - 84
48
24
12
4
2
1
1
1
72 84
36 42
18 21
6 7
3 7
3 7
1 7
1 1
2
2
3
2
2
3
7
1
m.c.m.(48,72,84)  3  3  2  2  2  2  7 1  1008
- Calcolare il m.c.m. dei numeri 56 - 80 - 120
56
28
14
7
7
7
7
1
80
40
20
10
5
1
1
1
120
60
30
15
15
3
1
1
2
2
2
2
5
3
7
1
m.c.m.(56,80,120 )  2  2  2  2  5  3  7  1  1680
B8
FRAZIONI E NUMERI DECIMALI
In molti problemi è necessario fare riferimento non a quantità intere ma ad alcune
parti in cui una quantità è stata divisa. Ad esempio mangiare 1/8 di una torta significa
averla divisa in otto fette e mangiarne una; mangiarne 3/8 significa mangiare tre delle
otto fette; mangiarne i 3/10 significa averla divisa in dieci fette e mangiarne tre.
Analogamente, mangiare i 3/5 di quindici caramelle significa dividere le 15 caramelle
in 5 parti uguali e mangiarne 3, cioè 9 caramelle; mangiarne i 2/3 significa dividere le
15 caramelle in 3 parti uguali e mangiarne 2 parti, cioè 10 caramelle.
Le scritture 1/8, 3/8, 3/10, 2/3, ecc. si chiamano frazioni; la linea tra i due numeri
(che equivale al segno di divisione) prende il nome di linea di frazione; il numero al
di sopra della linea di frazione si chiama numeratore e quello al di sotto
denominatore.
Se moltiplichiamo o dividiamo per uno stesso numero diverso da zero il numeratore e
il denominatore di una frazione, il valore di questa non cambia.
Questa proprietà risulta utile quando dobbiamo semplificare una frazione, cioè ridurla
ai minimi termini: basta, infatti, dividere numeratore e denominatore per uno stesso
numero fin quando è possibile.
Un altro modo per semplificare una frazione consiste nel dividere numeratore e
denominatore per il loro M.C.D.
Data una frazione, quindi, esistono infinite altre frazioni equivalenti ad essa. Es.:
3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/ 20 = ……
Tutte queste frazioni costituiscono un insieme che prende il nome di numero
razionale.
Per indicare un numero razionale si utilizza una qualsiasi dell’insieme, ma
preferibilmente quella ridotta ai minimi termini.
Per eseguire l’addizione e/o la sottrazione di frazioni occorre trovare il m.c.m. dei
denominatori, si divide tale m.c.m. per ciascun denominatore e si moltiplica il
risultato per il relativo numeratore; la frazione risultante avrà per numeratore la
somma e/o la differenza dei prodotti parziali ottenuti e per denominatore il m.c.m.
trovato. Es.:
3 1 4 15  10  16 9
  

4 2 5
20
20
Il prodotto di due o più frazioni è una frazione avente per denominatore il prodotto
dei denominatori e per numeratore il prodotto dei numeratori. Es.:
3 5 3  5 15
 

4 7 4  7 28
C1
Per dividere una frazione per un’altra, si moltiplica la prima per l’inverso della
seconda. Es.:
2 7 2 3 6
   
5 3 5 7 35
La potenza di una frazione è data da una frazione avente per numeratore e
denominatore quelli della frazione data, elevati all’esponente a cui si deve elevare la
frazione. Es.:
3
3
8
2 2
   3 
27
3 3
Se dividiamo il numeratore per il denominatore di una frazione otteniamo un numero
decimale. Si possono verificare due casi:
1) se la frazione è decimale ( cioè il suo denominatore è una potenza di 10) o si
può
trasformare in una decimale, si ottiene come quantità un numero
decimale finito (numero limitato di cifre decimali). Es. :
3/10 = 3 : 10 = 0,3
324/100 = 324 : 100 = 3,24
3 3  25 75


 0,75
4 4  25 100
2) se la frazione non è decimale, né trasformabile in decimale, si ottiene come
quoziente un numero periodico cioè un numero decimale illimitato nella cui
parte decimale una cifra, o un gruppo di cifre, si ripete all’infinito. Es. :
2/3 = 2 : 3 = 0,6666…..
26/15 = 26 : 15 = 1,73333…..
In un numero decimale la prima cifra dopo la virgola indica i decimi, la seconda i
centesimi, la terza i millesimi e così via.
Le regole per calcolare il valore di espressioni contenenti numeri razionali non sono
diverse da quelle già viste a proposito dei numeri naturali. Come sempre, si devono
rispettare le priorità delle operazioni e tenere conto delle parentesi.
C2
RIDURRE AI MINIMI TERMINI (SEMPLIFICARE) UNA FRAZIONE
Per semplificare una frazione bisogna dividere numeratore e denominatore
della frazione per lo stesso numero fino a quando è possibile.
Allo scopo conviene scomporre in fattori primi i numeri dati.
1944 2  2  2  3  3  3  3  3 12


3078
2  3  3  3  3  19
19
2070 2  3  3  3  5  29 23


3420 2  2  3  3  5 19 38
1764
2  2 3 3 7  7
7


2268 2  2  3  3  3  3  7 9
1540 2  2  5  7 11 2


5390 2  5  7  7 11 7
2304 28  3  3 9
 8 4 
4096 2  2
16
3080 2  2  2  5  7 11 4


2310
2  3  5  7 11
3
165
3  5  11
3


440 2  2  2  5  11 8
C3
  7 1  10  1 1  12   2   3 
1              2    1  
  5 8  51  4 3  7   5   7 
1° Metodo
ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI TONDE:
7 1 56  5 51
 

5 8
40
40
2
5
5
5


2 10  2 8
1 1 3 4 7
 

4 3 12
12
1
3 73 4


7
7
7
E SOSTITUIAMO:
  51  10  7  12   8   4 
1               
  40  51  12  7   5   7 
ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI QUADRE E SOSTITUIAMO:
1
51 10 7 12
1
4 1  4 7
    1 1 

40 51 12 7
4
4
4
ESEGUIAMO LE OPERAZIONI NELLE PARENTESI
SOSTITUIAMO:
7 8 4
  
4 5 7
7 8 56 14
  
4 5 20 5
14 4 8
 
5 7 5
C4
GRAFFE
E
  7 1  10  1 1  12  2   3 
1             2    1 
  5 8  51  4 3  7   5   7 
2° Metodo
ESEGUIAMO LE VARIE OPERAZIONI, RISPETTANDO LE PRECEDENZE, NELLE
PARENTESI TONDE :
  56  5  10  3  4  12  10  2   7  3 
 
  
  

1  
40
51
12
7
5
7


  
 

 
  51 10  7  12  8   4 
1               
  40 51  12 7   5   7 
ESEGUIAMO LE VARIE OPERAZIONI, RISPETTANDO LE PRECEDENZE, NELLE
PARENTESI QUADRE :
 1   8   4 
1   1      
 4   5   7 
 4 1  4   8   4 
     


 4   5   7 
 7   8   4 
       
 4   5   7 
ELIMINIAMO LE PARENTESI GRAFFE :
7 8 4 8
  
4 5 7 5
C5
MISURAZIONE DELLE GRANDEZZE
Misurare una grandezza significa, dopo aver prefissato una unità di misura,
calcolare quante volte tale unità è contenuta nella grandezza in esame.
Misure di lunghezza
:


x
Miriametro
Chilometro
Ettometro
Decametro
Metro
Decimetro
Centimetro
Millimetro
(Mm) = 10 Km = 100 hm = 1000 dam = 10000 m
(Km) = 10 hm = 100 dam = 1000 m
(hm) = 10 dam = 100 m
(dam) = 10 m
(m)
(dm) = 0,1 m
(cm) = 0,1 dm = 0,01 m
(mm) = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m
Il fattore di conversione è 10, quindi per trasformare la misura di una grandezza da
una unità ad un’altra si segue la seguente regola:
bisogna moltiplicare per 10 se nella scala si scende di un posto; per 100 se si scende
di due posti; per 1000 se si scende di tre posti, e così via.
Bisogna dividere per 10 se nella scala si sale di un posto; per 100 se si sale di due
posti; per 1000 se si sale di tre posti, e così via.
Moltiplicare per 10, 100, 1000, ecc. significa spostare la virgola verso destra
rispettivamente di 1, 2, 3, ecc. posti.
Dividere per 10, 100, 1000, ecc. significa spostare la virgola verso sinistra
rispettivamente di 1, 2, 3, ecc. posti.
Se i posti mancano, occorre aggiungere degli zeri.
Es.:
Km 3,46 = hm 34,6
( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 10)
(la virgola si sposta verso destra di un posto)
Km 3,46 = dam 346 (si scende di due posti, quindi si moltiplica per 100)
(la virgola si sposta verso destra di due posti)
Km 3,46 = m 3460
( si scende di tre posti, quindi si moltiplica per 1000)
(la virgola si sposta verso destra di tre posti; poiché
il terzo posto manca, si aggiunge uno zero)
D1
mm 42 = cm 4,2
( si sale di un posto, quindi si divide per 10)
(la virgola si sposta verso sinistra di un posto)
mm 42 = dm 0,42
( si sale di due posti, quindi si divide per 100)
(la virgola si sposta verso sinistra di due posti)
mm 42 = m 0,042
( si sale di tre posti, quindi si divide per 1000)
(la virgola si sposta verso sinistra di tre posti;
poiché il terzo posto manca, si aggiunge uno zero)
Misure di capacità
:


x
Chilolitro
Ettolitro
Decalitro
Litro
Decilitro
Centilitro
Millilitro
(Kl) = 10 hl = 100 dal = 1000 l
(hl) = 10 dal = 100 l
(dal) = 10 l
(l)
(dl) = 0,1 l
(cl) = 0,1 dl = 0,01 l
(ml) = 0,1 cl = 0,01 dl = 0,001 l
Il fattore di conversione è 10, quindi per trasformare la misura di una grandezza da
una unità ad un’altra si segue la stessa regola vista per le misure di lunghezza.
Es.:
Kl 3,46 = hl 34,6
( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 10)
(la virgola si sposta verso destra di un posto)
Kl 3,46 = dal 346
( si scende di due posti, quindi si moltiplica per 100)
(la virgola si sposta verso destra di due posti)
Kl 3,46 = l 3460
( si scende di tre posti, quindi si moltiplica per 1000)
(la virgola si sposta verso destra di tre posti; poiché
il terzo posto manca, si aggiunge uno zero)
D2
ml 42 = cl 4,2
( si sale di un posto, quindi si divide per 10)
(la virgola si sposta verso sinistra di un posto)
ml 42 = dl 0,42
( si sale di due posti, quindi si divide per 100)
(la virgola si sposta verso sinistra di due posti)
ml 42 = l 0,042
( si sale di tre posti, quindi si divide per 1000)
(la virgola si sposta verso sinistra di tre posti;
poiché il terzo posto manca, si aggiunge uno zero)
Misure di peso
:


x
Tonnellata (t) = 10 q = 100 Mg = 1000 Kg = …….
Quintale (q) = 10 Mg = 100 Kg = 1000 hg = 10000 dag = 100000 g
Miriagrammo (Mg) = 10 Kg = 100 hg = 1000 dag = 10000 g
Chilogrammo (Kg) = 10 hg = 100 dag = 1000 g
Ettogrammo (hg) = 10 dag = 100 g
Decagrammo (dag) = 10 g
Grammo
(g)
Decigrammo (dg) = 0,1 g
Centigrammo (cg) = 0,1 dg = 0,01 g
Milligrammo (mg) = 0,1 cg = 0,01 dg = 0,001 g
Il fattore di conversione è 10, quindi per trasformare la misura di una grandezza da
una unità ad un’altra si segue la stessa regola vista per le misure di lunghezza.
Es.:
Kg 3,46 = hg 34,6
( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 10)
(la virgola si sposta verso destra di un posto)
Kg 3,46 = dag 346
( si scende di due posti, quindi si moltiplica per 100)
(la virgola si sposta verso destra di due posti)
Kg 3,46 = g 3460
( si scende di tre posti, quindi si moltiplica per 1000)
(la virgola si sposta verso destra di tre posti; poiché
il terzo posto manca, si aggiunge uno zero)
D3
mg 42 = cg 4,2
( si sale di un posto, quindi si divide per 10)
(la virgola si sposta verso sinistra di un posto)
mg 42 = dg 0,42
( si sale di due posti, quindi si divide per 100)
(la virgola si sposta verso sinistra di due posti)
mg 42 = g 0,042
( si sale di tre posti, quindi si divide per 1000)
(la virgola si sposta verso sinistra di tre posti;
poiché il terzo posto manca, si aggiunge uno zero)
Misure di superficie
:


x
Miriametro
Chilometro
Ettometro
Decametro
Metro
Decimetro
Centimetro
Millimetro
quadrato (Mm2) = 100 Km2 = 10000 hm2 = 1000000 dam2 = …
quadrato (Km2) = 100 hm2 = 10000 dam2 = 1000000 m2
quadrato (hm2) = 100 dam2 = 10000 m2
quadrato (dam2) = 100 m2
quadrato (m2)
quadrato (dm2) = 0,01 m2
quadrato (cm2) = 0,01 dm2 = 0,0001 m2
quadrato (mm2) = 0,01 cm2 = 0,0001 dm2 = 0,000001 m2
Il fattore di conversione è 100, quindi per trasformare la misura di una grandezza da
una unità ad un’altra si segue la seguente regola:
bisogna moltiplicare per 100 se nella scala si scende di un posto; per 10000 se si
scende di due posti; per 1000000 se si scende di tre posti, e così via.
Bisogna dividere per 100 se nella scala si sale di un posto; per 10000 se si sale di due
posti; per 1000000 se si sale di tre posti, e così via.
Es.:
Km2 3,46589 = hm2 346,589 ( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 100)
(la virgola si sposta verso destra di due posti)
Km2 3,46589 = dam2 34658,9 ( si scende di due posti, quindi si moltiplica per 10000)
(la virgola si sposta verso destra di quattro posti)
Km2 3,46 = m2 3465890
( si scende di tre posti, quindi si moltiplica per 1000000)
(la virgola si sposta verso destra di sei posti; poiché
il sesto posto manca, si aggiunge uno zero)
D4
mm2 42567 = cm2 425,67
( si sale di un posto, quindi si divide per 100)
(la virgola si sposta verso sinistra di due posti)
mm2 42567 = dm2 4,2567
( si sale di due posti, quindi si divide per 10000)
(la virgola si sposta verso sinistra di quattro posti)
mm2 42567 = m2 0,042567 ( si sale di tre posti, quindi si divide per 1000000)
(la virgola si sposta verso sinistra di sei posti;
poiché il sesto posto manca, si aggiunge uno zero)
Misure di volume
:


x
Miriametro
Chilometro
Ettometro
Decametro
Metro
Decimetro
Centimetro
Millimetro
cubo (Mm3) = 1000 Km3 = 1000000 hm3 = …
cubo (Km3) = 1000 hm3 = 1000000 dam3 = 100000000 m3
cubo (hm3) = 1000 dam3 = 1000000 m3
cubo (dam3) = 1000 m3
cubo (m3)
cubo (dm3) = 0,001 m3
cubo (cm3) = 0,001 dm3 = 0,000001 m3
cubo (mm3) = 0,001 cm3 = 0,000001 dm3 = 0,000000001 m3
Il fattore di conversione è 1000, quindi per trasformare la misura di una grandezza da
una unità ad un’altra si segue la seguente regola:
bisogna moltiplicare per 1000 se nella scala si scende di un posto; per 1000000 se si
scende di due posti; per 1000000000 se si scende di tre posti, e così via.
Bisogna dividere per 1000 se nella scala si sale di un posto; per 1000000 se si sale di
due posti; per 1000000000 se si sale di tre posti, e così via.
Es.:
Km3 3,46589 = hm3 3465,89 ( si scende di un posto, quindi si moltiplica per 1000)
(la virgola si sposta verso destra di tre posti)
Km3 3,46589 = dam3 3465890 ( si scende di due posti, quindi si moltiplica per
1000000; la virgola si sposta verso destra di sei posti;
poiché il sesto posto manca, si aggiunge uno zero)
D5
mm3 42567 = cm3 42,567
( si sale di un posto, quindi si divide per 1000)
(la virgola si sposta verso sinistra di tre posti)
mm3 42567 = dm3 0,042567 ( si sale di due posti, quindi si divide per 1000000)
(la virgola si sposta verso sinistra di sei posti;
poiché il sesto posto manca, si aggiunge uno zero)
Equivalenza fra le unità di misura dei volumi e delle capacità
Possiamo trasformare le unità di misura di volume in quelle di capacità e viceversa,
tenendo presente la relazione :
dm3 1 = l 1
Esempi :
hl 36,8 = l 3680 = dm3 3680 = m3 3,680
m3 5,864 = dm3 5864 = l 5864
D6
= hl 58,64
PROPORZIONALITA’ DIRETTA
Due grandezze si dicono direttamente proporzionali quando all’aumentare
dell’una, aumenta anche l’altra; precisamente se una raddoppia, anche l’altra
raddoppia; se una triplica, anche l’altra triplica, e così via.
Es.:
Consideriamo il costo di un certo numero di quaderni :
quaderni (n.)
1
2
3
4
5
6
7
……
costo (€)
3
6
9
12
15
18
21
……
Come si può facilmente notare dalla tabella il rapporto delle misure corrispondenti è
costante:
1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12 = 5/15 = 6/18 ……..
3/1 = 6/2 = 9/3 = 12/4 = 15/5 = 18/6 …….
Si può anche notare che il rapporto tra due misure qualsiasi della stessa grandezza è
uguale al rapporto delle corrispondenti misure dell’altra :
3 : 1 = 9 : 3 ; 6 : 2 = 18 : 6 ;
3 : 6 = 9 : 18 ; 3 : 15 = 1 : 5
Queste proprietà possono essere utilizzate per risolvere problemi che riguardano
grandezze direttamente proporzionali.
1)
Sapendo che 3 quaderni costano 9 €, quanto costeranno 7 quaderni?
Se indichiamo con x il costo incognito possiamo disporre i dati del problema nel
seguente modo :
quaderni (n.)
3
7
costo (€)
9
x
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
oppure :
3:9=7:x
da cui
x = (7  9) : 3 = 21
9:3=x:7
da cui
x = (7  9) : 3 = 21
E1
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure :
3:7=9:x
da cui
x = (7  9) : 3 = 21
9:x=3:7
da cui
x = (7  9) : 3 = 21
2) Un’automobile percorre una strada con velocità costante. Se in 3 ore percorre
Km 240, quanti chilometri percorre in 5 ore?
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
percorso (Km.)
240
x
tempo (ore)
3
5
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
oppure :
3 : 240 = 5 : x
da cui
x = (240  5) : 3 = 400
240 : 3 = x : 5
da cui
x = (240  5) : 3 = 400
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure :
3 : 5 = 240 : x
da cui
x = (240  5) : 3 = 400
x : 240 = 5 : 3
da cui
x = (240  5) : 3 = 400
3) Se con 60 chilogrammi di uva si ottengono 39 litri di vino, quanta uva
occorrerà per ottenere hl 5,85 di vino?
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
quantità di uva (Kg.)
60
x
quantità di vino (litri)
39
585
E2
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
oppure :
39 : 60 = 585 : x
da cui
x = (585  60) : 39 = 900
60 : 39 = x : 585
da cui
x = (585  60) : 39 = 900
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure :
39 : 585 = 60 : x
da cui
x = (585  60) : 39 = 900
x : 60 = 585 : 39
da cui
x = (585  60) : 39 = 900
4) Un’automobile consuma 12 litri di benzina ogni 80 chilometri. Quanti litri di
benzina occorrono per percorrere 520 chilometri?
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
percorso (Km.)
80
520
benzina (litri)
12
x
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
oppure :
80 : 12 = 520 : x
da cui
x = (520  12) : 80 = 78
12 : 80 = x : 520
da cui
x = (520  12) : 80 = 78
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure :
80 : 520 = 12 : x
da cui
x = (520  12) : 80 = 78
x : 12 = 520 : 80
da cui
x = (520  12) : 80 = 78
5) Una lampada accesa per 4h 20m consuma energia elettrica per un costo di €
16,90. Quale sarà il costo dell’energia se si tiene accesa per 5h 40m?
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
E3
costo energia (€)
16,90
tempo (minuti)
260
x
340
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
oppure :
16,90 : 260 = x : 340
da cui
x = (340  16,90) : 260 = 22,10
260 : 16,90 = 340 : x
da cui
x = (340  16,90) : 260 = 22,10
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure :
16,90 : x = 260 : 340
da cui
x = (340  16,90) : 260 = 22,10
340 : 260 = x : 16,90
da cui
x = (340  16,90) : 260 = 22,10
6) Se da Kg 48 di caffè crudo si ottengono Kg 32 di caffè tostato, quanto caffè
crudo occorre per avere Kg 80 di caffè tostato?
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
caffè crudo
(Kg)
48
x
caffè tostato (Kg)
32
80
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
oppure :
48 : 32 = x : 80
da cui
x = (48  80) : 32 = 120
32 : 48 = 80 : x
da cui
x = (48  80) : 32 = 120
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure :
80 : 32 = x : 48
da cui
x = (48  80) : 32 = 120
48 : x = 32 : 80
da cui
x = (48  80) : 32 = 120
E4
PROPORZIONALITA’ INVERSA
Due grandezze si dicono inversamente proporzionali quando all’aumentare
dell’una, l’altra diminuisce; precisamente se una raddoppia, l’altra si dimezza; se
una triplica, l’altra diventa la terza parte, e così via.
Es.:
Consideriamo il tempo occorrente a un certo numero di operai per eseguire un
determinato lavoro:
operai (n.)
1
2
3
4
6
12
……
tempo (giorni)
12
6
4
3
2
1
……
Come si può facilmente notare dalla tabella il prodotto delle misure corrispondenti è
costante:
1  12 = 2  6 = 3  4 = 4  3 = 6  2 = 12  1 ……..
Si può anche notare che il rapporto tra due misure qualsiasi della stessa grandezza è
uguale al rapporto inverso delle corrispondenti misure dell’altra :
3 : 1 = 12 : 4 ; 6 : 3 = 4 : 2 ;
3 : 6 = 2 : 4 ; 4 : 12 = 1 : 3 ……..
Queste proprietà possono essere utilizzate per risolvere problemi che riguardano
grandezze inversamente proporzionali.
1) Per eseguire un lavoro 2 operai impiegano 6 giorni. Se si vuole fare lo stesso
lavoro in 4 giorni, quanti operai occorrono?
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
operai (n.)
2
x
tempo (giorni)
6
4
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
x4=26
da cui
F1
x = (2  6) : 4 = 3
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure :
2:x=4:6
da cui
x = (2  6) : 4 = 3
6:4=x:2
da cui
x = (2  6) : 4 = 3
2) Un rubinetto che versa 12 litri di acqua al minuto impiega 18 minuti per
riempire una vasca. In quanto tempo la riempirebbe un altro rubinetto che versa
9 litri di acqua al minuto?
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
acqua (litri)
12
9
tempo (minuti)
18
x
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
x  9 = 12  18
da cui
x = (12  18) : 9 = 24
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure :
18 : x = 9 : 12
da cui
x = (12  18) : 9 = 24
12 : 9 = x : 18
da cui
x = (12  18) : 9 = 24
3) Quale numero di denti bisognerà dare ad una ruota d’ingranaggio perché faccia
240 giri, mentre una seconda ruota con la quale essa ingrana e che ha 60 denti
ne fa 600?
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
denti d’ingranaggio (n.)
60
x
giri al minuto (n.)
600
240
F2
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
x  240 = 60  600
x = (60  600) : 240 = 150
da cui
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure :
60 : x = 240 : 600
da cui
x = (60  600) : 240 = 150
600 : 240 = x : 60
da cui
x = (60  600) : 240 = 150
4) Si deve trasportare un carico di benzina da una città ad un’altra. Adoperando
un’autocisterna che ne porta q 20 per volta si devono fare 30 viaggi. Quanti
viaggi si potrebbero fare adoperando un’autocisterna che ne trasporta q 24 per
volta?
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
benzina (q)
20
24
viaggi (n.)
30
x
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
x  24 = 20  30
da cui
x = (20  30) : 24 = 25
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure :
30 : x = 24 : 20
da cui
x = (20  30) : 24 = 25
20 : 24 = x : 30
da cui
x = (20  30) : 24 = 25
F3
5) Un operaio per fare un lavoro in 12 giorni deve lavorare 6h 40m al giorno. Per
fare lo stesso lavoro in 15 giorni quante ore al giorno deve lavorare?
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
giorni (n.)
tempo (minuti)
12
400
15
x
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
x  15 = 12  400
da cui
x = (12  400) : 15 = 320 (5h 20m)
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure :
400 : x = 15 : 12
da cui
x = (12  400) : 15 = 320 (5h 20m)
12 : 15 = x : 400
da cui
x = (12  400) : 15 = 320 (5h 20m)
F4
PERCENTUALI
Acquistare una merce con lo sconto del 20 % (venti per cento) significa che se il suo
costo è di 100 €, verrà pagata 80 €. Se lo sconto è del 60% verrà pagata 40 €.
Se la percentuale di bocciati in una scuola è del 20 % significa che sono stati bocciati
venti alunni ogni cento.
Quando si dice che il caffè crudo, se viene tostato, perde il 25% del suo peso significa
che per ogni cento parti di peso se ne perdono 25 ( 100 chilogrammi di caffè crudo
dopo la tostatura si ridurranno a 65).
Questi problemi si risolvono con le stesse regole della proporzionalità diretta.
1) Un commerciante vende un televisore che costa 600 € con lo sconto del 30%.
Quanto viene a costare?
1° Metodo
Se indichiamo con x il costo incognito possiamo disporre i dati del problema nel
seguente modo :
prezzo non scontato (€)
prezzo scontato (€)
100
600
70
x
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
oppure :
100 : 70 = 600 : x
da cui
x = (70  600) : 100 = 420
70 : 100 = x : 600
da cui
x = (70  600) : 100 = 420
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure
100 : 600 = 70 : x
da cui
x = (70  600) : 100 = 420
600 : 100 = x : 70
da cui
x = (70  600) : 100 = 420
2° Metodo
Se indichiamo con x il costo incognito possiamo disporre i dati del problema nel
seguente modo :
prezzo non scontato (€)
sconto (€)
100
600
30
x
G1
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
oppure :
100 : 30 = 600 : x
da cui
x = (30  600) : 100 = 180
30 : 100 = x : 600
da cui
x = (30  600) : 100 = 180
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure
100 : 600 = 30 : x
da cui
x = (30  600) : 100 = 180
600 : 100 = x : 30
da cui
x = (30  600) : 100 = 180
Poiché lo sconto è di 180 €, il televisore verrà a costare 600 – 180 = 420 €
2) In una scuola frequentata da 450 alunni è stata registrata una percentuale di
bocciati del 12%. Quanti alunni sono stati bocciati?
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
totale alunni (n.)
100
450
alunni bocciati (n.)
12
x
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
oppure :
100 : 12 = 450 : x
da cui
x = (12  450) : 100 = 54
12 : 100 = x : 450
da cui
x = (12  450) : 100 = 54
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure
100 : 450 = 12 : x
da cui
x = (12  450) : 100 = 54
450 : 100 = x : 12
da cui
x = (12  450) : 100 = 54
3) Nella stagionatura della legna verde si ha un calo ponderale del 18%. Calcolare
il peso di 75 quintali di legna verde dopo la stagionatura.
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
G2
legna verde (q)
100
75
legna secca (q)
82
x
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
oppure :
100 : 82 = 75 : x
da cui
x = (82  75) : 100 = 61,5
82 : 100 = x : 75
da cui
x = (82  75) : 100 = 61,5
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
oppure
100 : 75 = 82 : x
da cui
x = (82  75) : 100 = 61,5
75 : 100 = x : 82
da cui
x = (82  75) : 100 = 61,5
4) Una bottiglia contiene 0,75 litri di brandy avente il grado alcolico del 42%.
Quanto alcool puro è contenuto nella bottiglia?
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
brandy (ml)
alcool puro (ml)
100
750
42
x
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
100 : 42 = 750 : x
da cui
x = (42  750) : 100 = 315
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
100 : 750 = 42 : x
da cui
G3
x = (42  750) : 100 = 315
5) Una merce, con lo sconto del 30%, viene pagata 420 €. Qual era il prezzo non
scontato?
Se indichiamo con x il costo incognito possiamo disporre i dati del problema nel
seguente modo :
prezzo non scontato (€)
prezzo scontato (€)
100
x
70
420
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
oppure :
100 : 70 = x : 420
da cui
x = (100  420) : 70 = 600
70 : 100 = 420 : x
da cui
x = (100  420) : 70 = 600
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
100 : x = 70 : 420
oppure
x : 100 = 420 : 70
da cui
x = (420  100) : 70 = 600
da cui
x = (420  100) : 70 = 600
6) In una città di 250000 abitanti sono nati in un anno 8000 bambini. Quale è
stato il tasso percentuale dei nati?
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
abitanti (n.)
250000
100
bambini (n.)
8000
x
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
oppure :
250000 : 8000 = 100 : x
da cui
x = (8000  100) : 250000 = 3,2
8000 : 250000 = x : 100
da cui
x = (8000  100) : 250000 = 3,2
G4
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
250000 : 100 = 8000 : x
oppure :
100 : 250000 = x : 8000
da cui
x = (8000  100) : 250000 = 3,2
da cui
x = (8000  100) : 250000 = 3,2
7) Una merce che costa 600 € viene venduta a saldo per 420 €. Calcolare la
percentuale di sconto.
1° Metodo
Se indichiamo con x il costo incognito possiamo disporre i dati del problema nel
seguente modo :
prezzo non scontato (€)
600
100
prezzo scontato (€)
420
x
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
420 : 600 = x : 100
da cui
x = (100  420) : 600 = 70
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
420 : x = 600 : 100
da cui
x = (420  100) : 600 = 70
Poiché il prezzo scontato è del 70%, la percentuale di sconto sarà del 30%.
2° Metodo
Lo sconto effettuato sarà di 600 – 420 = 180 €
Se indichiamo con x l’ incognita possiamo disporre i dati del problema nel seguente
modo :
prezzo non scontato (€)
600
100
sconto (€)
180
x
G5
Applicando la prima proprietà possiamo scrivere:
180 : 600 = x : 100
da cui
x = (100  180) : 600 = 30
Applicando la seconda proprietà possiamo scrivere :
180 : x = 600 : 100
da cui
La percentuale di sconto sarà del 30%.
G6
x = (180  100) : 600 = 30
NUMERI RELATIVI
Alcune grandezze, come la temperatura, l’altitudine, le somme di denaro, possono
assumere valori opposti rispetto a uno di riferimento. Ad es.: +5 °C ; -8 °C ; +300 m
s.l.m. ; -50 m s.l.m. ; + 200 € (credito) ; -100 € (debito). Per rappresentare queste
grandezze, e per eseguire sottrazioni in cui il sottraendo è maggiore del minuendo (
es.:10-15), sono stati introdotti i numeri relativi che diremo positivi se preceduti dal
segno (+) e negativi se preceduti dal segno (-). Si chiama modulo o valore assoluto di
un numero relativo, e si indica racchiudendolo fra due sbarrette verticali, il numero
privato del segno. Ad es.:
+9= 9 ( il valore assoluto di +9 è 9); -7= 7 ( il valore assoluto
di –7 è 7).
Due numeri relativi si dicono:
concordi se hanno lo stesso segno (+6 e + 8) oppure (-5 e – 9);
discordi se hanno segno diverso (+6 e –8 )
opposti se hanno segno diverso ma stesso modulo (+8 e –8).
OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI
Addizione
La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo avente lo stesso
segno e per modulo la somma dei moduli. Es.:
(+7) + (+8) = + 15 ;
(-5) + (-4) = - 9
La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo avente il segno
dell’addendo di valore assoluto maggiore e per modulo la differenza dei valori
assoluti degli addendi. Es.:
(+9) + (-5) = +4 ; (+6) + (-9)= -3
La somma di due numeri relativi opposti è zero. Es.: (+6) + (-6) = 0
H1
Quando si devono addizionare più numeri relativi, applicando le proprietà
commutativa e associativa dell’addizione, conviene addizionare separatamente tutti
gli addendi positivi, poi tutti gli addendi negativi ed infine addizionare le somme
parziali ottenute. Es.:
(-8) + (-2) + (+10) + (-4) + (+15) = (+10+15) + (-8-2-4) = (+25) +(-14) = +11
Sottrazione
La differenza di due numeri relativi è il numero relativo che si ottiene aggiungendo al
minuendo l’opposto del sottraendo. Es.:
(+5) – (+4) = (+5) + (-4) = +1 ;
(+6) – (-8) = (+6) + (+8) = +14
(-7) – (+5) = (-7) + (-5) = -12 ;
(-8) – (-5) = (-8) + (+5) = -3
L’addizione e la sottrazione di numeri relativi non sono operazioni distinte e
assumono l’unico nome di addizione algebrica; si chiama somma algebrica il
risultato di addizioni e sottrazioni.
Per calcolare la somma algebrica di una espressione numerica contenente le
parentesi, si possono seguire due metodi:
1) si eseguono le operazioni all’interno delle parentesi tonde, poi delle quadre e
infine delle graffe;
2) si applica la regola che prende il nome di scioglimento di parentesi:
per eliminare una parentesi preceduta dal segno (+), si toglie questo segno e le
parentesi e si scrivono tutti i termini entro parentesi ciascuno col proprio
segno; per eliminare una parentesi preceduta dal segno (-), si toglie questo
segno e le parentesi e si scrivono tutti i termini entro parentesi cambiandoli di
segno.
Calcolare la seguente espressione:
13 - {-2 - [ 4- (3-5)] + 1} – 22
Primo metodo:
13 - {-2 - [ 4- (-2)] + 1} – 22
13 - {-2 - [+6 ] + 1} – 22
13 - {-8 + 1} – 22
13 - {-7} – 22
20 – 22
-2
H2
Secondo metodo
13 - {-2 - [ 4-3+5)] + 1} – 22
13 - {-2 –4+3-5+1} – 22
13 +2+4-3+5-1– 22
13+2+4+5-3-1-22
24-26
-2
Calcolare la seguente espressione:
13 
1 
3  
4-    2   11   
3 
4  
3 
Primo metodo
1 47  
13 
4-    2    
3 4 
3 
1 47  
13 
4-    2    
3 4 
3 
13  161 
4-   

 3  12  
55
213 165
4

12
4
12
Secondo metodo
1
3 
13 
4-    2   11   
3
4 
3 
1
3
13
4-   2   11  
3
4
3
13
1
3
 2   11 
43
3
4
1 13
3
4    2  11 
3 3
4
13 217
165
55



3 12
12
4
H3
Moltiplicazione
Il prodotto di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il
prodotto dei valori assoluti; il segno è positivo se i due numeri sono concordi,
negativo se sono discordi.
Es. :
(+5) (+8) = +40 ; (-6) (-7) = +42 ; (+9) (-4) = -36 ; (-3/4) (+3/5) = (-9/20)
Divisione
Il quoziente di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il
quoziente del valore assoluto del divisore; è positivo se dividendo e divisore sono
concordi (stesso segno), è negativo se sono discordi (segno diverso).
Es.:
2

7
14
(+15):(+3)=(+5) ; (-20):(-5)=(+4) ; (+30):(-6)=(-5) ; (-2/5):(+3/7)=   5  3    15

Elevamento a potenza
La potenza di un numero relativo è il prodotto di più fattori tutti uguali a quel
numero.
Il numero si chiama base; il numero dei fattori richiama esponente.
Es.:
 23   2 2 2   8
+2 = base
3 = esponente
La potenza di un numero relativo positivo è sempre positiva; la potenza di un numero
relativo negativo è positiva se l’esponente è pari, è negativa se l’esponente è dispari.
Es.:
3
 34  81 ;  43  64 ;  23  8 ;  24
H4
8
 2
   
 16 ;  3 
27
ESPRESSIONI NUMERICHE
Per calcolare il valore di una espressione numerica contenente le operazioni con i
numeri relativi si eseguono le stesse regole stabilite per le espressioni con i numeri
assoluti.
Es.:
– 5 – {+5 – 4+[ – 7+2 – (– 5+3) + (– 2+6)]}
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde:
– 5 – {+5 – 4+[ – 7+2 – (– 2) + (+4)]}
Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde:
– 5 – {+5 – 4+[ – 7+2+2+4]}
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi quadre:
– 5 – {+5 – 4+[+1]}
Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre:
– 5 – {+5 – 4+1}
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi graffe:
– 5 – {+2}
Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi graffe:
– 5 –2 = – 7
H5
1  1 5  1 
5  1  1 1 4  1
        3          
6  3 9  2 
2  2  3 9 9  2
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde:
1  9  15  1   6  5  1   3  1  4  1
 
 
 

6  27  2  2  2  
9
 2
1  24  1  1  1   8  1
           
6  27  2  2  2   9  2
Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde:
1 8 1 1 1  8 1
     
6  9 2 2 2  9 2
24 24 : 3 8


27 27 : 3 9
Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre:
1 8 1 1 1 8 1
     
6 9 2 2 2 9 2
Eliminiamo i termini opposti :

8 8
 0
9 9
Ottenendo:
1 1 1 1 3  3
5
  

6 2 2
6
6
H6

1 1
 0
2 2
CALCOLO LETTERALE
Si dice algebrica o letterale una espressione contenente sia numeri che lettere.
Si può trasformare una espressione algebrica in una numerica se alle lettere
sostituiamo dei numeri.
Esempi:
3a 2b  5ab 2  6a
Poniamo a = 2 e b = 3
3  2 2  3  5  2  32  6  2
3  4  3  5  2  9  12
36  90  12
- 42
Poniamo a = 3 b = - 4
3  32   4  5  3   42  6  3
3  9   4  5  3   16  18
 108  240  18
-330
I1
Poniamo a = -2 e b = 5
3   22  5  5   2  52  6   2
3  4  5  5   2  25  6   2
60  250  12
298
Poniamo a 
2
e
3
b
3
4
2
2  3 2
2
2 3
3    5    6
3 4
3
3 4
4 3
2 9 12
3   5  
9 4
3 16 3
1
15
4
8
25
8
Poniamo a 
2
e
3
b
3
5
2
2  3 2
2
2 3
3    5     6 
3  5
3
3 5
4 3
2 9 12
3   5  
9 5
3 25 3
4 6
 4
5 5
18
5
I2
MONOMI
Si chiama monomio un’espressione algebrica che non contiene operazioni di
addizione e sottrazione, ma soltanto di moltiplicazione, divisione e potenza.
Es.:
3ab ; -5a2 b ;
(-2/5)x3y4z
Un monomio si dice ridotto a forma normale se contiene un solo fattore numerico,
che si chiama coefficiente, e una parte letterale in cui ogni lettera compare una sola
volta.
Anche un solo numero o una sola lettera è un monomio.
Un monomio si dice intero se non figurano lettere al denominatore; in caso contrario
si dice frazionario.
Il grado di un monomio intero, a forma normale, rispetto ad una lettera, è l’esponente
di quella lettera.Il grado complessivo di un monomio è uguale alla somma degli
esponenti delle lettere che in esso appaiono.
Due monomi si dicono: uguali se hanno il coefficiente e le parti letterali uguali;
simili se hanno la stessa parte letterale; opposti se differiscono solo per il segno.
Es.:
3ab
e
3ab
sono uguali
8a2 b
e (-2/7) a2 b
sono simili
5xy
e
sono opposti
-5xy
Addizione di monomi
La somma di due o più monomi si ottiene scrivendoli uno dopo l’altro con il proprio
segno.
Se vi sono due o più monomi simili, si fa la riduzione dei termini simili,
sostituendo ai monomi simili un monomio simile ad essi, avente per coefficiente la
somma algebrica (risultato di addizioni e sottrazioni) dei coefficienti dei monomi
dati. La somma di due monomi opposti è 0.
Es.: addizionare i monomi
3ab ; -2 a2 b ; -2ab ; 7 a2 b ; -8 a2 b ; 5ab
si scrive:
3ab -2a2 b –2ab + 7a2 b -8a2 b + 5ab
L1
riduciamo i monomi simili:
3ab + 5ab – 2ab = (3+5-2)ab = 6ab
7 a2 b - 8 a2 b -2 a2 b = (7-8-2) a2 b = -3 a2 b
ottenendo:
3ab -2a2 b –2ab + 7a2 b -8a2 b + 5ab = 6ab - 3a2 b
Sottrazione di monomi
La differenza di due monomi si ottiene addizionando al primo l’opposto del secondo.
Es.:
(+5ab) – (-3ab) = (+5ab) + (+3ab) = 5ab + 3ab = 8ab
(-4a2 b) – (+7a2 b) = (-4a2 b) + (-7a2 b) = -4a2 b - 7a2 b = -11a2 b
Moltiplicazione di monomi
Il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei
coefficienti e, come parte letterale, le lettere comuni con esponente uguale alla
somma degli esponenti, e le lettere non comuni con esponente immutato.
Es.:
(-4abc)  (5a2 b3 ) = -20a 3 b4 c
15 4 9
3 3 4   5 5
 x y z     xy    x y z
32
4
  8

Divisione di monomi
Il quoziente di due monomi è un monomio che ha per coefficiente il quoziente dei
coefficienti e per parte letterale tutte le lettere dei due monomi, prese ognuna una
volta sola, con esponente uguale alla differenza degli esponenti che ciascuna lettera
ha nel dividendo e nel divisore.
Es.:
( -20a 3 b4 c) : (-4abc) = +5a2 b3
5
 15 4 9   3 3 4 
x y z    x y    xy 5

8
 32
 4

L2
Potenza di un monomio
Per elevare a potenza con esponente intero un monomio, si eleva a quella potenza il
coefficiente e si moltiplicano gli esponenti dei fattori letterali per l’esponente della
potenza.
Es.
(3a2 b)3 = 27a6b3
(-4a4 b3)2 = 16a8 b6
Eseguire le seguenti operazioni:
1)
1
 5

a 2bc3   ab 2c  :  a3b3 
4
 2

1 3 3 4 5 3 3 1 4
a b c : a b   c
4
2
 10
2)
2
2
  4a 4b3  :   2 a 2b 2 


 

  3

4
16a8b6 : a 4b 4  36a 4b 2
9
3)
4

1


3
4
4
2
6a b c :  ab     3 a 3b 6 

2
   32



 3 4 4 1 4 8  3 3 6 
6a b c : 16 a b    32 a b 

 

96a 1b  4 c 4 
3 3 6
a b  9a 2 b 2 c 4
32
L3
Semplificare le seguenti espressioni riducendo i termini simili :
1)
4x2 + 7xy – 2x2 – 7xy – 2xy – 2x2 + 5xy
Individuiamo i termini simili e riduciamoli:
4x2 + 7xy – 2x2 – 7xy – 2xy – 2x2 + 5xy
4x2 – 2x2 – 2x2 = 0x2 = 0
7xy - 7xy -2xy + 5xy = 3xy
Quindi :
2)
4x2 + 7xy – 2x2 – 7xy – 2xy – 2x2 + 5xy = 3xy
- x – 2a +2x – 5a + 8a
Individuiamo i termini simili e riduciamoli:
- x – 2a +2x – 5a + 8a
- x + 2x = x
- 2a – 5a + 8a = a
Quindi:
3)
- x – 2a +2x – 5a + 8a = x + a
3a – (-b) + 5a + (+4b) – (+2c) + (-6c)
Eliminiamo le parentesi applicando la regola “scioglimento di parentesi” e
riduciamo i termini simili:
3a + b + 5a +4b – 2c –6c
3a + 5a = 8a
b + 4b = 5b
-2c –6c = -8c
Quindi :
3a – (-b) + 5a + (+4b) – (+2c) + (-6c) = 8a + 5b –8c
L4
-a3 + (+2a2) – (-9a3 ) – (12a3 ) + (-4a2 )
4)
Eliminiamo le parentesi applicando la regola “scioglimento di parentesi” e
riduciamo i termini simili:
-a3 + 2a2 + 9a3 – 12a3 - 4a2
- a3 – 12a3 + 9a3 =  4a3
+2a2 - 4a2 = 2a2
-a3 + (+2a2) – (-9a3 ) – (12a3 ) + (-4a2 ) =  4a32a2
Quindi :
2
1
5
6
a  b  c  a  b  3c
3
5
3
5
5)
Individuiamo i termini simili e riduciamoli:
1
6
b  b  b
5
5
2
5
7
a a  a
3
3
3
 c  3c  2c
2
1
5
6
7
a  b  c  a  b  3c  a  b  2c
3
5
3
5
3
Quindi :
2
 1 2   4 2   xy 
2
2


 5 x y    4 xy     x y    x y   
6)

  2
 
 3
2 

Eliminiamo le parentesi applicando la regola “scioglimento di parentesi” e
riduciamo i termini simili:
1 2
4 2
xy 2
2
2
 5 x y  4 xy  x y  x y 
2
3
2
1
4
35
 5x 2 y  x 2 y  x 2 y   x 2 y
2
3
6
xy 2
7
2
 4 xy 
  xy 2
2
2
Quindi :
2
35
7
 1 2   4 2   xy 
2
2


 5 x y    4 xy     x y    x y   
  x 2 y  xy 2

  2
 
 3
L5
2 

6
2
Semplificare le seguenti espressioni :
 1

1 2 2 5 2 3 4 


2
3

  ab  ab  : a  b : 2b  2b
3
2 
 18
 2


1)
6
Eseguiamo le operazioni rispettando le precedenze (Vedi regola per il
calcolo di espressioni numeriche).
 5

2 5
3 4



2
2
3
  ab  : a  b  : 2b  2b
2 
 18
 6


6
 25 2 4  5 2 3 4 

3
 a b  : a  b  : 2b  2b
2 
 18
 36

 5 4 3 4 

3
 b  b  : 2b  2b
2 
 2

4b 4  : 2b 3  2b





6
6
6
2b  2b6
06
2)
0
2
2
3
2
2


 a 3b 2     ab3  :   2a 2b 3     2a 2b 3  :  2ab3 :  b 2

 










 

2


2
 a 6b 4     a 3b 9  :   4a 4b 6    4a 4b 6  :   8a 3b 3  :   b 2 

 
 


 
 


 
 


 
 

L6
 1

 a 9 b13 : 16a 8b12    ab 3  : b 2
 2


1
9
 1 
ab    ab    ab
16
16
 2 
3
3)
5

1 2 3 2 2    1 2 2 
4

ab a b c   :  a  ab c    a 2 bc 6 m 4
3
 2
    2
 

 

3
5
4 2 6 4
  1 4 6 4    1 2 4 2 
ab 4 a b c  :  a  4 a b c   3 a bc m
  

 
2
 1
2
2


:   ac m  
 
 3 

 1

:   a 2 c 4 m 4 

 3
3
5
1 5 7 4   1 3 4 2 
2
a
b
c
:

a
b
c

4
bc
 4
  4

 1 15 21 12   1 15 20 10 
a b c   4bc 2
 a b c  : 
 4 3
  4 5

 16bc 2  4bc 2  20bc 2
2
4)
  xy3   5 x 3 y  :  xy2  :   5 xy 2  2  x 2   2 x 2




 



2
  xy3   5 x 3 y  :   x 2 y 2  :   25x 2 y 4   x 2    4 x 2 

 
 





 
 



L7
2
5 x 2 y 2  : 25x 2 y 4  x 2  4 x 2


25x 4 y 4 : 25x 2 y 4  x 2  4 x 2
x 2  x 2  4 x 2  2 x 2
5)
2


5
3
3
5
2
3
4
3






 6r t :   6rt   3r t   2r t  :   r t  :   6r 4    2r 4

 

 


2


4
8
3
4
3


r   6r t :   r t  :   6r 4     16r 4 




 

r 4  6r 42 :   6r 4     16r 4 

 

r 4  36r 8 :   6r 4     16r 4 

 

r 4  6r 4  16r 4  11r 4
6)
 6

2 5
 8
 4  1 2 

5
2
2
3
 x   x   x y : xy  : x  : 2 x  2
21
 63 
3 
 7


 6 4 1 4 5  8 3 
  x  x  x 4 : x  : 2 x  2
9
21  63 
 7
 62 4 8 3 
 x : x  : 2x  2
63 
 63
31
31
47
x : 2x  2   2 
4
8
8
L8

POLINOMI
Polinomio è un’espressione algebrica contenente operazioni di addizione e/o
sottrazione.
Si dice binomio, trinomio, quadrinomio, secondo che abbia due, tre, quattro termini.
Si dice intero se tutti i suoi termini sono monomi interi; si dice frazionario se in
qualcuno dei monomi che lo compongono compaiono lettere al denominatore.
Addizione
Per addizionare due o più polinomi, si scrive un unico polinomio che
ha tutti i termini dei polinomi dati. Se ci sono dei termini simili, si fa la riduzione (v.
addizione di monomi).
Es.:
(3a + ab2 – b3) + (–5ab2 + 4b3 ) + (–5a2 + 4ab2 )
3a + ab2 – b3  5ab2 + 4b3 5a2 + 4ab2
3a + (1–5+4) ab2 + (–1+4) b3 – 5a2
3a + 3b3 – 5a2
Sottrazione
La differenza di due polinomi si ottiene addizionando al primo
l’opposto del secondo. Se ci sono termini simili, si fa la riduzione.
Es.:
(3a + ab2 – b3) – (– 5ab2 + 4b3 )
(3a + ab2 – b3) + (+ 5ab2 – 4b3 )
3a + ab2 – b3 + 5ab2 – 4b3
3a + (1+5) ab2 + (–1– 4)b3
3a + 6ab2 –5b3
Somma algebrica. Si indica scrivendo i polinomi racchiusi tra parentesi e separati
dai segni + o . Si eliminano quindi le parentesi, cambiando il segno dei termini
contenuti nelle parentesi precedute dal segno  e rimanendo inalterati quelli contenuti
nelle parentesi precedute dal segno +. Infine, si riducono i termini simili.
Es.:
(2a2 + b2) + ( a2 – 3ab + c)  ( a2 + c)  (5a2 ab + b2) =
= 2a2 + b2  a2 – 3ab + c + a2  c +5a2 + ab  b2 =
= (2  1+ 1+5)a2 + ( 11)b2 + (11)c + (3 + 1)ab = 7a2 2ab
M1
Prodotto di un polinomio per un monomio.
Si esegue moltiplicando il monomio per ciascun termine del polinomio e
addizionando i prodotti parziali ottenuti.
Es.:
3x2y  (x3 + 2xy2 + 5y3) =
= 3x2y  (x3 ) + 3x2y  (+ 2xy2 ) + 3x2y  (+ 5y3) =
= 3x5y + 6x3y3 + 15x2y4
Prodotto di polinomi.
Per moltiplicare due polinomi si moltiplica ciascun termine di uno di essi per ciascun
termine dell’altro e si addizionano i prodotti parziali ottenuti. Quindi si riducono gli
eventuali termini simili.
Es.:
(3x + y) (x + 2y  3) =
= 3x  x + 3x  2y + 3x  (3) + y  x + y  2y + y  (3) =
= 3x2 + 6xy  9x + xy + 2y2  3y =
= 3x2 + 7xy  9x + 2y2  3y
Quoziente tra un polinomio e un monomio.
Si esegue dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio e sommando i
prodotti parziali ottenuti.
Es.:
(20a5b2  10a2b3 + 5a4b4) : (5a2b) =
(20a5b2 ) : (5a2b) + (10a2b3) : (5a2b) + (5a4b4 ) : (5a2b) =
= 4a3b  2b2 + a2b3
M2
Semplificare le seguenti somme e differenze di polinomi :
1)
2a2  [ 3ab  (2b2  ab) + 2ab  (4a2 + 3b2)]
Eliminiamo le parentesi applicando la regola “scioglimento di parentesi” e
riduciamo i termini simili:
2a2  [ 3ab  2b2 + ab + 2ab  4a2  3b2] =
= 2a2  3ab + 2b2  ab  2ab + 4a2 + 3b2 =
= (2 + 4)a2 + (–3 –1 –2)ab + (2 + 3)b2 =
= 6a2 – 6ab +5b2
2)
3a + { 2a2 + 4ab  [3a2 + 2ab  ( a + ab  c2) + 5b2]  2a} + c2 =
= 3a + { 2a2 + 4ab  [3a2 + 2ab + a  ab + c2 + 5b2]  2a} + c2 =
= 3a + { 2a2 + 4ab  3a2  2ab a + ab  c2 + 5b2  2a} + c2 =
= 3a  2a2 + 4ab  3a2  2ab a + ab  c2 + 5b2  2a + c2 =
= (312)a + (2 3)a2 + (42+1)ab + (1+1)c2 + 5b2 =
= 5a2 + 3ab + 5b2
3)
(4x3 + xy  2y2)  (x3 4xy + y2) + (5x3 +xy + 3y2) =
= 4x3 + xy  2y2 + x3 + 4xy  y2 5x3 +xy + 3y2 =
= (4+15)x3 + (1+4+1)xy + (21+3)y2 =
= 6xy
M3
4)
1
5
3
 
1

 b  2a   a  ab  b    b  ab  4   3  ab =
3
6
2
 
2

=
3
1
1
5


b  2a  a  ab  b  b  ab  4  3  ab =
2
2
3
6


=
3
1
1
5
b  2a  a  ab  b  b  ab  4  3  ab =
2
2
3
6
3 1
1 5
= (2  1)a     1b    1   ab  4  3 
2
2


6
3
1
2
= a  ab  1
5)

1 

1

6 x   3x     x 2  x  1   x 2  x   6 x    x 2  5 x  =

2 

2

 
= 6 x  3x    x 2  x  1  x 2  x  6 x   x 2  5 x =
2 
2

1
1
1
2
1
2
= 6 x  3x   x 2  x  1  x 2  x  6 x  x 2  5 x =
1
1
= 6  3  1  1  6  5x  1  1   x 2   1 =

=
6)
2
5 2 3
x 
2
2
 2 4
 x y 
 3
=
2
1  
1 
 1
y    x 4 y  xy    y 4  xy    x 4 y  xy  y 4  =

3  
6  
 3
2 4
1
1
1
x y  y  x 4 y  xy  y 4  xy  x 4 y  xy  y 4 =
3
3
3
6
2 1
1 1
=     1 x 4 y      1 xy  y =
 3
=
3

 3
6

1
xy  y
2
M4
Semplificare le seguenti espressioni contenenti prodotti e quozienti tra
polinomi e monomi :
1)
a (a + b  4) + 2a  (b+2) =
= a2 + ab  4a  2ab + 4a =
= a2 + (12)ab + (-4+4)a =
= a2  ab
2) 3y (a  2x)  2x (a  3y) + a (2x  3y) =
= 3ay  6xy  2ax + 6xy + 2ax  3ay =
= (3  3) ay + (6 + 6)xy + (2 + 2)ax =
=0
3)
2x (x + y + 1) x (x  y  1) =
= 2x2 + 2xy + 2x  x2 + xy + x =
= (2  1)x2 + (2 + 1) x + (2 + 1)xy =
= x2 + 3x + 3xy
4) [3a2 + a3b2  3a2  (2b + 1)] : (ab)  2a  (3  ab) =
= [3a2 + a3b2  6a2b  3a2 ] : (ab)  2a  (3  ab) =
= [ + a3b2  6a2b] : (ab)  2a  (3  ab) =
=  a2b + 6a  6a + 2a2b =
= (1 + 2)a2b + (6  6)a =
= a2b
M5
5)
[3a (2a + b) + 5ab] : {[3a3b2  a2b2 (5a)] : (2ab)2} =
= [6a2 + 3ab + 5ab] : {[3a3b2 + 5a3b2] : (+4a2b2 )} =
= [6a2 + 8ab] : {[8a3b2] : (+4a2b2)} =
= [6a2 + 8ab] : {2a} =
= 3a + 4b
6)
[5ab2 (2a2 – 3b) + 5a3b2] : (–15ab2) + (–a)2 =
= [10a3b2 – 15ab3 + 5a3b2] : (–15ab2) + (–a)2 =
= [15a3b2 – 15ab3] : (–15ab2) + (+a2) =
= – a2 + b + a2 =
=b
7)


x2 
 9
2  =
2 x3   x 2  x2 y3  3x 2 y 4  x3 y 2  :  3xy 2  
y

3
y

 2 


2 



 9

x2 
3
2
2
3
2
4
3
2
2
2






= 2 x   x  x y  3x y  x y  :   9 x y    y  3 y 2  =

 
 2 

 2 


1 2 1  x2 y 3 y 2 
 9 2 1

3

= 2 x   x  y  y  x  
=
2
9
3
9 
2
2 





3
1
x2 y
3y2 
 1

= 2 x3   x 2 y  y 2  x3 

=
2
2
2
2
2




1 
 1 1 
 3 3
= 2 x 3     x 2 y     y 2  x 3  =
2 
2 2
 2 2 
5
1
 1 
= 2 x 3   x 3  = 2 x 3  x 3 = x 3
2
2
 2 
M6
Semplificare le seguenti espressioni contenenti prodotti tra polinomi :
1)
(x+y) (x1) x (x  y  1) =
= x2 x + xy  y  x2 + xy + x =
= (1  1)x2 + ( 1 + 1) x + (1 + 1)xy  y =
= 2xy  y
2)
(3a – 4) (2a + 5) + (3a – 2) (2a + 1) =
= (6a2 + 15a – 8a – 20) + (6a2 + 3a – 4a – 2) =
= 6a2 + 15a – 8a – 20 + 6a2 + 3a – 4a – 2 =
= (6 + 6)a2 + (15 – 8 + 3 – 4)a – 20 – 2 =
= 12a2 + 6a  22
3)
(x2 – 3x + 2) (x – 1) – (3x – 2) (x2 – 5x + 2) =
= (x3 – x2 – 3x2 + 3x + 2x – 2) – (3x3 – 15x2 + 6x – 2x2 + 10x – 4) =
= x3 – x2 – 3x2 + 3x + 2x – 2 – 3x3 + 15x2 – 6x + 2x2 – 10x + 4 =
= (1 – 3)x3 + (–1 – 3 + 15 + 2)x2 + (3 + 2 – 6 – 10)x – 2 + 4 =
= – 2x3 + 13x2 –11x + 2
4)
[3x2 + (4x – 1) (x + 1)] (2x + 3) =
= [3x2 + (4x2 + 4x – x – 1)] (2x + 3) =
= [3x2 + 4x2 + 4x – x – 1] (2x + 3) =
= [7x2 + 3x – 1] (2x + 3) =
= 14x3 + 6x2 – 2x + 21x2 + 9x – 3 =
= 14x3 + 27x2 + 7x – 3
M7
5)
1 2
 4 1

2  1
 x  xy  y  x  y   xy x  y  =
9
 3
 3 3

1
1
1
4
 1
 4
=  x3  x 2 y  x 2 y  xy 2  xy 2  y 3   x 2 y  xy 2 =
9
3
3
3
 27
 9
6)
=
1 3 1 1 4 2
 1 4
x      x y  1    xy 2  y 3 =
27
9 3 9
 3 3
=
1 3
x  y3
27
 x  2 z  3 x  4 z    2 x  2 z   3 x  4 z  
4
7  
7  8

5
xz =
28
4
3
8   3
3
8  5
 3
=   x 2  xz  xz  z 2     x 2  8xz  xz  z 2   xz =
7
2
7   4
28
7  28
 4
3
5
 3 3
 8 8
 4 3
=    x2     z 2      8 
  xz =
28 28 
 4 4
 7 7
 7 2
= –10xz
7)
5 
2
 1

 3a  2b a  b   3a  b  a  4b  =
2 
3
 2

5 
2
 1

=  3a  6b a  b   3a  b  a  4b  =
2 
3
 2

= (2a 2 
15
1
 3

ab  4ab  15b 2 )    a 2  12ab  ab  4b 2  =
2
2
 2

3
1

 15
=   2  a 2    4  12  ab   15  4b 2 =
2
2

2
7
=  a 2  11b 2
2
M8